2026岳阳高三下学期5月信息模拟卷数学试题含解析

这是一份2026岳阳高三下学期5月信息模拟卷数学试题含解析，共8页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁， 已知 ，且 ，则 的最小值是， 著名物理学家李政道说， 已知抛物线 等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 道题，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项；
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.
一、单项选择题；本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式得到 ，利用交集概念求出答案.
【详解】 ，
故 .
故选：D
2. 在复平面内，复数 对应的点和 对应的点关于虚轴对称，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先对 化简，然后利用对称关系可求出复数 .
【详解】 ，
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因为复数 对应的点和 对应的点关于虚轴对称，
所以 .
故选：C
3. 如图，在△ABC 中， E 是 AD 的中点，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的加减法结合平面向量的线性表示计算求解.
【详解】在 中， E 是 的中点，
则 .
故选：D.
4. 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四
棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的上、下底面边长分别为 2，4，对角
面面积为 ，则该棱台的体积为（ ）
A. 28 B. C. D. 74
【答案】A
【解析】
【分析】设正四棱台的高为 ，根据对角面的面积，列出方程，求得 ，结合棱台的体积公式，即可求
解.
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【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为 ，所以 ，
设正四棱台的高为 ，则 ，可得 ，
正四棱台的上底面面积为 ，下底面面积为 ，
则该正棱台的体积为 .
故选：A.
5. 过圆 上一点 A 作圆 的切线，切点为 B，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得到 最小时， 最小，先求出 最小值，再利用 计算出
结果.
【详解】设圆 与圆 的圆心分别为 O，C，则 ，当 最小
时， 最小，由于点 A 在圆 O 上，则 的最小值为 ，所以 的最小值为
.
故选：B.
6. 已知 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用配凑思想结合均值不等式求解作答.
【详解】 ，由 得：
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，
即 ，解得 ，
当且仅当 时取等号，由 解得 ，
所以当 时， 取得最小值 4.
故选：A
7. 著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按
照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音
律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成 13 个半音，使相邻两个半音之间的
频率比是常数，如下表所示，其中 表示这些半音的频率，它们满足
.若某一半音与 的频率之比为 ，则该半音为（ ）
频率
半音 C D E F G A B C（八度）
A. B. G C. D. A
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数与指数的转化，得到数列 为等比数列，公比 ，然后求得所求半音对
应的数列的项数，从而得到答案.
【详解】依题意可知 .
由于 满足 ，则 ，
所以数列 为等比数列，公比 ， 对应的频率为 ，题目所求半音与 的频率之比为
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，
所以所求半音对应的频率为 ，即对应的半音为 .
故选：B.
【点睛】本题考查等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题.
8. 如图，棱长为 的正方体 的内切球为球 ， ， 分别是棱 ， 的中点， 在
棱 上移动，则（ ）
A. 对于任意点 ， 平面
B. 直线 被球 截得的弦长为
C. 过直线 的平面截球 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
D. 当 为 的中点时，过 ， ， 的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】C
【解析】
【分析】令 与 重合，利用特殊位置举反例证明 A 错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量求得
、 两直线所成角，从而求得点 到直线 的距离 ，即可求得直线 被球 截得的弦长，判断 B
选项；确定过直线 的平面截球 所得的所有截面圆中，半径最小的圆为以直线 被球 O 截得的弦长
为 为直径的圆，从而求得圆的面积，判断 C 选项；确定当 为 的中点时，过 ， ， 的平面截该
正方体所得截面为边长为 的正六边形，利用正弦定理面积公式求六边形面积即可判断 D 选项.
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【详解】
对于 A，根据已知条件圆 为以 为圆心，半径 的圆； 在棱 上移动，
当 与点 重合时，平面 即为平面 ，因为 在直线 上，
所以 平面 ，所以 与平面 相交，A 错误；
对于 B，以 点为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 、 、 、 ，
则 ， ， ，
设直线 与直线 夹角为 ，则 ，
由此可知 ，连结 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ，
则在 中，有 ，解得 ，
设直线 被球 O 截得的弦长为 ，则 ，B 错误；
对于 C，过直线 的平面截球 O 所得的所有截面圆半径最小时，有 垂直于过 的平面，
此时圆的半径为 ，圆的面积为 ，C 正确；
对于 D，根据题意当 为 的中点时，
过 ， ， 的平面截该正方体所得截面为正六边形 ， ，
在 中， ，所以边长 ，
所以截面面积为 ，D 错误.
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故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，平面截正方
体问题，关键是：⑴利用球的弦长公式计算弦长；⑵确定平面截正方体所得截面的形状.
二、多项选择题；本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知公差不为 0 的等差数列 的前 n 项和为 ，且 是 与 的等比中项，则下列说法正确
的是（ ）
A. B.
C. 当且仅当 时 有最大值 D. 当 时，n 的最大值为 8
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知条件求出 ， 可判断 AB；写出数列的前 n 项和公式，可判断 CD.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由 是 与 的等比中项，得 ，
即 ，解得 ，故 AB 正确；
则 ， ， ，
因为数列 单调递减且 ，
所以 或 时 有最大值，故 C 错误；
当 时， ，所以 的最大值为 8，故 D 正确.
故选：ABD
10. 已知抛物线 ： （ ）的准线方程为 ，过 的焦点 的直线 与 交于 ， 两
点，过 ， 分别作准线的垂线，垂足分别为 ， ， 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
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A. 的最小值为 4
B. 存在直线 ，使得 为直角三角形
C. 若 ，则 的周长为
D. 若 ，则直线 的倾斜角为 60°或 120°
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件求出抛物线方程，设出直线 ，利用韦达定理，结合抛物线定义及向量
夹角公式逐项分析判断.
【详解】由抛物线 的准线方程为 ，得该抛物线方程为 ，其焦点为 ，设
，
对于 A，由抛物线的定义，得 ，则 ，
而直线 的倾斜角不为 0，设其方程为 ，由 ，得 ，
则 ， ，
，当且仅当 时取等号，A 正确；
对于 B，由 ， ， ，
得 ，则 ，
而 ，因此 一定为钝角，即 为钝角三角形，B 错误；
对于 C，由抛物线的定义，得 ，解得 ，则 ，
不妨令点 在第一象限，则 ，即 ， ，又 ，则 ，
而点 在第四象限，则 ，即 ， ， ，
， ， 的周长为 ，C 正确；
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对于 D，由 ，得 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 ，
因此直线 的斜率为 或 ，即直线 的倾斜角为 30°或 150°，D 错误．
故选：AC
11. 已知 是函数 有四个零点，记 的导函数为 ，
则（ ）
A. B.
C. 在 上的最小值为 D. 存在 ，使得 是奇函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 展开得到对应系数相等，即可判断 A、B，求出函数的导函数，
说明 的单调性，即可判断 C，求出 的对称中心，即可判断 D.
【详解】由题意可得
，
所以 即为 系数的相反数，即 ，故 A 错误；
即为常数项 ，即 ，故 B 正确；
因为 ，所以 ，
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则 在 上单调递增，又 ，则 在 恒成立，
所以 在 单调递减，所以 ，故 C 正确；
因为 ，
则 ，
所以 ，所以 的对称中心为 ，所以 关于 对称，
即 为奇函数，则 ，
所以存在 ，使得 为奇函数，故 D 正确．
故选：BCD．
三、填空题；本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ，则
的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义得到 ，再由正切的倍角公式和两角和的正切公式，即可求解.
【详解】由题意，角 的终边过点 ，根据三角函数的定义，可得 ，
则 ，
又由 .
故答案为： .
13. 甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是 ，乙命中的概率是 ，两人每次
射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好
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命中两次的概率为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分别计算对应概率，即可选出答
案. 根再根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为 ，则甲乙二人全部命中的概率为 ，
两人至少命中两次为事件 A,甲恰好命中两次为事件 B,
，
，
所以 .
故答案为： , .
14. 已知函数 ，若 恒成立，则实数 a 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，将问题转化成 恒成立，构造函数 ，对函数 进行求
导，利用导数得到函数 的单调性，此时问题转化成 在 上恒成立，构造函数
，对函数 进行求导，利用导数得到函数 的单调性和最值，进而即可求解.
【详解】已知 ，函数定义域为 ，
若 恒成立，即 恒成立，
此时 ，即 恒成立，
不妨设 ，函数定义域为 ，
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可得
当 时， ；当 时， ，
又 ，所以当 时， ， ，
此时需满足 ，即 恒成立，
则 在 恒成立，
所以 在 恒成立，
不妨设 ，函数定义域为 ，
可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，此时 ，
则实数 a 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】求解不等式恒成立问题，首先是对题目所给不等式进行转化，利用化归与转化的数学思想方法，
转化为“有规律”的结构，如本题中，将题目所给不等式转化为 ，则可构造出对应的
函数，然后利用导数进行求解.
四、解答题；本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 的内角 的对边分别为 ， ．
（1）求 ；
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（2）若 ， ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题知 ，再根据正弦定理边角互化并整理得 ，进而得答案；
（2）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换得 ，进而结合已知条件得 ，再
求解正弦值即可.
【小问 1 详解】
解：因为 ，
所以 ，即 ，
所以，正弦定理可得 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ， ．
所以 ，
因为 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
解：因为 ，
所以，由正弦定理得 ．
又因为 ， ，
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所以 ，
整理可得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 或 ，即 或 ，
因为 ，
所以 ， ．
16. 某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为 6，9，12，员工 隶属于甲部门．现在医务室通过
血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为 ，且每个人血检是否呈
阳性相互独立．
（1）现采用分层抽样的方法从中抽取 9 人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少
人，并求员工 被抽到的概率；
（2）将甲部门的 6 名员工随机平均分成 2 组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本
组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．记 为甲部
门此次检查中血样化验的总次数，求 的分布列和期望．
【答案】（1）分别抽 人， 人， 人， ；（2）分布列见解析， .
【解析】
【分析】（1）根据分层抽样规则求出从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数，再根据古典概型的
概率公式计算可得；
（2）记“每组血样化验结果呈阴性”为事件 ，利用相互独立事件的概率公式求出 ，则 可取值
，分别求出概率，列出分布列，求出数学期望即可；
【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 ，
由于采用分层抽样的方法从中抽取 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 人， 人， 人
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.
记事件 ：“员工 被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，
所以员工 被抽到的概率为 .
（2）甲部门的 6 名员工随机平均分成 2 组，每组 3 人，记“每组血样化验结果呈阴性”为事件 ，
由于每个人血检是否呈阳性相互独立，所以 ，
则 可取值：2，5，8，
﹔
，
所以 的分布列为下表：
2 5 8
则 的期望为 ．
【点睛】方法点睛：本题考查分层抽样，古典概率､相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数
学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 的取值情况，然后利用排列，组合，概
率知识求出 取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给
出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
17. 如图，在三棱柱 中， 为 的中点， 为等边三角形，
直线 与平面 所成角大小为 .
（1）求证： 平面 ；
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（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证得 平面 ，从而得到 在平面 的射影在直线
上，即 ，进而证得 ，再利用线面垂直的判定定理证得 平面 ，
则 ，接着利用勾股定理证得 ，由此可得 平面 ；
（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，先求得所需各点坐标，再求得平面 与平面 的法
向量，从而利用向量夹角余弦的坐标表示即可求得平面 与平面 夹角的余弦值.
【小问 1 详解】
取 中点 ，连接 ､ ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，故 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
又因为 ， 面 ，
因此 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ，
所以直线 在平面 的射影在直线 上，所以直线 与平面 所成角为 ，则
，
因为 ， ，所以 是正三角形，则 ，
因为 为等边三角形， ，则 ，
所以在 中，由 ， 得 ，
则 ，所以 ，
因为 ， 面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ，在 中， ， ，所以 ，又 ，
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所以 ，即 ，
又 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）可知 ､ ､ 两两垂直，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所
在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
由于 是 的中点，易得 ，
又由 可得 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，易知 ，
所以 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
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18. 已知椭圆 C： 的离心率为 ，长轴长为 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）点 Q 为椭圆 C 内部一点，其与椭圆 C 的左焦点 以及上顶点 S 构成的△ 为等边三角形，试求
△ 外接圆的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，结合 可求 ；
（2）根据等边三角形边长相等且点 Q 为椭圆 C 内部，可求点 Q 的坐标，再由等边三角形的性质求圆心和
半径．
【小问 1 详解】
由已知条件知离心率 ，长轴 ，
故 ， ， ，
故所求的椭圆方程为 .
【小问 2 详解】
由（1）可得 ， ，
设点 Q 的坐标为 ，由 为等边三角形，可得 ，
因此 ，
求解可以得到 或
由于点 Q 在椭圆内部，因此需满足 ，由此可以排除后一种情况，得到点 Q 的坐标为
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，
等边三角形外接圆的圆心即为其中心，因此圆心坐标为 ，半径为 ，
故外接圆的方程为 .
19. 记 ， 分 别 为 函 数 和 的 导 数 ， 存 在 ， 满 足
且 ，则称 为 和 的一个“ 点”．
（1）若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值；
（2）证明函数 与 不存在“ 点”；
（3）已知函数 ， ，对任意的 ，判断是否存在 ，使得函数
和 在区间 内存在“ 点”，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3）存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）求导，设“ 点”为 ，解方程组 ，可得结论．
（2）假设存在“ 点”为 ，解方程组 ，应用等式无解可得结论；
（3）设“ 点”为 ，由 ，用 表示出 ，由 求得 的范围，利用导数求得 的范
围即可求解.
【小问 1 详解】
设 ， ，则 ， ，
由题意得： 需同时满足： ，故 ，
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所以 ，
得 ，所以 .
【小问 2 详解】
由题意 需同时满足： ，
令 ，
函数 有 ，函数 ，有 ，
令 ，所以 得
，
因为 ，所以 无解，
故函数 与 不存在“ 点”；
【小问 3 详解】
对任意的 ，存在 ，使得函数 和 在区间 内存在“ 点”.
设 ， ，则 ， ，
函数 与 在区间 内存在“ 点”，
则 且需同时满足： ，即 ，
得： 且 ，
联立得： ，
因为 ，
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所以 ，
由 得： ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
此时 ，当 ，所以 ，
当 ，设 ， ，
故 在 为增函数，且 ，而 时， ，
故对于任意 ，总存在 ，使得 ，
令 ，
求导得 ，
，
故函数 在 单调递增，故 ，
所以存在 满足题意；
所以存在 ，使得函数 和 在区间 内存在“ 点”.
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