滁州市2025-2026学年高三适应性调研考试数学试题（含答案解析）

这是一份滁州市2025-2026学年高三适应性调研考试数学试题（含答案解析），共4页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是
A．B．
C．D．
3．设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
5．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点（设点位于第一象限），过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线交轴于点，若，则直线的斜率为
A．1B．C．D．
6．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）
A．45B．50C．55D．60
7．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）
A．B．C．D．
8．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.
A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸
10．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（ ）．
A．B．C．4D．9
12．函数且的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，直三棱柱中，，，，P是的中点，则三棱锥的体积为________.
14．若非零向量，满足，，，则______.
15．已知两个单位向量满足，则向量与的夹角为_____________.
16．在边长为2的正三角形中，，则的取值范围为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知向量， .
（1）求的最小正周期；
（2）若的内角的对边分别为，且，求的面积.
18．（12分）设函数.
（1）若恒成立，求整数的最大值；
（2）求证：.
19．（12分）已知，均为正数，且.证明：
（1）；
（2）.
20．（12分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若，求直线l的斜率k.
21．（12分）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点.
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标.
22．（10分）已知，函数的最小值为1．
（1）证明：．
（2）若恒成立，求实数的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
由已知可得，根据二倍角公式即可求解.
【详解】
角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，
终边经过点，则，
.
故选：A.
本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.
2．D
【解析】
先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.
【详解】
因为是偶函数，所以关于直线对称；
因此，由得；
又在上单调递减，则在上单调递增；
所以，当即时，由得，所以，
解得；
当即时，由得，所以，
解得；
因此，的解集是.
本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.
3．C
【解析】
由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.
【详解】
，且，，.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.
4．B
【解析】
求出圆心，代入渐近线方程，找到的关系，即可求解.
【详解】
解：，
一条渐近线
，
故选：B
利用的关系求双曲线的离心率，是基础题.
5．C
【解析】
根据抛物线定义，可得，，
又，所以，所以，
设，则，则，
所以，所以直线的斜率．故选C．
6．D
【解析】
根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数.
【详解】
根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，
∴样本容量（即该班的学生人数）是60（人）.
故选：D.
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题
7．C
【解析】
根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.
【详解】
由题可知，程序框图的运行结果为31，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
此时输出.
故选：C.
本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.
8．D
【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ，由d∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．
【详解】
∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，
∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，
∵d∈[1，2]，λ2是减函数，
∴d＝1时，实数λ取最大值为λ．
故选D．
本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．B
【解析】
试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.
10．B
【解析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.
【详解】
解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，
其和等于16的结果，共2种等可能的结果，
故概率.
故选：B.
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.
11．B
【解析】
根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.
【详解】
根据题意，，则
在中，又,
则
则
则
则
故选：B
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.
12．B
【解析】
先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.
【详解】
由题可知定义域为，
，
是偶函数，关于轴对称，
排除C，D.
又，，
在必有零点，排除A.
故选：B.
本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
证明平面，于是，利用三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】
平面，平面，
，又.
平面，
是的中点，
.
故答案为：
本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题.
14．1
【解析】
根据向量的模长公式以及数量积公式，得出，解方程即可得出答案.
【详解】
，即
解得或（舍）
故答案为：
本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.
15．
【解析】
由得，即得解.
【详解】
由题意可知，则.
解得，所以，
向量与的夹角为.
故答案为：
本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．
【解析】
建立直角坐标系，依题意可求得，而，，，故可得，且，由此构造函数，，利用二次函数的性质即可求得取值范围．
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，设，，，，
根据，即，，，则，
，即，，，则，，
所以，
，
，，，
，且，
故，
设，，易知二次函数的对称轴为，
故函数在，上的最大值为，最小值为，
故的取值范围为．
故答案为：．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）或
【解析】
（1）利用平面向量数量积的坐标运算可得，利用正弦函数的周期性即可求解；（2）由（1）可求，结合范围，可求的值，由余弦定理可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（1）
∴最小正周期 .
（2）由（1）知， ∴
∴， 又
∴或. 解得或
当时，由余弦定理得
即， 解得.
此时.
当时，由余弦定理得.
即，解得.
此时.
本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．
18．（1）整数的最大值为；（2）见解析.
【解析】
（1）将不等式变形为，构造函数，利用导数研究函数的单调性并确定其最值，从而得到正整数的最大值；
（2）根据（1）的结论得到，利用不等式的基本性质可证得结论.
【详解】
（1）由得，
令，，
令，对恒成立，
所以，函数在上单调递增，
，，，，
故存在使得，即，
从而当时，有，，所以，函数在上单调递增；
当时，有，，所以，函数在上单调递减.
所以，，
，因此，整数的最大值为；
（2）由（1）知恒成立，，
令则，
，，，，
上述等式全部相加得，
所以，，
因此，
本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题．
19．（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）由进行变换，得到，两边开方并化简，证得不等式成立.
（2）将化为，然后利用基本不等式，证得不等式成立.
【详解】
（1），两边加上得，即，当且仅当时取等号，
∴.
（2）.
当且仅当时取等号.
本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20．（1）（2）直线l的斜率为或
【解析】
(1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方程;
(2)设直线方程,与椭圆方程联立, 转化为,借助向量的数量积的坐标表示,及韦达定理即可求得结果.
【详解】
（1）由题意得
解得
故椭圆C的方程为.
（2）直线l的方程为，
设，，
则由方程组消去y得，
，
所以，，
由，得，
所以，
又
所以，
即
所以，
因此，直线l的斜率为或.
本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查学生的计算求解能力,难度一般.
21．（1）；（2）或
【解析】
（1）根据的周长为，结合离心率，求出，即可求出方程；
（2）设，则，求出直线方程，若斜率不存在，求出坐标，直接验证是否满足题意，若斜率存在，求出其方程，与直线方程联立，求出点坐标，根据和三点共线，将点坐标用表示，坐标代入椭圆方程，即可求解.
【详解】
（1）因为椭圆的离心率为，的周长为6，
设椭圆的焦距为，则
解得，，，
所以椭圆方程为.
（2）设，则，且，
所以的方程为①.
若，则的方程为②，由对称性不妨令点在轴上方，
则，，联立①，②解得即.
的方程为，代入椭圆方程得
，整理得，
或，.
，不符合条件.
若，则的方程为，
即③.
联立①，③可解得所以.
因为，设
所以，即.
又因为位于轴异侧，所以.
因为三点共线，即应与共线，
所以，即，
所以，又，
所以，解得，所以，
所以点的坐标为或.
本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.
22．（1）2；（2）
【解析】
分析：（1）将转化为分段函数，求函数的最小值
（2）分离参数，利用基本不等式证明即可．
详解：（Ⅰ）证明：
，显然在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，即．
（Ⅱ）因为恒成立，所以恒成立，
当且仅当时，取得最小值，
所以，即实数的最大值为．
点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题．