2026届广东省广州市实验中学高三下学期一模考试数学试题含解析

这是一份2026届广东省广州市实验中学高三下学期一模考试数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数的图象大致为，计算等于，过抛物线等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若θ是第二象限角且sinθ =，则=
A．B．C．D．
2．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是
A．B．
C．D．
3．已知定点，，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
4．记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为( )
A．B．C．D．
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．计算等于( )
A．B．C．D．
7．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出四个命题：
①若，，，则；②若，，则；
③若，，，则；④若，，，则
其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①④D．②④
8．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56B．60C．140D．120
9．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
10．过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.，且在第一象限，则（ ）
A．B．C．D．
11．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）
A．B．6C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数，若把当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为，则_________．
14．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．
15．函数在区间(-∞，1)上递增，则实数a的取值范围是____
16．已知不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是 ；若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是___
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某景点上山共有级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为．为了简便描述问题，我们约定，甲从级台阶开始向上走，一步走一个台阶记分，一步走两个台阶记分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且．
（1）若甲走步时所得分数为，求的分布列和数学期望；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率．
18．（12分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；
（2）已知点是曲线上的任意一点，又直线上有两点和，且，又点的极角为，点的极角为锐角.求：
①点的极角；
②面积的取值范围.
20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），曲线的参数方程是为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）已知射线与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长．
21．（12分）设函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于x的方程有唯一的实数解，求a的取值范围.
22．（10分）已知函数．
（1）当时，解关于x的不等式；
（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由θ是第二象限角且sinθ =知：，．
所以．
2、B
【解析】
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.
【详解】
根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，
得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），
∴b=0，∴a+b=．故选B．
【点睛】
本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．
3、B
【解析】
根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.
【详解】
因为线段的垂直平分线与直线相交于点，如下图所示：
所以有，而是中点，连接，故，
因此
当在如下图所示位置时有，所以有，而是中点，连接,
故，因此，
综上所述：有，所以点的轨迹是双曲线.
故选：B
【点睛】
本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.
4、C
【解析】
据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案．
【详解】
根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示：
的圆及内部的平面区域，面积为，
集合，，表示的平面区域即为图中的，，
根据几何概率的计算公式可得，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．
5、A
【解析】
用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.
【详解】
因为 ,
所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;
因为,故排除,
因为由图象知,排除.
故选:A
【点睛】
本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.
6、A
【解析】
利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.
【详解】
原式.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.
7、D
【解析】
根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④.
【详解】
对于①，若，，，，两平面相交，但不一定垂直，故①错误；
对于②，若，，则，故②正确；
对于③，若，，，当，则与不平行，故③错误；
对于④，若，，，则，故④正确；
故选：D
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.
8、C
【解析】
试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.
考点：频率分布直方图及其应用．
9、B
【解析】
利用等差数列性质，若，则 求出，再利用等差数列前项和公式得
【详解】
解：因为 ，由等差数列性质，若，则得，
．
为数列的前项和，则．
故选：．
【点睛】
本题考查等差数列性质与等差数列前项和.
(1)如果为等差数列，若，则 ．
(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.
10、C
【解析】
作，；，由题意，由二倍角公式即得解.
【详解】
由题意，，准线：，
作，；，
设，
故，，
.
故选：C
【点睛】
本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
11、D
【解析】
如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.
【详解】
如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.
因为，故，
因为，故.
由正弦定理可得，故，又因为，故.
因为，故平面，所以，
因为平面，平面，故，故，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.
故选：D.
【点睛】
本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.
12、D
【解析】
用列举法，通过循环过程直接得出与的值，得到时退出循环,即可求得.
【详解】
执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为.
故选D．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
根据均值的定义计算．
【详解】
由题意，∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查均值的概念，属于基础题．
14、1
【解析】
根据程序框图直接计算得到答案.
【详解】
程序在运行过程中各变量的取值如下所示：
是否继续循环 i x
循环前 1 4
第一圈 是 4 4+2
第二圈 是 7 4+2+8
第三圈 是 10 4+2+8+14
退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
15、
【解析】
根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得的取值范围.
【详解】
由二次函数的性质和复合函数的单调性可得
解得.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.
16、
【解析】
利用绝对值的几何意义，确定出的最小值，然后根据题意即可得到的取值范围
化简不等式，求出 的最大值，然后求出结果
【详解】
的最小值为，则要使不等式的解集不是空集，则有
化简不等式有 ，
即
而
当时满足题意，解得或
所以答案为
【点睛】
本题主要考查的是函数恒成立的问题和绝对值不等式，要注意到绝对值的几何意义，数形结合来解答本题，注意去绝对值时的分类讨论化简
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、见解析
【解析】
（1）由题可得的所有可能取值为，，，，
且，，
，，
所以的分布列为
所以的数学期望．
（2）由题可得，所以，
又，，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（3）由（2）可得
．
18、 (Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.
【详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.
(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.
，，.
故分布列为：
.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.
故的最小值为.
【点睛】
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19、（1）曲线为圆心在原点，半径为2的圆.的极坐标方程为（2）①②
【解析】
（1）求得曲线伸缩变换后所得的参数方程，消参后求得的普通方程，判断出对应的曲线，并将的普通方程转化为极坐标方程.
（2）
①将的极角代入直线的极坐标方程，由此求得点的极径，判断出为等腰三角形，求得直线的普通方程，由此求得，进而求得，从而求得点的极角.
②解法一：利用曲线的参数方程，求得曲线上的点到直线的距离的表达式，结合三角函数的知识求得的最小值和最大值，由此求得面积的取值范围.
解法二：根据曲线表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，进而求得面积的取值范围.
【详解】
（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
因为则曲线的参数方程
所以的普通方程为.所以曲线为圆心在原点，半径为2的圆.
所以的极坐标方程为，即.
（2）①点的极角为，代入直线的极坐标方程得点
极径为，且，所以为等腰三角形，
又直线的普通方程为，
又点的极角为锐角，所以，所以，
所以点的极角为.
②解法1：直线的普通方程为.
曲线上的点到直线的距离
.
当，即（）时，
取到最小值为.
当，即（）时，
取到最大值为.
所以面积的最大值为；
所以面积的最小值为；
故面积的取值范围.
解法2：直线的普通方程为.
因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，
因为，所以圆与直线相离.
所以圆上的点到直线的距离最大值为，
最小值为.
所以面积的最大值为；
所以面积的最小值为；
故面积的取值范围.
【点睛】
本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
20、（1）,；（2） .
【解析】
（1）先把直线和曲线的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程；
（2）联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得，再由面积可解得极角，从而可得．
【详解】
（1）直线的参数方程是为参数），
消去参数得直角坐标方程为：．
转换为极坐标方程为：，即．
曲线的参数方程是（为参数），
转换为直角坐标方程为：，
化为一般式得
化为极坐标方程为：．
（2）由于，得，．
所以，
所以，
由于，所以，
所以．
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
21、（1）当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2）或.
【解析】
（1）求出，对分类讨论，先考虑（或）恒成立的范围，并以此作为的分类标准，若不恒成立，求解，即可得出结论；
（2）有解，即，令，转化求函数只有一个实数解，根据（1）中的结论，即可求解.
【详解】
（1），
当时，恒成立，
当时，，
综上，当时，递增区间时，无递减区间，
当时，递增区间时，递减区间时；
（2），
令，原方程只有一个解，只需只有一个解，
即求只有一个零点时，的取值范围，
由（1）得当时，在单调递增，
且，函数只有一个零点，原方程只有一个解，
当时，由（1）得在出取得极小值，也是最小值，
当时，，此时函数只有一个零点，
原方程只有一个解，
当且
递增区间时，递减区间时；
，当，
有两个零点，
即原方程有两个解，不合题意，
所以的取值范围是或.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到单调性、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题.
22、（1）（2）
【解析】
（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，
由得
由得
解：，得
∴当时，关于的不等式的解集为
（2）①当时，，
所以在上是减函数，在是增函数，所以，
由题设得，解得.②当时，同理求得.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】
本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.