河南省郑州市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷含解析（word版）

这是一份河南省郑州市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷含解析（word版），共10页。试卷主要包含了 考试时间等内容，欢迎下载使用。
说明:
1. 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，满分 150 分。
2. 考试时间:120 分钟。
3. 将第I卷的答案代表字母填(涂)在答题卡上。
第I卷 (选择题，共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在复平面内,复数 z 对应的点的坐标是 1,2 ,则 z= ( )
A. 1+2i B. −2+i C. 1−2i D. −2−i
2. 化简 AB−AD+BC 的结果为( )
A. CD B. 0 C. DC D. BD
3. 下列说法中，错误的是( )
A. 若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l//α
B. 有两个面平行, 其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱
C. 梯形可确定一个平面
D. 连接圆锥顶点与下底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线
4. 如图,在测量河对岸的塔高 AB 时,测量者选取了与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点 C 与 D ,并测得 ∠BDC=120∘ ， ∠BCD=15∘,CD=20 米,在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30∘ , 则塔高 AB= ( )
A. 106 米 B. 10 米 C. 102 米 D. 11米
5. 已知在 △ABC 中， BC=1 ， CA=3 ， AB=2 ，则 BC⋅CA+CA⋅AB+AB⋅BC= ( )
A. 4 B. -4 C. −23 D. 23
6. 如图是一个正方体的展开图, 如果将它还原为正方体, 下列命题正确的是( )
A. AB 与 HG 相交
B. AB 与 EF 平行
C. HE 与 CD 共面
D. EF 与 CD 异面
7. 在 △ABC 中, a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边,若 S△ABC=34a2+b2−c2 且ABAB+ACAC⋅BC=0 ,则 △ABC 的形状是( )
A. 有一个角是 π6 的等腰三角形 B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形
8. 如图, 将正四棱台切割成九个部分, 其中一个部分为长方体, 四个部分为直三棱柱, 四个部分为四棱锥. 已知每个直三棱柱的体积为 3 , 每个四棱锥的体积为 2 , 则该正四棱台的体积为 ( )
A. 16 B. 22C. 26 D. 28
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 b=8,A=30∘ ,若满足条件的 △ABC 是唯一的,则 a 的值可以是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
10. 已知 i 为虚数单位,则下列选项中错误的是( )
A. 复数 m2+3m−4+m−1i 是纯虚数,则 m=−4
B. 若 z1−z2>0 ,则 z1>z2
C. 若 z=1 ，则 z+1+i 的最大值为 2+1
D. 若 z1=z2 ,则 z12=z22
11. 已知平面向量 a,b,c 满足 a=2,b=4,b⋅a−b=−12,a−c⋅b−c=0 , 则下列说法正确的为( )
A. a−b⊥a B. c 最大值为 7+3
C. a−tbt∈R 最小值为 32 D. sin⟨a+b,c⟩∈0,217
第II卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 如图,水平放置的 △ABC 的斜二测直观图为 △A′B′C′ , 已知 A′O′=B′O′=1,C′O′=3 ,则 △ABC 的周长为_____

13. 已知向量 a=1,1 ，向量 b=4,−3 ，则向量 b 在向量 a 上的投影向量的坐标为_____
14. 已知 △ABC 中内角 A、B、C 满足 sin2A+sin2B+sin2C=23sinAsinBsinC ,若在边 AB,BC,CA 上各取一点 M、N、P ,满足 MN=23,MP=4,∠PMN=30∘ , 则 △ABC 的面积的最大值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或验 算步骤。
15. 已知复数 z 满足 z1−i=3i .
(1)求 z ；
(2)若 z 是方程 x2+ax+b=0a∈R,b∈R 的一个根，求 a−b 的值.
16. 已知向量 a=1,2,b=2,−1 .
(1)若 c=15 ，且 2a+c⊥c ，求向量 a 与向量 c 的夹角；
(2)若 c=10 ，且 2a+b//c ，求向量 c 的坐标.
17. 如图, AB 是圆柱底面圆的直径且 AB=2,PA 是圆柱的母线且 PA=2 ,点 C 是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积;
(2)若 AC=1,D 是 PB 的中点，点 E 在线段 PA 上， 求 CE+ED 的最小值.
18. 如图 1 所示,在 △ABC 中,点 D 在线段 BC 上,满足 3CD=DB,G 是线段 AB 上的点,且满足 AG=GB ,线段 CG 与线段 AD 交于点 O .
(1)若 AD=xAB+yAC ，求实数 x,y 的值；
(2)若 AO=tAD ，求实数 t 的值；
(3)如图2，过点 O 的直线与边 AB,AC 分别交于点 E 、 F ，且 AE=λAB ， AF=μAC,λ,μ∈0,1 ,设 △AEF 的面积为 S1 ,四边形 BEFC 的面积为 S2 ,求 S2S1 的取值范围.
19. 在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 若 3bsinC+3csinB=4asinBsinC,2bsinB+2csinC=bc+3a .
(1)求角 A 的大小；
(2)求边 a 的值；
(3)角 A 的角平分线 AD 与边 BC 交于点 D ，求角平分线 AD 长度的取值范围.