2026届广东省汕头市潮阳区高三第二次调研数学试卷含解析

这是一份2026届广东省汕头市潮阳区高三第二次调研数学试卷含解析，共9页。试卷主要包含了若集合，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知实数，则的大小关系是( )
A．B．C．D．
4．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影为，则等于（ ）
A．2B．1C．D．0
6．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．6
7．已知函数且的图象恒过定点，则函数图象以点为对称中心的充要条件是( )
A．B．
C．D．
8．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A．
B．
C．
D．
11．网络是一种先进的高频传输技术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）
A．2020年6月B．2020年7月C．2020年8月D．2020年9月
12．双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于( )
A．B．2
C．3D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面区域的外接圆的方程是____________.
14．已知平面向量与的夹角为，，，则________.
15．如图，在矩形中，，是的中点，将，分别沿折起，使得平面平面，平面平面，则所得几何体的外接球的体积为__________.
16．如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于另一点为等腰直角三角形，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围.
18．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且.
（1）求角的值；
（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.
19．（12分）已知函数
（1）已知直线：，：.若直线与关于对称，又函数在处的切线与垂直，求实数的值；
（2）若函数，则当，时，求证：
①；
②.
20．（12分）2019年6月，国内的运营牌照开始发放.从到，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：
我们将大学生升级时间的早晚与大学生愿意为套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的）.
（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到的概率；
（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以表示这2人中愿意为升级多支付10元或10元以上的人数，求的分布列和数学期望；
（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.
21．（12分）已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数的值域为A，且，求a的取值范围.
22．（10分）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点.
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.
【详解】
已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），
=，
=，
因为，
所以f（x）的最小值为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
2、C
【解析】
由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.
【详解】
解：由题意知：，，设，则
在中，列勾股方程得：，解得
所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为
故选C.
【点睛】
本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.
3、B
【解析】
根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．
【详解】
解：∵，
∴，，．
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4、C
【解析】
令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】
令，则，，，，
，因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
5、B
【解析】
先求出，再利用投影公式求解即可.
【详解】
解：由已知得，
由在方向上的投影为，得，
则.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题.
6、C
【解析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，
则，，设
由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
，
则

当且仅当时，取等号.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.
7、A
【解析】
由题可得出的坐标为，再利用点对称的性质，即可求出和.
【详解】
根据题意，，所以点的坐标为，
又 ，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.
8、A
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
【详解】
抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，
又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．
9、A
【解析】
先确定集合中的元素，然后由交集定义求解．
【详解】
，.
故选：A．
【点睛】
本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．
10、B
【解析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．
【详解】
因为该程序图是计算值的一个程序框圈
所以共循环了5次
所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，
即判断框内的不等式应为或
所以选C
【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．
11、C
【解析】
根据图形，计算出，然后解不等式即可.
【详解】
解：，
点在直线上
，
令
因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，
故选：C
【点睛】
考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.
12、A
【解析】
由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.
【详解】
双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝.
答案：A
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
作出平面区域，可知平面区域为三角形，求出三角形的三个顶点坐标，设三角形的外接圆方程为，将三角形三个顶点坐标代入圆的一般方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程.
【详解】
作出不等式组所表示的平面区域如下图所示：
由图可知，平面区域为，联立，解得，则点，
同理可得点、，
设的外接圆方程为，
由题意可得，解得，，，
因此，所求圆的方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了一元二次不等式组所表示的平面区域的求作，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题.
14、
【解析】
根据已知求出，利用向量的运算律，求出即可.
【详解】
由可得，
则，
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.
15、
【解析】
根据题意，画出空间几何体，设的中点分别为，并连接，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体的外接球的球心为，即可求得其外接球的体积.
【详解】
由题可得，，均为等腰直角三角形，如图所示，
设的中点分别为，
连接，
则，.
因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，
易得，
则几何体的外接球的球心为，半径，
所以几何体的外接球的体积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.
16、1
【解析】
试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，
．
故答案为1．
考点：正弦定理的应用．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由题意可知：由，求得点坐标，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，由韦达定理，由，由为锐角，则，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线斜率的取值范围．
【详解】
解：（Ⅰ）根据题意是等腰直角三角形
，
，
设由
得
则
代入椭圆方程得
椭圆的方程为
（Ⅱ）根据题意，直线的斜率存在，可设方程为
设
由得
由直线与椭圆有两个不同的交点则
即
得
又
为锐角则
即
②
由①②得或
故直线斜率可取值范围是
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
18、 (1) .(2) .
【解析】
（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；
（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意知，∴，
由余弦定理可知，，
又∵，∴.
（2）由正弦定理可知，，即
∴
，
又∵为锐角三角形，∴，即，
则，所以，
综上的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
19、（1）（2）①证明见解析②证明见解析
【解析】
（1）首先根据直线关于直线对称的直线的求法，求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程，解方程求得的值.
（2）
①构造函数，利用的导函数证得当时，，由此证得.
②由①知成立，整理得成立.利用构造函数法证得，由此得到，即，化简后得到.
【详解】
（1）由解得
必过与的交点.
在上取点，易得点关于对称的点为，
即为直线，所以的方程为，即，其斜率为.
又因为，所以，，
由题意，解得.
（2）因为，所以.
①令，则，
则，
且，，
时，，单调递减；
时，，单调递增.
因为，所以，因为，
所以存在，使时，，单调递增；
时，，单调递减；时，，单调递增.
又，所以时，，即，
所以，即成立.
②由①知成立，即有成立.
令，即.所以时，，
单调递增；
时，，单调递减，所以，即，
因为，所以，所以时，，
即时，.
【点睛】
本小题考查函数图象的对称性，利用导数求切线的斜率，利用导数证明不等式等基础知识；考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想，数形结合思想和应用意识.
20、（1）（2）详见解析（3）事件虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析
【解析】
（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）由题意的所有可能值为，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
（3）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐”，得到七概率为，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即.
（2）由题意的所有可能值为，
记事件为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，
事件为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，
由题意可知，事件，相互独立，且，，
所以，
，
，
所以的分布列为
故的数学期望.
（3）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐”，那么.
回答一：事件虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.
回答二：事件发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.
【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
21、（1）或（2）
【解析】
（1）分类讨论去绝对值即可；
（2）根据条件分a＜﹣3和a≥﹣3两种情况，由[﹣2，1]⊆A建立关于a的不等式，然后求出a的取值范围.
【详解】
（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|x+1|.
∵f（x）≤|2x+1|﹣1，∴当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣x﹣1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1；
当时，原不等式可化为x+1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1，此时不等式无解；
当时，原不等式可化为x+1≤2x，∴x≥1，
综上，原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}.
（2）当a＜﹣3时，，
∴函数g（x）的值域A＝{x|3+a≤x≤﹣a﹣3}.
∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≤﹣5；
当a≥﹣3时，，
∴函数g（x）的值域A＝{x|﹣a﹣3≤x≤3+a}.
∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≥﹣1，
综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法和利用集合间的关于求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题.
22、（1）；（2）或
【解析】
（1）根据的周长为，结合离心率，求出，即可求出方程；
（2）设，则，求出直线方程，若斜率不存在，求出坐标，直接验证是否满足题意，若斜率存在，求出其方程，与直线方程联立，求出点坐标，根据和三点共线，将点坐标用表示，坐标代入椭圆方程，即可求解.
【详解】
（1）因为椭圆的离心率为，的周长为6，
设椭圆的焦距为，则
解得，，，
所以椭圆方程为.
（2）设，则，且，
所以的方程为①.
若，则的方程为②，由对称性不妨令点在轴上方，
则，，联立①，②解得即.
的方程为，代入椭圆方程得
，整理得，
或，.
，不符合条件.
若，则的方程为，
即③.
联立①，③可解得所以.
因为，设
所以，即.
又因为位于轴异侧，所以.
因为三点共线，即应与共线，
所以，即，
所以，又，
所以，解得，所以，
所以点的坐标为或.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.
用户分类
预计升级到的时段
人数
早期体验用户
2019年8月至2019年12月
270人
中期跟随用户
2020年1月至2021年12月
530人
后期用户
2022年1月及以后
200人
0
1
2
0.18
0.49
0.33