2023广州普通高中高三下学期第二次综合测试（二模）数学试卷含解析

秘密★启用前试卷类型：B

2023年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学

本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若为实数，且，则（    ）

A. 2 B. 1 C.  D.

2. 已知集合，，则集合的元素个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知两个非零向量，满足，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知椭圆C：（），过点且方向向量为光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（    ）

A. （） B. （）

C. （） D. （）

8. 已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（    ）

A. 该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08

B. 该零件是次品的概率为0.03

C. 如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98

D. 如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为

10. 已知函数的定义域是（，），值域为，则满足条件的整数对可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

11. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）

A. 若轴，则的周长为

B. 若直线交双曲线的左支于点，则

C. 面积的最小值为

D. 的取值范围为

12. 已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（    ）

A. 若取得最小值，则

B. 若，则平面

C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为

D. 直线到平面的距离为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.

14. 已知，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为____________.

15. 在数列中，，，若，则正整数____________．

16. 在平面直角坐标系中，定义为，两点之间“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为___________，的最小值为___________

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 设是数列的前n项和，已知，.

（1）求，；

（2）令，求.

18. 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.

（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；

（2）已知该产品年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？

（注：年利润=年销售额一年投入成本）

参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.

19. 记的内角、、的对边分别为、、，已知.

（1）求；

（2）若点边上，且，，求.

20. 如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.

21. 已知点，P为平面内一动点，以为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.

（1）求C方程；

（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.

22. 已知函数，.

（1）当时，，求实数的取值范围；

（2）已知，证明：.