2026八年级数学下学期第一次学情自测 培优卷（新教材人教版，举一反三，测试范围：第19章 二次根式~第20章 勾股定理）

这是一份2026八年级数学下学期第一次学情自测 培优卷（新教材人教版，举一反三，测试范围：第19章 二次根式~第20章 勾股定理），共10页。
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．(−3)2=−3B．232=6
C．2+3=5D．3×2=6
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算性质，需根据二次根式的化简、乘方、加减、乘法法则逐一判断选项．
【详解】解：∵−32=9=3，∴A选项错误．
∵232=12，∴B选项错误．
∵2与3是不同的最简二次根式，不能合并为5，∴C选项错误．
∵3×2=6，∴D选项正确．
2．（24-25八年级下·江苏南通·月考）若□，4，5是一组勾股数，则□的数为（ ）
A．2B．3C．6D．7
【答案】B
【分析】本题考查了勾股数的定义．
分“□”为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可．
【详解】解：当□为直角边时，□=52−42=3，是正整数，符合题意，
当□为斜边时，□=42+52=41，不是正整数，不符合题意，
故选：B．
3．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．4B．23C．0.3D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．
根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可．
【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
对于A选项：4=22=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
对于B选项：23的被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于C选项：0.3=310，被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于D选项：5的被开方数不含分母，且5不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
故选：D．
4．（24-25八年级下·云南德宏·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+32=（10−x）2B．x2+32=102
C．10−x2+32=x2D．(10−x)2+x2=32
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：10−x2=x2+32
故选：A．
5．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列式子不是x−y的有理化因式的是（ ）
A．x+yB．xx+xyC．x+yD．12x+12y
【答案】C
【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式．注意选项C的乘积仍保留根式结构．
有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式．通过计算各选项与 x−y 的乘积，判断是否含根式．
【详解】∵ 有理化因式应使乘积不含根式，
A．x−yx+y=x−y，不含根式；
B．x−yxx+xy=xx−yx+y=xx−y，不含根式；
C．x−yx+y=xx+y−yx+y，仍含根式；
D．x−y12x+12y=12x−y，不含根式．
∴ 选项C不是有理化因式．
故选：C．
6．（2025·吉林长春·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6．点E、F分别是边AC、AB上的点，连结EF，将△AEF沿EF翻折，使得点A的对称点落在边BC的中点D处，则DE的长为（ ）

A．258B．259C．3D．2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解．
【详解】解：∵点D是边BC的中点，
∴CD=12BC=12×6=3，
由翻折的性质得，DE=AE，
设DE=AE=a，则CE=AC−AE=4−a，
∵在Rt△CDE中，CE2+CD2=DE2，
∴4−a2+32=a2，
解得：a=258，
∴DE=258．
故选：A．
7．（2024·云南曲靖·模拟预测）设n 为正整数且n