陕西省榆林市神木市2026年初中学业水平模拟考试(一模）数学试题（含解析）

这是一份陕西省榆林市神木市2026年初中学业水平模拟考试(一模）数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。
九年级数学
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 有理数的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：有理数的倒数是．
2. 如图是一个长方体上放着一个小正方体组成的立体图形，其左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】A，主视图，不符合题意；
B，俯视图，不符合题意；
C，非三视图中的一种，不符合题意；
D，左视图，符合题意．
3. 如图，直线，将一直角三角板的顶点A放在直线a上，直角顶点B放在直线b上．已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵
∴
∵，
∴．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方，合并同类项法则解答即可．
需逐一验证各选项是否符合初中数学教材中的运算规则．
【详解】解：选项A： ，故本选项错误，不符合题意；
选项B：，故本选项错误，不符合题意；
选项C：，故本选项错误，不符合题意；
选项D：，故本选项正确，符合题意；
故选：D
5. 如图，在中，，，，是边上的中线，则的长是（ ）
A. B. C. D. 17
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边中线的性质求解．
【详解】解：∵，，，
∴
∵是边上的中线，
∴．
6. 已知一次函数（，为常数，），当增加时，增加，则的值是（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据与的变化量列出等式，即可求出的值．
【详解】解：设当时，函数值为，
当增加，即时，函数值为，
当增加时，增加，
，
化简得，
．
7. 如图，在正方形中，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，延长交于点G，首先求出，然后证明出，得到，求出，证明出四边形是矩形，得到，进而求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点G，
∵
∴
∴
∵四边形是正方形
∴
∵点E是的中点
∴
∵，
∴
∴，即
∴
∵四边形是正方形，
∴四边形是矩形
∴
∴．
8. 在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（ ）
A. 最大值B. 最小值C. 最大值3D. 最小值3
【答案】C
【解析】
【分析】先根据二次函数与y轴交点位置得到a的取值范围，判断二次函数开口方向，再对二次函数配方得到顶点纵坐标，即可求出函数最值．
【详解】解：将代入，得，
∵二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴，
解得，
∴二次项系数，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴，
∴该二次函数的最大值为．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 比较大小：______________．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，先比较与3的大小，再根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，比较与，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
10. 如图，在正五边形中，平分交于点F，则的度数为________．
【答案】54
【解析】
【详解】解：在正五边形中，
∵平分
∴．
11. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；劣田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、劣田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今买良、劣田共1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田有x亩，则可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】设良田有亩，劣田有亩，根据“今并买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱”，即可列出关于的一元一次方程．
【详解】解：设良田有亩，劣田有亩，
根据题意得：．
12. 如图，四边形内接于，点B是劣弧的中点，，连接，则的度数为________．
【答案】35
【解析】
【分析】首先利用圆内接四边形对角互补求出，然后利用等弧所对的圆周角相等求解．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴
∵点B是劣弧的中点
∴．
13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，，）的图象经过的顶点A，x轴负半轴上的点D为的中点，坐标原点O为AC的中点，，若的面积为8，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用题中条件得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出的面积，再根据等腰三角形三线合一求出的值，得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，过点作的垂线交于点，
∵点D为的中点，点O为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为8，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，反比例函数在第二象限，
∴．
14. 如图，在矩形中，，，是边的中点，是边上的动点（不与端点重合），线段分别与线段、相交于点、．若，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，即可得到四边形为平行四边形，进而得到，然后根据同角的余角相等得到，利用正切的定义得到，利用勾股定理求出，然后根据得到，利用得到，最后根据求出的长解答即可．
【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， 则，，
∵四边形 是矩形，
∴，，，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【详解】解：
．
16. 求不等式的最小整数解．
【答案】
【解析】
【分析】先按照一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再根据解集确定最小整数解即可．
【详解】解：去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得，
不等式的最小整数解为．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【详解】解：
去分母得，
解得，，
检验：将代入
∴原方程的解为．
18. 如图，已知和，点E为射线上一定点，请用尺规作图法在射线上求作点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【详解】解：如图，点即为所求．
19. 如图，在和中，点在上，交于点，，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】通过平行线的性质结合已知等量代换证明，进而证明，即可得证．
【详解】证明：，
，
，
，
在和中，
，
．
20. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物体后，天平倾斜，如图所示，现有、、、四个物体，它们除质量不同外其余完全相同，其中物体，物体，物体，物体．
（1）从、、、这四个物体中，随机选取一个，质量恰好为的概率为 ；
（2）小明从、、、这四个物体中，随机选取两个放置在天平的右端托盘上．请用列表或画树状图的方法，求小明恰好使天平恢复平衡的概率．（天平两端的托盘上放置的物体质量相同，天平恢复平衡）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）先确定要使天平恢复平衡，选取的两件物体质量之和，然后再利用画树状图法或者列表法将所有可能结果表示出来，再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：从、、、这四个物体中，随机选取一个，共有种等可能的结果，其中质量恰好为的只有物体一种情况，
∴随机选取一个，质量恰好为的概率为；
【小问2详解】
解：要使天平恢复平衡，选取的两件物体质量之和为，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有种，
小明恰好使天平恢复平衡的概率为．
21. 项目主题：测量大雁塔的高度．
项目背景：千年古刹，传奇身世大雁塔，这座西安的标志性建筑，承载着千年的历史与文化．小明所在的数学研究小组为了解大雁塔的高度，开展了项目学习．
测量工具：测角仪、皮尺等．
测量步骤及示意图：
测量数据：，，米．
参考数据：，，．
问题解决：请你根据上述信息计算大雁塔的高度．
【答案】大雁塔的高度约为米
【解析】
【分析】在中，利用锐角三角函数表示出长，在中，得到，再根据，列式计算即可．
【详解】解：在中，，，
．
在中，，
．
，米，
，解得，
即大雁塔的高度约为米．
22. 三翻饼是陕西省某地的特色小吃，外皮金黄，油炸后呈翻裂千层之状，犹如花朵盛开，故有“千层之花”的美誉．姗姗准备购买三翻饼送给亲朋好友，她了解到，商店的三翻饼原价为20元/盒，若一次购买不超过10盒，每盒都按原价销售，超过10盒，则超过的部分每盒按原价打9折．设姗姗此次购买x盒三翻饼，所需费用为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若姗姗此次购买三翻饼的预算不超过300元，则她最多可以购买多少盒三翻饼？
【答案】（1）当，且为整数，；当时，且为整数，
（2）她最多可以购买盒三翻饼
【解析】
【分析】（1）根据购买数量是否超过10盒，分两种求解即可；
（2）首先判断购买数量是否超过10盒，再列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，当时，；
当时，，
∴当，且为整数，；
当时，且为整数，；
【小问2详解】
解：当时，费用为
∴购买数量超过10盒，
∴由题意得，
解得
∵为整数，
∴的最大值为，
答：她最多可以购买盒三翻饼．
23. 2026年4月7日，长征八号运载火箭在海南商业航天发射场发射，并取得圆满成功．为了弘扬航天精神，某中学开展了主题为“致敬航天人，共筑星河梦”的演讲比赛．有24名选手进入决赛、五位评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果三项为每个选手打分，各项成绩均按百分制计，取平均分作为该项的成绩，再将演讲内容、演讲能力、演讲效果三项的成绩依次按的比例计算出每人的总评成绩．甲、乙两名选手的单项成绩和总评成绩如表所示，这24名选手的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
（1）给乙同学打出的分数如下：79，80，82，82，87．这组数据的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分；
（2）请你计算乙同学的总评成绩n；
（3）学校决定根据总评成绩择优选出，14名选手进行评奖．试分析甲、乙能否获奖，并说明理由．
【答案】（1）82，82，82
（2）82.2分 （3）乙同学能获奖，甲同学不能，见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的定义求解即可；
（2）先求出，再求解加权平均数即可；
（3）根据频数分布直方图以及甲乙的总评成绩分析即可．
【小问1详解】
解：数据79，80，82，82，87，
则中位数为，众数为，平均数为；
【小问2详解】
解：由题意得，，
（分），
乙同学的总评成绩为82.2．
【小问3详解】
解：乙同学能获奖，甲同学不能．
理由：由频数分布直方图知，不小于80分的有14名同学，因为乙同学的总评成绩高于80分，所以乙同学能获奖，而甲同学的总评成绩低于80分，所以甲同学不能．
24. 如图，为的直径，点、分别位于直径两侧的圆上，连接、、，交于点，，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由切线的性质可得，由圆周角定理可得，即可得证；
（2）易证，根据相似三角形的性质可得，的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长．
【小问1详解】
证明：是的切线，为的直径，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：设，则，
，
，
，即，
解得，
，，
在中，．
25. 某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图1所示），该模型由“龙头”“船身”、“龙尾”三部分组成．船身外轮廓近似呈抛物线形，如图2所示，船身最左端O与最右端A关于该抛物线的对称轴对称，且它们之间的距离，船身最低点到的距离为．以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）为了便于摆放，在龙舟的B、C两点设置支撑点，在其下方分别安装平衡木，B、C两点均在抛物线上，且这两点关于抛物线的对称轴对称，若这两点间的距离为，求点C到的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先得到抛物线的顶点坐标为，再设顶点式求解即可；
（2）先根据抛物线的对称性求出点的横坐标为6，再代入抛物线的表达式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的函数表达式为，
将代入中，得，
解得，
该抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：由题意知，，即点的横坐标为6，
当时，，
点到的距离为．
26. 【定义新知】
定义：有且仅有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．例如：四边形中，若，，则称该四边形为“等对角四边形”．
（1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，按要求以、为边在图1中画一个“等对角四边形”；（要求：四边形的顶点在格点上）
（2）如图2，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交边于点，求证：四边形是“等对角四边形”；
【拓展应用】
（3）某地有一块空地，管理部门计划在这块空地上规划一个露营基地，如图3，四边形是其规划示意图，为其中的一条小路，为美观要求，要使四边形是“等对角四边形”，且．根据设计要求，将区域规划为露营区，将区域规划为鱼塘，鱼塘一圈可进行垂钓，已知，，，为了容纳更多的垂钓者，要求这个鱼塘的周长（的周长）尽可能的大，求当鱼塘的周长（的周长）最大时，该露营基地（四边形）的面积．（小路宽度忽略不计）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由“等对角四边形”的定义作出，且即可；
（2）通过等边对等角结合三角形内角和定理得出，再通过外角的性质结合直角三角形的两锐角互余得到，然后证明，即可得证；
（3）先根据勾股定理求得长，由于是定值，故要使的周长最大，则需取最大值，过点作于，根据“等对角四边形”的定义结合已知可得，然后利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形表示出，然后根据一元二次方程根的判别式确定的周长最大值，然后根据计算面积即可．
【小问1详解】
解：如图，“等对角四边形”即为所求；
连接，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，即，
，
四边形为“等对角四边形”．
【小问2详解】
证明：在矩形中，对角线、交于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
四边形是“等对角四边形”；
【小问3详解】
解：，，，
，
的周长为，
要使的周长最大，则需取最大值，
过点作于，
四边形是“等对角四边形”，且，
，
，
，
设，，则，
在中，，
，
，
令，
，
，
整理得，
，
整理得，
，
的最大值为，此时，，
，，
，
即当鱼塘的周长（的周长）最大时，该露营基地（四边形）的面积为．
测量示意图
测量步骤
小明在处测出大雁塔顶端处的仰角的度数；
接着他从点处向大雁塔方向前进了一段距离后到达点，他在处测出大雁塔顶端的仰角的度数；
小组成员测出、两点间的距离．
说明：已知点A、B、O在同一水平直线上，且垂直于，图中所有点均在同一竖直平面内，测角仪的高度忽略不计．
选手
单项成绩/分
总评成绩/分
演讲内容
演讲能力
演讲效果
甲
82
72
80
78
乙
80
84
m
n