[数学]安徽省滁州市2024届高三下学期适应性考试试题（解析版）

这是一份[数学]安徽省滁州市2024届高三下学期适应性考试试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，
所以.
故选：D.
2. 若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】因为,所以在复平面内对应的点为,故对应的点在第三象限.
故选:
3. 已知随机变量，若，则的值为（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.6
【答案】B
【解析】由随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为，
又，
∴.
故选：B.
4. 已知为奇函数，且时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】为奇函数，且时，，.
故选：D.
5. 已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（ ）
A. 2B. -2C. 3D. -3
【答案】A
【解析】因为是等比数列，
所以，
则，解得或，
又因为是单调递增的等比数列，
所以，
所以公比.
故选：A.
6. 已知向量，，则下列叙述不正确的是（ ）
A. 若与的夹角为锐角，则B. 若与共线，则
C. 若，则与垂直D. 若，则与的夹角为钝角
【答案】BD
【解析】对A：因为与的夹角为锐角，所以且与不同向，所以，则，故A正确；
对B：因与共线，所以，即，故B不正确；
对C：因为，所以，所以与垂直，故C正确；
对D：因为时，与反向，此时夹角为，故D错误；
故选：BD.
7. 已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，易知，两圆半径分别为，
取点关于横轴的对称点A，则，在横轴上任取一点，连接，
连接交横轴于P，交圆于E(圆上靠近横轴一点)，连接交圆于F(圆上靠近横轴一点)，
则，
当且仅当，，对应重合时等号成立，
此时的最小值为.
故选：D
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
设，则，
在上单调递增，，
即，；
，，
设，则，
在上单调递减，，
即，，即；
综上所述：.
故选：D.
二、选择题
9. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 如果，那么
C. 如果与互斥，那么
D. 如果与相互独立，那么
【答案】BCD
【解析】对于选项A，，故选项A错误；
对于选项B，如果 ， 那么，选项B正确；
对于选项C， 如果与互斥，那么 ， 所以选项C正确；对于选项D，如果与相互独立，那么
，所以选项D正确.
故选：BCD
10. 经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,设，，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 面积的最小值为8
C. 以焦半径为直径的圆与直线相切
D.
【答案】BC
【解析】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，
显然直线的斜率不为0，且可以不存在，此时直线与抛物线必相交，
设直线为，联立方程，消去x得，则，，
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，
原点到直线的距离，
所以面积，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为8，故B正确；
对于选项C：由题意可知：线段的中点，
则到y轴的距离为，
所以以焦半径为直径的圆与直线相切，故C正确；
对于选项D：因为
，
即，故D错误；
故选：BC.
11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若为钝角三角形，则
C. 若，则有两解
D. 若三角形为斜三角形，则
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则，由正弦定理可得，
所以，，A正确；
对于B，若为钝角三角形，假设为钝角，
则，可得，B错误；
对于C，，则，如图：
所以有两解，C正确；
对于D，因为，
所以
因为，
所以，
所以，D正确.
故选：ACD
三、填空题
12. 的展开式中的系数为______（用数字做答）．
【答案】－10
【解析】的展开式的通项公式为，
令，
则的展开式中的系数为，
故答案为：-10
13. 若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________．
【答案】
【解析】依题意，由图象的性质可知，
点到焦点距离的最大值为，最小值为，
所以，化简得，即离心率，
故答案为：.
14. 如图，在直三棱柱中，，点E，F分别是棱，AB上的动点，当最小时，三棱锥外接球的表面积为_______.
【答案】10π
【解析】把平面沿展开到与平面共面的的位置，
延长到，使得，连结，如图1所示，
则，要使得的长度最小，则需，，，四点共线，
此时，
因为，，，
所以，
所以，，
故，，
所以，，，，
所以的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆
如图2，连接，
由于，所以，又
所以，
所以的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆
所以三棱锥外接球的球心为，半径为，故外接球的表面积为．
故答案为：．
四，解答题
15. 在中，角的对边分别为．
（1）求的大小；
（2）若，且边上的中线长为，求的面积．
解：（1），
由余弦定理得，
化简得．
；
（2）由（1）可得①，
又②，
取的中点，连接，
在中，③，
由②③得④，
由①④得，解得或（舍去），
，
.
16. 水果按照果径大小可分为四类：标准果､优质果､精品果､礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取20个，再从抽取的20个水果中随机地抽取2个，用表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
解：（1）设“从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果”为事件，则，
现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则，
故恰好抽到2个礼品果的概率为；
（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取20个，则其中精品果8个，非精品果12个，
现从中抽取2个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，
则，
所以的分布列为：
故的数学期望.
17. 如图，空间六面体中,,，平面平面为正方形，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值.
（1）证明：平面平面，
平面.
为正方形，，
同理可得平面.
平面平面，
平面平面.
平面平面
平面平面，
.
（2）解：由于为正方形，平面平面，
可得平面.如图，建立空间直角坐标系，
设，根据条件可知
则,,
可知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则取，，
平面与平面所成角的余弦值为.
18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，椭圆E的离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，其中l与x轴不重合，直线与直线交于点P，判断直线与DP的位置关系，并说明理由．
解：（1）设椭圆的半焦距为，
由已知点的坐标分别为，
因为，所以，所以，
又椭圆E的离心率为，所以，
所以，所以，
所以椭圆E的标准方程为；
（2）因为直线与x轴不重合，且过点，
所以可设直线方程为，
联立方程，消去x可得，
方程的判别式，
设，∴，
∵，则
则直线的方程为，
代入可得，
即
∴，
则
∵，即
∴，
所以直线与DP平行.
19. 已知函数.
（1）当时，判断在定义域上的单调性；
（2）若对定义域上的任意的，有恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：，.
（1）解：当时,,故
因为,当且仅当时取等号.故
所以在上单调递减.
（2）解：∵,
当时,则,∴在上单调递增, ,
当时,令,解得,
当时, ,当时, ,
∴在上单调递增,在上单调递减,则时,
,
当时, ,在上单调递减,则,
∴
（3）证明：当时,成立
当时,由（2）知,对任意都成立
取,则
所以
当时
所以
所以
所以
所以.
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数个
10
25
40
25
0
1
2