2026届广东省广州市第二中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

这是一份2026届广东省广州市第二中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析，共9页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2，3}B．{﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{x﹣1≤x≤2}
2．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m3的住户的户数为( )
A．10B．50C．60D．140
3．复数（ ）
A．B．C．0D．
4．已知函数（，且）在区间上的值域为，则（ ）
A．B．C．或D．或4
5．下列判断错误的是( )
A．若随机变量服从正态分布，则
B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件
C．若随机变量服从二项分布： ， 则
D．是的充分不必要条件
6．函数的图象如图所示,则它的解析式可能是( )
A．B．
C．D．
7．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级．某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为的学生有人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为，则该班（ ）
A．物理化学等级都是的学生至多有人
B．物理化学等级都是的学生至少有人
C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人
D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人
10．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
11．已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为 .
14．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是______.
15．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；
②支出最高值与支出最低值的比是6:1；
③第三季度平均收入为50万元；
④利润最高的月份是2月份．
16．已知函数的图象在处的切线斜率为，则______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.
18．（12分）已知点到抛物线C：y1=1px准线的距离为1．
（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值．
19．（12分）在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴所在直线为轴建立直角坐标，直线的参数方程为（为参数），与交于，两点．
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设点；若、、成等比数列，求的值
20．（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：
（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？
（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.
附：
（3）某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备高校专业报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望.
21．（12分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
22．（10分）百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.（其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，表示被清华、北大等名校录取的学生人数）
（1）通过画散点图发现与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（保留两位有效数字）
（2）若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考人名校的人数；
（3）若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.
参考公式：，
参考数据：，，，
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
解出集合A和B即可求得两个集合的并集.
【详解】
∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，
B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．
故选：A．
【点睛】
此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.
2、C
【解析】
从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米
所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为，故选C
3、C
【解析】略
4、C
【解析】
对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.
【详解】
分析知，.讨论：当时，，所以，，所以；当时，，所以，，所以.综上，或，故选C.
【点睛】
本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.
5、D
【解析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.
【详解】
对于选项，若随机变量服从正态分布，根据正态分布曲线的对称性，有，故选项正确，不符合题意；
对于选项，已知直线平面，直线平面，则当时一定有，充分性成立，而当时，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项正确，不符合题意；
对于选项，若随机变量服从二项分布： ， 则，故选项正确，不符合题意；
对于选项，，仅当时有，当时，不成立，故充分性不成立；若，仅当时有，当时，不成立，故必要性不成立.
因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确，符合题意.
故选：D
【点睛】
本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
6、B
【解析】
根据定义域排除，求出的值，可以排除，考虑排除.
【详解】
根据函数图象得定义域为，所以不合题意；
选项，计算，不符合函数图象；
对于选项， 与函数图象不一致；
选项符合函数图象特征.
故选：B
【点睛】
此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.
7、C
【解析】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．
【详解】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线，
可得，解得，此时双曲线，
则曲线的离心率为，故选C．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
8、A
【解析】
利用复数的除法运算化简，求得对应的坐标，由此判断对应点所在象限.
【详解】
，对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.
9、D
【解析】
根据题意分别计算出物理等级为，化学等级为的学生人数以及物理等级为，化学等级为的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.
【详解】
根据题意可知，名学生减去名全和一科为另一科为的学生人（其中物理化学的有人，物理化学的有人），
表格变为：
对于A选项，物理化学等级都是的学生至多有人，A选项错误；
对于B选项，当物理和，化学都是时，或化学和，物理都是时，物理、化学都是的人数最少，至少为（人），B选项错误；
对于C选项，在表格中，除去物理化学都是的学生，剩下的都是一科为且最高等级为的学生，
因为都是的学生最少人，所以一科为且最高等级为的学生最多为（人），
C选项错误；
对于D选项，物理化学都是的最多人，所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少（人），D选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.
10、D
【解析】
如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.
【详解】
如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，
设，，则，
当，即时等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
11、D
【解析】
设，，作为一个基底，表示向量，，，然后再用数量积公式求解.
【详解】
设，，
所以，，，
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12、A
【解析】
先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.
【详解】
据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.
【点睛】
本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、.
【解析】
.
14、
【解析】
由切线的性质，可知，切由直角三角形PAO，PBO，即可设，进而表示，由图像观察可知进而求出x的范围，再用的式子表示，整理后利用换元法与双勾函数求出最小值.
【详解】
由题可知，，设，由切线的性质可知，则
显然，则或（舍去）
因为
令，则，由双勾函数单调性可知其在区间上单调递增，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函数单调性或基本不等式求得最值，属于较难题.
15、①②③
【解析】
通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．
【详解】
对于①，2至月份的收入的变化率为20，11至12月份的变化率为20，故相同，正确．
对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．
对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为50万元，正确．
对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误．
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．
16、
【解析】
先对函数f（x）求导，再根据图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.
【详解】
由函数得，∵函数f（x）的图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，，.
故答案为4
【点睛】
本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见解析;(2).
【解析】
试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用 即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.
试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ；
（2）设直线的参数方程为（为参数）
又直线与曲线：存在两个交点，因此.
联立直线与曲线：可得则
联立直线与曲线：可得，则
即
18、 (Ⅰ)C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；（Ⅱ）1
【解析】
（Ⅰ）根据抛物线定义求出p，即可求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1)，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0)，与抛物线联立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|•|NF|的值．
【详解】
(Ⅰ)由已知得，所以p=1.
所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；
(II)设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1)，
由题意直线AB斜率存在且不为0.
设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0).
由得，
则,.
因为点A,B在抛物线C上,所以
,.
因为PF⊥x轴，
所以
，
所以|MF|⋅|NF|的值为1.
【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题.
19、 (1) 曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为 ； (2)
【解析】
(1)由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化，即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
(2)把的参数方程代入抛物线方程中，利用韦达定理得，，可得到，根据因为，，成等比数列，列出方程，即可求解．
【详解】
(1)由题意，曲线的极坐标方程可化为，
又由，可得曲线的直角坐标方程为，
由直线的参数方程为（为参数），消去参数，得，
即直线的普通方程为；
(2)把的参数方程代入抛物线方程中，得，
由，设方程的两根分别为，，
则，，可得，．
所以，，．
因为，，成等比数列，所以，即，
则，解得解得或（舍），
所以实数.
【点睛】
本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
20、（1）不需调整（2）列联表见解析；有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关（3）详见解析
【解析】
（1）可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2，推理得对应开设选修班的数目分别为15，1．推理知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为．用频率估计概率，则，根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望．
【详解】
（1）经统计可知，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2．根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，1．现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．
（2）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下：
则，
有的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关．
（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为．
用频率估计概率，则，分布列如下：
数学期望为．
【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质可得，不等式对任意实数恒成立，等价于，解不等式即可求的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）当时，即，
①当时，得，所以；
②当时，得，即，所以；
③当时，得成立，所以.
故不等式的解集为.
（Ⅱ）因为，
由题意得，则，
解得，
故的取值范围是.
22、（1）；（2）117人；（3）分布列见解析，
【解析】
（1）首先求得和，再代入公式即可列方程，由此求得关于的线性回归方程；
（2）根据回归直线方程计算公式，计算可得人数；
（3）和被选中的人数分别为2和3，利用超几何分布分布列的计算公式，计算出的分布列，并求得数学期望.
【详解】
（1）由题，
所以线性回归方程为
（若第一问求出 .）
（2）当时，
所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117人
（3）由题知和被选中的人数分别为2和3，进行演讲的两人是2018年毕业的人数的所有可能取值为0，1，2
，，
的分布列为
【点睛】
本小题主要考查平均数有关计算，考查回归直线方程的计算，考查期望的计算，考查超几何分布和数据处理能力，属于中档题.
序号
选科情况
序号
选科情况
序号
选科情况
序号
选科情况
1
134
11
236
21
156
31
235
2
235
12
234
22
235
32
236
3
235
13
145
23
245
33
235
4
145
14
135
24
235
34
135
5
156
15
236
25
256
35
156
6
245
16
236
26
156
36
236
7
256
17
156
27
134
37
156
8
235
18
236
28
235
38
134
9
235
19
145
29
246
39
235
10
236
20
235
30
156
40
245
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
年份（届）
2014
2015
2016
2017
2018
41
49
55
57
63
82
96
108
106
123
物理
化学
选物理
不选物理
合计
选化学
19
5
24
不选化学
6
10
16
合计
25
15
40
0
1
2
3

0.343
0.441
0.189
0.021
0
1
2