浙江省A9协作体2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省A9协作体2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷， 下列说法中不正确的是等内容，欢迎下载使用。
试题命题：桐乡一中 张珂 审题：知恩中学 叶文辉 桐乡凤鸣高中 王晓燕 校稿：顾国强
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
第I卷
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在复平面内，复数所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】.
则其在复平面内所对应的点的坐标为，
则对应的点在第二象限.
2. 在中，若，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理得，再结合得.
【详解】因为在中，，即，
所以由正弦定理，得，解得，
因为，所以，所以.
3. 已知与的夹角为，则（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】因为与的夹角为，
所以，
所以
4. 如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】D
【解析】
【详解】由，而平面，故A错误；
由，而平面，故B错误；
因为且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，故C错误；
如图所示，连接交于，连接，
所以点是的中点，又点是的中点，
所以，而平面，平面，
所以平面，故D正确.
5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【详解】对于A，，则，相交或异面，故错误；
对于B，，则与的关系可以是平行，相交或，故错误；
对于C，，则，故正确
对于D，如图，满足，不满足，故D错误.
6. 如图，用斜二测画法画出的直观图是，直线垂直于轴，，则在中，点到边的距离是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作轴，交轴于点，结合题意得，再根据斜二测画法的规则得即可得答案.
【详解】如图，过点作轴，交轴于点，
因为直线垂直于轴，，
所以，即为等腰直角三角形，
因为，所以，
所以在原图形中，，，
所以在中，点到边的距离是
7. 已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆锥、圆柱的表面积公式即可求解.
【详解】由底面半径，高，
圆锥母线长，
圆锥表面积：
圆柱表面积： ，
所以 .
8. 已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知分别是的外心与重心，设的中点为，连接，则三点共线，再结合重心，外心的性质得，，最后结合三角形面积公式计算即可.
【详解】因为满足，
所以分别是的外心与重心，即是各边中垂线的交点，是中线的交点，
设的中点为，连接，
因为是的外心，所以
因为，所以三点共线，即是边上的中线，
因为重心在中线上，且，
所以，
因为是中线，，三点共线，
所以，
所以的面积是
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，选对部分选项得部分分，选错不得分）
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是一个单位向量
C. 若，则
D. 若，则与的夹角为钝角
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于A，由于的方向不确定，故A错误；
对于B，若，则的模为1，故B正确；
对于C，当时，此时，但不一定成立，故C错误；
对于D，当与方向相反时，不属于钝角，满足，说明夹角不一定为钝角，故D错误.
10. 在中，角的对边分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为等边三角形
C. 若，则的面积最大值为
D. 若，则满足条件的有两个
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦定理得，进而判断A；利用正弦定理化边为角即可判断B；利用基本不等式、余弦定理可求得的最大值，结合三角形的面积公式可判断C；根据判断D.
【详解】对于A选项，由正弦定理得，
故当时，，又，
所以，故A选项正确；
对于B选项，因为，所以，
所以，且，所以，
所以为等边三角形，故B正确；
对于C选项，因为，，由余弦定理和基本不等式可得
，即，
当且仅当时，等号成立，
故，
所以，的面积的最大值为，故C错误；
对于D选项，因为，，
所以，即满足条件的有2个，如图所示，故D选项正确.
11. 在正四棱台中，，其内切球的半径是2，则下列说法中正确的是（ ）
A. 球的表面积是
B. 直线与直线是异面直线
C. 正四棱台的体积是
D. 直线与平面的夹角是
【答案】AC
【解析】
【分析】直接根据表面积公式计算判断A；根据内切球心在上下底面中心的连线上判断B；分别取的中点，则根据内切球的性质得等腰梯形内切圆与各边都相切，再结合几何关系求得，最后计算体积判断C；根据C求得，再求解直线与平面的夹角判断D.
【详解】对于A，由于内切球的半径是2，故球的表面积是，故A选项正确；
对于B，正四棱台的内切球心在上下底面中心的连线上（即棱台的高上），如图，他们均在平面中，故B选项错误；
对于C，如图，分别取的中点，
则四边形是等腰梯形，且是侧面梯形的高，
因为正四棱台中存在内切球，
所以等腰梯形存在内切圆且上下底的切点为对应中点，
根据内切圆与梯形各边都相切，结合切线长定理知：腰长等于上下底之和的一半，
设，则，，
所以，即，解得，即.
所以正四棱台的体积是，故C选项正确；
对于D，结合C得正四棱台的侧棱满足，即，
设直线与平面的夹角为，则，故D选项错误.
第II卷
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
12. 已知复数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由复数的除法运算即可求解.
【详解】
13. 在平面直角坐标系中，已知点，点，若点在以为直径的圆上，，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意，，再结合向量的垂直关系求解即可.
【详解】因为点，点，点在以为直径的圆上，
所以且，
所以，即，
整理得，解得或，
因为，所以舍去，故
14. 在中，角的对边分别为，若，点满足，则的最大值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，再结合，根据余弦定理得，最后根据基本不等式求解即可.
【详解】如图，因为，点满足，
所以,
所以，，
因为，
所以，即，
代入得，
整理得，即
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以的最大值是.
四､解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 设复数.
（1）若是实数，是纯虚数，求；
（2）若互为共轭复数，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，再求即可；
（2）结合题意得，解方程即可求得答案.
【小问1详解】
解：由是实数知，解得
由是纯虚数知，解得
所以，
【小问2详解】
解：因为，
所以，解得，
故
16. 在锐角中，角的对边分别为.
（1）求；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合正弦定理边化角，根据三角恒等变换得，再结合角的范围即可得答案；
（2）根据正弦定理，结合三角恒等变换得，再结合锐角三角形求得，最后根据三角函数性质即可求得答案.
【小问1详解】
解：因为
所以，根据正弦定理边化角得
即，
所以，
又因为，所以，即
又因为，所以
【小问2详解】
解：因为，，
所以，由得
因为，在锐角中，，所以，
所以，所以
所以周长的取值范围为
17. 如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中，
（1）证明：直线平面；
（2）若，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点为，连接,证明平面平面即可证明结论；
（2）取中点为，连接，证明为二面角A1−DE−C 的平面角，再根据余弦定理求得即可求得答案.
【小问1详解】
证明：取中点为，连接,
因为点为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为在平行四边形中，点为的中点，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面
又，平面
所以平面平面，
又平面，
所以直线平面
【小问2详解】
解：取中点为，连接
因为，中点为
所以，是等边三角形，
所以，即为二面角A1−DE−C 的平面角.
在中，，由余弦定理有：
，
即，解得，
又在中，，在内，.
所以在中，，即为等边三角形，
所以，即二面角的大小为.
18. 如图，在梯形中，，点在上，且与相交于点.
（1）求的值；
（2）若，求；
（3）若点在以点为圆心，2为半径的圆上，求的取值范围.
【答案】（1）6 （2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的定义求解即可；
（2）设，根据三点共线得即可得答案.
（3）由题知，再结合（2）求得，再结合数量积的几何意义得，进而得.
【小问1详解】
解：梯形中，，
所以为等腰梯形，
因为点在上，且，
所以，，
所以.
【小问2详解】
解：设，则
因为三点共线，所以，解得，
所以，即
【小问3详解】
解：
由（2）可得
又
如图，由向量数量积的几何意义知，，即
所以
所以.
19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）若直线与平面的夹角的正切值为，
（i）求四棱锥的体积；
（ii）求三棱锥的外接球的半径.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）设中点为，证明平面即可证明结论；
（2）（i）设中点为，过点作平面，即可证明是直线与平面所成的角，再结合几何关系得，最后计算四棱锥的体积即可.
（ii）根据（1）得点与点关于平面对称，进而根据对称性转化为求三棱锥的外接球半径，设中点为中点为中点为，三棱锥的外接球球心为，半径长为，再结合几何关系即可求得答案.
【小问1详解】
证明：设中点为，则由是等边三角形知
由四边形为矩形得，
又平面平面，平面平面，平面
所以平面，
又平面，所以
又，平面
所以平面.
由点是的中点，得，
所以四点共面，
所以直线平面
【小问2详解】
解：（i）设中点为，
所以DG//BC,DG=12BC ，又因为，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
过点作平面，因为平面平面，
所以点在上.
所以是直线与平面所成的角，
因为是等边三角形，，
所以在中，，，
因为直线与平面的夹角的正切值为
所以在中，tan∠FGH=FHGH=35，所以.
因为四边形为矩形，
所以在中，，即，解得，
所以
因此四棱锥的体积是.
（ii）由（1）知直线平面中点为，
所以，点与点关于平面对称，
所以，三棱锥的外接球与三棱锥的外接球关于平面对称，
接下来求三棱锥的外接球半径.
设中点为中点为中点为，
三棱锥的外接球球心为，半径长为.
则平面ABD,NQ=12AM=12,EQ=FH=32，
，
即，
解得，因此.
所以三棱锥的外接球的半径为