岳阳市2025-2026学年高三3月份模拟考试数学试题（含答案解析）

这是一份岳阳市2025-2026学年高三3月份模拟考试数学试题（含答案解析），共12页。试卷主要包含了若2m＞2n＞1，则，已知复数，则，设全集，集合，，则集合等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）
A．48B．60C．72D．120
2．已知α，β是两平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确命题是（ ）
A．若m⊥α，n//α，则m⊥nB．若m//α，n//α，则m//n
C．若l⊥α，l//β，则α⊥βD．若α//β，lβ，且l//α，则l//β
3．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门｡该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块｡某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（ ）
A．60B．192C．240D．432
4．若2m＞2n＞1，则（ ）
A．B．πm﹣n＞1
C．ln（m﹣n）＞0D．
5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的-一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．2
8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( )
A．B．C．D．
9．设全集，集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
10．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数（），则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
12．设集合（为实数集），，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为双曲线：的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为__________．
14．函数的值域为_________．
15．已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，若，则直线的方程为___________．
16．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线,为椭圆的右顶点. 若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
18．（12分）在平面四边形(图①)中，与均为直角三角形且有公共斜边，设，∠，∠，将沿折起，构成如图②所示的三棱锥，且使=.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为，王慧每次击中鼓的概率为；每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.
（1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？
（2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望.
20．（12分）已知数列的前项和为，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：．
21．（12分）如图，已知四棱锥，平面，底面为矩形，，为的中点，.
（1）求线段的长.
（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.
22．（10分）已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论
【详解】
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
数字出现在第位时，同理也有个
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
故满足条件的不同的五位数的个数是个
故选
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。
2．B
【解析】
根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A选项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性.
【详解】
A．若，则在中存在一条直线，使得，则，又，那么，故正确；
B．若，则或相交或异面，故不正确；
C．若，则存在，使，又，则，故正确．
D．若，且，则或，又由，故正确．
故选：B
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.
3．C
【解析】
四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法．注意按“阅读文章”分类．
【详解】
四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不同的方法数为．
故选：C．
本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法．
4．B
【解析】
根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.
【详解】
若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；
而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确，
故选：B．
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
5．A
【解析】
设椭圆的半长轴长为，双曲线的半长轴长为，根据椭圆和双曲线的定义得： ，解得，然后在中，由余弦定理得：，化简求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为，双曲线的长半轴长为 ，
由椭圆和双曲线的定义得： ，
解得，设，
在中，由余弦定理得： ，
化简得，
即.
故选：A
本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．B
【解析】
因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；
对B满足函数定义，故符合；
对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；
对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．
故选B．
7．C
【解析】
根据复数模的性质即可求解.
【详解】
,
,
故选：C
本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.
8．D
【解析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.
【详解】
根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.
故选：D
本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.
9．C
【解析】
∵集合，，
∴
点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.
10．D
【解析】
把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．
【详解】
3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．
故选：D.
本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．
11．B
【解析】
利用换元法化简解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得的取值范围，由此求得的值域.
【详解】
因为（），所以，令（），则（），函数的对称轴方程为，所以，，所以，所以的值域为.
故选：B
本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.
12．A
【解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得.
【详解】
集合,,
所以
所以
故选:A
本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由点，关于直线对称，得到直线的斜率，再根据直线过点，可求出直线方程，又，中点在直线上，代入直线的方程，化简整理，即可求出结果.
【详解】
因为为双曲线：的左焦点，所以，又点，关于直线对称，，所以可得直线的方程为，又，中点在直线上，所以，整理得，又，所以，
故，解得，因为，所以.
故答案为
本题主要考查双曲线的简单性质，先由两点对称，求出直线斜率，再由焦点坐标求出直线方程，根据中点在直线上，即可求出结果，属于常考题型.
14．
【解析】
利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．
【详解】
由题意，可得，
令，，即，
则，
当时，，当时，，
即在为增函数，在为减函数，
又，，，
故函数的值域为：．
本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．
15．
【解析】
设直线l的方程为，，联立直线l与抛物线C的方程，得到A，B点横坐标的关系式，代入到中，解出t的值，即可求得直线l的方程
【详解】
设直线．
由题设得，故，
由题设可得．
由可得，
则，
从而，得，
所以l的方程为,
故答案为：
本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.
16．6 12π﹣9
【解析】
过作，交于，先求得圆心角的弧度数，然后解解三角形求得的长.利用扇形面积减去三角形的面积，求得弧田的面积.
【详解】
∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分.
∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，
∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，
∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．
故答案为：6，12π﹣9．
本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）定值为0.
【解析】
（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c，再根据离心率得，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.
【详解】
（1）因为直线过椭圆的右焦点,所以，
因为离心率为，所以，
（2），设直线，
则
因此
由得，
所以，
因此
即
本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.
18．（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）取AB的中点O，连接，证得，从而证得C′O⊥平面ABD，再结合面面垂直的判定定理，即可证得平面⊥平面；
（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
(1)取AB的中点O，连接，，
在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，则=DO=1，
又C′D= ，所以，即⊥OD，
又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，
又C′O⊂平面，所以平面⊥平面DAB
（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)， ，
所以，，，
设平面的法向量为=()，
则， 即，代入坐标得，
令，得，，所以，
设平面的法向量为=（），
则， 即， 代入坐标得，
令，得，，所以，
所以，
所以二面角A-C′D-B的余弦值为.
本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19．（1）（2）详见解析
【解析】
（1）要积分超过分，则需两人共击中次，或者击中次，由此利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）求得的所有可能取值，根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】
（1）由题意，当家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，所以要想领取一台全自动洗衣机，则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件为“张明第次击中”，事件为“王慧第次击中”，，由事件的独立性和互斥性可得（张明和王慧家庭至少击中三次鼓）
，所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是.
（2）的所有可能的取值为－200，－50，100，250，400.
，
，
，
，
.
∴的分布列为
∴（分）
本小题考查概率，分布列，数学期望等概率与统计的基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数据处理，应用意识.
20．（Ⅰ），．（Ⅱ）见解析
【解析】
（1）由，分和两种情况，即可求得数列的通项公式；
（2）由题，得，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案.
【详解】
（Ⅰ）解：由题，得
当时，，得；
当时，，整理，得．
数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
，；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，
故
．
故得证．
本题主要考查根据的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.
21．（1）的长为4（2）
【解析】
（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，根据向量垂直关系计算得到答案.
（2）计算平面的法向量为，为平面的一个法向量，再计算向量夹角得到答案.
【详解】
（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
所以.，因为，所以，
即，解得，所以的长为4.
（2）因为，所以，又，
故.
设为平面的法向量，则即
取，解得，
所以为平面的一个法向量.
显然，为平面的一个法向量，
则，
据图可知，二面角的余弦值为.
本题考查了立体几何中的线段长度，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
22．（1）（2）
【解析】
（1）由抛物线定义可知，解得，故抛物线的方程为；
（2）设直线：，联立，利用韦达定理算出的中点，又，所以直线的方程为，
求出，利用求解即可.
【详解】
（1）设的准线为，过作于，则由抛物线定义，得，
因为到的距离比到轴的距离大1，所以，解得，
所以的方程为
（2）由题意，设直线方程为，
由消去，得，
设，，则，
所以，
又因为为的中点，点的坐标为，
直线的方程为，
令，得，点的坐标为，
所以，
解得，所以直线的斜率为.
本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的运算求解能力.涉及抛物线的弦的中点，斜率问题时，可采用韦达定理或“点差法”求解.
－200
－50
100
250
400