安徽省蚌埠市2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题（含解析）

这是一份安徽省蚌埠市2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
根据二次根式的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；
B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；
C．是二次根式，故符合题意；
D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；
故选C．
2. 下列是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0．
【详解】解：A、含有和两个未知数，不符合定义，∴A错误；
B、满足定义，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，∴B正确；
C、未说明二次项系数，若，方程不是一元二次方程，∴C错误；
D、分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，∴D错误．
3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的两个判定条件判断即可，两个条件为：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A：的被开方数含分母，不是最简二次根式；
B：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式；
C：，被开方数9是能开得尽方的平方数，不是最简二次根式；
D：，被开方数12含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式．
4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．先判断线段能否组成三角形，再验证是否满足勾股定理的逆定理即可．
【详解】解：∵三角形三边需满足两边之和大于第三边；
∴A选项中，，不满足三边关系，不能组成三角形；
B选项中，∵；
∴不满足勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形；
C选项中，∵，即；
∴满足勾股定理的逆定理，能组成直角三角形；
D选项中，∵
∴不满足勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形
故选：C
5. 下列各等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：选项A，，等式成立；
选项B，2与不是同类二次根式，不能合并，，等式不成立；
选项C，与不是同类二次根式，不能合并，，等式不成立；
选项D，，等式不成立．
6. 如图，点O是一港口，渔船A从O出发沿北偏东方向以12海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以10海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船相距的距离为（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可．
【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以12海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以10海里/时的速度出海，
∴，
两小时后，海里，海里，
由勾股定理可得，（海里），
D选项符合题意．
7. 若m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再整体代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
8. 中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键是理解互赠的含义．
计算总赠出书签的数量，从而列出方程．
【详解】解：∵八（1）班共有名学生，同学之间互赠书签，即每名同学需要向除自己以外的其他同学各赠送1张书签，
∴每名同学送出张书签，名同学送出书签的总张数为，
又已知共赠主题书签2450张，
∴可列方程．
9. 若方程有实数根，则m的取值范围为（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】分（一元一次方程）和（一元二次方程）两种情况讨论，根据方程有实数根的条件求解的取值范围．
【详解】解：∵方程未指明次数，
需分两种情况讨论，
①当时，原方程化为，解得，有实数根，符合要求；
②当时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则根的判别式，
即，
解不等式得，
综上，的取值范围为．
10. 如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点，连接，，
根据对称性可得，
当点P运动至与点重合时，的值最小，
即．
，
，
．
，
．
在中，，
的最小值为．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小： ______ （填 、或）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可
【详解】解：，，且
，
故答案为：
12. 勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五．”有一组勾股数，已知其中的两个数分别是5和13，则第三个数是__________．
【答案】12
【解析】
【分析】需分两种情况讨论，即第三个数为直角边和第三个数为斜边，结合勾股定理计算，再根据勾股数为正整数的条件筛选得到正确结果．
【详解】解：设第三个数为，
分两种情况讨论：
当为斜边时，为直角边，由勾股定理得：，
变形得，
因为是正整数，所以，符合勾股数的定义；
当为直角边时，为斜边，由勾股定理得：，
因为不是完全平方数，不是正整数，不符合题意，舍去；
综上，第三个数是．
13. 承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个．
【答案】8
【解析】
【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可．
【详解】解：设每个手办的单价提高元，则定价为元/个，单个手办的利润为元，每天的销售量为个，
根据题意，可得：，
整理得：，
因式分解得：，
解得：，，
当时，定价为元/个，
当时，定价为元/个，
因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价元/个．
14. 如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点．
（1）若是的中点，则的长为__________．
（2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）设，则，根据折叠可知，然后在中，由勾股定理建立方程求解即可；
（2）找出两个临界位置，利用勾股定理和折叠的性质求解即可．
【详解】解：（1）是的中点，
，
设，则，根据折叠可知，
∵
在中，，
，
解得，
；
（2）根据轴对称的性质可得，
当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1，此时，
设，则，
在中，，
，
解得，
；
当的值最小即点C与点重合时，的值最大，
如图2，此时，
综上所述，的取值范围为．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【详解】解：移项，得，
配方，得，
即，
开平方，得，
所以原方程的根是，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，，，，于点D．
（1）求的长．
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）根据，即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，，，
；
【小问2详解】
解：，
．
18. 如图，网格中小正方形的边长均为1，点A在格点（即小正方形的顶点）上．
（1）在网格中作线段，使，点B在格点上．
（2）在（1）的条件下，作格点C，连接，，使，．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意及勾股定理进行作图即可．
（2）根据题意及勾股定理进行作图即可．
【小问1详解】
解：如图，线段即所求．
【小问2详解】
解：如图，点C即所求．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若，是方程的两个根，且，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，根与系数的关系，熟练掌握判别式公式和根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据判别式判断即可；
（2）利用根与系数的关系求解即可．
【小问1详解】
证明：由题意可知
，
，
，
即，
该方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：，是方程的两个根，
，.
，
，即，
解得，
检验：当时，，所以是原分式方程的解．
20. 如图，在中，，，，M，N是边上的两动点，点M从点B出发向点C以的速度运动，点N从点C出发向点B以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接，，设运动的时间为．
（1）用含t的式子表示出的值．
（2）当时，通过计算说明的形状．
【答案】（1）
（2）是以为斜边的直角三角形
【解析】
【分析】（1）过点A作于点D，根据，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，利用勾股定理解答即可；
（2）先求出，然后在和中，利用勾股定理可得，，再由勾股定理逆定理解答即可．
【小问1详解】
解：如图，过点A作于点D．
，，
，
，
．
，，
点M始终在上运动．
根据题意得，则，
在中，．
【小问2详解】
解：，
，．
由（1）得，，
，，
．
在中，，
在中，．
，，
，
是以为斜边的直角三角形．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目主题】
几何模型在最短路径问题中的应用
【项目准备】
求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？”
解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长．
（1）请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①__________；②__________；③__________．
【项目应用】
（2）如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长．
【答案】（1）①两点之间，线段最短；②；③13
（2）
【解析】
【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键．
（1）根据题意填空即可；
（2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长．
【小问2详解】
解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，，
当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，
过点A作交其延长线于点E，
到的垂直距离为，，，
，
，
从A到B的最短路程是．
七、（本题满分12分）
22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的伴随方程，其中a，b，c为常数（且a，）．根据此定义解决下列问题：
（1）若是一元二次方程的伴随方程的一个根，求出c的值．
（2）若m，n为一元二次方程的两个根，且．
（ⅰ）若，，求一元二次方程的伴随方程．
（ⅱ）求证：一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，．
【答案】（1）
（2）（i）（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得出一元二次方程的伴随方程为，将代入求解即可；
（2）（ⅰ）根据一元二次方程根与系数关系得出，结合，求出．结合，即可得，．根据一元二次方程根与系数关系得出，即可求出，得出一元二次方程的伴随方程；
（ⅱ）根据一元二次方程根与系数关系得出，．再根据题意得出一元二次方程的伴随方程为，设的两个根为，，根据一元二次方程根与系数关系得出，．又，，即，，即可证明；
【小问1详解】
解：由题意可知一元二次方程的伴随方程为，
将代入中，得，解得．
【小问2详解】
解：（ⅰ）∵m，n为一元二次方程的两个根，
∴，
∵，
，
解得．
，
，．
，，
，
解得，
一元二次方程的伴随方程为．
（ⅱ）证明：，n为一元二次方程的两个根，
，．
一元二次方程的伴随方程为，
∴设的两个根为，，则，．
，，
，，
一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在中，，是上的高，且．
（1）求的长．
（2）若E是上一点，连接交于点F．
（ⅰ）求证：．
（ⅱ）若，求的值．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，然后在和中，利用勾股定理可得，即可求解；
（2）（i）过点C作于点M． 根据等腰三角形的性质可得，在和中，利用勾股定理可得 ，即可解答；（ⅱ）连接，由（1）可得，可得，从而得到，，设，则，，可得，，，进而得到．再由，可得，，可得，从而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：是上的高，
．
，，
，．
在中，，
在中，，
，
．
【小问2详解】
（i）证明：如图，过点C作于点M．
，
．
在中，，
在中，，
，即．
（ⅱ）如图，连接，由（1）可得，
．
，
，．
设，则，，
，，
．
，
．
，
，．
，
，
整理得，
解得，即．