2026届广东省佛山市第一中学高三下学期一模考试数学试题含解析

这是一份2026届广东省佛山市第一中学高三下学期一模考试数学试题含解析，共9页。试卷主要包含了若直线与曲线相切，则，函数在的图象大致为，设集合，，则集合，若函数在时取得极值，则，一袋中装有个红球和个黑球等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．双曲线：（，）的一个焦点为（），且双曲线的两条渐近线与圆：均相切，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知为虚数单位，若复数，，则
A．B．
C．D．
4．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ）
A．等于4B．大于4C．小于4D．不确定
5．若直线与曲线相切，则（ ）
A．3B．C．2D．
6．函数在的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．设集合，，则集合
A．B．C．D．
8．若函数在时取得极值，则（ ）
A．B．C．D．
9．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）
A．B．C．D．
11．为虚数单位,则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列满足，，则的值为________．
14．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为，则随机变量的期望为________.
15．已知，复数且（为虚数单位），则__________，_________．
16．在中，角，，的对边长分别为，，，满足，，则的面积为__．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点在曲线上，点在曲线上，且为正三角形．
（1）求点，的极坐标；
（2）若点为曲线上的动点，为线段的中点，求的最大值．
18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线与曲线相交于，两点.
（1）若的斜率为2，求的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）求的值.
19．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数最小值为，且，求的最小值.
20．（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．
乙生产线样本的频数分布表
（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；
（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？
附：，．
21．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，的顶点也在曲线上运动，求面积的最大值.
22．（10分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
（1）求图中的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．
（参考公式：，其中）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可.
【详解】
,，
∴．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.
2、A
【解析】
根据题意得到，化简得到，得到答案.
【详解】
根据题意知：焦点到渐近线的距离为，
故，故渐近线为.
故选：.
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3、B
【解析】
由可得，所以，故选B．
4、A
【解析】
利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可
【详解】
据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题
5、A
【解析】
设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.
【详解】
设切点为，
∵，∴
由①得，
代入②得，
则，，
故选A.
【点睛】
该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.
6、B
【解析】
先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.
【详解】
是奇函数，排除C，D；，排除A.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数图象的判断，属于常考题.
7、B
【解析】
先求出集合和它的补集，然后求得集合的解集，最后取它们的交集得出结果.
【详解】
对于集合A，，解得或，故.对于集合B，，解得.故.故选B.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.
8、D
【解析】
对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.
【详解】
因为，所以，
又函数在时取得极值，
所以，解得.
故选D
【点睛】
本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.
9、A
【解析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，，.
因此，随机变量的数学期望为.
故选：A.
【点睛】
本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.
10、C
【解析】
根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.
【详解】
由题可知，程序框图的运行结果为31，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
此时输出.
故选：C.
【点睛】
本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.
11、C
【解析】
利用复数的运算法则计算即可.
【详解】
，故虚部为.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题.
12、C
【解析】
求导分析函数在时的单调性、极值，可得时，满足题意，再在时，求解的x的范围，综合可得结果.
【详解】
当时，，
令，则；，则，
∴函数在单调递增，在单调递减.
∴函数在处取得极大值为，
∴时，的取值范围为，
∴
又当时，令，则，即，
∴
综上所述，的取值范围为.
故选C.
【点睛】
本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、11
【解析】
由等差数列的下标和性质可得，由即可求出公差，即可求解；
【详解】
解：设等差数列的公差为，
，
又因为，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题.
14、0.38 0.9
【解析】
考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量的可能取值为，计算得到概率，再计算数学期望得到答案.
【详解】
第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：
.
甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：
，，.
故随机变量的可能取值为，
故；；
；.
故.
故答案为：0.38 ；0.9.
【点睛】
本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
15、
【解析】
∵复数且
∴
∴
∴
∴，
故答案为，
16、．
【解析】
由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求，进而可求，然后结合余弦定理可求，代入，计算可得所求．
【详解】
解：把看成关于的二次方程，
则，即，
即为，
化为，而，
则，
由于，可得，
可得，即，
代入方程可得，，
，
由余弦定理可得，，
解得：（负的舍去），
．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），； （2）.
【解析】
（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；
（2）设点的直角坐标为，则点的直角坐标为．将此代入曲线的方程，可得点在以为圆心，为半径的圆上，所以的最大值为，即得解.
【详解】
（1）因为点在曲线上，为正三角形，
所以点在曲线上．
又因为点在曲线上，
所以点的极坐标是，
从而，点的极坐标是．
（2）由（1）可知，点的直角坐标为，B的直角坐标为
设点的直角坐标为，则点的直角坐标为．
将此代入曲线的方程，有
即点在以为圆心，为半径的圆上．
，
所以的最大值为．
【点睛】
本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
18、（1）：，：；（2）
【解析】
（1）根据点斜式写出直线的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用，将曲线的参数方程转化为普通方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得的值.
【详解】
（1）的直角坐标方程为，即，
则的极坐标方程为.
曲线的普通方程为.
（2）直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），
代入曲线的普通方程，得.
设，对应的参数分别为，，所以，在的两侧.则.
【点睛】
本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程，考查直线参数的几何意义，属于中档题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.
（2）先求得，即，再根据“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值.
【详解】
（1）当时，，即，无解；
当时，，即，得；
当时，，即，得.
故所求不等式的解集为.
（2）因为，
所以，则，
.
当且仅当即时取等号.
故的最小值为.
【点睛】
本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20、（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好．
【解析】
(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出的观测值即可判断.
【详解】
（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：
．
设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件，事件发生的概率为，则由样本可估计．
那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件恰好发生2次，其概率为：．
（2）列联表：
的观测值，
∵，，
∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．
由（1）知甲生产线的合格率为0.9，
乙生产线的合格率为，
∵，
∴保留乙生产线较好．
【点睛】
此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.
21、（1）：，：；（2）
【解析】
（1）由直线参数方程消去参数即可得直线的普通方程，根据极坐标方程和直角坐标方程互化的公式即可得曲线的直角坐标方程；
（2）由即可得的底，由点到直线的距离的最大值为即可得高的最大值，即可得解.
【详解】
（1）由消去参数得直线的普通方程为，
由得，曲线的直角坐标方程为；
（2）曲线即，
圆心到直线的距离，
所以，
又 点到直线的距离的最大值为，
所以面积的最大值为.
【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.
22、 (1) ；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3
【解析】
（1）由频率和为1，列出方程求的值；
（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，
填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，
知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知，
解得；
（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为（人），
填表如下：
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得，
所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，
则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，
所以可视为服从二项分布，即，
，
故，
，
，
，
.
所以的分布列为：
数学期望为.或（）．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量，则.
质量指标
合计
频数
2
18
48
14
16
2
100
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
不合格品
合计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
晋级成功
晋级失败
合计
男
16
女
50
合计
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
90
96
186
不合格品
10
4
14
合计
100
100
200
晋级成功
晋级失败
合计
男
16
34
50
女
9
41
50
合计
25
75
100
0
1
2
3
4