2026届广东省清远市清城区高三下学期一模考试数学试题含解析

这是一份2026届广东省清远市清城区高三下学期一模考试数学试题含解析，共9页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，若集合，，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）
A．8年B．9年C．10年D．11年
2．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．在中所对的边分别是，若，则（ ）
A．37B．13C．D．
4．若集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，角的对边分别为，，若，，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝( )．
A．B．C．D．5
7．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( )
A．B．C．D．
8．已知函数满足，设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．、
B．、
C．、
D．、
10．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ）
A．B．C．D．
11．若的展开式中的常数项为-12，则实数的值为（ ）
A．-2B．-3C．2D．3
12．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若在定义域内恒有，则实数的取值范围是__________．
14．有以下四个命题：①在中，的充要条件是；②函数在区间上存在零点的充要条件是；③对于函数，若，则必不是奇函数；④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.
15．在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，则r的取值范围是________．
16．设函数在区间上的值域是，则的取值范围是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中，．
（1）当时，求的值；
（2）当的最小正周期为时，求在上的值域．
18．（12分）已知函数.
（1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点.
（2）若函数在区间上不单调，证明：.
19．（12分）设等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的前项和及使得最小的的值.
20．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求及的值.
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，曲线：（为参数）以原点为极点，轴正半轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）判断点与直线的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线与曲线的两个交点分别为，，求的值.
22．（10分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“极差数列”仍是；
（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.
【详解】
依题意在回归直线上，
，
由，
估计第年维修费用超过15万元.
故选:D.
【点睛】
本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.
2、D
【解析】
求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可.
【详解】
设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，
则 =2，化简得.
∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，
∴ ，解得，
∴椭圆的离心率为．
故选D．
【点睛】
本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．
3、D
【解析】
直接根据余弦定理求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．
4、D
【解析】
由题意，分析即得解
【详解】
由题意，故，
故选：D
【点睛】
本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
5、C
【解析】
由，可得，化简利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面积．
【详解】
解：，，且，
，化为：．
，解得．
．
故选：．
【点睛】
本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6、C
【解析】
试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有a＝－，b＝－1
所以|a＋bi|＝，选C
考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模
7、A
【解析】
利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数.
【详解】
从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果，
由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
8、B
【解析】
结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：若，则，即成立，
若，则由，得，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题．
9、A
【解析】
设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增，
得到，进而变形即可求解.
【详解】
由题意，设，则，
又由，所以，即函数在R上单调递增，
则，即，
变形可得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
10、C
【解析】
画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比.
【详解】
作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为.
故选：
【点睛】
解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.
11、C
【解析】
先研究的展开式的通项，再分中，取和两种情况求解.
【详解】
因为的展开式的通项为，
所以的展开式中的常数项为：，
解得，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12、B
【解析】
求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．
【详解】
由题意,对应点坐标为 ，在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据指数函数与对数函数图象可将原题转化为恒成立问题，凑而可知的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定的取值范围.
【详解】
由指数函数与对数函数图象可知：，
恒成立可转化为恒成立，即恒成立，，即是夹在函数与的图象之间，
的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.
设过原点且与相切的直线与函数相切于点，
则切线斜率，解得：；
设过原点且与相切的直线与函数相切于点，
则切线斜率，解得：；
当时，，又，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.
14、①
【解析】
由三角形的正弦定理和边角关系可判断①；由零点存在定理和二次函数的图象可判断②；
由，结合奇函数的定义，可判断③；由函数图象对称的特点可判断④．
【详解】
解：①在中，，故①正确；
②函数在区间上存在零点，比如在存在零点，
但是，故②错误；
③对于函数，若，满足，
但可能为奇函数，故③错误；
④函数与的图象，可令，即，
即有和的图象关于直线对称，即对称，故④错误．
故答案为：①．
【点睛】
本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题．
15、
【解析】
设圆C1上存在点P（x0，y0），则Q（y0，x0），分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数范围.
【详解】
设圆C1上存在点P（x0，y0）满足题意，点P关于直线x－y＝0的对称点Q（y0，x0），
则，
故只需圆x2＋（y－1）2＝r2与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1有交点即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得.
故答案为：
【点睛】
此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式.
16、.
【解析】
配方求出顶点，作出图像，求出对应的自变量，结合函数图像，即可求解.
【详解】
，顶点为
因为函数的值域是，
令，可得或.
又因为函数图象的对称轴为，
且，所以的取值范围为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）根据，得到函数，然后，直接求解的值；
（2）首先，化简函数，然后，结合周期公式，得到，再结合，及正弦函数的性质解答即可．
【详解】
（1）因为，所以
（2）因为
即
因为，所以
所以
因为
所以
所以当时，．当时，（最大值）
当时，
在是增函数，在是减函数．
的值域是．
【点睛】
本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考查了运算求解能力，属于中档题．
18、（1）为增区间；为减区间.见解析（2）见解析
【解析】
（1）先求得的定义域，然后利用导数求得的单调区间，结合零点存在性定理判断出有唯一零点.
（2）求得的导函数，结合在区间上不单调，证得，通过证明，证得成立.
【详解】
（1）∵函数的定义域为，由，解得为增区间；
由解得为减区间.
下面证明函数只有一个零点：
∵，所以函数在区间内有零点，
∵，函数在区间上没有零点，
故函数只有一个零点.
（2）证明：函数，则
当时，，不符合题意；
当时，令，
则，所以在上单调增函数，而，
又∵区间上不单调，所以存在，使得在上有一个零点，即，所以，
且，即
两边取自然对数，得即，
要证，即证，
先证明：，令，则
∴在上单调递增，即，∴①
在①中令，∴
令∴，即
即，∴.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
19、（1）（2）；时，取得最小值
【解析】
（1）设等差数列的公差为，由，结合已知，联立方程组，即可求得答案.
（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，由及，
得
解得
数列的通项公式为
（2）由（1）知
时，取得最小值.
【点睛】
本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
20、（1）（2）；
【解析】
（1）由代入中计算即可；
（2）由余弦定理可得，所以，由，变形即可得到答案.
【详解】
（1）因为，可得：，
∴，或（舍），∵，
∴.
（2）由余弦定理，
得
所以，
故，
又，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
21、（Ⅰ）点在直线上；见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）直线：，即，所以直线的直角坐标方程为，因为，所以点在直线上；
（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得.
【详解】
（Ⅰ）直线：，即，
所以直线的直角坐标方程为，
因为，
所以点在直线上；
（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），
曲线的普通方程为，
将直线的参数方程代入曲线的普通方程得，
设两根为，，所以，，
故与异号，
所以，
，
所以.
【点睛】
本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题.
22、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
（1）由是递增数列，得，由此能求出的前项和.
（2）推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是.
（3）证当数列是等差数列时，设其公差为，，是一个单调递增数列，从而，，由，，，分类讨论，能证明若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
【详解】
（1）解：∵无穷数列的前项中最大值为，最小值为，，，
是递增数列，∴，
∴的前项和.
（2）证明：∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的“极差数列”仍是
（3）证明：当数列是等差数列时，设其公差为，
，
根据，的定义，得：
，，且两个不等式中至少有一个取等号，
当时，必有，∴，
∴是一个单调递增数列，∴，，
∴，
∴，∴是等差数列，
当时，则必有，∴，
∴是一个单调递减数列，∴，，
∴，
∴.∴是等差数列，
当时，，
∵，中必有一个为0，
根据上式，一个为0，为一个必为0，
∴，，
∴数列是常数数列，则数列是等差数列.
综上，若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
【点睛】
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.