广东省江门市2026届高三下学期4月高考适应性测试 数学试卷（含解析）

这是一份广东省江门市2026届高三下学期4月高考适应性测试 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（ ）
A．B．2C．D．5
2．已知两个单位向量，的夹角为，则（ ）
A．0B．C．D．
3．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格：
由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（ ）
A．B．C．D．
5．若直线，的倾斜角分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
8．若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．若曲线关于点对称，则的解析式可以为（ ）
A．B．C．D．
10．若正方体外接球的球心为，且，分别为棱，的中点，则（ ）
A．B．二面角的正切值为
C．平面D．为四面体外接球的球心
11．若函数的定义域为，，且，，，则（ ）
A．B．，
C．为奇函数D．当时，
三、填空题
12．若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______．
13．甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这6个景点中选2个游玩，则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为______．
14．正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，过点，，的平面分别交直线，于点，，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为______．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，正三角形所在平面与矩形所在平面垂直．
(1)在答题卡中，作出四棱锥的高，并说明理由；
(2)若，且，，求与平面所成角的正弦值．
16．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围．
17．某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立．
(1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率．
(2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值．
(3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由．
18．已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心．
(1)求圆的标准方程．
(2)设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于．
(3)为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值．
19．若数列满足，则称为“-拟等差数列”；若数列满足，则称为“-拟等比数列”．
(1)若数列既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且，求的通项公式．
(2)已知，，，数列是“-拟等比数列”，的前项和为．
（i）证明：存在，使得是“-拟等差数列”．
（ii）证明：．
直径/mm
46
47
48
49
50
51
52
53
54
频数
5
8
12
15
20
18
12
6
4
参考答案
1．C
【详解】由已知，在复平面内对应的点分别为，，
所以
所以．
2．D
【详解】依题意可得．
3．D
【详解】集合，，
当时，，满足，因此，
当时，由，得，解得，
所以的取值范围是.
4．C
【详解】因为被抽检的零件中，直径小于或等于的零件共有个，
且，
所以这个零件的直径的第百分位数为．
5．A
【详解】依题意，直线的斜率，
所以直线的斜率.
6．B
【详解】当时，，则，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数的取值范围为．
作出的大致图象，如图所示．
由，得，
由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点，
即恰有2个零点．
所以的取值范围是.
7．C
【详解】（方法一）由，可得，
因为，，所以，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为13．
（方法二）由，可得，因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为13．
8．B
【详解】在中，，，
由余弦定理得，则，
整理得，由点在双曲线上，得双曲线的方程为，
所以双曲线的离心率.
9．ACD
【详解】依题意，，
由正弦函数、余弦函数的性质得的图象都关于点对称；
而，因此的图象关于点不对称.
10．BC
【详解】设正方体棱长为，以为原点建立空间直角坐标系.
各点坐标为，，,，
，，，,，
可得，
,，A错误.
,.
设平面的一个法向量为，则,
令，则，同理可得平面的一个法向量.
设二面角对应的平面角为，
则，所以，则.
由题可知为钝角，所以，B正确.
由题意得，，
而平面，平面,平面，C正确.
由题意得，
因为，
所以到四面体各顶点距离不全相等，不是四面体外接球球心，D错误.
11．ACD
【详解】对于A，令，得，A正确．
对于B，令，，得，因为，
所以，令，得，
即存在使得，B错误．
对于C，令，得，用替换可得，
所以，
当时，，又因为，
所以为奇函数，设，
则，
所以为奇函数，C正确．
对于D，因为，
由选项C知，同理，又为奇函数，
所以，
用替换，替换可得，
同理可得，
故当时，，D正确．
12．
【详解】由椭圆方程的特征可知，
所以方程，可化为，
因为的焦点在轴上，所以，
所以，
故的取值范围是.
13．125
【详解】甲、乙两名游客各自从指定的个景点中选2个游玩的选法种数为，
甲、乙两名游客各自从除广州塔外的个景点中选2个游玩的选法种数为，
所以甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为．
14．/
【详解】如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接，
延长与的延长线交于点，连接，交于点，连接，．
因为，，，
所以，所以．，
同理可得．
三棱柱和三棱锥的公共部分为几何体，
其体积为三棱台的体积和三棱锥的体积之差，
即．
15．(1)，理由见解析；
(2).
【详解】（1）取的中点，连接，则是四棱锥的高.
由是正三角形，是线段的中点，得，而平面平面，
平面平面，平面，则平面，
所以是四棱锥的高.
（2）取中点，连接，由（1）得直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
，设平面的法向量，
则，取，得，
因此，
所以与平面所成角的正弦值为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）函数的导函数，
则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）．
由，得，
设，，则．
．
令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增．
所以，
故的取值范围为．
17．(1)0.93；
(2)11；
(3)他愿意购买“准时保”.
【详解】（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”，
依题意，，，
由全概率公式得，
所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93.
（2）依题意，的所有可能取值为，，
则，由的方差大于，得，
解得，所以的最小值为11.
（3）他愿意购买“准时保”.
设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为，
，，
显然，即亏损期望不超过元，
所以他愿意购买“准时保”.
18．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）设圆的半径为，
圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，则圆心，
由抛物线经过圆心，
得，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）由，得，
即，则，
而，因此，
所以两点到轴的距离均不小于.
（3）抛物线的焦点为，设，
由抛物线定义得，
则，
同理，
因此
，
设直线的方程为，
由，得，
，则，，
因此，
所以当时，取得最小值.
19．(1)或；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【详解】（1）因为是“2-拟等差数列”，所以，则是等差数列，设的公差为.
又是“4-拟等比数列”，所以，
即，即.
当时，由，得；
当时，由，得.
（2）（i）由“-拟等比数列”的定义，取，得，
即，得，所以.
由可得，
即，即.
所以是常数列，，即，即是“-拟等差数列”.
（ii）由，得，
可知是等比数列，首项为，公比为，故.
当为奇数时，；
当为偶数时，.
所以当为奇数时，；
当为偶数时，.
设，则.
当时，，则在区间上单调递减；
当时，，则在区间上单调递增.
所以，即，当且仅当时，等号成立.
取，其中，则有，即，即，
则.
当为奇数时，.
当为偶数时，.
综上，.