广东省清远市2025-2026学年高三最后一模数学试题（含答案解析）

这是一份广东省清远市2025-2026学年高三最后一模数学试题（含答案解析），共100页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，二项式的展开式中，常数项为，已知圆等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
2．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（ ）
A．B．C．D．大小关系不能确定
5．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为
A．B．C．D．
7．二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．B．80C．D．160
8．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．7D．
11．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，为边上的中线，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为，中位数为n，则_________.
14．已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.
15．若,则=______,=______.
16．已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数.
（1）若恒成立，求整数的最大值；
（2）求证：.
18．（12分）已知函数．
（1）解不等式：；
（2）求证：．
19．（12分）已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值.
20．（12分）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．
（1）求实数的值；
（2）用表示中的最小值，设函数，若函数
为增函数，求实数的取值范围．
21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcsA﹣asinB＝1．
（1）求A；
（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．
22．（10分）在平面直角坐标系xy中，曲线C的方程为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；
（2）设P是椭圆上的动点，求面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.
【详解】
对于选项B, 为 奇函数可判断B错误;
对于选项C,当时, ,可判断C错误;
对于选项D, ,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;
故选:A.
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.
2．A
【解析】
根据排除，，利用极限思想进行排除即可．
【详解】
解：函数的定义域为，恒成立，排除，，
当时，，当，，排除，
故选：．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．
3．D
【解析】
构造函数，令，则，
由可得，
则是区间上的单调递减函数，
且，
当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx0成立的x的取值范围是.
本题选择D选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．
4．B
【解析】
先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得．
【详解】
根据题意，阴影部分的面积的一半为：，
于是此点取自阴影部分的概率为．
又，故．
故选B．
本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题．
5．A
【解析】
根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.
【详解】
由得，
即，即，
因为，所以，
由余弦定理，所以，
由的面积公式得
故选：A
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．B
【解析】
推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．
【详解】
解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个，
基本事件总数，
6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，
∴6和28恰好在同一组的概率．
故选：B．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．A
【解析】
求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果.
【详解】
解：二项式展开式的通式为，
令，解得，
则常数项为.
故选：A.
本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.
8．B
【解析】
由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.
【详解】
点的坐标满足方程，
在圆上，
在坐标满足方程，
在圆上，
则作出两圆的图象如图，
设两圆内公切线为与，
由图可知，
设两圆内公切线方程为，
则，
圆心在内公切线两侧，，
可得，，
化为，，
即，
，
的取值范围，故选B.
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
9．C
【解析】
先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.
【详解】
先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，
如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；
当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，
则，解得.
故选：C.
本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.
10．B
【解析】
试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故的最大值为，故选B．
考点：圆与圆的位置关系及其判定．
【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值．
11．B
【解析】
延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，根据余弦定理可求出，进而可得的面积.
【详解】
解：延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，
则，，，
在中，
则，得，
.
故选：B.
本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.
12．B
【解析】
先利用几何概型的概率计算公式算出，能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到，能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出.
【详解】
因为，都是区间上的均匀随机数，所以有，，若，能与构成锐角三角形三边长，
则，由几何概型的概率计算公式知，
所以.
故选：B.
本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．360
【解析】
先计算第一块小矩形的面积，第二块小矩形的面积，，面积和超过0.5，所以中位数在第二块求解，然后再求得平均数作差即可.
【详解】
第一块小矩形的面积，第二块小矩形的面积，
故；
而，
故.
故答案为：360.
本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.
14．
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长．
【详解】
抛物线E: 的准线为，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得，所以圆心的坐标为，半径为5，则圆心到准线的距离为1，
所以弦长．
本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式．
15．1 0
【解析】
①根据换底公式计算即可得解；
②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.
【详解】
①由题：,
则；
②由①可得：.
故答案为：①1，②0
此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.
16．
【解析】
由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.
【详解】
原问题等价于，
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
综上，满足条件的取值范围为.
故答案为：
本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）整数的最大值为；（2）见解析.
【解析】
（1）将不等式变形为，构造函数，利用导数研究函数的单调性并确定其最值，从而得到正整数的最大值；
（2）根据（1）的结论得到，利用不等式的基本性质可证得结论.
【详解】
（1）由得，
令，，
令，对恒成立，
所以，函数在上单调递增，
，，，，
故存在使得，即，
从而当时，有，，所以，函数在上单调递增；
当时，有，，所以，函数在上单调递减.
所以，，
，因此，整数的最大值为；
（2）由（1）知恒成立，，
令则，
，，，，
上述等式全部相加得，
所以，，
因此，
本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题．
18．（1）； （2）见解析.
【解析】
（1）代入得，分类讨论，解不等式即可；
（2）利用绝对值不等式得性质，，
，比较大小即可.
【详解】
（1）由于，
于是原不等式化为，
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则，解得．
综上所述，不等式解集为．
（2）由已知条件，
对于，可得
．
又，
由于，
所以．
又由于，
于是．
所以．
本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
19．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）由条件可得，再根据离心率可求得，则可得椭圆方程；
（2）当与轴垂直时，设直线的方程为：，与椭圆联立求得的坐标，通过、斜率之积为列方程可得的值，进而可得的面积；当与轴不垂直时，设，，的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理和、斜率之积为可得，再利用弦长公式求出，以及到的距离，通过三角形的面积公式求解.
【详解】
（1）抛物线的焦点为，
，
，，
，，
椭圆方程为；
（2）（ⅰ）当与轴垂直时，设直线的方程为：
代入得：，，
，
解得：，
；
（ⅱ）当与轴不垂直时，设，，的方程为
由，
由①
，
，
，
即
整理得：
代入①得：
到的距离
综上：为定值.
本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.
20．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.
试题解析：
（1）对求导得．
设直线与曲线切于点，则
，解得，
所以的值为1．
（2）记函数，下面考察函数的符号，
对函数求导得．
当时，恒成立．
当时，，
从而．
∴在上恒成立，故在上单调递减．
，∴，
又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．
∴；，，
∴，
从而，
∴，
由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．
①当时，在上恒成立，即在上恒成立，
记，则，
当变化时，变化情况列表如下：
∴，
故“在上恒成立”只需，即．
②当时，，当时，在上恒成立，
综合①②知，当时，函数为增函数．
故实数的取值范围是
考点：函数导数与不等式.
【方法点晴】
函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.
21．（1） ； （2）.
【解析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得sinBcsA﹣sinAsinB＝1，结合sinB＞1，可求tanA＝，结合范围A∈（1，π），可得A的值；（2）由已知可求C＝，可求b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
（1）∵bcsA﹣asinB＝1．
∴由正弦定理可得：sinBcsA﹣sinAsinB＝1，
∵sinB＞1，
∴csA＝sinA，
∴tanA＝，
∵A∈（1，π），
∴A＝；
（2）∵a＝2，B＝，A＝，
∴C＝，根据正弦定理得到
∴b＝6，
∴S△ABC＝ab＝＝6．
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
22．（1），，；（2）.
【解析】
（1）利用公式即可求得曲线的极坐标方程；联立直线和曲线的极坐标方程，即可求得交点坐标；
（2）设出点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得.
【详解】
（1）曲线的极坐标方程：
联立，得，又因为都满足两方程，
故两曲线的交点为，.
（2）易知，直线.
设点，则点到直线的距离
（其中）.
面积的最大值为.
本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用椭圆的参数方程求面积的最值问题，属综合中档题.
3
0
极小值