广东省汕头市潮阳实验学校等校2026年高中毕业班三月份调研考试 数学试题

这是一份广东省汕头市潮阳实验学校等校2026年高中毕业班三月份调研考试 数学试题，共9页。试卷主要包含了 考生必须保持答题卡的整洁， 若双曲线 E等内容，欢迎下载使用。
注意事项:1. 答题前，考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上. 用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应的位置上. 将条形码横贴在每张答题卡的“条形码粘贴处”.
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知 z=3+4i1−i ,则 z 的值为( )
A. 5 B. 522 C. 52 D. 52
2. 已知集合 A=x∣x2−4≥0,B=x x−3x+2≥0 ，若 P=A∩B ，则 ∁RP 为( )
A. {x∣−2≤x0 存在以 3a,a 为中点的弦,则离心率的取值范围是 ( )
A. 0,154∪113,+∞ B. 1,103∪113,+∞
C. 1,103∪324,+∞ D. 1,113∪334,+∞
7. M−3,2 为平面直角坐标系 xOy 中一点,直线的方程为 l:ax+y+a=0a∈R ,过点 M 作 l 的垂线,垂足为 Q ,记 Q 点的轨迹为曲线 E ,过直线 x+y−4=0 上任意一点 P 作 E 的两条切线,切点分别为 A、B ,则 ∠APB 正弦值的最大值为 ( )
A. 25 B. 215 C. 32110 D. 42125
8. 对于任意的 x∈32,4 ,都有 ax2+b−1x+4a≥0 和 ax2+b−5x+4a≤0 恒成立,其中 a,b 为实数. 则 a+2a+b+20 的取值范围是( )
A. 17,37 B. 25,35 C. 17,45 D. 21,45
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, ABCD 为正方体下底面, AB=2.P 为平面 A1BC1 内一动点， B1P=2 ，则( )
A. B1D⊥ 平面 A1BC1
B. 连接 B1D 交平面 A1BC1 于点 Q ,则 PQ=63
C. 若 S 为平面 A1BC1 内另一动点,则 AS+CS 的最小值为 30
D. 四面体 P−A1BB1 体积最大值为 89
10. 已知 fx=x3−3x2+3x ,则下列说法不正确的是 ( )
A. fx 在定义域内单调递增
B. fx 的对称中心为 1,0
C. 已知 x1,x2 为方程 ax2+4x+b=0 的两个根， x1≠x2 且 fx1+fx2>2 ，则 a 的取值范围为 −2,+∞
D. 若 f3m+2n+f3m−4mn=2 ,则 12m−1+12n−3 的最小值为 2m>12,n>32
11. 点 Px0,y0 是曲线 E:3x2−y2=3 的右支上一点,过点 P 作 E 的切线,切线与 x 轴交于点 Q ,且切线与 E 的两渐近线分别交于 A、B 两点,则 ( )
A. 点 P 与坐标原点的距离为 OA−OB2+OA⋅OB2
B. PQ2=PF12−F1Q⋅F2Q
C. 若 PF1⋅PF2=16−PF22 ,则 F1Q=PQ
D. 若 sin2∠F1F2P+sin2∠F1PF2=sin2∠PF1F2 ,则 PF1⋅PF2>OA⋅OB ,且满足条件的点 P 有 2 个不同位置
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 抽奖箱中共 6 个球, 这 6 个球的形状、大小完全相同, 每个球上面分别标有数字 1, 2,
3, 4, 5, 6 中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球 (不放回)，则两个球之间的数字标号互质的概率为_____.
13. 在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 若 b2−a2=bcsA−acsB2 ,且三角形 ABC 的周长为 52+1 ，则该三角形面积的最大值为_____.
14. 已知 ax2+bx+c≥0,abc≠0 ,对任意实数 x 恒成立. 若 a1+t−bt+3−c=0 ,则 t 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知在数列 an 中, an+1−an=1,n∈N∗,bn 为等比数列, Sn 为 an 的前 n 项和. b1=a3,S5−a6=b2,b1+b2=4a3.
(1)若 cn=an+bn ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn ；
(2)若 dn=bn−4an⋅n ,求 dn 前 n 项和的最小值.
16. 如图. 四棱锥 P−ABCD 的底面为正方形，平面 PAB⊥ 平面 ABCD ， PA=AB=PB=2 . 设 E 为 CP 的中点.

(1)求平面 PAB 与平面 ABE 夹角的正切值；
(2)设 F 为线段 PB 上一点(含端点)，求 CF 与平面 ABE 所成角的正弦值的范围；
(3)直接写出四棱锥 P−ABCD 的外接球表面积与体积(无需证明).
17. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c . tanC2=sinA2−csA 且 14a2b2−a2+b2−c222=34c2 .
(1)若 D 为 AB 边上靠近点 A 的三等分点， CD=2 ，求 △ABC 面积的最大值；
(2)求 a2+b2ab 的取值范围.
18. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 E 的方程为 y2=2px,T 为 E 上一点， F 为 E 的焦点,过点 F,T 的直线交 E 于另一点 S ( S 不与 T 重合). TS 的最小值为 4 .
(1)求 E 的标准方程；
(2)过点 F 作直线 l 交 E 于 A,B 两点( A 在 B 上方)，点 M 坐标为 2,0 ，延长 AM 交 E 于点 C ,延长 CF 交 E 于点 D ,连接 BD .
(i) 求 △BDF 面积的最小值；
(ii) 当 AC、BD 均不与 x 轴垂直时,设 AC 中点为 P,BD 中点为 Q ，求 cs∠POQ 的取值范围.
19. 若存在有限个 x0 ,使得 f−x0=fx0 ,且 fx 不是偶函数,则称 fx 为 “缺陷偶函数", x0 称为 fx 的偶点.
(1)证明: ℎx=x+x5 为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.
(2)对任意 x,y∈R ,函数 fx,gx 都满足 fx+fy+gx−2gy=x2+y .
①若 y=gxx 是“缺陷偶函数”，证明:函数 Fx=xgx 有 2 个极值点.
②若 g3=2 ，证明:当 x>1 时， gx>12lnx2−1 .
参考数据: ln1+52≈0.481,5≈2.236 .
1. B
∵i2=−1 ,
∴z=3+4i1−i=3+4i1+i1−i1+i=−12+72i,
∴z=−122+722=522 ,故 B 正确.
故选: B.
2. A
解不等式 x2−4≥0 ,得 x≤−2 或 x≥2 ,则 A={x∣x≤−2 或 x≥2} , 解不等式 x−3x+2≥0 ,即 x−3x+2≥0x+2≠0 ,得 xg2−x1 ,
所以 x2>2−x1 ,即 x1+x2>2 ,
又因为 x1,x2 为方程 ax2+4x+b=0 的两个根,
所以 x1+x2=−4a>2 ,当 a>0 时不等式显然不成立,解得 −232 时,
12m−1+12n−3=2n−3+2m−12m−12n−3=2n−3+2m−1≥22n−32m−1=2 ,
当且仅当 2n−3=2m−1 ,即 m=1,n=2 时取等号,
所以 12m−1+12n−3 的最小值为 2, D 说法正确;
故选: BC
11. ACD
如图: 由曲线 E:3x2−y2=3 ,可作图.

先补充一个双曲线切线方程的基本结论: 双曲线上一点 Px0,y0 ,则过点 Px0,y0 的切线方程为 3x0x−y0y=3 .
证明如下: 设过点 Px0,y0 的切线方程为: l:mx+ny=1 ,
联立 l 与 E ,即 3n2−m2x2+2mx−3n2+1=0 ,则有 Δ=4m2+43n2−m23n2+1=03n2−m2≠0 , 即 n2m2−3n2−1=0 ,
当 n=0 时, m=±1 ,符合;
当 n≠0 时, m2−3n2=1 ,此时,联立后的方程可变为 x2−2mx+m2=0 ,即 x0=m ,
又 3x02−y02=3 ，所以 y0=±3n ，又 l 的斜率为 −mn ，当 Px0,y0 在第一象限时，斜率显然为正,则 y0=−3n ,
同理,当 Px0,y0 在其他象限时依然,综上可得: 过点 Px0,y0 的切线方程为 3x0x−y0y=3 .
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,双曲线渐近线方程可表示为 3x2−y2=0 ,
联立 l 与渐近线方程可得 3x2−9x0x−12y02=0 ,即 x2−2x0x+1=0 ;
所以 x1+x2=2x0 ,点 Px0,y0 在 l 上,所以 P 是 AB 中点. 所以 OP=12OA+OB ,
即 OP=OA2+OB2+2OA⋅OB2 ,由渐近线方程可知, ∠AOB=120∘ ,所以
OP=OA−OB2+OA⋅OB2 正确,即 A 对;
对于 B 选项,过 P 作 x 轴垂线于 H ,则
PF12−PQ2=F1H2−QH2=F1H+QHF1H−QH=F1QF1H+QH,
因为 F1H>F2H ,所以 F1H+QH>F2Q ,即 B 错;
对于 C 选项,由双曲线第二定义可知 PF1=ex0+a=2x0+1,PF2=ex0−a=2x0−1 ,其中 e=2,a=1 ,
所以 PF1⋅PF2=16−PF22 ,即 4x02−1=16−4x02−4x0+1 ,解得 x0=33+14 (负解舍去), 由切线方程为 3x0x−y0y=3 知, Q 点坐标为 1x0,0 ,代入计算可得 F1Q=PQ=33+158 , 所以 C 对;
对于 D 选项,因为 sin2∠F1F2P+sin2∠F1PF2=sin2∠PF1F2 ,且
∠F1F2P+∠F1PF2+∠PF1F2=π,
不妨设 ∠F1F2P=α,∠F1PF2=β,∠PF1F2=π−α+β ,
则 sin2α+sin2β=sin2π−α−β=sin2π−2α−2β=−sin2α+2β ,
即 sinα+β+α−β+sinα+β−α−β=−2sinα+βcsα+β ,
即 2sinα+βcsα−β=−2sinα+βcsα+β ,因为 sinα+β>0 ,
所以 csα−β=−csα+β ,即 csαcsβ=0 ,即 ∠F1F2P=α=90∘ ,或
∠F2PF1=β=90∘ ,
由对称性可知满足条件的点 P 有 2 个不同位置;
因为 OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+9x0x1−1x0x2−1y02=x1x2+9x02x1x2−9x0x1+x2+9y02 ,代入 x1+x2=2x0,x1x2=1 ,可得 OA⋅OB=−2 ,
又 OA⋅OB=OAOBcs120∘ ,所以 OAOB=4 ;
当 ∠F1F2P=α=90∘ 时, P2,3,PF1⋅PF2=4x02−1=4×4−1=15>OAOB=4 ;
当 ∠F2PF1=β=90∘ 时, PF12+PF22=4c2 ,代入 PF1=2x0+1,PF2=2x0−1,c=2 可得
PF1=7+1,PF2=7−1,
所以 PF1⋅PF2=7−1=6>OAOB=4 ,所以 D 对.
12. 1115
随机抽出两个球的样本空间 Ω={12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56} , 共 15 个,
两个球之间的数字标号互质的事件 A={12,13,14,15,16,23,25,34,35,45,56} ,共 11 个,
所以两个球之间的数字标号互质的概率为 PA=1115 .
故答案为: 1115
13. 2533+2636
因为 b2−a2=bcsA−acsB2 ,
所以由余弦定理可得 b2−a2=b×b2+c2−a22bc−a×a2+c2−b22ac2 ,
即 b2−a2×4c2=2b2−2a22 ,解得 a2+c2=b2 或 a=b ,
又因为 a+b+c=52+1 ,
当 a2+c2=b2 时, B=π2 ,
由基本不等式可得 a+c+a2+c2≥2ac+2ac=2+2ac ,
当且仅当 a=c 时等号成立,解得 ac≤252 ,
所以该三角形面积 S≤12acsinB=254 ，此时 Smax=254 ；
当 a=b 时,设 a=b=x,p=a+b+c2=52+12 ,则 c=2p−2x ,
由三角形的性质可得 x+x>2p−2xx+2p−2x>x ,解得 p2