2026年中考数学二轮复习 高频考点10 几何与函数中最值问题17大题型专练

这是一份2026年中考数学二轮复习 高频考点10 几何与函数中最值问题17大题型专练，共7页。试卷主要包含了几何最值问题，函数中最值问题，圆中最值问题等内容，欢迎下载使用。
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考点一 几何最值问题
考点二 函数中最值问题
命题 1 最值问题之将军饮马求线段和最小
命题 2 最值问题之胡不归模型求线段和最小
命题 3 最值问题之周长最短问题
命题 4 最值问题之面积最大问题
命题 5 利用三角形三边关系求最值
命题 6 利用点到直线的距离最短求解
命题 1 函数图象动点问题的最值
命题 2 利用一次函数的性质求线段最值
命题 3 一次函数中线段和最短问题
命题 4 一次函数与反比例函数解答题最值
命题 5 二次函数的图象与性质求最值
命题 6 二次函数与几何综合求最值
命题 7 二次函数解答压轴之周长最小
命题 8 二次函数解答压轴之面积最大
考点三 圆中最值问题
命题 1 圆最值问题中四点共圆问题
命题 2 直径所对圆周角等于 90°求最值命题 3 定点定长中最值问题
考点
考向
命题特征
几何最值
（将军饮马/胡不归
/阿氏圆）
将军饮马模型：两定一动、两动一定、两定两动型线段和/差最值；
胡不归模型：含系数的线段和最值；
阿氏圆模型：圆背景下的线段和/差最值；
折叠/旋转背景下的几何最值。
以填空 / 选择压轴题和解答题压轴小问为主，分值 3~8 分，属于中考高频拉分题型；
核心考查轴对称、旋转、圆的性质，通过转化将折线段转为直线段；
侧重 “化折为直” 的转化思想，是中考几何最值的基础；
常与特殊图形（矩形、菱形、圆）结合，综合性
强。
2. 函数最值（一次/二次函数）
一次函数：给定区间内的最值、方案最优问题；
二次函数：顶点最值、区间最值（定轴动区间/动轴定区间）；
函数与实际问题结合：利润、面积、
以解答题为主，分值 6~10 分，属于中考核心必考题型；
核心考查函数的增减性、顶点坐标、区间限制；
实际应用类侧重建模能力，需先列函数解析式再求最值；
用料最值。
4. 二次函数区间最值是难点，常结合分类讨论。
三角形/四边形最值
三角形：周长/面积最值、定边定角的最值、高/中线最值；
特殊四边形：菱形/矩形/正方形的边长、对角线、面积最值；
动点背景下的图形最值。
以填空 / 选择中档题和解答题基础小问为主，分值 3~6 分；
核心考查三角形三边关系、垂线段最短、二次函数面积最值；
常结合动点、相似，需先确定动点轨迹再求最值；
面积最值常通过铅垂法或二次函数求解。
圆背景下的最值
圆外一点到圆的最大/最小距离；
定弦定角模型下的最值；
圆上动点到直线/ 定点的距离最值；4. 隐圆背景下的最值问题。
以填空/选择压轴题和解答题压轴小问为主，分值
4~8 分，属于中考难题；
核心考查圆的定义、垂径定理、点与圆的位置关系；3. 隐圆模型需先确定圆心和半径，对几何建模能力要求高；4. 常结合三角函数、相似，综合性极强。
考点一 几何最值问题
《解题指南》
一、核心原理
两大基础依据
①两点之间，线段最短；②垂线段最短
常用转化思想化折为直、化曲为直、动点轨迹化隐为显、利用轴对称/旋转/圆性质求最值
常用工具轴对称、勾股定理、相似三角形、圆的性质、三角函数、二次函数二、分题型分类解题方法
将军饮马最值(线段和最小)
题型特征：两定点、一动点在定直线上，求 PA+PB 最小值
解题步骤：1.作其中一个定点关于定直线的对称点；2.连接对称点与另定点，线段长即为最小值拓展：两动一定、两定两动、周长最小值都用轴对称转化
线段差最值 PA-PB
题型特征：动点在直线上，求线段差的最大值
方法：①两点在直线同侧，延长连线交直线于动点；②最大值=两定点之间线段长依据：三角形两边之差小于第三边
垂线段最值
题型特征：定点到定直线、动点到直线距离最小口诀：点到直线，垂线段最短
常考：三角形高、面积最值、最短路径
胡不归最值（带系数线段和）
特征：PA+k • PB 型，动点在直线上
解法：构造特殊角（30 ˚ 、45 ˚ 、60 ˚ ），把 k • PB 转化为垂线段，再用垂线段最短
四边形、三角形周长与面积最值
周长最值：轴对称平移拼接，化折为直
面积最值：定底求高最大/最小；铅垂法；转化为二次函数求顶点最值
命题点 01 最值问题之将军饮马求线段和最小
【典例 01】（2026·广东广州·一模）如图，在▱????中，∠??? = 60°，?? = 6，?? = 8，点?，?分别是边??，??上的动点，且满足?? = 2??．当?? = 时， △ ???为等边三角形；已知点?为??的中点，连接??，??，则?? + ??的最小值为．
【答案】22 37
【分析】由题意可知∠??? = 60°，若△ ???为等边三角形，则需满足?? = ??，利用?? = 2??列方程求解即可；
观察图形可知，点 A，D 为定点，点 P 为动点，因此我们先探究点 P 的运动轨迹，通过取特殊点可以发现，点 P 在??的垂直平分线上，那么求?? + ??的最小值就可以转化为“将军饮马”问题，进而问题得解．
【详解】解：设?? = ?，由题意可知?? = 2?，?? = 6−?．
当△ ???为等边三角形时，则有?? = ??，即2? = 6−?．
∴ ?? = ? = 2；
如图 1，分别过点 F，点 P 作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，垂足分别为 G，H，连接??．
∴ ∠??? = ??? = 90°，
∴ ?? ∥ ??，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??．
∵ 点?为??的中点，
????1
∴ ?? = ?? = 2，
∴ ?? = ??．
在Rt △ ???中，∠??? = 60°，∠??? = 30°,
∴ ?? =
?? = ? = ??．
1
2
∴ ?? + ?? = ?? + ??，即?? = ??．
连接??，则?? = ??．
∴ ?? + ?? = ?? + ??．
∴ 当?，?，?在同一条直线上时，?? + ??最小，即为??的长．
如图 2，过点 D 作?? ⊥ ??，交??的延长线于 M，
由题意可知，在Rt △ ???中，∠??? = 60°，?? = ?? = 6，
∴ ?? = ??sin∠??? = 3?? = 3 3，?? = 1?? = 3．
2
2
在Rt △ ???中，?? = ?? + ?? = 11，?? = 3 3，
∴ ?? =??2 + ??2 =112 + (3 3) = 2 37．
2
∴ ?? + ??的最小值为2 37．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称、等边三角形、相似、解斜三角形等知识．掌握研究动态
问题的一般方法、熟悉常见最值问题的解题思路是解决问题的关键．
【变式 01】（25-26 九年级下·北京·期中）在正方形????中，?? = 3，点?，?分别为??、??上一点，且
?? = ??，连接??、??，则?? + ??的最小值是．
【答案】3 5
【分析】过点?作关于直线??的对称点?′，连接?′?，通过证明 △ ???≌ △ ???得到?? = ??，结合轴对称性质得到?? = ?′?，将?? + ??转化为?′? + ??，利用两点之间线段最短可知当?、?、?′三点共线时和最小，利用勾股定理求解即可；
【详解】过点?作关于直线??的对称点?′，连接?′?，??，?′?，
∴ ?′? = ??，??′ = ??，
∵ 四边形????是正方形，
∴ ?? = ?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?′?，
∴ ?? + ?? = ?′? + ??，
∴ 当?、?、?′三点共线时，?′? + ??有最小值，最小值为??′，
∵ ??′ = ?? = 3，
∴ ?′? = ??′ +?? = 6，
在Rt △ ?′??中，由勾股定理得：??′ =?′?2 + ??2 =62 + 32 = 45 = 3 5，
∴ ?? + ??的最小值为3 5．
【变式 02】（25-26 九年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形????中，?? = 4，点?是??的中点，点?在边??上运动，点?在对角线??上运动，且?? = 2??．若当?? ⊥ ??时，则?? = ；在运动过程中，
?? + ??的最小值为．
【答案】
2 2
2 5
【分析】根据正方形的性质可得∠??? = 45∘，由?? ⊥ ??可知 △ ???为等腰直角三角形，结合?为??中点即可求出??的长．设点?到??的距离为?，利用勾股定理分别表示出??和??的长度，发现?? + ??的值等价于对角线??上一点到点?和点?的距离之和，利用轴对称性质（将军饮马模型）将折线转化为直线，最后利用勾股定理求解最小值．
【详解】解： ∵ 四边形????是正方形，
∴ ∠??? = 90∘，
∴∠??? = 45∘，
∵ ?是??的中点，?? = 4，
∴ ?? =
1?? = 2，
2
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90∘，
∴△ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? =??2 + ??2 = 2 2；
过点?作?? ⊥ ??于点?，作?? ⊥ ??于点?，连接??，??，??，设?? = ?，
则∠??? = ∠??? = 90°，
∵∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ??，?? = ??，
∵ ∠??? = 45∘，∠??? = 45∘，
∴ ?? = ?? = ?? = ?，
∴ ?? = 2?，
∴ ?? = 2?? = 2?，
∴ ?? = ?? = ?，
∴?? = ??，
由对称性知，?? = ??，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??，
∴当?,?,?三点共线时取等号，此时??为最小值．
∵?是??中点，
∴?? = 2，
∵?? = 4，∠??? = 90∘，
由勾股定理得：?? =??2 + ??2 =22 + 42 = 2 5，即?? + ??的最小值为2 5．
【变式 03】（25-26 九年级下·安徽马鞍山·期中）如图，已知∠??? = 60°，点?、?为∠???内的两个动点，且∠??? = 30°，?? = 3，?? = 5，点?、?分别是??，??上的动点，则?? + ?? + ??的最小值为．
【答案】2 2
【分析】作点?关于??的对称点?′，作点?关于??的对称点?′，连接??′、??′、??′、??′、?′?′，由轴对称的性质可得，?? = ??′ = 3，?? = ??′ = 5，?? = ?′?，?? = ??′，∠??? = ∠?′??，
∠??? = ∠?′??，则?? + ?? + ?? = ?′? + ?? + ??′ ≥ ?′?′，当?′、?、?、?′四点共线时，?? + ?? + ??
取得最小值?′?′．容易计算得∠?′??′ = 90°，使用勾股定理计算出?′?′即可．
【详解】解：如图，作点?关于??的对称点?′，作点?关于??的对称点?′，连接??′、??′、??′、??′、
?′?′，
由轴对称的性质可得，?? = ??′ = 3，?? = ??′ = 5，?? = ?′?，?? = ??′，∠??? = ∠?′??，
∠??? = ∠?′??，
∵∠??? = 60°，∠??? = 30°，
∴∠??? + ∠??? = ∠???−∠??? = 30°，
∴∠?′?? + ∠?′?? = 30°，
∴∠?′??′ = ∠?′?? + ∠?′?? + ∠??? = 90°，
在Rt △ ??′?′中，?′?′ =??′2 + ??′2 =( 3)2 +
∵?? + ?? + ?? = ?′? + ?? + ??′ ≥ ?′?′，
2
5= 2 2，
∴当?′、?、?、?′四点共线时，?? + ?? + ??取得最小值2 2．
命题点 02 最值问题之胡不归模型求线段和最小
【典例 02】（25-26 九年级下·陕西西安·期中）如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，∠? = 30°，?? = 9，??
平分∠???交??于点?，点?为??上一点，连接??，则
1的最小值为．
?? + 2??
【答案】2
【分析】以 C 为顶点，??为边，在??的右侧作∠??? = 30°，过 E 作?? ⊥ ??于 F，连接??，根据含30°的
9
∵∠??? = 90°，∠? = 30°，?? = 9，
2
9
．
的最小值为
2
即?? + 1??
9
∴?? = ?? = 2，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°，
∴∠??? = 30° = ∠???，
又?? = ??，∠? = ∠??? = 90°，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
1
2
∴∠??? = ∠??? = 30°，
∵??平分∠???，
9
22
1
∴??? = 60°，?? = ?? = ，
1
2
∴当 D、E、F 三点共线时，?? + ??最小，最小值为??，
1
2
∴?? + ?? = ?? + ?? ≥ ??，
2
则?? = 1??，
2
【详解】解：以 C 为顶点，??为边，在??的右侧作∠??? = 30°，过 E 作?? ⊥ ??于 F，连接??，
2
时，?? + 1??最小，最小值为??，证明△ ???≌ △ ???(AAS)，得出?? = ?? = 9，即可求解．
2
2
2
2
直角三角形的性质得出?? = 1??，?? = 1?? = 9，则?? + 1?? = ?? + ?? ≥ ??，故当 D、E、F 三点共线
【变式 01】（25-26 九年级下·福建厦门·期中）如图，沿??翻折矩形????，A 对应 M，D 落在??上的 N 处，作?? ⊥ ??于 H，?? = 3，?? = 4，则2?? + ??的最小值为．
【答案】 73
【分析】利用翻折的对称性得出??垂直平分??，进而将2??转化为??，将??转化为??，把求2?? + ??
的最小值转化为求?? + ??的最小值，再通过轴对称求最短路径．
【详解】连接??,??，
∵ 沿??翻折矩形????，?对应?，?落在??上的?处，
∴ ??为线段??的垂直平分线，
∵ ?? ⊥ ??，
又∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? ∥ ??，
∵ ??与??都过点?，
∴ 点?，?，?在同一直线上，
∴ ?为??的中点，
∴ ?? = 2??，
∵ 点?与点?关于??对称，点?与点?关于??对称，
∴ ?? = ??，
∴ 2?? + ?? = ?? + ??，
作点 A 关于直线??的对称点?′，连接?′?,?′?
∵ ?在??上，
∴ ?? = ?′?，
∴ ?? + ?? = ?? + ?′? ≥ ??′，
∵ 四边形为矩形????，
∴ ∠??? = 90°，?? = 3，?? = 4，
∵ 点?′为点 A 关于直线??的对称点，
∴ ??′ = 2?? = 8，∠?′?? = 90°，
∴ ??′ =??2 + ??′2 =32 + 82 = 73，
∴ 2?? + ?? ≥ 73，
当 D，N，?′三点共线时取等号，
此时 N 为直线??′与?? 的交点，在??上，
∴ 2?? + ?? 的最小值为 73．
【变式 02】（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点?(0,4)、?(6,0)， ⊙ ?的圆心为原
1
点?(0,0)，半径? = 2，点 P 是圆 O 上的一个动点，求3?? + ??的最小值为．
∴ ?? + ?? = ?? + ??，
1
3
，
∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ?? = 3，即?? = 3??，
??
1
1
??
==
1
3
当?、?、?三点共线时，?? + ??取得最小值，即线段??的长度，
∵ ?(0,4),?( ,0)，
2
3
2 2
∴ ?? =(0− ) + (4−0)2 = 2 37，
3
3
??
??
??
此时
3
在??上取一点?(2,0)，
1
?2
∴ ?? = 6 = 3，
三点共线时，?? + ??取得最小值，即线段??的长度，根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：已知半径? = 2，?? = 6，
3
3
3
【分析】在??上取一点?(2,0)，证明 △ ??? ∽△ ???，得出?? = 1??，则1?? + ?? = ?? + ??，当?、?、?
3
【答案】2 37
故3?? + ??的最小值为．
1
2 37
3
【变式 03】（2024·海南·三模）如图，正方形????的边长为4，点?为边??上一个动点，点?在边??上，
且线段?? = 4，点?为线段??的中点，连接??、??、??，则?? =；1的最小值为．
?? + 2??
【答案】
2
5
【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、相似三角形的判定与性质、动点轨迹与线段和的最值，确定
动点 G 的运动轨迹是解题关键．
（1）借助正方形性质得△ ???为直角三角形，利用直角三角形斜边中线定理求出?? = 2；
（2）先确定点?的轨迹为圆，再构造相似三角形将2??转化为??，结合“两点之间线段最短”与勾股定理求得
1
?? + ??的最小值为5．
1
2
【详解】（1）解： ∵ 四边形????为正方形，?? = 4，
∴ ∠??? = 90°，
∵ 点?为线段??的中点，
∴ ?? = ?? = × 4 = 2，
1
1
22
故答案为：2．
（2）解：如图，根据题意可知，点?的运动轨迹为以?为圆心，??长为半径的圆，在??上取点?，使
?? = 1，连接??交⊙ ?于?′．
故答案为：5．
1
2
?? + ??的最小值为5．
∴
∵ ?? = 4，?? = ??−?? = 4−1 = 3，
∴ ?? =??2 + ??2 =32 + 42 = 5，
2
可知当?运动到?′的位置，即?、?、?位于同一条直线上时，?? + 1??取得最小值，最小值为??，
1
2
∴ ?? + ?? = ?? + ??，
1
1
??
∴ ?? = 2，即?? = 2??，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
1
????
?? = ?? = 2，
∴
∵ ?? = 2，?? = 1，?? = 4，
【变式 04】（25-26 九年级上·辽宁阜新·期中）在矩形????中，?? = 5，?? = 8，点 M 从点 D 运动到点
C，运动速度为 5 个单位长度每秒，同时点 N 从 B 出发向点 A 运动，运动速度为 3 个单位长度每秒，当一
个点到达终点时，另一个点也停止运动，则
3的最小值为．
?? + 5??
【答案】8 2
【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质，勾股定理，矩形性质，两点之间线段最短．延长??到 E，
使?? = 3，连接??,??，以??为一边构造相似比为5的相似三角形，得到5??，再利用两点之间线段最短，
3
3
勾股定理解决问题．
【详解】解：延长??到 E，使?? = 3，连接??,??，
∵?? = 5，
∴?? = 3，
??5
设点 M，点 N 运动时间为 t 秒，
由题意，得?? = 5?,?? = 3?，
∴?? = 3? = 3，
??5?5
∴?? = ??，
??
??
∵四边形????是矩形，
∴∠??? = ∠? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 3，
????5
∴?? =
3??，
5
∴?? +
3?? = ?? + ?? ≥ ??，
5
而?? =??2 + ??2 =(3 + 5)2 + 82 = 8 2，
∴?? +
3?? ≥ 8 2，
5
故答案为：8 2．
命题点 03 最值问题之周长最短问题
【典例 03】（2026·河南周口·二模）如图，在边长为 2 的菱形????中，∠??? = 60°，将 △ ???沿着射线??
的方向平移，得到△ ???，连接??，??，??，则 △ ???周长的最小值为．
【答案】2 3 +2/2 + 2 3
【分析】根据菱形的性质得到?? = 2,∠??? = 30°，根据平移的性质得到?? = ?? = 2,??∥??，推出四边形
????是平行四边形，得到?? = ??，于是得到?? + ??的最小值 = ?? + ??的最小值，根据平移的性质得到点?在过点?且平行于??的定直线上，作点?关于定直线的对称点?，连接??交定直线于?，通过证明
△ ???≌ △ ???(SAS)得到?? = ?? = 2 3，即可得出结论．
【详解】解：连接??交??于点?，
∵在边长为 2 的菱形????中，∠??? = 60°，
∴ ?? = ?? = ?? = 2,∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 30°，∠??? = 120°，
∵将△ ???沿射线??的方向平移得到 △ ???，
∴?? = ?? = 2,??∥??，点?在过点?且平行于??的定直线上，
∵四边形????是菱形，
∴ ?? = ??,??∥??，
∴ ?? = ??,??∥??，
∴四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，
∴ ?? + ??的最小值 = ?? + ??的最小值，
∵点?在过点?且平行于??的定直线上，
∴作点?关于定直线的对称点?，连接??交定直线于?，则??的长度即为?? + ?? = ?? + ??的最小值，
根据轴对称的性质可得：?? ⊥ ??，
∵ ??∥??，
∴ ?? ⊥ ??，∠??? = ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 60°,?? = ?? = ?? = 1，
1
2
∴ ?? = 2，
∵ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90° + 30° = 120°，
∴ ∠??? = ∠???，在△ ???和△ ???中
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，
∵ ∠??? = 90°,∠??? = 30°,?? = 2，
∴ ?? = ?? = 1，
1
2
∴ ?? =??2−??2 = 3，
∴ ?? = ?? = 2 3，
则△ ???周长的最小值为?? + ?? + ?? = ?? + ?? = ?? + ?? = 2 3 +2．
【变式 01】（2025·安徽亳州·三模）如图，Rt △ ???中，
1
?? = ?? = 8,?? = 4??
，点 M 为??边上一动点，
将线段??绕点 O 按逆时针方向旋转90°至??，连接??、??，（1）当 N 点在??上时?? = ；（2）△ ???
周长的最小值为．
【答案】
4
8 + 4 10/4 10 +8
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，
对于（1），当 N 点在??上时，?? ∥ ??，此时 △ ??? ∽△ ???，进而求出?? = 2，然后根据?? = ??−??−??
得出答案；
对于（2），作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，再根据“角角边”证明 △ ???≌ △ ???，可得?? = ?? = 2，然后说明
△ ???′的周长最小，再作?? ⊥ ??，最后根据勾股定理求出答案.
【详解】解：（1）当 N 点在??上时，?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∵?? = ?? = 8,?? =
1??，
4
∴?? = ?? =
1 × 8 = 2；
4
∵将线段??绕点 O 按逆时针方向旋转90°至??，
∴?? = ??，
∴?? = ??−??−?? = 8−2−2 = 4；
故答案为：4；
（2）如图，作?? ⊥ ??于 H，?? ⊥ ??于 J．
∵?? = ??，∠??? = 90°，
∴∠??? = 45°，
∵?? ⊥ ??于 H，
∴?? = ??，
1
∵?? = 4??，?? = 8，
∴?? = 2，
∴?? = ?? = 2，
∵?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ?? = 2，
∴点 N 的运动轨迹是直线（该直线与直线??平行，在??的右侧，与??的距离是 2），
作点 C 关于该直线的对称点?′，连接??′交该直线于?′，连接??′，此时△ ???′的周长最小，作?? ⊥ ??
于 G．
在Rt △ ???′中，??′ =(4 2)2 + (8 2)2 = 4 10，
∴ △ ???的周长的最小值为8 + 4 10．故答案为：8 + 4 10．
【变式 02】（2025·山东潍坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形????的顶点 O 是坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，?? = 3，?? = 4，D 为边??的中点．若 E 为边??上的一个动点，当 △ ???的周长最小时，则点 E 的坐标．
【答案】(1,0)
【分析】由于 C、D 是定点，则??是定值，如果 △ ???的周长最小，即?? + ??有最小值．为此，作点 D
关于 x 轴的对称点?′，当点 E 在线段??′上时△ ???的周长最小．
考查轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质等，找出点 E 的位置是解题的关键.
【详解】解：如图，作点 D 关于 x 轴的对称点?′连接??′，与 x 轴交于点 E，连接??.
若在边??上任取点?′与点 E 不重合，连接??′、??′、?′?′
由??′ +??′ = ?′?′ +??′ > ??′ = ?′? + ?? = ?? + ??，可知△ ???的周长最小，
∵在矩形????中，?? = 3，?? = 4，D 为边??的中点，
∴?? = 3,?′? = ?? = 2,?′? = 6，
∵?? ∥ ??，
∴Rt △ ?′?? ∽ Rt △ ?′??,
则?? = ?′?，
??
?′?
故 3 = 6，
∴?? = 1，
??
2
∴点 E 的坐标为(1,0).
故答案为：(1,0)
命题点 04 最值问题之面积最大问题
【典例 04】（2026·湖南邵阳·二模）如图，在等腰直角三角形???中，∠? = 90°，?? = 4 2，点?为边??
的中点，点?，?分别为边??,??上的动点，且?? ⊥ ??，则△ ???的面积的最大值为．
【答案】2
【分析】连接??，证明 △ ???≌ △ ???，当?? ⊥ ??时，求得?△???的最小值，据此即可求得 △ ???的面积的最大值．
【详解】解：如图，连接??，
∵ △ ???为等腰直角三角形，∠? = 90°，点?为边??的中点，
∴?? ⊥ ??，∠??? = ∠? = 45°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠???，∠???−∠??? = ∠???−∠???，即：∠??? = ∠???，在△ ???与 △ ???中，∠??? = ∠???,?? = ??,∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??．
即：?四边形???? = ?△??? + ?△??? = ?△??? + ?△??? = ?△??? = 4．
∵?△??? = 2?? ，
12
∴当?? ⊥ ??时，?△???的最小值 = 1 × 22 = 2，
2
故：?△???的最大值 = 4−2 = 2．
【变式 01】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平行四边形????中，?? = 6，?? = 8，∠?=60
°．动点?、?分别在边??、??上，且?? = ??，以??为边作等边 △ ???，使点?始终在▱????的内部或边上．
（1）∠??? = °；
（2）当△ ???的面积最大时，??的长为．
【答案】
90
5
【分析】（1）在▱????中，得出∠??? = 120°，根据 △ ???是等边三角形，得出?? = ?? = ??，
∠??? = 60°，连接??，证明 △ ???≌ △ ???，得出∠1 = ∠2 = 60°，∠3 = ∠4 = 30°，则∠??? = 90°
（2）作∠???的平分线交??于点?，证明 △ ???是等边三角形，得出?? = ?? = ??，根据∠??? = ∠1，得
出直线??和直线??重合，确定点?在??上运动，根据?△??? = 3??2，得出??最大时， △ ???的面积最
4
大，当点?与点?重合时， △ ???的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得?? = ?? = 3，则
?? = ?? = 3，得出?? = 8−3 = 5．
【详解】解：∵在▱????中，?? = 6，?? = 8，∠? = 60°．
∴∠??? = 180°−60° = 120°，
∵ △ ???是等边三角形，
∴?? = ?? = ??，∠??? = 60°，
连接??，
∵?? = ??，?? = ??，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SSS)，
∴∠1 = ∠2 = 60°，∠3 = ∠4 = 30°，
∴∠??? = 180°−∠1−∠3 = 90°；
（2）作∠???的平分线交??于点 E，
∵∠? = ∠??? = ∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∵∠??? = ∠1，
∴直线??和直线??重合，
即点 P 在??上运动，
1
∵?△??? = 2??·??sin60° =
3??2，
4
则??最大时， △ ???的面积最大，
根据题意可得当点 P 与点 E 重合时，??最大，即 △ ???的面积最大，
此时，如图，
则?? = ?? = 3，
∴?? = ?? = 3，
∴?? = 8−3 = 5．
【变式 02】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，其中∠? = 45°，?? = 8，若点 M
是??边上的动点，连接??，以??为斜边作等腰直角 △ ???，连接??．则 △ ???面积的最大值是
．
2,∠??? = ∠??? = 45°，
∴?? = 2??,∠??? = 135°，
∴∠??? = 45°，
∴?? = 2?? = 1??，
2
2
∴ △ ???面积 = 1 × ?? ⋅ ?? = 1 × ?? ⋅ 1(8−??) = −1(??−4)2 +4，
2
2
2
4
∴当?? = 4时， △ ???面积的最大值为4，
??
∴?? =
∴ △ ??? ∽△ ???，
????
又∵?? = ?? = 2，
在?? △ ???中，∠??? = 90°,∠? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = 2??,∠??? = 45°，
∵ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = 2??,∠??? = 45° = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
【详解】解：过点?作?? ⊥ 直线??于?，
2,∠??? = ∠??? = 45°，可求??的长，由三角形的面积
??
【分析】通过证明△ ??? ∽△ ???，可得?? =
公式和二次函数的相知可求解最大值．
【答案】4
【变式 03】（2024·河南信阳·一模）如图，菱形????中，对角线??，??相交于点?，且?? = 8，
?? = 6．点?是??边上一动点（不与?，?重合），过点?作??∥??，交??于点?．△ ???的最大面积是．
【答案】3
【分析】设??与??的交点为?，?? = ?，根据菱形的性质可得1
，1，且
?? = 2?? = 3?? = 2?? = 4
?? ⊥ ??．由??∥??可得 △ ??? ∽△ ???，且?? ⊥ ??，利用相似的性质计算得?? =
6?，?? =
5
4?，则
5
4
?? = 4− ?．由三角形面积公式可得
5
?△??? = −
12
25
?− 5
2
2
+3，该二次函数图象开口向下，因此?有最大值3．
【详解】解：如图，设??与??的交点为?，?? = ?，
∵四边形????是菱形，且?? = 8，?? = 6，
∴?? =
1?? = 3，?? =
2
1?? = 4，且?? ⊥ ??，
2
由勾股定理可得?? =??2 + ??2 =32 + 42 = 5，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，?? ⊥ ??，
∴?? = ?? = ??，即? = ?? = ??
??
??
??
564 ，
解得：6 ，4 ，
?? = 5??? = 5?
4
∴?? = ??−?? = 4− ?，
5
1
?△??? = 2?? ⋅ ??，
1 64
= 2 ⋅ 5? ⋅ 4− 5 ? ，
2
12
= − ?
25
12
，
+?
5
12
= −25
?− 5
2
2
+3．
∵−< 0，
12
25
∴当? = 2时，?取得最大值3，即△ ???的最大面积是3．
5
【变式 04】（2025·四川乐山·二模）如图，点 O 是等腰Rt △ ???的斜边??的中点，?? = ?? = 5 2，
?? = 2，连接??，以??为直角边，作等腰Rt △ ???，其中∠??? = 90°，连接??，求四边形????面积的最大值为．
【答案】50+10 2
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，证明相似三角形是解题的关键．
通过证明 △ ??? ∽△ ???，可得?△??? = 2?△???，当 △ ???的面积有最大值时， △ ???的面积有最大值，
即四边形????面积有最大值，当点?，点?，点?三点共线时， △ ???的面积有最大值，即可求解．
【详解】解：如图，连接??，过点?作?? ⊥ ??于?，
∵ ?? = ?? = 5 2，?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ ?? = 2?? = 10，?? =
2??，?△??? = 1?? ⋅ ?? = 1 × 5 2 × 5 2 = 25，∠??? = ∠??? = 45°，
2
2
∴
????
?? = ?? =
2，∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴
?△???
?△???
2
=2 ，
∴ ?△??? = 2?△???，
∴ 当△ ???的面积有最大值时， △ ???的面积有最大值，即四边形????面积有最大值，
∵ 点?是??的中点，
故答案为：10 2 +50．
= 5 2 + 2 ，
∴△ ???的面积最大值为2?△??? = 10 2 +25，
∴ 四边形????面积的最大值?△??? + ?△??? = 10 2 +50，
2
2 + 5 2
2
25
∴△ ???的面积最大值 = 1 × 5 2 ×
5 2
2
∵ ?? = 2，
∴ 当点?，点?，点?三点共线时， △ ???的面积有最大值，
1
∴ ?? = ?? = 2 ，
∴点 H 是??的中点，
∴ ??是 △ ???的中位线，
??2
??
∴?? = ?? = 1，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
1
2
∴?? = ??，
命题点 05 利用三角形三边关系求最值
【典例 05】（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形????中，?? = 4,?? = 6，点 M，N 分别在边??,??上，且?? = 2??．连接??，过点 N 作?? ⊥ ??，垂足为 P，连接??，则??的长的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了最值问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质等，正确作出辅助 线构造相似三角形，从而确定点 P 的轨迹是解题的关键．延长??到 H，使得?? = 2?? = 12，连接??，可证明△ ??? ∽△ ???，得到∠??? = ∠???，再导角证明∠??? + ∠??? = 180°，得到 P、N、H 三点共线；取??的中点 O，连接??,??，则可得到当点 P 在线段??上时，??有最小值，最小值为??−??的值，
据此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长??到 H，使得?? = 2?? = 12，连接??，
∵四边形????是矩形，
∴∠??? = ∠??? = ∠? = 90°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 90° = ∠???，
∵?? = 2??,?? = 2?? = 12，
∴?? = ??，
??
??
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠???，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 360°−∠?−∠??? = 180°，
∵∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴P、N、H 三点共线；
如图所示，取??的中点 O，连接??,??，
∵?? = ?? + ?? = 16，
∴?? = ?? =
1?? = 8，
2
∵?? ≥ ??−??，
∴当点 P 在线段??上时，??有最小值，最小值为??−??的值，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 = 10，
∴??最小值 = 10−8 = 2，故答案为：2．
【变式 01】（2026·江苏连云港·一模）如图，在 △ ???中，?? = 8，?? = 5，以??为斜边作Rt △ ???，且
4
有cs∠??? = 5，连接??，并延长??至点?，使得?? = ??，连接??，则??的最大值为．
∵?? = 5，
∴?? = 4；
5
????
∴?? = ?? = 4，
∵∠???−∠??? = ∠???−∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
4
∴cs∠??? = cs∠??? = 5，
平分??，得到?? = ?? = 8；根据?? ≤ ?? + ??，得到当 A、F、Q 三点共线时，??有最大值，最大值为
8 + 8 = 16．
【详解】解：如图所示，以??为斜边作Rt △ ???，且使得∠??? = ∠???，延长??到 F，使得?? = ??，连接??，??，
，则?? = 4；由三角形中位线定理可得?? = 2?? = 8；证明??垂直
4
5
??
??
==
??
??
证明△ ??? ∽△ ???，得到
【答案】16
【分析】以??为斜边作Rt △ ???，且使得∠??? = ∠???，延长??到 F，使得?? = ??，连接??，??，可
∵?? = ??，?? = ??，
∴??为△ ???的中位线，
∴?? = 2?? = 8；
∵?? = ??，∠??? = 90°，即?? ⊥ ??，
∴??垂直平分??，
∴?? = ?? = 8；
∵?? ≤ ?? + ??，
∴当 A、F、Q 三点共线时，??有最大值，最大值为8 + 8 = 16．
【答案】 61
【分析】作 A 关于 l 的对称点?′，连接?′?，?′?，??′，过?′作?′? ⊥ ??于 E，根据轴对称的性质可得出??′ 过点 C，?? = ?′? = 4，?? = ?′?，证明四边形?′???是矩形，得出?′? = 5，?? = 4，在Rt △ ?′??中，根据勾股定理求出?′?，根据?? + ?? = ?′? + ?? ≥ ?′?，则当?′、P、B 三点共线时，?? + ??取最小值，最小值为?′?，即可求解．
【详解】解：由题意，得?? = 4，?? = 2，?? ⊥ ?，?? ⊥ ?，?? = 5，
作 A 关于 l 的对称点?′，连接?′?，?′?，??′，过?′作?′? ⊥ ??于 E，
则??′过点 C，?? = ?′? = 4，四边形?′???是矩形，?? = ?′?，
∴?′? = ?? = 5，?′? = ?? = 4，
∴?? = 6，
∴?′? =?′?2 + ??2 = 61，
∵?? = ?′?，
【变式 02】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，直线 l 同侧有两点 A，B，在直线 l 上找一点 P，使得?? + ??的值最小．若点 A 到直线 l 的距离是 4，点 B 到直线 l 的距离是 2，A，B 在直线 l 上的正投影间距为 5，则?? + ??的最小值为．
∴?? + ?? = ?′? + ?? ≥ ?′?，
∴当?′、P、B 三点共线时，?? + ??取最小值，最小值为?′? = 61，即?? + ??的最小值为 61．
命题点 06 利用点到直线的距离最短求解
【答案】2 2
【分析】作?? ⊥ ??于点?，设?? = ?? = 2?，根据含 30 度角的直角三角形的性质，求出?? = 1?? = 2 3
2
−?，?? = 3?? = 6− 3?，进而求出点?与点?重合时，??的长，当点?在点?左侧，得到
?? = ?? + ??−?? = 4 + 2?−6 + 3? = (2 + 3)?−2，勾股定理得到??2 = ??2 +??2 = (2 3−?) +
2
2
(2 + 3)?−2 ，利用二次函数求最值，当点?在点?右侧得到??的长比?,?重合时要大，且?? > ??，得到
?? > 4 3−4，即可得出结果．
【详解】解：作?? ⊥ ??于点?，设?? = ?? = 2?，
∵∠? = 90°，∠? = 30°，?? = 4，
∴?? = 2?? = 8,?? = 3?? = 4 3，
∴?? = ??−?? = 4 3−2?，
∵点 D 是??的中点，
∴?? = ?? = 4，
1
2
∵?? ⊥ ??，∠? = 30°，
∴?? = ?? = 2 3−?，?? = 3?? = 6− 3?，
1
2
当点?与点?重合时，则：?? = ?? + ?? = 4 + 2? = 6− 3?，
解得? = 4−2 3，
【典例 06】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在Rt △ ???中，∠? = 90°，∠? = 30°，?? = 4，点 D 是??的中点，点 P、Q 分别是??、??上的动点，且?? = ??，则??的最小值为．
∴?? = ?? = 2 3−4 + 2 3 = 4 3−4，
当点?在点?的左侧时，如图，
则：?? = ?? + ??−?? = 4 + 2?−6 + 3? = (2 + 3)?−2，
∴??2 = ??2 +??2 = (2 3−?)2 + (2 + 3)?−2 2
= (8 + 4 3)?2−(8 3 + 8)? + 16，
? = −
∴抛物线的开口向上，当 −(8 3+8) = 3−1时，
2×(8+4 3)
??2有最小值为 = (8 + 4 3)( 3−1)2−(8 3 + 8)( 3−1) +16 = 8，
∴??的最小值为 8 = 2 2； 当点?在点?的右侧时，如图，
此时??的长比?,?重合时要大，且?? > ??，
∴?? > 4 3−4，
∵4 3−4 > 2 2，
∴??的最小值为2 2．
【变式 01】（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形????中，?? = 2 5，点 O 是边??的中点，若点 E 是直线??上一动点，连接??，将线段??绕点 D 逆时针旋转90°得到线段??，连接??，则线段??长的最小值为．
【答案】1
【分析】根据旋转的性质和正方形的性质证明 △ ???≌ △ ???，从而得出 ∠??? = ∠???，确定点?的运动轨迹，利用垂线段最短，结合三角函数求解??的最小值．
【详解】解：连接??，
由旋转的性质可知?? = ??，∠??? = 90°
∵ 四边形????是正方形
∴ ?? = ??，∠??? = ∠? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°
∴ ∠??? = ∠???
在△ ???和 △ ??? 中
?? = ??
∠??? = ∠???
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(SAS)
∴ ∠??? = ∠???，
当?? ⊥ ??时，??的长度最小，如图：
∴线段??长的最小值为 1．
5
∴在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ sin∠??? = ?? ⋅ sin∠??? = 5 × 5 = 1
??5
∴ sin∠??? = ?? = 5
2
2
由勾股定理得，?? =??2 + ??2 =(2 5) + ( 5) = 5
11
∴ ?? = 2 ?? = 2 ?? = 5 = ??
∵ 四边形????是正方形
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°,?? = ?? = 2 5
∵∠??? = ∠???−90°，∠??? = 90°−∠??? = 90°−(180°−∠???) = ∠???−90°，
∴∠??? = ∠???
在Rt △ ???中，?? = 2 5，?是??的中点，
【变式 02】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，点?是Rt △ ???的斜边??上一点，且∠??? = 90°，
∠? = 30°,?? = 4 2，以??为斜边作等腰Rt △ ???，使?,?在??同侧，连接??，则??的最小值为．
【答案】2
【分析】如图，过点?作?? ⊥ ??，使?? = ??，连接??,??，利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到??与??的关系，则当??取最小值时，??最小；所以当?? ⊥ ??，由于垂线段最短，此时??最小，接着利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得??即可得出结论．
【详解】解：如图，过点?作?? ⊥ ??，使?? = ?? = 4 2，连接??,??，
则△ ???为等腰直角三角形，
∴ ∠??? = 45°，
∵ △ ???为等腰直角三角形，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°,?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
??
∵ ??
??
= ??
= 2，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ?? = 2??，
2
∴当??取最小值时，??最小．
∴当?? ⊥ ??时，此时??最小．
∵?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，
∴??∥??，
∴ ∠??? = ∠? = 30°，
∴ ?? =
1?? = 2 2，
2
∴ ?? = 2?? = 2，
2
∴??的最小值为 2 ．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键．
中考预测题
如图，在△ ???中，∠??? = 22.5°，∠??? = 45°，?? = 4 2，?为∠???角平分线上一动点，?为??边上一动点，?? + ??的最小值为．
【答案】2 2
【分析】过点?作??的对称点?，连接??、??，则?? = ??，过点?作?? ⊥ ??，交??延长线于点?，可得
?? + ?? = ?? + ?? ≥ ?? ≥ ??，可得?? + ??的最小值为??，过点?作?? ⊥ ??，交??于?，过点?作?? ⊥ ??
于点?，证明△ ???是等腰直角三角形，得出?? = ??，证明△ ???≌ △ ???(AAS)，得出?? = ??，利用
外角性质得到?? = ??，由等腰三角形的性质得到?? = ?? = ?? = 1??，即可求解．
2
【详解】解：如图，过点?作??的对称点?，连接??、??，过点?作?? ⊥ ??，交??延长线于点?，
∴?? = ??，
∵?为∠???角平分线上一动点，
∴点?在射线??上，
∴?? + ?? = ?? + ?? ≥ ?? ≥ ??，
∴?? + ??的最小值为??，此时?、?重合，?、?、?三点在同一条直线上，过点?作?? ⊥ ??，交??于?，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 45°，?? = ??，
在△ ???和△ ???中，
∠??? = ∠? = 90°
∠??? = ∠???
?? = ??
，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∵∠??? = 22.5°，
∴∠??? = ∠??? = 22.5°，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ?? = ?? = 2 2．
1
2
∴?? + ??的最小值为2 2．
如图， △ ???中，∠??? = 45°，?? = 2 2，?? = 3，直线??∥??，点 A 为??上一点，则 △ ???的面
??
积为；??的最小值是．
【答案】31/0.5
2
【分析】如图，过点 A 作?? ⊥ ??于点 E，?? ⊥ ??于点 H，作?? ⊥ ??于点 B，?? ⊥ ??于点 C，??与??交于点 F，取??的中点 G，连接??，??，可知∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，得到?? ∥ ??，根据等角对等边及勾股定理得到?? = ?? = 2，证明四边形????是平行四边形，得到?? = ?? = 2，可知 △ ???的面积；
证明△ ??? ∽△ ???
????2
== ，设?? = 4?，则?? = 6?，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边
，得到????3
的一半得到?? = ?? = ?? = 1?? = 3?，根据勾股定理得到?? = 5?，根据三角形三边关系及“分子相同，分
2
母越大分数越小”作答即可．
【详解】解：如图，过点 A 作?? ⊥ ??于点 E，?? ⊥ ??于点 H，作?? ⊥ ??于点 B，?? ⊥ ??于点 C，??与
??交于点 F，取??的中点 G，连接??，??，
可知∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? ∥ ??，
∵∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴?? = ??
∵?? = 2 2，
∴?? = ?? = 2?? = 2
2
∵?? ∥ ??，?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形，
∴?? = ?? = 2，
11
∴ △ ???的面积为2 × ?? × ?? = 2 × 3 × 2 = 3；
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???
∵∠??? = ∠??? = 90°
∴△ ??? ∽△ ???
????2
∴ ?? = ?? = 3
设?? = 4?，则?? = 6?，
∵∠??? = 90°，点 G 为??的中点，
∴ ?? = ?? = ?? =
1?? = 3?，
2
∴ ?? =??2 + ??2 = 5?，
∵?? ≤ ?? + ??，
??
??
4?1
∴ ?? ≥ ??+?? = 5?+3? = 2．
如图，点 P 和点 Q 分别是等边三角形???的边??和??上的动点，且?? = ??，若?? = 2，则??的最小值为．
【答案】1
【分析】在??上取一点 D，使得?? = ??，连接??，??，证明 △ ???≌ △ ???(SAS)， △ ???≌ △ ???
(SAS)，从而得出?? = ?? = ??，再过点 P 作?? ⊥ ??交??于点 H，设?? = ?? = ?，
?? = ?? = ?? = 2−?，利用勾股定理和解 30 度直角三角形求得??2的表达式，结合二次函数的最值问题即可得出??的最小值．
【详解】解：∵ △ ???是等边三角形，?? = 2，
∴?? = ?? = ?? = 2，∠? = ∠? = ∠? = 60°，
如图，在??上取一点 D，使得?? = ??，连接??，??，
∵?? = ??，
∴?? = ??，
∵?? = 2，?? = ??，
∴?? = ??−?? = 2−??，
又∵?? = 2，??在??上，
∴?? = ??−?? = 2−??，
∴?? = ??，
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠? = ∠? = 60° ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
同理可证得： △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ??，即 △ ???是等边三角形，过点 P 作?? ⊥ ??交??于点 H，
设?? = ?? = ?，则?? = ?? = ?? = 2−?，
∵∠? = 60°，
∴?? = ?? = ?，
1
1
22
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 = 3?，
2
∴?? = ??−?? = 2−?− ? = 2− ?，
1
3
22
在Rt △ ???中，
??
+1，
∴??2 = ??2 = 3(?−1)2 +1，
∵3 > 0，
∴当? = 1时，??2有最小值为 1，
∴??的最小值也为 1．
考点二 函数中最值问题
《解题指南》
一、核心原理
函数最值本质：在自变量取值范围内，找函数最大、最小函数值
三大依据：
一次函数：增减性定最值
二次函数：顶点最值+区间端点最值
实际问题：解析式+自变量实际取值范围
核心思想：数形结合、分类讨论、方程思想、区间限定思想二、分题型解题方法
一次函数最值
题型特征：直线型实际应用、方案选择、调配问题
2 =
??2 +??2 =
32
?+
32
2− ?=
3?2−6? + 4
= 3(?−1)2
2
2
解题方法：
先列一次函数解析式 y=kx+b
判断 k 正负：
k>0：y 随 x 增大而增大→左端点最小，右端点最大
k0：开口向上，顶点处有最小值 k,无最大值
a 0，
∴当? = 2时，??2取最小值，此时最小值为 8，即??的最小值为2 2，
∴??有最小值为 2，故选项 B 正确，不符合题意；以点?为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：
那么?(4−?,0)，?(0,?)，?(0,4)，?(4,0)，
∵?和?分别为??和??的中点，
∴? 4−? , ?
，?(2,2)，
22
∴ ?? =
2
4−? −2+
2
2
? −2=
2
1 (?−2)2 + 2
，
2
∵ 1(?−2)2， 2
∴ ? = 2时，??取最小值，此时最小值为 2，故选项 C 错误，符合题意；
∵已知?(0,4)，?(4,0)，? 4−? , ?
，设?(?,?)，
22
4−??
∴? =
2 ，? = 2，
消去?得? = −? + 2，
∴点?在直线? = −? + 2上运动，
作点?(4,0)关于直线? = −? + 2的对称点?′(2,−2)，
∴?? + ??的最小值为?′?的长，
∴?? + ??的最小值 =(2−0)2 + (4 + 2)2 = 2 10，故选项 D 正确，不符合题意．
【变式 02】（2026·山东济南·一模）如图1，在 △ ???中，??为边??上的中线，将 △ ???沿射线??的方向平移得△ ???，设平移的距离为?，△ ???与△ ???重叠的面积为?,?与?的函数图象如图 2 所示，有以下结
论：①?? = 6；② △ ???的面积为10；③点 5,
10
5
6
在?与?的函数图象上；④?
的最大值为 3 ．其中正确的
有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平移及函数图象结合，列出?与?的函数关系式，逐一判断结论是否正确即可.
【详解】解：由图象可知，当? = 6时，? = 0，即： △ ???与△ ???重叠的面积为0，
此时，?与?重合，?? = 6，∴①正确；
当? = 3时，? = 2，?与?重合，?与?重合，令??与??的交点为?，
∵?? ∥ ??，?为??的中点，
5
∴?为??中点，
∵?△??? = 2，
∴?△??? = 2?△??? = 5，
∴?△??? = 2?△??? = 10，∴②正确；
5
当0 ≤ ? ≤ 3时，连接??,??，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 3−?
???
= ，
??
??
3 ，即：??3
同理： △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 3−?，
????3
∴?? = ??，
∵??−?? = ??−??，
∴?? = ??，
∵?? ∥ ??，?
△??? =
? 2
3
× 5 =
5?2，
9
∴四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ?? ∥ ??，?? = ??，
∵ △ ??? ∽△ ???，
∴ ?△??? =
?△???
??
??
2
即：?△??? =
? 2
3
× 5 =
5?2，
9
∴?
△???
= 1? 2
△???
= 5 ?2，
18
?△???
?
同理：
△???
=
3−?
?? 2
??，
2
5(3−?)2
∴?△??? =3
× 5 = 9，
∵? = ?△???−?△???−?△???，
5
∴? = − (?−2)2
6
10
+ 3 ，
即当? = 2时，?
10
=∴④正确；
最大3 ，
当3 < ? ≤ 6时，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
故选：C．
6
18
当? = 5时，? = 5 ≠ 5，∴③错误．
2，
(?−6)
18
5
? =
，
2
(?−6)
18
5
× 10 =
2
(6−?)
36
=
△???
∴?
，
?? 2
??
?△???
?
∴ △??? =
【变式 03】（2025·福建莆田·模拟预测）我们定义一种新函数：形如? = |??2 + ?? + ?|(? ≠ 0,?2−4?? > 0)的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数?：? = |?2−?−6|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A．图象与坐标轴的交点为?(−2,0)，?(3,0)，?(0,6) B．若(?0,?0)在函数图象上，则(1−?0,?0)也在函数图象上
1
C．当? = 2时，函数取得最大值
D．当直线? = −? + ?与函数?的图象有4个交点时，则?的取值范围是3 < ? < 7
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息是解题的关键．求出函数与坐标轴的交点坐标判断 A，根据图象可知，函数没有最大值，判断 C；图象法，判断 B 和 D．
【详解】解： ∵ ? = |?2−?−6|，
∴当? = 0时，? = 6，当? = 0时，?2−?−6 = 0，解得：?1 = 3，?2 = −2，
∴图象与坐标轴的交点为?(−2,0)，?(3,0)，?(0,6)，故 A 正确；
根据图象得：图象的对称轴为直线? = −2+3 = 1，
2
2
∴ 若(?0,?0)在函数图象上，则(1−?0,?0)也在函数图象上，故 B 正确；
由图象可知：当? ≤ −2或? ≥ 3时，函数值?随?值的增大而增大，且无最大值，故 C 错误；当直线? = −? + ?过点?时，直线与函数图象恰好有3个交点，
即0 = −3 + ?，解得：? = 3，
当? = −? + ?与−2 < ? < 3之间的图象相切时，恰好有三个交点，当−2 < ? < 3时，? = −?2 +? + 6，−? + ? = −?2 +? + 6，
整理得：−?2 +2? + 6−? = 0，
∴Δ = 22−4 × (−1) × (6−?) = 0，
解得：? = 7，
∴当直线? = −? + ?与函数?的图象有4个交点时，则?的取值范围是3 < ? < 7，故 D 正确；综上，错误的是 C．
故选：C．
命题点 02 利用一次函数的性质求线段最值
【典例 08】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线? = 3? + 1与 y 轴交于点 A，点 B
3
为 y 轴正半轴上一点，?? = 2
3
3．点 M，N 都是直线? = 3? + 1上的点，∠??? = 45°，则线段??的最小
3
值为（ ）
3
A．2
【答案】B
B．2 2−2C．2 3−2D．2
2
【分析】根据一次函数得出?(0,1),?(− 3,0)，再由正切函数确定∠??? = 30°，得出∠??? = 60°，过点 B
作?? ⊥ ??，确定?? = sin∠??? × ?? = 3 × 2 3 = 1，作 △ ???的外接圆 D，连接??、??，利用圆周角
23
定理得出∠??? = 90°，确定?? = 2??，即当外接圆半径最小时，线段??取得最小值，结合图形过点 D
作?? ⊥ ??，当圆心 D 在??上，点 F 与点 E 重合时，半径取得最小值，然后建立方程求解即可．
【详解】解：∵? = 3? + 1，
3
∴当? = 0时，? = 1，当? = 0时，? = − 3，
∴?(0,1),?(− 3,0)，
∴?? = 1,?? = 3，
，
13
3
∴tan∠??? ==
3
∴∠??? = 30°，
∴∠??? = 60°，
∴∠??? = 60°，
过点 B 作?? ⊥ ??，如图所示：
2
∵?? = 3 3，
∴?? = sin∠??? × ?? = 3 × 2 3 = 1，
23
作△ ???的外接圆 D，连接??、??，
∵∠??? = 45°，
∴∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴?? = 2??，
即当外接圆半径最小时，线段??取得最小值，
过点 D 作?? ⊥ ??，当圆心 D 在??上，点 F 与点 E 重合时，半径取得最小值，如图所示：
此时，∠??? = 45°，
△ ???为等腰直角三角形，
设圆 D 的半径为 r，则?? = 2?，
2
∴ 2? +? = 1，
2
解得：? = 2− 2，
∴线段??的最小值为 2?? = 2 2−2．
【变式 01】（2026·四川南充·一模）若?是直线? = ?−4上一动点，??,?2 + ?−2（?是实数）是坐标平面内一动点，则线段??长度的最小值是（ ）
2
6
15
A．2B．2C．D．
【答案】C
【分析】?是直线? = ?−4上的动点，? ?,?2 + ?−2 的运动轨迹是? = ?2 +?−2，作直线? = ?−4的平行线??:? = ?−?，当??与抛物线只有唯一交点时，两平行线间的距离即为线段??长度的最小值，即可求解．
【详解】解：? ?,?2 + ?−2 的运动轨迹是? = ?2 +?−2，直线? = ?−4与?轴交点为?(0,−4)，与?轴交点为?(4,0)，
∴?? = ?? = 4，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
即线段??长度的最小值为 2．
2
2
2
∴?? = 2?? = 2(4−?) = 2 × (4−2) = 2，
∵??与抛物线只有唯一交点，
∴2−? = 0，解得? = 2，
整理得?2 = 2−?，
? = ?−?
? = ?2 + ?−2
联立
2
2
∴?? = ??，?? = 2?? = 2(4−?)，
作直线? = ?−4的平行线??:? = ?−?，
∴当??与抛物线只有唯一交点时，两平行线间的距离即为线段??长度的最小值，
设??与?轴交点为?(0,−?)，过?(0,−?)作?? ⊥ ??于?，则?? = |−?−(−4)| = 4−?，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
2
2
【变式 02】（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点?在直线? = −? + 1上运动，将点?绕原点顺时针旋转90°，得到点?′，连接??′，则??′的最小值为（ ）
1
A．2
B． 2
C．
D．1
【答案】D
【分析】利用旋转的性质和勾股定理可得??′ =??2 + ??′2 = 2??，即知要求??′的最小值，即求??的最小值，又由垂线段最短可知??的最小值是原点?到该直线的垂线段长度，最后利用三角形的面积解答即可求解．
【详解】解：如图，
2
∴??′的最小值为 2 × 2 = 1．
2
即??的最小值为 2 ，
2
解得ℎ = 2，
2 × ℎ，
1
1
设斜边上的高（即垂线段长度）为ℎ，由三角形面积公式得2 × 1 × 1 = 2 ×
∵点?绕原点?顺时针旋转90°得到点?′，
∴?? = ??′，∠???′ = 90°，
∴??′ =??2 + ??′2 = 2??，
要求??′的最小值，即求??的最小值，
∵点?在直线? = −? + 1上，??的最小值是原点?到该直线的垂线段长度，
∵? = 0时? = 1，? = 0时? = 1，
∴直线? = −? + 1与?轴交于(1,0)，与?轴交于(0,1)，
∴直线与坐标轴围成的直角三角形斜边长为 12 + 12 = 2，
：
【变式 03】（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点? −2，0 ，点?是直线??? = 1
2
? + 2上的一个动点，连接??，将??绕点?逆时针旋转90°到??，连接??，则线段??的最小值是．
【答案】6 5/6 5
5 5
【分析】过点?作?? ⊥ ?轴，过点?,?分别作??的垂线于点?,?，设直线??交?轴于点?，交??于点?，证明
△ ???≌ △ ???(AAS)，设? ?, 2 ? + 2 ，结合全等三角形的性质得出? −4− 2 ?,2 + ? ，进而可得点?在直
线? = −2?−6上运动，当?? ⊥ ??时，??的值最小，证明 △ ???是直角三角形，?? ⊥ ??，得出tan??? =
1
1
1
2
，根据(??)2 + (2??)2 = 62，即可求解．
【详解】解：∵将??绕点?逆时针旋转90°到??，
∴∠??? = 90°,?? = ??，
1
∵点?是直线??：? = 2? + 2上的一个动点，
设? ?,
1 ? + 2
2
如图，过点?作?? ⊥ ?轴，过点?,?分别作??的垂线于点?,?，设直线??交?轴于点?，交??于点?，
∴∠? = ∠? = 90°
∵∠??? = 90°
∴∠??? = 90°−∠??? = ∠???
又∵?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)
∴?? = ??,?? = ??
∵?(−2,0)
，? ?,
1 ? + 2
2
∴?? = −2−?，?? =
1
2? + 2
11
∴? −2− 2 ?−2,2 + ? ，即? −4− 2 ?,2 + ?
令1
? = −4− ?，? = 2 + ?
2
∴? = −2?−6
∴点?在直线? = −2?−6上运动，当?? ⊥ ??时，??的值最小，
? = 1 ? + 2
联立2
? = −2?−6
，解得：
? = −3.2
? = 0.4
∴? − 16 , 2
5 5
∴??2 +??2 = ??2，?? = 8 5,?? = 16 5，
6 5
5
5
∴ △ ???是直角三角形，?? ⊥ ??，
∴tan??? =
??
??
8 5
= 5 =
16 5
5
1
2
，
∴?? = 2??，
∴(??)2 + (2??)2 = 62
∴5??2 = 62
∴?? = 5 ，即线段??的最小值是 5 ．
6 5
5
=，??2 = (2 + 6)2 = 64
5
256
2
2
++ 6
16 2
5
5
5
64
2 2
2−=，??2 =
+
16 2
5
∴??2 =
命题点 03 一次函数中线段和最短问题
【答案】(−6,3)
【分析】根据轴对称最短路径，作点?关于??的对称点?′，结合点到直线垂线最短可得?′?即为最短，交点
?即为所求，根据矩形的性质，垂直平分线的性质可得??′ = ?? = 10， △ ???为等腰三角形，运用锐角三
角函数可得?? = 5，可求出??的值，根据?? = ??即可求解??的值，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作点?关于??的对称点?′，过点?′作??的垂线，交??，??于点?，?，根据点到直线垂线最短可得此时?? + ?? = ?′? + ?? = ?′?的值最小，
??3
????
【典例 09】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形????顶点坐标分别为?(0,0)、?(−10,0)、?(−10,5)，在线段??和??上各有一个动点?、?，当?? + ??的值最小时，点?的坐标为．
∵四边形????是矩形，?(0,0)，?(−10,0)，?(−10,5)，
∴?? = ?? = 10，?? = ?? = 5，连接??′交??于点?，
∵四边形????是矩形，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∵点?′关于??对称，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，则?? = ??，即△ ???是等腰三角形，根据对称可得，?? = ??′，??是??′的垂直平分线，
∴??′ = ?? = 10，
设?? = ?? = ?，则?? = ??−?? = 10−?，
∴在直角△ ???中，??2 = ??2 +??2，
∴?2 = 52 + (10−?)，
25
解得，? = 4 ，
252515
∴?? = ?? =
4 ，?? = 10− 4 = 4 ，
∵∠??? = ∠?′?? = ∠???，
∴cs∠??? = cs∠?′?? = cs∠??? =
∴ ?? = 3，
??
??
153
==
，
4
255
4
??′
∴?? =
5
3
5?
?′
= 3 × 10 = 6，
5
∵∠??? = ∠???，
??51
∴tan∠??? = tan∠??? = ?? = 10 = 2，
∴?? = 1
??2，
∴?? =
1
?? =
2
1 × 6 = 3，
2
∴?(−6,3)，
故答案为： (−6,3)．
【点睛】本题考查了轴对称最短路径，矩形的性质，坐标与图形，垂直平分线的性质，锐角三角函数的计
算等知识的综合，掌握轴对称最短路径，矩形的性质，三角函数的计算方法是解题的关键．
【答案】4 3
【分析】将△ ???绕点 B 逆时针旋转60°得到△ ?′??′，证出?? + ?? + ?? = ?′?′ +??′ +??，要
?? + ?? + ??的和最小时，即点?′、?′、P、C 在一条直线上，即最小值为?′?，过点?′作?′? ⊥ ??，交??
的延长线于点 F，求出?? = 4，?′? = 3? = 2 3，连接??′，即可求解．
【详解】解：将△ ???绕点 B 逆时针旋转60°得到△ ?′??′，
∴ △ ???≌ △ ?′??′，
∴∠?′?′? = ∠???，?? = ?′?，?′?′ = ??，??′ = ??，∠?′?? = 60°，
∴ △ ???′为等边三角形，
∴∠??′? = ∠???′ = 60°，??′ = ??，
∴?? + ?? + ?? = ?′?′ +??′ +??，
要使?? + ?? + ??的和最小时，即点?′、?′、P、C 在一条直线上，即最小值为?′?，过点?′作?′? ⊥ ??，交??的延长线于点 F，
在Rt △ ?′??中，∠?′?? = 180°−∠?′??−∠??? = 60°，设?? = ?，则?′? = 2?，
∴?′? =?′?2−??2 = 3?，
∵?′? = ??，
∴?? = 2?，
∵?? + ?? = 8，
【变式 01】（2024·陕西西安·三模）在锐角 △ ???中，?? + ?? = 8，∠??? = 60°，在△ ???内有一点 P，当?? + ?? + ??的和最小时， △ ???的面积为 ．
∴?? = 8−?? = 8−2?，
∴?? = ?? + ?? = 8−?，
在Rt △ ?′??中，?′?2 = ?′?2 +??2，即?′?2 = 3?2 + (8−?)2 = 4(?−2)2 +48，当? = 2，即?? = 2? = 4时，?′?2最小，
此时，?? = 4，?′? = 2 3，
连接??′，∵∠??′? = 60°，∠?′?? = 120°，
∴∠??′? + ∠?′?? = 180°，
∴??′∥??，
∴?△??? =
1
2
?? ⋅ ?′? = × 4 × 2 3 = 4 3，
1
2
故答案为：4 3．
【点睛】本题考查旋转的性质、勾股定理、等边三角形的性质和判定、平行线的判定及二次函数最值，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【变式 02】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线
1
??:? = 2? + 3
与 x 轴交于点 A，
【答案】2 13
【分析】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理，先求出?(2,4)，?(−2,2)，作点?关于?轴的对称点?′，连接??′交?轴于?，则点?即为所求，由轴对称的性质可得?′(2,−4)，?? = ??′，则
?? + ?? = ??′ +?? ≥ ??′，当?、?、?′在同一直线上时，?? + ??最小，为??′，由勾股定理求出??′的长
即可得解．
【详解】解：将?(2,?)代入直线??:? = 1? + 3得
2
1
× 2 + 3 = ?，即
2
1
× 2 + 3 = ?，故?(2,4)，
2
将?(?,2)代入直线??:? = 1? + 3得
2
1
× ? + 3 = 2，解得? = −2，即?(−2,2)；
2
如图，作点?关于?轴的对称点?′，连接??′交?轴于?，则点?即为所求，
点?(2,?)在第一象限，线段??上有一点?(?,2)，点 P 为 x 轴上一动点，连接??，??，当?? + ??的值最小时，此时?? + ??的最小值为．
由轴对称的性质可得：?′(2,−4)，?? = ??′，
∴?? + ?? = ??′ +?? ≥ ??′，
当?、?、?′在同一直线上时，?? + ??最小，为??′，
∵??′ =(−2−2)2 + 2−(−4)= 2 13，
2
∴?? + ??的最小值为2 13，
故答案为：2 13．
命题点 04 一次函数与反比例函数解答题最值
2
【典例 10】（2026·江苏宿迁·二模）如图，反比例函数? = ?的图象与直线? = −? + 4交于?，?两点，点?
是线段??上一个动点（与?、?两点不重合），过?点分别作?轴、?轴的垂线，垂足分别为点?、?，??、??与反比例函数图象分别交于点?、?．
求?点的坐标；
(2)求?? + ??的最小值．
【答案】(1) 2− 2,2 + 2
(2)2
【分析】（1）把反比例函数? = ?与一次函数? = −? + 4的解析式联立起来，解方程即可求出点?的坐标；
（2）点?是线段??上一个动点，设点?的坐标为(?,−? + 4)，则有点?的纵坐标为−? + 4，点?的横坐标为
2
?，根据点?、?在反比例函数? = ?上，分别求出点?的横坐标和点?的纵坐标，即为??、??的长度，所以可
2
8
得?? + ?? = −?2+4?，再利用二次函数的性质求出?? + ??的最小值．
2
【详解】（1）解：解方程? = −? + 4，
整理可得：?2−4? + 2 = 0，
解得：?1 = 2 + 2，?2 = 2− 2，
∴ 点?在点?左侧，
∴ 点?的横坐标为2− 2，
∴ ? = −? + 4 = − 2− 2 +4 = 2 + 2，
∴ 点?的坐标为 2− 2,2 + 2 ；
（2）解： ∵ 点?是线段??上一个动点，
设点?的坐标为(?,−? + 4)，其中4−2 2 < ? < 4+2 2，
22
∴ 点?的纵坐标为−? + 4，点?的横坐标为?，
2
∵ 点?在反比例函数? = ?上，
2
∴ ?
= −? + 4，
2
∴ ? = −?+4，
2
∴ ?? = −?+4，
2
∵ 点?的横坐标为?，点?在反比例函数? = ?上，
2
∴ 点?的纵坐标为? = ?，
2
∴ ?? = ?，
222?+2(−?+4)8
∴ ?? + ?? = −?+4 + ? =
?(−?+4)= −?2+4?，
∴ −?2 +4? = −(?−2)2 +4，
当−(?−2)2 +4取最大值时?? + ??有最小值，
∵ −(?−2)2 +4的最大值为4，
8
∴ ?? + ??的最小值为 2
= 8 = 2．
−? +4?4
【变式 01】（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系???中，▱????的边??在 x 轴上，点 B 的坐
标为(9,3)，点 C 的坐标为(5,0)，反比例函数? = ?(? ≠ 0,? > 0)的图象经过点 A，与??交于点 E．
?
求该反比例函数的表达式；
点 G 是 y 轴上的动点，连接??，??，求?? + ??最小值时点 G 坐标；
【答案】(1)? = 12 ? > 0)
?
(
(2)? 0, 13
5
(3)存在，点 P 坐标为 3 , 2
【分析】（1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点?(4,3)，再利用待定系数法求解即可；
（2）作点 A 关于 y 轴的对称点?′，连接?′?交 y 轴于 G，此时?? + ??的值最小，最小为?′?，求出直线??
8 9
解析式为? = 1?，与反比例函数解析式联立求出?(6,2)．作点 A 关于 y 轴的对称点?′，连接?′?交 y 轴于 G，
3
此时?? + ??的值最小，最小为?′?，再利用勾股定理求解即可；
（3）过点 E 作?? ⊥ ?轴于点 F，过点 A 作?? ⊥ ?轴于点 D，过点 P 作?? ⊥ ?轴于点 G，设? ?, ? ，求得
12
?△??? = −2? + ? ，由?△??? = ?梯形???? + ?△???−?△???求得?△??? = 5，据此列式计算求解即可．
【详解】（1）解：∵▱????的边??在 x 轴上，点 B 坐标为(9,3)，
3
24
如图 1，过点 B 作?? ⊥ ?轴于点 H，过点 A 作?? ⊥ ?轴于点 D，
∴?? = 9，?? = 3，
连接??，在反比例函数图象上是否存在点 P（点 P 与点 E 不重合），使得?△??? = ?△???？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
∵点 C 坐标为(5,0)，
∴?? = 5，
∴?? = ??−?? = 4，
∴?? =??2 + ??2 =32 + 42 = 5，
∴?? = ?? = 5，
∴▱????是菱形，
∴?? = ?? = ?? = ?? = 5，
∵?? ⊥ ?轴，?? ⊥ ?轴，
∴?? = ?? = 3，
∴?? =52−32 = 4，
∴点?(4,3)．
?
∵反比例函数? =
?
∴? = 4 × 3 = 12，
? ≠ 0，? > 0 的图象经过点?(4,3)，
∴反比例函数的表达式为? = 12(? > 0)；
?
解：如图 2，作点 A 关于 y 轴的对称点?′，连接?′?交 y 轴于 G，此时?? + ??的值最小，最小为?′?，
设直线??解析式为? = ??，
∵点 B 坐标为(9,3)，
∴9? = 3，
1
∴? = 3，
∴直线??解析式为? =
1?，
3
∵反比例函数? = 12(? > 0)的图象与??交于点 E，
?
1
∴ ? =
3
12
? ，
∴? = 6或? = −6（舍去），
∴?(6,2)，
∵?(4,3)，
∴?′(−4,3)，
连接?′?，交 y 轴于点 G，此时?? + ?? = ?′? + ?? = ?′?最小．设直线?′?的解析式为? = ?? + ?．
6? + ? = 2
将?′(−4,3)，?(6,2)代入： −4? + ? = 3
10
? = − 1
解得 ? = 13 ，
5
∴直线?′?的解析式为
? = −
113
? + 5 ．
10
13
令? = 0，得? = 5 ．
5
∴点 G 坐标为 0, 13 ；
解：反比例函数图象上存在点 P（点 P 与点 E 不重合），使得?△??? = ?△???，理由如下：如图 3，过点 E 作?? ⊥ ?轴于点 F，过点 A 作?? ⊥ ?轴于点 D，过点 P 作?? ⊥ ?轴于点 G，
∴?? = 2，?? = 6，?? = 3，?? = 4，
∴?? = ??−?? = 2，
?
设? ?, 12 ，
∴?△??? = ?梯形???? + ?△???−?△???
1121121
= 2 3 + ?× (4−?) + 2 × ? × ? − 2 × 4 × 3
= −2? + ? ，
∵?△??? = ?梯形???? + ?△???−?△???
3
24
= 2 (2 + 3) × 2 + 2 × 4 × 3− 2 × 6 × 2
= 5 + 6−6 = 5，
111
∴?△??? = −2? + ? = 5，
整理得：3?2 +10?−48 = 0，
324
∴? = 3或? = −6（舍去），
8
∴点 P 的坐标为 3 , 2 ．
8 9
?
【变式 02】（25-26 九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在平面直角坐标系???中，直线? = ? + ?与反比例函数? = ?的图像的一个交点为?(?,3)，与 x 轴的交点为?(−4,0)．
求?，?的值．
若点?是?轴上的一个动点，当 △ ???的周长最小时，求点?的坐标．
3
?为?轴上一点，直线??交反比例函数的图像于点?（异于?），连接??，若 △ ???的面积为2，求点?
的坐标．
【答案】(1)? = −1，? = −3
(2)点?的坐标为 0, 5
12
(3)点?的坐标为 − 2 ,2
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题
3
的关键．
（1）把?(−4,0)代入? = ? + ?求出?值，把?(?,3)代入可求出?的值，代入? = ?即可求出?的值；
（2）作点?关于?轴的对称点?1，连接??1，交?轴于?，根据轴对称的性质得出△ ???的周长最小为
?
?? + ?? ，利用待定系数法可求出直线?? 的解析式为
312
? = 0，求出?值，即可得答案；
5
11? = − ? +，令
5
（3）设? ?,− 3 ，直线??的解析式为? = ? ? + ? ，利用待定系数法得出直线??的解析式为3
?11
? = −?? +
3?−3，求出?(?−1,0)，根据△ ???的面积为3得出1|? + 3| ⋅ |− 3| = 3，解方程即可得答案．
?22
?2
?
【详解】（1）解：∵直线? = ? + ?与反比例函数? =
?(?,3)，与 x 轴的交点为?(−4,0)，
?的图像的一个交点为
∴−4 + ? = 0，? + ? = 3，
解得：? = 4，? = −1，
∴?(−1,3)，
?
∴3 = −1，
解得：? = −3．
（2）解：如图，作点?关于?轴的对称点?1，连接??1，交?轴于?，
∴?? = ??1，
∴?? + ?? = ?? + ??1，
∴?、?、?1三点共线时?? + ??有最小值，为??1，
∴ △ ???的周长最小，为?? + ??1，
∵?(−4,0)，
∴?1(4,0)，
设直线??1的解析式为? = ?? + ?，
∵?(−1,3)，
4? + ? = 0
∴ −? + ? = 3 ，
? = − 3
5
解得：
? = 12 ，
5
∴直线?? 的解析式为
312
5
1? = − ? +，
5
12
当? = 0时，? = 5 ，
5
∴点?的坐标为 0, 12 ．
（3）解：由（1）得? = −3，
3
∴反比例函数解析式为? = −?，
∵直线??交反比例函数的图像于点?（异于?），
∴设? ?,− 3 ，直线??的解析式为? = ? ? + ? ，
?
?? + ?
11
= − 3
∴11
? ，
−?1 + ?1 = 3
?1
解得： ?1
= − 3
，
?
= 3?−3
?
3
∴直线??的解析式为? = − ? +
?
3?−3
? ，
当? = 0时， 3
3?−3
，
= 0
−?? + ?
解得：? = ?−1，
∴?(?−1,0)，
∴?? = |?−1−(−4)| = |? + 3|，
3
∵ △ ???的面积为2，
∴ ?? ⋅| = |? + 3| ⋅ |− | = 3，
|?
113
2?2
?2
当? < −3时，(−?−3) − 3
?
= 3，整理得? + 3 = ?（舍去），
当? > 0时，
3，整理得? + 3 = ?（舍去），
(? + 3) ⋅ ? = 3
当−3 ≤ ? < 0时，(? + 3) − 3
?
= 3，
3
解得：? = −2，
3
∴−?
= 2，
3
∴点?的坐标为 − 2 ,2 ．
命题点 05 二次函数的图象与性质求最值
【典例 11】（2026·陕西西安·二模）已知二次函数? = −?2 +2? + ?（a 为常数），当? ≤ ? ≤ 3时，y 有最大值? + 1，最小值?−3，则 m 的取值范围是（ ）
A．? ≤ −1B．1 ≤ ? ≤ 2C．−1 ≤ ? ≤ 1D．−1 ≤ ? ≤ 2
【答案】C
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；再结合给定的最大值和最小值，分析函数在? ≤ ? ≤ 3时的增减性与最值取得的位置，进而确定?的取值范围．
【详解】解：二次函数解析式为? = −?2 +2? + ?，将其化为顶点式：
? = −(?2−2? + 1) + 1 + ? = −(?−1)2 +(? + 1)．
∵二次项系数−1 < 0，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,? + 1)，当? = 1时，函数取得最大值? + 1．
∵?的最大值为? + 1，
∴? = 1必须在取值范围? ≤ ? ≤ 3内，即? ≤ 1．
抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，? = 3到对称轴? = 1的距离为3−1 = 2．函数的最小值为?−3，
将? = 3代入解析式得?(3) = −32 +2 × 3 + ? = ?−3，
∴函数在? = 3处取得最小值，
要保证?(3)在? ≤ ? ≤ 3时的最小值，则需满足?(?) ≥ ?(3)，即? = ?到对称轴? = 1的距离不大于? = 3到对称轴的距离，
∴|?−1| ≤ |3−1|，解得−1 ≤ ? ≤ 3，
综上，?的取值范围为−1 ≤ ? ≤ 1．
【变式 01】（2026·四川宜宾·二模）若1 ≤ ? ≤ 3时，二次函数? = 2?2−3?? + 4的最小值为−23，则?的值是（ ）
6
29
A． 3B．−2
C．2
D．5
6
【答案】D
【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果．
【详解】∵二次函数? = 2?2−3?? + 4的二次项系数为2 > 0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线? = ?，
3
4
4
43
???? = 2 × 32−3? × 3 + 4 = 22−9? = −23，解得? = 5，符合? ≥ 4的条件，
∴? = 5．
3
③ 当4? ≥ 3，即? ≥ 4时，
在1 ≤ ? ≤ 3范围内，y 随 x 的增大而减小，当? = 3时，y 取得最小值，
4
解得? =± 2 6，均不在3 < ? < 4范围内，舍去；
9 2
8
3
2
3
??? = 2 × ( 4 ?) −3? × (4?) + 4 = − ? +4 = −23，
?
4
二次函数最小值在对称轴处取得，将? = 3?代入得：
3
②当1 < ? < 3，即 < ? < 4时，
3
4
29
∵> 3，不符合条件，舍去；
29
解得? = 3 ，
∴???? = 2 × 12−3? × 1 + 4 = 6−3? = −23，
4
3
①当4? ≤ 1，即? ≤ 3时，
在1 ≤ ? ≤ 3范围内，y 随 x 的增大而增大，当? = 1时，y 取得最小值，
此时分三种情况讨论：
【变式02】（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线? = ??2−2?2? + 1(? > 0)上有两点?(?1,?1)
和?(?2,?2)，当?1 = 6?，1 ≤ ?2 ≤ 2时，都有?1 > ?2成立，则 a 的取值范围是．
【答案】? > 1
3
【分析】推导出抛物线开口向上，在1 ≤ ?2 ≤ 2时，函数最大值在端点? = 1或? = 2处取得，需满足?6? >
?1且?6? > ?2，得到不等式组 24?3 + 1 > −4?2 + 4? + 1② ，求出? > 3，即可解答．
【详解】解：∵抛物线? = ??2−2?2? + 1中? > 0，
24?3 + 1 > −2?2 + ? + 1①
1
∴抛物线开口向上，在1 ≤ ?2 ≤ 2时，函数最大值在端点? = 1或? = 2处取得，
当? = 6?时，记函数值为?6?，当? = 1时，记函数值为?1，当? = 2时，记函数值为?2，
∵点?(6?,?1)的纵坐标恒大于区间1 ≤ ?2 ≤ 2上任意点的纵坐标，
∴需满足?6? > ?1且?6? > ?2，
∵?6? = ? ⋅ (6?)2−2?2 ⋅ 6? + 1 = 24?3 +1，
1
综上所述，a 的取值范围是? > 3．
1
∵当? > 3时，6? > 2，不在区间1 ≤ ?2 ≤ 2内，符合题意．
1
24?3 + 1 > −2?2 + ? + 1①
∴ 24?3 + 1 > −4?2 + 4? + 1② 的解集为? > 3．
1
1
解得? > 3或? < −2（不符合题意，舍去）．
∵? > 0，
∴6?2 +?−1 > 0， (3?−1)(2? + 1) > 0，
3?−1 > 03?−1 < 0
2? + 1 > 0 或 2? + 1 < 0 ，
1
1
解得? > 6或? < −4（不符合题意，舍去）；
由②，得24?3 +4?2−4? > 0，
4?(6?2 +?−1) > 0．
?1 = ? ⋅ 12−2?2 ⋅ 1 + 1 = −2?2 +? + 1，
?2 = ? ⋅ 22−2?2 ⋅ 2 + 1 = −4?2 +4? + 1， 24?3 + 1 > −2?2 + ? + 1①
∴ 24?3 + 1 > −4?2 + 4? + 1② ，
由①，得24?3 +2?2−? > 0，
?(24?2 +2?−1) > 0．
∵? > 0，
∴24?2 +2?−1 > 0， (6?−1)(4? + 1) > 0，
6?−1 > 06?−1 < 0
4? + 1 > 0 或 4? + 1 < 0 ，
【答案】 4
15
【分析】先将已知点坐标代入二次函数解析式求出?的可能取值，再根据对称轴位置确定符合条件的?的值，
最后计算二次函数的最小值即可．
【详解】解：二次函数? = ?2 +?? + ?2−?中，? = 1 > 0，因此二次函数开口向上，有最小值．
∵ 二次函数图象经过点(0,6)，
【变式 03】（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，二次函数? = ?2 +?? + ?2−?（?为常数）的图象经过点(0,6)，其对称轴在?轴左侧，则该二次函数的最小值为．
∴ 将? = 0,? = 6代入解析式得：?2−? = 6，
整理得?2−?−6 = 0，解得? = 3或? = −2．
∵ 对称轴在?轴左侧，二次函数对称轴公式为? = −2?，
?
∴ ? = − < 0，
?
2
解得? > 0，
因此? = −2舍去，得? = 3．
将? = 3代入二次函数解析式得：? = ?2 +3? + 32−3 = ?2 +3? + 6，
配方得? = (? + ) + 4 ，
3
215
2
因此该二次函数的最小值为 4 ．
15
【答案】 3
【分析】根据二次函数的性质，分 3 种情况进行讨论求解即可.
【详解】解：∵? = −?2 +2?? + 1 = −(?−?)2 + ?2 +1，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线? = ?，
∴当? < ?时，?随着?的增大而增大，当? > ?时，?随着?的增大而减小，
∵当1 ≤ ? ≤ 3时，函数的最大值为 4，
∴当? > 3时，则当? = 3时，函数有最大值为−9 + 6? + 1 = 4，解得? = 2（舍去）；当? < 1时，则当? = 1时，函数有最大值为−1 + 2? + 1 = 4，解得? = 2（舍去）；
当1 ≤ ? ≤ 3时，则当? = ?时，函数有最大值为−?2 +2?2 +1 = 4，解得? = 3或? = − 3
（舍去）；
综上：? = 3.
【变式 04】（2026·山东聊城·一模）已知二次函数? = −?2 +2?? + 1，当1 ≤ ? ≤ 3时，函数的最大值为 4，则 m 的值为．
【变式 05】（2026·江苏南通·一模）若1 ≤ ? ≤ 3时，二次函数? = 2?2−3?? + 4的最小值为−23，则? =
．
【答案】5
【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果.
3
???? = 2 × 32−3? × 3 + 4 = 22−9? = −23，
解得? = 5，符合? ≥ 4的条件.
4
43
二次函数最小值在对称轴处取得，将? = 3?代入得：
4
???? = 2 × 4 ?−3? × 4 ? +4 = − ? +4 = −23，
3
23
9 2
8
解得? =± 2 6，均不在3 < ? < 4范围内，舍去；
4
③ 当4? ≥ 3，即? ≥ 4时，
在1 ≤ ? ≤ 3范围内，y 随 x 的增大而减小，当? = 3时，y 取得最小值，
3
②当1 < ? < 3，即 < ? < 4时，
4
29
∵ 3 > 3，不符合条件，舍去；
29
解得? = 3 ，
???? = 2 × 12−3? × 1 + 4 = 6−3? = −23，
4
3
①当4? ≤ 1，即? ≤ 3时，
在1 ≤ ? ≤ 3范围内，y 随 x 的增大而增大，当? = 1时，y 取得最小值，
分三种情况讨论：
3
4
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线? = ?，
【详解】解：∵ 二次函数? = 2?2−3?? + 4的二次项系数为2 > 0，
命题点 06 二次函数与几何综合求最值
【典例 12】（2026·四川南充·一模）如图 1，在矩形????中，点?为??的中点，点?为??边上一点（不与
?，?重合），?? ⊥ ??交??于点?，?? = 6，?? = 8．
(1)若?? = 1??，求证：?? = ??；
3
当点?在??边上运动时，求??的最大值；
1
如图 2，连接??，当tan∠??? = 2时，求??的值．
【答案】(1)见解析
9
(2)??最大 = 4
(3)??的长为 2 或 4
【分析】（1）利用一线三垂直模型，证明△ ???≌ △ ???(AAS)，从而得出?? = ??；
根据勾股定理和一元二次函数模型求??的最大值；
利用三角函数定义以及相似三角形的性质构建分式方程求解线段??的值．
【详解】（1）证明： ∵ 点?是??的中点，?? = 6，?? = 8．
∴?? =
1?? = 4．
2
∵ ?? =
1?? = 2，
3
∴ ?? = ??−?? = 4，
∴ ?? = ??．
∵ 四边形????是矩形，
∴ ∠? = ∠? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°．
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???．
在△ ???和 △ ???中，
∠? = ∠?
∠??? = ∠???
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??．
（2）解：设?? = ?，则?? = 6−?，
由（1）知：∠? = ∠?，∠??? = ∠???
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
??
∴ ? =
6−?
4 ，
?(6−?)
4
∴ ?? =
1(?−3)2 + 9，
4
= −
4
9
当? = 3时，??最大 = 4．
（3）解：如图，设??的中点为点?，过点?作?? ⊥ ??交??于点?，在??上截取?? = 2?? = 4，连接??，以点?为圆心??为半径作⊙ ?，交??于点?，连接??，??．
∵ ?是??的中点，?? ⊥ ??,
∴ ??是??的垂直平分线，
∴ ?? = ??，
∴ ?在⊙ ?上．
∴ ∠??? =
1∠???．
2
∵ ?? = ??，?? ⊥ ??，
∴ ∠??? =
1∠???，
2
∴ ∠??? = ∠???．
在Rt △ ???中，tan∠??? = ?? = 1，
??2
1
∴ tan∠??? = tan∠??? = 2．
1
即当tan∠??? = 2时，点?为⊙ ?交??的交点．
∵ ∠??? = ∠? = ∠? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，
∴ ∠??? = 90°，?? = ?? = 6．
∴ ?? = ??−?? = 2，
∴ ?? = ??，
又?? = ??，
∴ Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴ ?? = ?? = 4，
∴ ?? = ??−?? = 2．
设?? = ?，则?? = 6−?．
由（2）知： △ ??? ∽△ ???．
∴ ?? = ??，
??
??
∴ ? = 4 ．
整理得：?2−6? + 8 = 0，解得? = 2或4．
2
6−?
经检验：? = 2或4都是原方程的根．
∴ ? = 2或4．
∴ ?? = 2或4，即??的长为2或4．
【变式 01】（2026·湖南益阳·二模）如图 1，点?是正方形????边??上的动点（不与点?,?重合）．将线段
??绕点?顺时针旋转90∘得到线段??，过点?作?? ⊥ ??，交??的延长线于点?．边??分别与??,??相交于点
?,?．
证明： △ ???≌ △ ???．
已知正方形????的边长为 1，设?? = ?．
??
①求??的值；（结果用含?的式子表示）
②如图 2，连接??，当线段??的长度取得最大值时，求tan∠???的值．
【答案】(1)见详解
(2)① ?2 +?
② 2
【分析】(1) 利用正方形性质和旋转性质，通过角的关系证明对应角相等，再用 AAS 证明三角形全等．
1
(2) ①先利用全等和相似求出??，再通过作垂线构造相似三角形求出??，进而求出比值．
②利用二次函数求出??最大时 a 的值，再用勾股定理求出 △ ???的三边长，利用面积法求出点 M 到??
的距离，最后在直角三角形中用正切定义求解．
【详解】（1）证明： ∵ 四边形????是正方形，
∴ ∠? = 90°，?? = ??，
∵ 将线段??绕点?顺时针旋转90°得到线段??，
∴ ?? = ??，∠??? = 90°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠? = 90° = ∠?，
∵ ?、?、?三点共线，
∴ ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
在Rt △ ???中，∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中：
∠? = ∠?，
∠??? = ∠???，
?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)．
（2）①解： ∵ 正方形????的边长为1，?? = ?，
∴ ?? = ?? = ?? = 1，?? = 1−?，
由（1）知△ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ?? = 1，?? = ?? = ?，
∵ ?、?、?、?四点共线，
∴ ?? = ??−?? = ?? + ??−?? = ? + 1−1 = ?，
∴ ?? = ?? = ?，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
1−?
∴ 1 =
??
? ，
∴ ?? = ?(1−?)，
过点?作?? ⊥ 直线??于点?，
∵ ?? ⊥ ??，?? ∥ ??，
∴ ?、?、?三点共线，
∵ 四边形????中，∠? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，
∴ ?? = ?? = ?? + ?? = ? + 1，?? = ?? = 1，
∵ ?? = ?，
∴ ?? = ??−?? = 1−?，
∵ ?? ∥ ??，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
∵ ?? = 1，
??1
∴ 1−? = ?+1，
1−?
∴ ?? = ?+1，
??
∴ ?? =
?(1−?)
1−?
?+1
= ?(? + 1)．
1 21
②解： ∵ ?? = ?(1−?) = − ?−
2
+ 4，
1
∴ 当? = 2时，??取得最大值，
1
此时?? = ?? = 2，
1− 11
由①知?? = 2 = ，
1+13
2
12
∴ ?? = ??−?? = 1−3 = 3，
12
在Rt △ ???中，?? = 2，?? = 3，
∴ ?? =??2
+ ??2 =
1 22
+
23
25
= 6，
1
在Rt △ ???中，?? = 1，?? = 2，
∴ ?? =??2
+ ??2
=12 +
1 2 5
，
2= 2
过点?作?? ⊥ ??于点?，
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ 四边形????是矩形，
11
∴ ?? = ?? = 2，?? = ?? = 2，
2
∵ ?? = 3，
2 11
3
∴ ?? = ??−?? = −
2
= 6，
22
1 21 2
10
在Rt △ ???中，?? =??
∵ 点?在△ ???外部，
+ ?? =
2+ 6= 6 ，
∴ ?△??? = ?△??? + ?梯形????−?△???
112121111
= 2 × 2 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 − 2 × 1 × 2
171
= 6 + 24 − 4
5
= 24，
1
过点?作?? ⊥ ??于点?，
∵ ?
△??? = 2 × ?? × ??，
155
∴ 2 × 2 × ?? = 24，
，
5
∴ ?? = 6
225 2
5 2 20 5
在Rt △ ???中，?? =??
−?? =
6− 6=
6 = 3 ，
∴ tan∠??? =
??
??
51
5
2
= 6 = ．
3
【变式 02】（2026·辽宁丹东·一模）随着健康中国理念深入人心，全民健身需求日益增长，某小区物业决定在一块空地上修建运动场地．如图所示， △ ???为这块空地，已知空地的面积为12600m2，??的长为
210m，现计划在这块空地上修建一个矩形的运动场地????，使??在边??上，点?、点?分别在边??、边??
上．
(1)求 △ ???的边??上的高；
(2)为了充分利用空地，要使矩形运动场地的面积最大，求出其最大面积．
【答案】(1) △ ???的边??上的高为120m
(2)矩形????的面积最大为6300m2
【分析】（1）过点?作?? ⊥ ??，垂足为点?，利用三角形的面积求解即可．
（2）设??交??于点?，??的长为?m，由矩形的性质证明 △ ??? ∽△ ???，由相似三角形的性质得出
?? =
4?m，再根据线段的和差得出?? = ?? = 120−
7
4 ? m，再根据矩形的面积公式列出关于 x 的二次函数，
7
最后利用二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】（1）解：过点?作?? ⊥ ??，垂足为点?，
∵空地的面积为12600m2，??长为 210m
1
∴???? = 2?? × ??
1
∴12600 = 2 × 210 × ??
∴?? = 120m
答： △ ???的边??上的高为 120m．
（2）解：设??交??于点?，??的长为?m，
∵四边形????为矩形，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠?，∠??? = ∠?，
∴ △ ??? ∽△ ???，
4
7
∴拋物线开口向下，
∴当? = 105时，四边形????面积最大，即S四边形???? = 6300m2
答：矩形????的面积最大为6300m2．
4
7
∵− < 0，
4
7
= − (?−105)2 +6300(0 < ? < 210)，
4
∴ S???? = ?? ⋅ ?? = ? 120− 7 ? ，
? m，
4
7
∴?? = ?? = 120−
∴=
∴?? = ?m，
?
，
210
120
∴ ?? =
??，
??
??
??
命题点 07 二次函数解答压轴之周长最小
【典例 13】（2026·山东济南·一模）已知，抛物线? = −?2 +2??−?2 +4(? > 0)与?轴交于?、?两点，交
?轴于点?．
当点?坐标为(0,3)时，求抛物线的表达式及点?的坐标；
如图 1，在（1）的条件下，点?是直线??上方抛物线上的一个动点，过点?作?? ∥ ?轴交??于点?，?? ⊥ ??
交??于点?，求△ ???周长的最大值；
如图 2，抛物线顶点为点?，直线?经过点?，与抛物线交于点?，直线?与直线??所夹的锐角为?，若tan? =
1
3，请直接写出??的长．
【答案】(1)? = −?2 +2? + 3，?(3,0)
(2) △ ???周长的最大值为42 + 1
9
(3) 2或5 26
【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令? = 0求解点 B 坐标；
（2）先求解直线??:? = −? + 3，然后证明△ ???为等腰直角三角形，则?? = 2?? = ??，那么?△???
2
= ?? + ?? + ?? =2 + 1 ??，故当??取得最大值时，?△???取得最大值，设? ?,−?2 + 2? + 3 ， 则?(?,−? + 3)，则?? = −?2 +2? + 3−(−? + 3) = −?2 +3?，再由二次函数的性质求解??的最大值，即可求解?△???的最大值；
（3）根据抛物线的解析式可得?(?−2,0)，?(?,4)；当点?在 x 轴上方时，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，设??
1
与??交点为点?，在射线??上取点?，使得?? = 3??，连接??，可得tan? = tan∠??? = 3，则
∠? = ∠???，证明 △ ??? ∽△ ???，求出?(?,2)，则直线??的解析式为? = ?−? + 2，再与抛物线的解析式联立求解点?的坐标，即可求解??；当点?在 x 轴下方时，过点?作?? ⊥ ??交直线?于点?，过点?作?? ⊥ ?
4 14
轴于点?，过点?作?? ⊥ ??，交直线??于点?，证明 △ ??? ∽△ ???，求出? ?− 3 , 3 ，则直线??的解析
式为? = 7?−7? + 14，再与抛物线的解析式联立求解点?的坐标，即可求解??．
【详解】（1）解：由题意得，将点?(0,3)代入? = −?2 +2??−?2 +4(? > 0)，则−?2 +4 = 3
解得? =± 1
∵? > 0
∴? = 1，
∴解析式为：? = −?2 +2? + 3令? = 0，则−?2 +2? + 3 = 0解得?1 = 3，?2 = −1
∴?(3,0)；
（2）解：设直线??:? = ?? + ?，
则代入点?,?得，
3? + ? = 0
? = 3，解得
? = −1
? = 3
∴直线??:? = −? + 3
∵?(3,0),?(0,3)
∴?? = ?? = 3
∴△???为等腰直角三角形，
∴∠??? = 45°
∵?? ∥ ?轴，
∴∠??? = ∠??? = 45°
∵?? ⊥ ??
∴ △ ???为等腰直角三角形，
∴?? = 2?? = ??
2
∴?
= ?? + ?? + ?? = 2?? + 2?? + ?? =2 + 1 ??，
△???22
∴当??取得最大值时，?△???取得最大值，设? ?,−?2 + 2? + 3 ，则?(?,−? + 3)
∴?? = −?2 +2? + 3−(−? + 3) = −?2 +3?
∵−1 < 0
33
3 239
∴当? = −2×(−1) = 2时，??的最大值为− 2+3 × 2 = 4
9
∴ △ ???周长的最大值为42 + 1 ；
（3）解：在? = −?2 +2??−?2 +4(? > 0)中，当? = 0，则−?2 +2??−?2 +4 = 0，解得?1 = ?−2，?2 = ? + 2，
∴?(?−2,0)；
∵? = −?2 +2??−?2 +4 = −(?−?)2 +4，
∴?(?,4)；
如图所示，当点?在 x 轴上方时，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，设??与??交点为点?，在射线??上取点?，使得?? = 3??，连接??，
∴?? = ?−(?−2) = 2，?? = 4，
∴?? = 6，?? =??2 + ??2 =22 + 42 = 2 5；
∵tan? = ?? = 3，tan? = tan∠??? = 3，
∴tan? = tan∠???，
??
1
1
∴∠? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴2 5 = ??
4+6
2 5
解得?? = 2，
∴?? = ??−?? = 2，
∴?(?,2)，
设直线??的解析式为? = ?1? + ?1，则
(?−2)?1 + ?1 = 0
??1 + ?1 = 2
，
解得?1 = 1
?1 = −? + 2
∴直线??的解析式为? = ?−? + 2，
? = ?−? + 2
联立 ? = −?2 + 2??−?2 + 4 ，解得
∴?(? + 1,3)，
? = ? + 1
? = 3
或
? = ?−2
? = 0
，
∴?? =(? + 1−?)2 + (3−4)2 = 2；
当点?在 x 轴下方时，过点?作?? ⊥ ??交直线?于点?，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，过点?作?? ⊥ ??，交直线
??于点?，
则∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°−∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ?? = tan? = 1
??????3
∴?? = ?? = 1，
243
24
∴?? = 3,?? = 3，
4 14
∴? ?− 3 , 3 ，
(?−2)?2 + ?2 = 0
设直线??的解析式为? = ?2? + ?2，则
解得
?2 = 7
?2 = −7? + 14
∴直线??的解析式为? = 7?−7? + 14，
?− 4
3
?2
+ ?2
= 14 ， 3
? = 7?−7? + 14
联立 ? = −?2 + 2??−?2 + 4 ，解得
∴?(?−5,−21)，
? = ?−5
? = −21 或
? = ?−2
? = 0，
∴?? =(?−5−?)2 + (−21−4)2 = 5 26；
综上：??的长为 2或5 26．
【变式 01】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线? = ??2−? + ?(? ≠ 0)与?轴分别交于
?(−4,0)、?(2,0)，与?轴交于点?．
求抛物线的解析式；
如图 1，点?是直线??上方抛物线上的一动点，过?作?? ∥ ?轴交??于点?，过?作??∥??交?轴于点?，
线段??在直线??上移动且?? = 2 2，当??−2 5??取得最大值时，求此时点?的坐标及△ ???的周长的
5
最小值；
如图 2，将抛物线沿射线??方向平移3 2个单位得到新抛物线?′，点?的对应点为点?，平移后的新抛物
2 5
9
2 5
设点? ?,− 1 ?2−? + 4 (−4 < ? < 0)，则?(?,? + 4)，?(?,0)，?? = −1?2−2?，?? = ? + 4，易得
2
2
??−?? = − (? + 3)2 +；再根据二次函数的性质可确定点 p 的值，进而确定点 P 的坐标；如图：过 P 作
1
1
2
2
?? ∥ ??，在??上截取??1 = ?? = 2 2，此时四边形????1是平行四边形可得?? = ?1?，则求出
?? + ?? = ?1? + ??最小值即可；点?1是 P 向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即
?1 −1, 2 ；如图：作点 P 关于直线??的对称点?2，连接?2?，?2?1，易得当?1、?、?2共线时，?1? + ?2
2 5
sin∠??? = sin∠??? = 5 ，进而得到?? = 5 ??，即??− 5 ?? = ??−??；再求出直线??的函数解析式
为? = ? + 4，
【分析】（1）将?(−4,0)、?(2,0)代入? = ??2−? + ?(? ≠ 0)得到关于 a、c 的二元一次方程组求解即可解
答；
（2）利用坐标与图形以及勾股定理可得?? = 2 5，易得∠??? = ∠???，如图：过 D 作?? ⊥ ??于 F，则
．
5 67
(3)(7,−5)或 3 , 9
，9 2
22
5
(2)? −3,
2
【答案】(1)? = −1?2−? + 4
线?′的对称轴上有一点??，−2，点?为新抛物线?′上一动点，若∠??? = ∠???，请直接写出点?的坐标，并写出求?的坐标的其中一种情况的过程．
?有最小值?1?2，即?? + ??的最小值为?1?2；再求出?2的坐标，最后运用两点间距离公式求出?1?2的长，进而求出△ ???的周长的最小值；
（3）先说明将抛物线向右平移 3 个单位长度、向上平移 3 个单位长度得到新抛物线?′，即新抛物线?′ = −
1(?−2)2 + 15
2−2
(3,7)
(2,0)
22 ；易得?，
、?
；再说明∠??? = ∠???，如图：过 F 作?? ⊥ ?轴于 L，则?，易
21
得
tan∠??? = 6 = 3；再分当点 G 在??右侧和左侧两种情况作答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线? = ??2−? + ?(? ≠ 0)与?轴分别交于?(−4,0)、?(2,0)，
0 = 16? + 4 + ?
∴ 0 = 4?−2 + ? ，解得：
? = − 1
? = 42 ，
∴抛物线的解析式为：
解：∵抛物线
? = −−? + 4．
1?2
2
1?2−? + 4与?轴交于点?，
? = −
2
∴?(0,4)，即?? = 4，
∵?(−4,0)、?(2,0)，
∴?? = 2，
∴?? =??2 + ??2 = 2 5，
??42 5
∴sin∠??? = ?? = 2 5 = 5 ，
∵??∥??，
∴∠??? = ∠???，
5
如图：过 D 作?? ⊥ ??于 F，则sin∠??? = sin∠??? = 2 5，
∴?? = 2 5，即?? = 2 5??，
??55
∴??−255?? = ??−??，
设直线??的函数解析式为? = ?? + ?，
0 = −4? + ?? = 1
则4 = ?，解得： ? = 4 ，
∴直线??的函数解析式为? = ? + 4，
设点? ?,− 1
2
?2
−? + 4
(−4 < ? < 0)
，则?(?,? + 4)
，?
(?,0)，
∴?? = −1?2−? + 4−(? + 4)
2
= −−2?，?? = ? + 4−0 = ? + 4，
1?2
2
∴??−2 5
1?2−2?−(? + 4)1(? + 3)2 + 1 ，
5
2
?? = ??−?? = −= −
22
∴当? = −3时，??−2 5??最小，此时? −3, 5 ，?(−3,1)；
52
要求△ ???的周长的最小值，即求?? + ?? + ??的最小值，即求出?? + ??的最小值，如图：过 P 作?? ∥ ??，在??上截取??1 = ?? = 2 2，此时四边形????1是平行四边形，
∴?? = ?1?，
∴?? + ?? = ?1? + ??的最小值，
∵?(−4,0)、?(0,4)，
∴?? = ?? = 4，即∠??? = 45°，
如图：过 P 作??∥?轴，过?1作?1?∥?轴，
∵?? ∥ ??，
∴∠?1?? = 45°，
2
∴?? = ?1? = ??1 ⋅ sin∠?1?? = 2 2 × 2 = 2，
∴点? 是 P 向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即?
−1, 9 ；
112
如图：作点 P 关于直线??的对称点?2，连接?2?，?2?1，
∴?? = ?2?，
∵?1? + ?2? ≥ ?1?2，
∴当?1、?、?2共线时，?1? + ?2?有最小值?1?2，即?? + ??的最小值为?1?2，
∵点 P 与点?2关于直线??对称，
∴∠?1??2 = 90°，即∠???2 = 90°−∠???1 = 45°，
∴∠???2 = 90°−∠???2 = 45°，
∴?? = ??2，
2
∵? −3, 5 ，?(−3,1)，
53
∴??，
2 = ?? = 2−1 = 2
∴?2 −3 +
3 , 5 − 3
2 22
，即?2 −
3
9
2 ,1 ，?1 −1, 2
?
3
∴?1 2 =− 2 −(−1)
2
+ 1− 9
2
25 2
，
= 2
5 2
∴?? + ??的最小值为 2 ，
5 29 2
∴?? + ?? + ??的最小值为 2 +2 2 = 2 ，
9 2
∴ △ ???的周长的最小值为 2 ．
解：∵?(−4,0)、?(0,4)，
∴?? = ?? = 4，即∠??? = 45°，
∵将抛物线沿射线??方向平移3 2个单位得到新抛物线?′，
∴将抛物线向右平移 3 个单位长度、向上平移 3 个单位长度得到新抛物线?′，
∴新抛物线?′
1(?−3)2−(?−3)
1(?−2)2 + 15
2
= −+4 + 3 = −，
22
∴平移后的对称轴为? = 2，即? 2，−2
∵点?的对应点为点?，
∴?(3,7)，
如图：过 H 作?? ⊥ ?轴于 I，则?(3,0)，?? = 7，
∵?(−4,0)
∴?? = 3−(−4) = 7，
∴?? = ?? = 7，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = 2,?? = 2−(−4) = 6，
21
∴tan∠??? = 6 = 3；
如图：当点 G 在??右侧时，
∵∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
1
∴tan∠??? = tan∠??? = 3，
2
设? ?,− 1
?−2 2 + 15
2
? > 3 ，如图：过 G 作?? ⊥ ??于 K，则? 3,− 1
?−2 2 + 15
，
2
∴?? = 7− − 1
2
2
15
?−2+
2
= 1 ?−2 2
2
1
2
−2，?? = ?−3，
??1
∴tan∠??? = ?? = 3，
?−3
∴12
?−2 −
2
1
1 = 3，解得：? = 7，
2
∴?(7,−5)；
如图：当点 G 在??左侧时，如图：过 H 作对称轴的垂线??交对称轴于 J，则?(2,7)，在对称轴上取一点，使得∠??? = ∠???，连接??交新抛物线于?1，
1
∴tan∠??? = tan∠??? = 3，?? = 3−2 = 1，
??1
??11
∴tan∠??? = ?? = 3，即 1 = 3，解得：?? = 3，
3
∴? 2,7 1 ，
设直线??的函数解析式为? = ?1? + ?1，
7 1 = 2?
+ ?
? = − 1
则311 ，解得： 13 ，
7 = 3?1 + ?1
?1 = 8
1
∴直线??的函数解析式为? = − ? + 8，
3
? = − 1 ? + 8
3
? = 5
3
? = 3
联立 ? = − 1 (?−2)2 + 15 ，解得： ? = 67 或 ? = 7 （不合题意舍弃），
∴?
229
5 , 67 ．
1 3 9
综上，点 G 的坐标为(7,−5)或 3 , 9 ．
5 67
命题点 08 二次函数解答压轴之面积最大
【典例 14】（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线?1 = ??2 +?? + ?与坐标轴交于点
?(−3,0)，?，?(1,0)点，过?，?的直线解析式为?2 = ?? + 3，?为第二象限内抛物线上一动点．
求抛物线的解析式；
求四边形????面积的取值范围；
若 △ ???的面积为?1， △ ???的面积为?2，求?1 + ?2的最大值．
2
（3）由? + ? = 2?
1
2
△???△???
+ ?
−?
△???
得出? + ? = − ? + 5+，结合二次函数的性质即可得解．
4
25
1
2
2
【详解】（1）解：直线?2 = ?? + 3与?轴交于点?(−3,0)，与?轴交于点?，
则点?(0,3)，
将?(−3,0)，?(0,3)，?(1,0)代入抛物线解析式?1 = ??2 +?? + ?，
得
9?−3? + ? = 0
? + ? + ? = 0 ，
? = 3
75
+ 8 ，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形????面积的取值范围；
3 2
3
?四边形???? = −2 ? + 2
2
2
11
+ ?= ?? × ?? + × ?? × ??得
△???△???
（−3 < ? < 0），则点?(?,? + 3)，由?四边形???? = ?
解析式?1 = ??2 +?? + ?，求出?、?、?的值即可；
（2）先求出直线?2 = ?? + 3解析式，过点?作?? ∥ ?轴交??于点?，设点? ?,−?2−2? + 3
25
(3)?1 + ?2的最大值为 4 ．
【分析】（1）先由直线?2 = ?? + 3与?轴交于点?求出点?坐标，再将?(−3,0)，?(0,3)，?(1,0)代入抛物线
75
(2)6 < ?四边形???? ≤ 8 ；
【答案】(1)? = −?2−2? + 3；
? = −1
解得 ? = −2 ，
? = 3
则抛物线的表达式为? = −?2−2? + 3；
（2）解：将?(−3,0)代入直线?2 = ?? + 3，
得−3? + 3 = 0，
? = 1，
则直线??的表达式为? = ? + 3，
如图，过点?作?? ∥ ?轴交??于点?，
设点? ?,−?2−2? + 3 （−3 < ? < 0），则点?(?,? + 3)，
∴ ?四边形???? = ?△??? + ?△???，
11
1
= 2?? × ?? + 2
× ?? × ??，
= 1(−?2−2? + 3−?−3)
2
× 3 + 2 × 4 × 3，
= −3?2
2
− ? + 6，
9
2
33 275
= −2 ? + 2+ 8 ，
33
∵ −2 < 0，对称轴为? = −2，
又∵ −3 < ? < 0，
3
∴ 6 < −
2
? + 3
2
27575
+ 8 ≤ 8 ，
75
∴ 四边形????面积的取值范围是6 < ?四边形???? ≤ 8 ；
（3）解：?1 + ?2 = ?△??? + (?△??? + ?△???−?△???)，
= 2?△??? + ?△???−?△???，
= ?? × ?? +
11
× ?? × ??−
22
× ?? ×
??，
= (−?2−2? + 3−?−3) × 3 + 1 × 4 × 3−1 × 4 × (−?2−2? + 3)，
2
2
= −?2−5?，
= − ? + 2+ 4 ，
∵ −1 < 0，
5 2
25
∴ ?1 + ?2的最大值为 4 ．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、一次函数图象与坐
25
标轴的交点问题、面积问题(二次函数综合)，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
【变式 01】（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线? = ??2 +?? + 2与 x 轴交于点?
(−4,0)，?(1,0)两点，与 y 轴交于点 C．
求抛物线的解析式；
过点 B 作?? ∥ ??交抛物线于点 D，点 P 是射线??上方抛物线上的一动点，连接??与射线??交于点 E，连接??、??，当 △ ???面积最大时，求点 P 的坐标；
在（2）中 △ ???面积取得最大值时，将抛物线? = ??2 +?? + 2沿射线??方向平移 5个单位长度得到新抛物线?′，点?′为点 P 的对应点，点 Q 为新抛物线上的一个动点，当∠??? = ∠???′−∠???时，直接写出
所有符合条件的点 Q 的坐标．
【答案】(1)? = −1?2−
22
3
? + 2
(2)?(−2,3)
(3)点 Q 的坐标为(−1,3)或 −1−2 3,−3−3 3
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）过 P 作?? ∥ ?轴，交??于 F，求出?(0,2)，从而可得直线??解析式为? = 1? + 2，进而得出直线??的
2
? = − 1 ?2− 3 ? + 2
解析式为? = 1?−1，联立
2
2
? = ?−
22
11
1311
，可得?(−5,−3)， 设? ?,− ?2− ? + 2 ，则? ?, ?−，
22
22
22
?? = −1?2−2? + 5，表示出?
1(?
−? )
3(? + 2)2 + 27
? = −2时，
22△??? = 2?? ?
? = −
2 ，结合二次函数的性质可得当
2
?△???最大，由?△???是定值，且?△??? = ?△??? + ?△???，可得?△???最大，即可得出结果；
（3）设??与??交于点 L，由勾股定理可得?? = 2 5，结合二次函数图象平移的性质可得?′ = −1?2 + 1
22
333
? + 4，先证明∠??? = ∠???，从而可得?? ∥ ??，求出??解析式为? = − ?，??解析式为? = − ? + 2，当
22
?′ = − 1 ?2 + 1 ? + 4
?′ = ?时，联立
2
? = −
2
3 ? + 3
22
，计算即可得出?1(−1,3)；设?1关于 x 轴对称点为?1′(−1,−3)，求出
?′ = − 1 ?2 + 1 ? + 4
? ′332 32
直线?
1 解析式为? = 2?−2，联立
? =
?− 3
22
，计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线? = ??2 +?? + 2与 x 轴交于点?(−4,0)，?(1,0)两点，
16?−4? + 2 = 0
∴? + ? + 2 = 0 ，
? = − 1
2
解得： ? = − 3 ，
2
∴抛物线为
1
? = −
2
− ? + 2；
?2
3
2
（2）解：如图，过 P 作?? ∥ ?轴，交??于 F，
在? = −1?2
2
∴?(0,2)．
3
− ? + 2
2
中，令? = 0，则? = 2．
设直线??解析式为? = ?? + 2(? ≠ 0)，把?(−4,0)代入，得−4? + 2 = 0，
1
解得? = 2，
∴直线??解析式为? =
1? + 2，
2
∵?? ∥ ??，
∴设直线??的解析式为? =
1? + ?，
2
∴把?(1,0)
1
代入，得2 +? = 0，
1
解得? = −2，
11
∴直线??的解析式为? = 2?−2，
? = − 1 ?2− 3 ? + 2
22
联立? = 1 ?− 1，
22
? = −5? = 1
解得 ? = −3 或 ? = 0 ，
∴?(−5,−3)，
1 2311
设? ?,− 2 ? − 2 ? + 2 ，则? ?, 2 ?− 2 ，
1
∴?? = − ?2
2
3
− ? + 2−
2
1 ?− 1
22
=1 2
?
−
2
5
−2? + 2，
1(?
−? )11 25
3227
2
∴?△??? = 2?? ?
∵−1 < 0，
? = 2 − 2 ?
−2? +1−(−5) = − (? + 2)
2
+ 2 ，
∴当? = −2时，?△???最大，
∵?△???是定值，?△??? = ?△??? + ?△???，
∴?△???最大，
∴当△ ???面积最大时，?(−2,3)；
（3）解：设??与??交于点 L，
，
∵?(−4,0)，?(0,2)，
∴?? =??2 + ??2 = 2 5，
∵将抛物线? = ??2 +?? + 2沿射线??方向平移 5个单位长度得到新抛物线?′，
1 2 3
13 225
∴抛物线? = − ? − ? + 2 = −
? ++ 8 ，向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到新抛
?′
22
?′13
22
225
11 233
物线 ，为
= − ? + −2
1
22
++1 = −
82
?−
2
+ 8 ，
即?′ = −1?2
2
+ 2? + 4，
∵点?′为点 P 的对应点，
∴??′ ∥ ??，
∴∠???′ = ∠???，
∵∠??? = ∠???−∠???，且∠??? = ∠???′−∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??，
设??解析式为? = ??，
把?(−2,3)代入，得−2? = 3，
3
∴? = −2，
3
∴??解析式为? = − ?，
2
设??解析式为3，
? = − ? + ?
2
−
把?(1,0)代入，得 3
2
+? = 0，
3
∴? = 2，
33
2
∴??解析式为? = − ? + ，
2
2
?′ = − 1 ?2 + 1 ? + 4
当?′ = ?时，联立
2
? = −
3 ? + 3，
22
? = −1? = 5
解得 ? = 3 或 ? = −6 （舍去），
∴?1(−1,3)；
设?1关于 x 轴对称点为?1′(−1,−3)，直线??1′解析式为? = ?? + ?，
把?(1,0)，? ′(−1,−3)代入，得 ? + ? = 0，
1
? = 3
2
−? + ? = −3
解得 ? = − 3 ，
2
∴直线?? ′解析式为33，
1? = 2?−2
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问
题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
? = −1−2 3
? = −1 + 2 3
解得 ? = −3 + 3 3 （舍去）或 ? = −3−3 3 ，
∴?1′ −1−2 3,−3−3 3 ．
综上所述，点 Q 的坐标为(−1,3)或 −1−2 3,−3−3 3 ．
22
，
22
? = 3 ?− 3
∴联立
?′ = − 1 ?2 + 1 ? + 4
【变式 02】（2026·湖南·模拟预测）如图，已知抛物线? = ??2 +?? + 2，过点?(−1,0)?(4,0)，与?轴交于点?．
求抛物线的解析式．
点?是直线??上方抛物线上一动点．
a．当∠??? = 45∘，求点?的坐标．
b．连接线段??,??,??，设直线??交线段??于点?, △ ???的面积为? , △ ???
??1
2
1的面积为
2，求? 最大值．
【答案】(1)? = −1?2 + 3? + 2
22
(2)a．? 3 , 9 ；b．5
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、几何图形的旋转变换、相似三角形的
7 25
4
判定与性质，以及利用二次函数求最值，解题关键是熟练掌握待定系数法、坐标旋转规律、相似三角形的
比例关系，并结合二次函数的性质求解．
（1）利用待定系数法，将已知点?(−1,0)，?(4,0)代入抛物线解析式，解方程组求出系数?,?，即可得到抛物线解析式；
（2）a．利用“构造旋转全等”的方法，将线段??绕点?顺时针旋转90°得到??′，通过求直线??′的解析式，
与抛物线联立求解，得到点?的坐标；
b．通过作平行线构造相似三角形，将面积比? 转化为线段比??，再结合点?的坐标表示出比例式，转化为
?1
??
2
二次函数，利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】（1）解：把点?(−1,0)，?(4,0)代入? = ??2 +?? + 2中，
?−? + 2 = 0
16? + 4? + 2 = 0 ，
解得13
? = −2,? = 2.
∴ 抛物线的解析式为
1?23．
? = −
2
+ 2? + 2
（2）a．把??绕?点顺时针旋转 90 度得??′，
连接??′，交抛物线于点?，作?′? ⊥ ??，交?轴于点?，
∵ ∠???′ = 90°，
∴ ∠??? + ∠?′?? = 90°，
又∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠?′??
在△ ???和 △ ?′??中：
∠??? = ∠???′
∠??? = ∠?′?? ，
?? = ?′?
∴ △ ???≌ △ ?′??(AAS)，
令? = 0代入? = −1?2
2
3
+ 2? + 2
，得? = 2，即?(0,2)，
∴ ?? = ?? = 2，?? = ?′? = 4，
∴ ?′(6,4)，
由待定系数法求出??′的表达式为1．
3
? = 1 ? + 2
由 ? = − 1 ?2 + 3 ? + 2 ，
? = 3? + 2
解得? =
2
7
,? =
3
2
25
9 （? = 0舍去），
∴?? = 2．
2
5
∴?1∶?2 = ??:??
1
= − 2 ?2 + 2? ∶
5
2
= − (?−2) + ．
1
2
4
55
∴ 当? = 2时，? 有最大值为5．
?1
4
2
1?2 +2?,
2
22
2
5
∴ ? −1,，?? = −1?2 + 3? + 2− − 1 ? + 2 = −
2
2
2
设? ?,− 1 ?2 + 3 ? + 2 ,? ?,− 1 ? + 2 ,?(−1,0)．
∴ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???．
∴ ?1∶?2 = ??:?? = ??:??．
7 25
∴? 3 , 9 ．
b．作??∥?轴，??∥?轴，分别交直线??于点?、?．
中考预测题
【答案】−
3
< ? < −
4
2
3
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征写出?1和?2的表达式，结合题目条件列出不等式组，分别解不等式后取交集即可得到?的取值范围．
【详解】解： ∵ 点?(?,?1)和?(2?,?2)在二次函数? = ??2 +4??的图象上，
∴ ?1 = ??2 +4?? ，?2 = ?(2?)2 +4? ⋅ 2? = 4??2 +8?? ．
1．已知二次函数? = ??2 +4??（?是常数，? < 0）的图象上有?(?,?1)和?(2?,?2)两点．若点?，?都在直线? = −3?的上方，且?1 > ?2，则?的取值范围是．
?1 > −3?
由题意得， ?2 > −3? ，
?1 > ?2
∵ ? < 0，
解不等式?1 > −3? ：??2 +4?? > −3? ，
两边同除以?，不等号方向改变，得?2 +4? + 3 < 0，因式分解得(? + 1)(? + 3) < 0 ，
解得−3 < ? < −1；
解不等式?2 > −3? ：4??2 +8?? > −3? ，
两边同除以?，不等号方向改变，得4?2 +8? + 3 < 0 ，因式分解得(2? + 1)(2? + 3) < 0 ，
解得−
3
< ? < −2
2
1
；
解不等式?1 > ?2：??2 +4?? > 4??2 +8?? ，
两边同除以?，不等号方向改变，得?2 +4? < 4?2 +8? ，整理得3?2 +4? > 0 ，因式分解得?(3? + 4) > 0 ，
解得? < −3或? > 0．
4
取三个不等式解集的交集，得−
3
< ? < −3
2
4
．
【答案】5
【分析】根据坐标，求出??，当点?是直线??与 x 轴的交点时，即三点共线，易得??−?? = ?? = 5；当点
?不是直线??与 x 轴的交点时，即三点不共线，根据三角形的三边关系，可得??−?? < ?? = 5，即可求解．
【详解】解： ∵ 点 A 的坐标为(−1,4)，点 B 的坐标为(3,1)，
∴ ?? =
3−(−1)+ (1−4)2 = 5，
2
∵ 点?为 x 轴上的动点，
∴ 当点?是直线??与 x 轴的交点时，即三点共线，则??−?? = ?? = 5；当点?不是直线??与 x 轴的交点时，即三点不共线，则在△ ???中，??−?? < ?? = 5；
∴ ??与??的差的最大值为5．
在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(−1,4)，点 B 的坐标为(3,1)，P 为 x 轴上的一动点，则??与??的差的最大值为．
如图，点 A 的坐标为(4,3)，点 M 为直线? = −1上的一个动点，点 B 的坐标为(0,?)，−1 < ? < 3，?? ⊥ ??
于点 B，连接??．若直线??与 x 轴的正半轴所夹的锐角为?，则当sin?的值最大时， △ ???的面积为
．
??，
??
??
??
∴=
∵sin?随??的减小而增大，
∴当??最小时sin?有最大值，
即??最小时，sin?有最大值，即??最大时，sin?有最大值，
∵∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
，
4
42+??2
4
=
??2+??2
??
即sin? = 4 =
??
4
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2,sin? =，
∵??∥?轴，
∴∠??? = ?，
∵点 A 的坐标为(4,3)，点 M 为直线? = −1上的一个动点，
∴?? = 4，
【答案】5
【详解】解：如图，设直线? = −1与 y 轴交于 G，过 A 作?? ⊥ 直线? = −1于 H，?? ⊥ ?轴于 F，
1
1
∴ △ ???的面积为2?? ⋅ ?? = 2 × 2 5 × 5 = 5．
∵−1 < ? < 3
∴当? = 1时，??有最大值1，
此时?? = 2，?? = 2，?? = 1，
∴?? =??2 + ??2 =42 + 22 = 2 5，?? =??2 + ??2 =22 + 12 = 5，
1
4
= − (?−1)2 +1，
(?+1)(3−?)
4
∴?? =
4 ，
?+1
??
即3−? =
∵点 A 的坐标为(4,3)，点 M 为直线? = −1上的一个动点，点 B 的坐标为(0,?)，
考点三 圆中最值问题
《解题指南》
一、核心原理
基本依据
①两点之间线段最短；②垂线段最短；③同圆/等圆中：半径定长、直径最长
核心思想轨迹思想、化折为直、数形结合、定点定长构隐圆
常用工具圆的半径、垂径定理、点与圆位置关系、圆周角定理、勾股、相似二。常见题型
定弦最值问题
定弦对应的高、面积最值
①弦固定，圆上点到弦距离最大时，面积最大
②最高点：垂直弦过圆心的圆弧顶点
定弦定角隐圆最值
特征：线段固定，动点对线段张角固定
①动点轨迹：一段圆弧
②求边长、周长、距离最值，按隐圆+点圆距离求解
直径最值模型
直角所对弦为直径
动点始终保持直角→轨迹以斜边为直径的圆
3.求线段最值、动点范围用圆半径、直径性质
3.隐圆(构造圆)最值两类构造：
定点定长：动点到定点距离不变→圆轨迹
定弦定角：定线段+固定张角→外接圆弧轨迹解题：先找圆心、定半径，再套点圆距离最值
命题点 01 圆最值问题中四点共圆问题
【典例 15】（2026·安徽芜湖·二模）如图，在 △ ???中，∠? = 90°，点 D 是??边上一动点，过点 B 作?? ⊥ ??
交??的延长线于 E．若?? = 2，?? = 4．
（1）若?? = 1，则?? = ；
??
（2）??的最小值为．
有最大值，再求出?? = 5−1，即可得到答案．
求两条动线段比的最值问题，通常通过相似三角形的判定与性质，将两条动线段转化为一条动线段来解，对于求单一动线段的最值问题，往往可以根据其运动过程中图形的位置变化去找最值．
【详解】解：（1） ∵ ∠? = 90°，
∴ ?? =??2 + ??2 =22 + 12 = 5，
∵ ?? = 4，
∴ ?? = ??−?? = 4−1 = 3，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠? = 90°，
∴ ∠? = ∠? = 90°，又∵ ∠??? = ∠???，
??
????
取最大值时?? = ??有最小值，然后证明 A，B，E，C 四点共圆，得到当?? ⊥ ??时，即点 E 是中点时，??
????
（2）过点?作?? ⊥ ??于?，设??的中点为 O，连接??，先证明△ ??? ∼△ ???，得到?? = ??，所以当??
【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可；
5+1 2
3 5
5
【答案】
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
，
∴ 5 = 1
3??
5
解得?? = 3 5；
（2）如图 1，过点?作?? ⊥ ??于?，设??的中点为 O，连接??，
∵ ∠? = 90°，
∴ ?? ∥ ??，
∴△ ??? ∼△ ???，
????
∴ ?? = ??，
∵ ??是定值，
????
∴ 当??取最大值时?? = ??有最小值，
又∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?，B，E，C 四点共圆，
∵ ??是定值，
∴ 当?? ⊥ ??时，即点 E 是??中点时，??有最大值，此时，E，O，F 三点共线（如图 2），
∵ ∠? = 90°，
∴ ?? =??2 + ??2 =22 + 42 = 2 5，
2
5+1
5−15−1
5+1
=．
2 5+1
=
????
2
??
??
∴==
∴ ?? =??2−??2 = 5−4 = 1，
∴ ?? = ??−?? = 5−1，
1
2
∴ ?? = ?? = 2，
∴ ?? = ?? = 5，
∵ ?? ⊥ ??，
【答案】 2−1/−1 + 2
【分析】根据对角互补四点共圆可得?、?、?、?四点共圆，连接??，??，求证 △ ???≌ △ ???(SAS)，而后推导出∠??? = ∠???，可得?? = ?? = 1，连接??，由三角形的三边关系以及??、??为定值，则当?、?、?三点共线时，??取得最小值为??−??，最后利用勾股定理求得??即可解答．
【详解】解： ∵ ?? ⊥ ??，∠??? = 90°，
根据对角互补四点共圆可得?、?、?、?四点共圆，连接??，??，
∵ ?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?、?、?、?四点共圆，
∴ ∠??? = ∠???，
【变式 01】（25-26 九年级下·山西朔州·期中）如图，正方形????的边长为 1，E，F 分别在??，??上，且?? = ??，?? ⊥ ??于点 G．则??的长的最小值为．
∴ ∠??? = 90°−∠???，∠??? = 90°−∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ?? = 1，
连接??，则?? ≥ ??−??，
∴当?、?、?三点共线时，??取得最小值为??−??，在Rt △ ???中，?? = ?? = 1，
∴?? =??2 + ??2 = 2，
∴ ??取最小值??−?? = 2−1．故答案为： 2−1．
【点睛】本题考查利用辅助圆解决最值问题，涉及全等三角形的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、勾
股定理等，根据条件作出合适的辅助线，得出?? = 1是解题的关键．
命题点 02 直径所对圆周角等于 90° 求最值
【典例 16】（25-26 九年级上·江苏盐城·月考）如图，点?是▱????内一动点，且∠??? = 90°，?? = 4，
?? = 6．连接??，分别取??、??的中点?、?，连接??．若∠??? = 120°，则线段??长度的最小值为
．
【答案】 13−1/−1 + 13
【分析】连接??，利用三角形的中位线定理得到?? = 1??，则??取得最小值时，??长度最小，设??的
2
中点为 O，连接??，当?、?、?三点共线时，此时??最小；过点 O 作?? ⊥ ??，交??的延长线于点 F，然
后利用平行四边形的性质和勾股定理求得??，进而得到??，即可求得??，进而得到??．
【详解】解：连接??，如图，
∵??、??的中点为 M、N，
∴?? =
1??，
2
∴??取得最小值时，??长度最小．
∵点 E 是▱????内一动点，且∠??? = 90°，
∴点 E 的运动轨迹为以??为直径的半圆，
设??的中点为 O，连接??，
∴当?、?、?三点共线时，此时??最小，如图，
∵?? = 4，
∴?? = ?? = ?? =
1?? = 2，
2
过点 O 作?? ⊥ ??，交??的延长线于点 F，如图，
∵四边形????为平行四边形，?? = 6，∠??? = 120°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 60°，?? = ?? = 6，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°−∠??? = 30°，
∴?? =
1
2?? =
1 × 2 = 1，
2
∴?? =??2−??2 =22−12 = 3，
∴?? = ?? + ?? = 6 + 1 = 7，
∴?? =??2 + ??2 =72 + ( 3)2 = 2 13，
∴?? = ??−?? = 2 13−2，
∴线段??长度的最小值 =
1?? = 13−1．
2
故答案为： 13−1．
【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于 90 度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含 30 度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点?的轨迹．
【变式 01】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，正方形????内接于 ⊙ ?，点 P 为弧???上的动点（不与端
点重合），连接??，过点 D 作?? ⊥ ??于点 Q，连接??，若 ⊙ ?的半径为 2，则??长的最小值为
．
【答案】 5−1/−1 + 5
【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点?的轨迹．
如图，取??的中点 K，以??为直径作 ⊙ ?，则点 Q 在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得??的长，进而根据勾股定理求出??的长，根据?? ≥ ??−??即可解决问题．
【详解】如图，取??的中点 K，以??为直径作 ⊙ ?，连接??,??
∵四边形????是正方形，
∴∠???＝90°，
∵?? = ?? = 2，
∴?? =??2 + ??2 = 2，
∵?? ⊥ ??
∴则点 Q 在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．
∵四边形????是正方形，
∴?? = ?? = 2
∴?? = 1
∴?? =??2 + ??2 =1 + 22 = 5，
∵?? ≥ ??−??
∴当 B,Q,K 在一条直线上时，??有最小值，
此时?? = 5−1，
故答案为： 5−1．
【变式 02】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为 4 的正方形????中，点?为边??上一动点，?为??
中点，?为??上一点，且满足?? = ??，则??的最小值为．
【答案】2 5−2
【分析】根据正方形的性质得∠??? = 90°和?? = ?? = 4，结合直角三角形的性质和等腰三角形的性质判定∠??? = 90°，则点 F 在以??为直径的圆上，??的中点 O 为圆心的圆上，连接??，交圆 O 于点?′，此时
??取得最小值，结合勾股定理和圆的性质即可求得最小值．
【详解】解；∵四边形????是边长为 4 的正方形，
∴∠??? = 90°，?? = ?? = 4，
∵点?为??中点，
∴?? = ?? = ??，
∵?? = ??，
∴?? = ?? = ??，连接??，如图，
则∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∵∠??? + ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180° ，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 90° ，
∴点 F 在以??为直径，??的中点 O 为圆心的圆上，连接??，交圆 O 于点?′，此时??取得最小值，
∵点 O 是??的中点，?? = 4，
∴?? = ?? = 2，圆 O 的半径? = 2，
1
2
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =22 + 42 = 2 5，则??的最小值为??−? = 2 5−2，
【点睛】本题主要考查正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和圆的性质，解
题的关键是找到点的轨迹．
【答案】
15 + 1
【分析】根据∠??? = 90°可知点?在以??为直径的圆上运动，根据?? = 1，??绕点?旋转，可知点?是在以点?为圆心，1为半径的圆上运动，所以可知当??与⊙ ?相切于点?且点?在△ ???内时，??最大，根据圆周角定理可知△ ???是等腰直角三角形，从而可知?? = ?? = 1，利用勾股定理可以求出?? = 15，从而可知??的最大值是 15 +1．
【详解】解：如下图所示，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ 点?在以??为直径的圆上运动，
∵ ?? = 1，??绕点?旋转，
∴ 点?是在以点?为圆心，1为半径的圆上运动，
如下图所示，当??与⊙ ?相切于点?且点?在△ ???内时，??最大，则有?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
⏜
⏜
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
∵△ ???是等腰直角三角形，
【变式 03】（2026·山东日照·一模）如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，?? = ?? = 4，线段??绕点?在平面内旋转，过点?作??的垂线，交射线??于点?．若?? = 1，则??的最大值为．
∴ ?? = ?? = 1，又∵ ?? = ?? = 4，
∴ ?? =??2−??2 =42−12 = 15，
∴ ?? = ?? + ?? = 15 +1．
【变式 04】（2026·陕西西安·三模）如图，在矩形????中，?? = 3，?? = 4，点 E 是平面内一点，且
?? = 1，过点 D 作??的垂线??，交直线??于点 F．线段??长度最小值为．
【答案】2 2−
4
3
【分析】由?? ⊥ ??确定点?在以??为直径的圆上运动，由?? = 1确定点?在以?为圆心，1 为半径的圆上运
动．当??在⊙ ?左边且与⊙ ?相切，切点为点?时，??最小，由勾股定理求出?? = 2 2，再证明
△ ??? ∽△ ???，得到?? = 3，最后根据?? = ??−??计算即可．
【详解】解：连接??，
4
∵在矩形????中，?? = 3，?? = 4，
∴?? = ?? = 3，?? = ?? = 4，?? =??2 + ??2 = 5，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴点?在以??为直径的圆上运动，
∵?? = 1，
∴点?在以?为圆心，1 为半径的圆上运动，
∴当??在⊙ ?左边且与⊙ ?相切，切点为点?时，??最小，
∴∠??? = 90°，
∴?? =??2−??2 =32−12 = 2 2，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴?、?、?、?四点共圆，
∴由圆内接四边形可得∠??? + ∠??? = 180°，
∵∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴=，即 = 4 ，
??
??
1??
????3
∴?? = 3，
4
∴?? = ??−?? = 2 2−3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是确定点?与点?的
4
运动轨迹．
【变式 05】（2026·河南三门峡·一模）如图，在矩形????中，?? = 4, ?? = 4 3，直线?将矩形????分成周长相等的两部分，过点?作直线?的垂线，垂足为?，连接??．当∠???最大时，??的长为．
【答案】2 6
【分析】连接??，记??的中点为?．可得∠??? = 90°，即点?在以??为直径的圆上运动．设圆心为点?，当??与 ⊙ ?相切，且在??上方时，∠???最大．连接??，此时?? ⊥ ??．过点?作?? ⊥ ??于点?，根据勾 股定理可解答．
【详解】解：连接??，记??的中点为?．由题意，可知直线?过点?．
∵?? ⊥ ?，
∴∠??? = 90°．
点?在以??为直径的圆上运动．设圆心为点?，当??与 ⊙ ?相切，且在??上方时，∠???最大．
连接??，此时?? ⊥ ??．过点?作?? ⊥ ??于点?，如图．
，
由勾股定理，得?? = 8，
∴?? = 4，
∴?? = ?? = ?? = 2．
又sin∠??? = ?? = 1
??2
∴∠??? = 30°，
∴?? = 1,?? = 3．
∴?? = 3 3．
∴?? =??2 + ??2 = 2 7，
∴?? =??2−??2 = 2 6．
命题点 03 定点定长中最值问题
【典例 17】（2025·天津·一模）如图，?是等边三角形???的边??的中点，?为平面内一点，连接??，将线段??以点?为中心逆时针旋转60°，得到线段??，连接??．若?? = 6，点?、?之间的距离为 1，则??的最小值为，最大值为．
【答案】
3 3−1/−1 + 3 3
3 3 +1/1 + 3 3
【分析】连接??,将??绕点?逆时针旋转60°得到??,连接??,??,??,由等边三角形的性质和勾股定理求出
?? = 3 3,证明△ ???是等边三角形，得到?? = ?? = 3 3,再证明△ ???≌ △ ???,得到?? = ?? = 1,得出点?在以点? 为圆心、1 为半径的圆上运动，由点圆位置关系即可得解．
【详解】解：如图所示，连接??,将??绕点?逆时针旋转60°得到??，连接??、??、??，
∵ 点?是等边三角形???边??的中点，
∴ ?? = ?? = ?? = 3,?? ⊥ ??，
1
1
22
∴ ?? =??2−??2 = 3 3，
由旋转的性质可得?? = ??,?? = ??,∠??? = ∠??? = 60°,
∴△ ???是等边三角形，
∴ ?? = ?? = 3 3,
∵ ∠???−∠??? = ∠???−∠???,
∴ ∠??? = ∠???,
∴△ ???≌ △ ???(SAS),
∴ ?? = ?? = 1,
∴ 点?在以点? 为圆心、1 为半径的圆上运动，
如图，
∴ 当点?在线段??上时，??的值最小，最小值为3 3−1，当点?在射线??
上时，??有最大值，最大值为3 3 +1，
故答案为：3 3−1，3 3 +1.
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
【答案】2 10−2/−2 + 2 10
【分析】如图，连接??,??,??，由折叠的性质易证?? = ?? = ??，推出点?在以点?为圆心，??为直径的圆上运动，当?,?,?三点共线时，??有最小值，利用勾股定理求出??，即可解答．
【详解】解：如图，连接??,??,??，
由折叠的性质得?? = ??，
∵?是??的中点，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ??，
∴点?在以点?为圆心，??为直径的圆上运动，当?,?,?三点共线时，??有最小值，
∵?? = 4，?? = 6，四边形????是矩形，
∴?? = 2,∠??? = 90°，
∴?? =??2 + ??2 = 2 10，
∴??的最小值为2 10−2．
【变式 01】（2026·福建漳州·一模）在矩形????中，?? = 4，?? = 6，?是??的中点，点?在??上运动．将△ ???沿??翻折得到 △ ???，连接??，则??的最小值为．
【变式 02】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知∠??? = 120°，∠??? = 60°，?? = ?? = 20，
?? = ?? = 40，点?为??的中点，则点?与点?之间的最小距离为．
【答案】10 19−10/−10 + 10 19
【分析】延长??至点?，使得?? = ??，连接??，则??是 △ ???的中位线，得到
1，连接??，设??
?? = 2??
与⊙ ?的交点为?′，则??的最小值为?′?的长，过点?作??∥??交??的延长线于点?，证明四边形????是菱
形，过点?作?? ⊥ ??的延长线于点?，在Rt △ ???中，求出?? = 20 3，?? = 20，从而得出?? = 20 19，则?′? = 20 19−20，进而求得??的最小值，即可得解．
【详解】解：如图，延长??至点?，使得?? = ??，连接??，
∵ 点?为??的中点，
∴ ??是 △ ???的中位线，
∴ ?? =
1??，
2
∴ 当??最小时，??最小，
∵ ?? = ??，
∴ 点?在以点?为圆心，??为半径的圆上，
连接??，设??与⊙ ?的交点为?′，则??的最小值为?′?的长，过点?作??∥??交??的延长线于点?，
∴ ∠??? = ∠??? = 120°，
∵ ∠??? = 120°，
∠??? = 60°，
∴ ??∥??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∵ ?? = ?? = ??，
∴ 四边形????是菱形，
∴ ?? = ?? = ?? = ?? = 40，
∴ ?? = ?? + ?? = 60，
过点?作?? ⊥ ??的延长线于点?，
∵ ∠??? = 180°−∠??? = 60°，
∴ 在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ sin60° = 20 3，?? = ?? ⋅ cs60° = 20，
∴ ?? = ?? + ?? = 80，
∴ ?? =??2 + ??2 = 20 19，
∴ ?′? = ??−??′ = 20 19−20，
∴ ??的最小值为 ?′? = 10 19−10，
1
2
即点?与点?之间的最小距离为10 19−10．
【变式 03】（2026·安徽合肥·一模）如图，矩形????中，?? = 1，?? = 2，E、F 分别为??、??上动点，
?? = 2??，沿直线??进行翻折，??对应边?′?′在原平面内，连接??′．
??
（1）连接??，交??于点 G，则?? = ；
（2）E、F 在运动过程中，??′的最小值 = ．
【详解】解：如图，
3
3
圆心， 6长为半径的圆上运动，当点 A、?′，G 三点共线时，??′最小，最小值为??− 6，即可求解．
3
3
3
3
3
得到?? = 2，?? = 2 2，?? = 1，?? = 6，由折叠的性质得：?′? = ?? = 6，进而得到点?′在以点 G 为
2 2
2
??2
??1
??
?? = ?? = 1，由（1）得：?? = ?? = 2，可得?? = 3，再由△ ??? ∽△ ???，可得?? = 3,?? = 3 ，从而
【分析】（1）证明△ ??? ∽△ ???，即可求解；
（2）过点 G 作?? ⊥ ??于点 H，交??于点 K，连接??,?′?，则?? ∥ ??，?? = ??，?? ⊥ ??，
3
1− 6
1
2
【答案】
∵四边形????是矩形，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??
????，
∵?? = 2??，
∴?? = ?? = 1；
????2
（2）∵矩形????中，?? = 1，?? = 2，
∴?? = ?? = 1，?? = ?? = 2，?? ⊥ ??，?? ∥ ??，
如图，过点 G 作?? ⊥ ??于点 H，交??于点 K，连接??,?′?，则?? ∥ ??，?? = ??，?? ⊥ ??，?? = ?? = 1，
由（1
??
??1
）得：?? = ?? = 2，
∴?? = 2
??3
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ?? = 2，
??????3
∴?? = ?? = 2，
123
当点 A、?′，G 三点共线时，??′最小，最小值为??− 6，
3
3
连接??，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =
2 2
3
2
+= 1，
1
2
3
∴??′的最小值 = 1− 6．
3
∴点?′在以点 G 为圆心， 6长为半径的圆上运动，
3
由折叠的性质得：?′? = ?? = 6，
3
∴?? =??2 + ??2 = 6，
1
2 2
2
∴?? = 3 ，?? = 3 ，?? = 3，
2 2
2
∴?? = 3,?? = 3 ，
中考预测题
1．如图，菱形????，?? = 4，∠??? = 60°，将菱形????关于??对称，得到菱形???′?′，在对角线??，
??′上有两个动点?，?，?? = ?′?，连接??，??′交于点?，连接??，则??的最小值为．
【答案】4
【分析】连接??′，作△ ???′的外接圆，圆心为?，连接??、??、??′、??，由菱形的性质和轴对称的性 质可证明 △ ???′是等边三角形，则?? = ??′，∠???′ = ∠??′? = 60°，进而证明 △ ??′?≌ △ ?′??(SAS)，
则∠??′? = ∠?′??，结合等量代换可得∠???′ = 120°．由圆周角定理可得∠???′ = 120°，结合?? = ??′容易证明△ ???是等边三角形，则?? = ?? = ?? = 4，∠??? = 60°．根据?? ≥ ??−??，因此当?、?、?三点共线时，??取得最小值．
【详解】解：如图，连接??′，作△ ???′的外接圆，圆心为?，连接??、??、??′、??，
∵四边形????是菱形，
∴∠??? =
1∠??? = 30°，∠??? = 180°−∠??? = 120°，?? = ?? = 4，
2
由轴对称的性质可得，∠???′ = ∠??? = 30°，?? = ??′，?? = ??′，
∴∠???′ = 60°，
∴ △ ???′是等边三角形，
∴?? = ??′，∠???′ = ∠??′? = 60°，在△ ??′?和△ ?′??中，
?? = ?′?
∠???′ = ∠??′? ，
??′ = ??′
∴ △ ??′?≌ △ ?′??(SAS)，
∴∠??′? = ∠?′??，
∵∠??′? = ∠??′? + ∠??′? = 60°，
∴∠?′?? + ∠??′? = 60°，
∴∠???′ = 180°−∠?′??−∠??′? = 120°，
∴优弧??′圆心角的度数为2 × 120° = 240°，
∴∠???′ = 360°−240° = 120°，
∵?? = ??′，
∴∠??? = ∠???′
1
= 2∠??
?′ = 60°，
∵?? = ??，
∴ △ ???是等边三角形，
∴?? = ?? = ?? = 4，∠??? = 60°，
∴?? = 4，
∵∠??? + ∠??? = 120° + 60° = 180°，
∴?、?、?三点共线，
∴?? = ?? + ?? = 8，
∵?? + ?? ≥ ??，
∴?? ≥ ??−??，
∴当?、?、?三点共线时，??取得最小值8−4 = 4．
2．如图，在正方形????中，?? = 4，E、F 是边??，??上两点，且?? = ??，??与??相交于点 G，点 O
是△ ???的内心，则??的最小值为．
【答案】2 10−2 2
【分析】首先证明 △ ???≌ △ ???，从而得出∠??? = ∠???，进而证得∠??? = 90°；然后根据三角形内心的性质求出∠??? = 135°，确定点?的轨迹是以??为弦的一段圆弧；接着确定该圆弧所在圆的圆心位置和半径，最后利用点与圆的位置关系，求出??的最小值．
【详解】解：∵四边形????是正方形，
∴?? = ?? = 4,∠??? = ∠??? = 90°，在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? + ∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 180°−(∠??? + ∠???) = 90°，
∵点?是△ ???的内心，
∴??,??分别平分∠???,∠???，
∴∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
1
1
22
11
∴ ∠??? = 180−(∠??? + ∠???) = 180°− (∠??? + ∠???) = 180°− × 90° = 135°，
2
2
∴点?在以??为弦，所含圆周角为135°的圆弧上运动，
设该圆弧所在圆的圆心为?，半径为?，
则∠??? = 2(180°−135°) = 90°，
∵?? = 4，
∴在Rt △ ???中，?? = ?? == 2 2，即? = 2 2，
2
??
以?为原点，??所在直线为?轴，??所在直线为?轴建立平面直角坐标系，
则?(0,0),?(0,4),?(4,0)，
∵∠??? = 90°,?? = ??，
且点?在正方形内部（即??右侧），
∴圆心?在??的左侧，且?到??的距离等于??的一半，
∴?(−2,2)，连接??，交圆?于点?，此时??即为??的最小值，
∴?? =(4−(−2))2 + (0−2)2 =62 + (−2)2 = 40 = 2 10，
∴ ??min = ??−? = 2 10−2 2 ．
3．如图，在△ ???和 △ ???中，∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，P 为射线??，??的交点．若
?? = 2?? = 2 2，把△ ???绕点 A 旋转，则??的最小值为，最大值为．
【答案】
3−1
3 +1
【分析】先证明△ ???≌ △ ???(SAS)得出∠??? = ∠???，解直角三角形得出?? = ?? = 2，
?? = ?? = 1，以点 A 为圆心，??的长为半径画 ⊙ ?．当??在⊙ ?下方与⊙ ?相切于点 E 时，
∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，则四边形????是正方形，从而得出?? = ?? = 1，∠??? = ∠??? = 90°，此时??最小；以点 A 为圆心，??的长为半径画 ⊙ ?．当??在⊙ ?上方与⊙ ?相切于点 E 时，
∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，同理可得四边形????是正方形，进而得出?? = ?? = 1，
∠??? = ∠??? = 90°，此时??最大．
【详解】解：∵∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，?? = ??，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???．
∵?? = 2?? = 2 2，
∴?? = 2，
∴?? = ?? = 2?? = 2，?? = ?? = 2?? = 1，
22
①如图 1，以点 A 为圆心，??的长为半径画 ⊙ ?．当??在⊙ ?下方与⊙ ?相切于点 E 时，
∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
，
∵∠??? = 90°，
∴四边形????为矩形，
∵?? = ??，
∴四边形????是正方形，
∴?? = ?? = 1，∠??? = ∠??? = 90°，此时??最小．
由勾股定理，得?? =22−12 = 3，
∴?? = 3−1．
②如图 2，以点 A 为圆心，??的长为半径画 ⊙ ?．当??在⊙ ?上方与⊙ ?相切于点 E 时，
∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
同理可得：四边形????是正方形，
∴?? = ?? = 1，∠??? = ∠??? = 90°，此时??最大．由勾股定理，得?? =22−12 = 3，
∴?? = 3 +1．
综上所述，??的最小值为 3−1，最大值为 3 +1．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
好题速递
1．（2026·四川广元·一模）如图，点?、?分别是正方形????的边??、??上的动点，且?? = ??，连接
??、??相交于点?，在线段??下方以??为斜边作等腰直角 △ ???，∠??? = 90°，连接??，若正方形????
边长为 4，则??的最小值是．
【答案】 10− 2
【分析】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解
决．取??中点?, 连接??, 以??为斜边作等腰直角三角形 ???，首先证明∠??? = 90°，从而?? = 1?? = 2，
2
再根据∠??? = ∠???，可求?? = 2，可知点?的运动轨迹为以点?为圆心，??为半径的圆，从而可求??
最小值．
【详解】解：如图，取??中点?, 连接??, 以??为斜边作等腰直角三角形 ???，
则?? = 2?? = 2，
2
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ,
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°，
△ ???是直角三角形，
∴?? =
1?? = 2,
2
∵ △ ???为等腰直角三角形，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
又∵?? = ?? = 2，
????2
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = 2，
??2
∴?? = 2，
∴点?的运动轨迹为以点?为圆心，??为半径的圆，
如图，连接??，交圆?于?′，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∵∠??? + ∠??? = 45∘，∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 45°，
∴ △ ???为等腰直角三角形,
∵?? = 2,
∴?? = ?? = 2 × 2 = 1,
2
∴?? = 4−1 = 3,
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 = 10,
∴??′ = ??−??′ = 10− 2，
∴??的最小值为 10− 2．
【答案】
1
? < −
4
3 2
8
【分析】①联立一次与二次函数解析式消去?得到一元二次方程，利用两函数无交点等价于判别式小于0列不等式求解即可；②先代入? = −1得到两个函数解析式，根据垂线段最短确定??最短的条件，设直线
? = −? + 2与?轴交于点?，与?轴交于点?，过点?作直线? ∥ ?轴，交直线? = −? + 2于点?，通过求直线与坐标轴交点证明△ ???是等腰直角三角形得到45°角，即可得∠??? = 45°，设抛物线上点的横坐标为?，表示出铅垂距离??，利用三角函数将??转化为关于?的二次函数，最后根据二次函数性质即可求得??的最小值．
【详解】解：①联立两个函数解析式，得
? = −? + ?2 + 1①
? = −(?−?)2 + ?2 + 1② ，
把①代入②，得
−? + ?2 +1 = −(?−?)2 + ?2 +1，整理，得
?2−(2? + 1)? + ?2 = 0，
? = (2? + 1)2−4 × 1 × ?2 = 4? + 1，
∵两函数图象无交点，
∴一元二次方程无实数根，即? < 0，
∴4? + 1 < 0，
解得? < −4；
②当? = −1时，
1
一次函数? = −? + ?2 +1 = −? + (−1)2 +1 = −? + 2，
2．（2026·江苏南京·模拟预测）已知一次函数? = −? + ?2 +1与二次函数? = −(?−?)2 + ?2 +1（?为常数）的图象在同一平面直角坐标系．若两个函数图象没有交点，则?的取值范围是；若? = −1时，点?和点?分别是两个函数图象上的任意一点，则??的最小值是．
二次函数? = −(?−?)2 + ?2 +1 = − ?−(−1) 2 + (−1)2 +1 = −(? + 1)2 +2，
由垂线段最短可知，当??垂直于直线? = −? + 2时，??的值最小，
如图，设直线? = −? + 2与?轴交于点?，与?轴交于点?，过点?作直线? ∥ ?轴，交直线? = −? + 2于点?，
令? = 0，代入一次函数得? = 2，
令? = 0，代入一次函数得0 = −? + 2，解得? = 2，
∴?(0,2)、?(2,0)，
∴?? = 2，?? = 2，
又∠??? = 90°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴∠??? = 45°，
∵?? ∥ ?轴，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
设抛物线上点?的横坐标为?，则? ?,−(? + 1)2 + 2 ，
∵?? ∥ ?轴，
∴?(?,−? + 2)，
∴?? = ??−?? = (−? + 2)− −(? + 1)2
+ 2 = ?2
2
+? + 1 = ? + 1+ 3
24
2
2
1 2
3
2
1 2
3 2
2 ??
= 2
? +
2
+
4
= 2
? ++
2
8
在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ sin45° =，
2
∵二次项系数 2 > 0，抛物线开口向上，
13 2
∴当? = −2时，??取得最小值 8 ．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形????中，∠??? = 90°，?? = ?? = 3，?? = 4 3，连接??
并延长至点 E，连接??，∠??? = ∠???，当线段??的长度最小时，??的长为．
【答案】4 7
【分析】首先证明 △ ??? ∽△ ???，得出 ?? ⋅ ?? = ??2 = 48，延长??至点?，使?? = 8，交圆于点?，连接??，则∠??? = 90°，证明?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ?? = 48，结合∠???公用，可得△ ??? ∽△ ???，证明
∠??? = 90°，过点?作?? ⊥ ??于点?，则?? = ?? = 8，?? ≥ ??，由勾股定理求出??的长．
【详解】解：∵?? = ?? = 3，
∴点?在以点?为圆心，3 为半径的圆上运动，
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = ??，
??
??
??
∵?? = 4 3，
∴?? ⋅ ?? = ??2 = 48，
延长??至点?，使?? = 8，交圆于点?，连接??，则∠??? = 90°，
∵?? = 3 + 3 = 6，?? = 8，
则有：?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ?? = 48，
又∠???公用，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? ∥ ??，
过点?作?? ⊥ ??于点?，则?? = ?? = 8，?? ≥ ??，
当??最小时，即?? ⊥ ??，
∴?? = ?? =??2 + ??2 = 4 7．
4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形????是菱形，连接??，??交于点 O，G 为??边上的动点
（不与点 A，D 重合），?? ⊥ ??于点 E，?? ⊥ ??于点 F，若?? = 3，?? = 6，则??的最小值为．
【答案】6 5
5
【分析】连接??，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出??的长度，证明四边
形????为矩形，得出当?? ⊥ ??时，??的值最小，即??的值最小，最后利用等面积法求解．
【详解】解：如图，连接??，
∵四边形????是菱形，
∴?? ⊥ ??，?? = ?? = 6，
∴∠??? = 90°，
由勾股定理得?? =??2 + ??2 = 9 + 36 = 3 5，
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????为矩形，
∴?? = ??，
当?? ⊥ ??时，??的值最小，即??的值最小，
由等面积得?? = ??⋅?? = 3×6 = 6 5，
??
3 5
5
即??的最小值为6 5．
5
5．（2026·陕西西安·三模）如图，在矩形????中，?? = 6，?? = 9，点 E、F 分别为边 BC、BD 上的两动点，且?? = ??，当?? + ??取最小值时，cs∠???的值是．
【答案】3 13
13
【分析】如图，在??上截取?? = ?? = 9，连接??，证明△ ???≌ △ ???，得到?? = ??，将?? + ??
转化为?? + ??，作点?关于??的对称点?′，当?′,?,?三点共线时，?? + ??取得最小值，利用角度关系推导此时∠??? = ∠???，进而求解．
【详解】解：如图，在??上截取?? = ?? = 9，连接??，
∵ 四边形????是矩形，
∴ ?? ∥ ??，?? = ?? = 9，?? = ?? = 6，∠??? = ∠??? = 90∘，
∴ ∠??? = ∠???，即∠??? = ∠???，在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠???
?? = ??
，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ ?? + ?? = ?? + ??，
作点?关于??的对称点?′，连接?′?交??于点?，
此时?? + ?? = ?′? + ?? = ?′?，即?? + ??取得最小值，
∵ 点?与点?′关于??对称，
∴ ∠??? = ∠?′??，
∵ ∠?′?? = ∠???（对顶角），
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠???是△ ???的外角，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠???，
∵ ∠??? = ∠???−∠???
= (90∘−∠???)−(90∘−∠???)
= ∠???−∠???
= (∠??? + ∠???)−∠???
= ∠???，
在Rt △ ???中，?? = 9，?? = 6，
∴ ?? =??2 + ??2 =92 + 62 = 117 = 3 13，
∴ cs∠??? = cs∠??? = ?? = 3 13 =
??9
3 13
13 ．
6．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，点?的坐标为(1,0)，?是第一象限内任意一点，连接??，
??．若∠??? = ?°，∠??? = ?°，则把?(?°,?°)叫做点?的“角坐标”．
3
若点?的坐标为1,，则点?的“角坐标”为；
1
（2）若点?到?轴的距离为2，则? + ?的最小值为．
【答案】
(60°,90°)
90
【分析】（1）由点坐标可得∠??? = 90°，利用三角函数可计算出tan∠??? = 3，则∠??? = 60°，写出点
?的“角坐标”即可；
（2）由题意可知，点?在直线? = 2上，根据三角形内角和定理可得，当∠???取得最大值时，∠??? + ∠???
取得最小值，即? + ?取得最小值．结合圆周角定理可知，当点?在以??为直径的圆上时，∠???取得最大
1
值，计算出此时? + ?的值即可．
【详解】解：（1）如图，
∵?(1,0)，? 1, 3 ，
∴?? ⊥ ??，?? = 1，?? = 3，
∴∠??? = 90°，
在直角△ ???中，tan∠??? = ?? = 3，
??
∴∠??? = 60°，
∴点?的“角坐标”为(60°,90°)；
1
∵点?到?轴的距离为2，
又∵点?在第一象限内，
1
∴点?在直线? = 2上，
∵∠??? + ∠??? = 180°−∠???，
∴当∠???取得最大值时，∠??? + ∠???取得最小值，即? + ?取得最小值，
1
如图，以??为直径作圆，圆心为点?，过点?作直线? = 2的垂线，垂足为?，设??与圆?交于点?，连接??、
??、??，
∴点?的坐标为 1 ,0 ，?? = ?? = 1，
22
1
∵?? = 2
= ??，
∴点?在圆?上，
∵??是圆?的直径，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? ≤ ∠???，即∠??? ≤ ∠???，
∴当点?与点?重合时，∠???取得最大值90°，此时∠??? + ∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∴? + ?的最小值为90．
中考闯关
如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，?? = 6，?? = 7，点?为平面内一动点，连接??、??、??，若
∠??? = 45°，则??的最小值为．
【答案】5−3 2
【分析】作△ ???的外接圆 ⊙ ?，连接??、??、??，??交 ⊙ ?于点?′，根据圆周角定理可知
∠??? = 2∠??? = 90°，即 △ ???是等腰直角三角形，则∠??? = ∠??? = 45°，作?? ⊥ ??于点?，则 △ ???
是等腰直角三角形，由勾股定理可得?? = ?? = ??′ = 3 2，同理可得?? = ?? = 3，根据勾股定理求出
?? = 5，当点?、?、?三点共线时，??最小为??′ = ??−??′ = 5−3 2．
【详解】解：作△ ???的外接圆 ⊙ ?，连接??、??、??，??交 ⊙ ?于点?′，则∠??? = 2∠??? = 90°，则△ ???是等腰直角三角形，
则∠??? = ∠??? = 45°，
作?? ⊥ ??于点?，则△ ???是等腰直角三角形．
∵??2 +??2 = ??2，?? = 6，
∴?? = ?? = ??′ = 3 2，同理可得?? = ?? = 3，
∴?? = ??−?? = 4，
∴?? =??2 + ??2 = 5，
当点?、?、?三点共线时，??最小为??′ = ??−??′ = 5−3 2．
在△ ???中，∠? = 60°，?? = 2 3．若⊙ ?是△ ???的内切圆，则 ⊙ ?的半径的最大值是．
【答案】1
【分析】设△ ???的内切圆 ⊙ ?的半径为 r， ⊙ ?与??、??、??分别相切于 D、E、F，连接??、??、
??，则??平分∠???，∠??? = ∠??? = 30°，可得?? = ?? = 3?，利用切线长定理可得?? = ??，?? = ??，进而得出?? + ?? = 2 3? + 2 3，当 r 最大时，?? + ??最大，延长??至?′，使??′ = ??，连接??′，则点
?′在以??为弦，所对圆周角为30°的圆弧上运动，作 △ ???′的外接圆⊙ ?′，当??′为 ⊙ ?′的直径，即点 A
与点?′重合时，?? + ??的值最大，此时△ ???为等边三角形，即可求得答案．
【详解】解： 设△ ???的内切圆 ⊙ ?的半径为 r， ⊙ ?与??、??、??分别相切于 D、E、F，连接??、
??、??，
则?? = ?? = ?? = ?，?? ⊥ ?? ， ?? ⊥ ??， ?? ⊥ ??， ?? = ??， ?? = ??， ?? = ??．
∵ ?? = 2 3，
∴ ?? + ?? = 2 3．
∵ ?? = ??， ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ??平分∠???．
∴ ∠??? = ∠??? = 30°．
，
??3
∵ ?? = tan∠??? = tan30° = 3
∴ ?? = 3?? = 3? = ??．
∴ ?? + ?? = ?? + ?? + ?? + ?? = 2 3? + 2 3．
∴ 当 r 最大时，?? + ??最大．
延长??至?′，使??′ = ??，连接??′则∠? = ∠???′．
∵ ∠?′ = ∠???′ = ∠??? = 60°，
∴ ∠?′ = ∠???′ = 30°，
∵ ?? = 2 3，
∴ 点?′在以??为弦，所对圆周角为30°的圆弧上运动，
作△ ???′的外接圆⊙ ?′，当??′为⊙ ?′的直径，即点 A 与点?′重合时，?? + ??的值最大，此时，?? = ?? ，∠??? = 60° ，
∴△ ???为等边三角形．
∴ ?? = ?? = ?? = 2 3．
∴ 2 3? + 2 3 = 4 3．
∴ ? = 1．
∴△ ???的内切圆 ⊙ ?的半径为 r 的最大值为 1，故答案为：1
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内切圆，三角形外接圆，解直角三角形等，作出辅助圆，利用直
径是圆中最大弦是解题关键．
如图，等腰Rt △ ???与等腰Rt △ ???，?? = ??，?? = ??，?? = 2?? = 4，?? ⊥ ??，垂足为 H，直线??交??于点 O．将△ ???绕点 C 顺时针旋转：
（1）?? = ；
（2）??的最大值是．
【答案】
2 2
2 5 + 2/ 2 +2 5
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）延长??到 N，使得?? = ??，连接??，??，延长??交??于 M，取??的中点 F，连接??，??，根据 SAS可证 △ ???≌ △ ???，然后根据角度关系可证得∠??? = ∠??? = 90°，从而得到?? ∥ ??，然后得到点 O 为??中点，可得到??是△ ???中位线，从而求出??，然后在Rt △ ???，利用勾股定理计算出??，当 O，A，F 三点共线时，??有最大值，即可解决问题
【详解】解：（1）∵?? = 2?? = 4，
∴?? = 2，
∵在等腰Rt △ ???中，?? = ?? = 2，
∴由勾股定理得?? =??2 + ??2 = 2 2；
（2）如图，延长??到 N，使得?? = ??，连接??，??，延长??交??于点 M，取??的中点 F，连接??，
??，
∵?? ⊥ ??，?? = ??，
∴?? = ??，
∵?? = ??，∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°
∴∠??? = 45° + 45° = 90° = ∠???，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? ∥ ??，
∴?? = ??
????
∵?? = ??，
∴?? = ??，
∵?? = ??，
∴?? = ?? = 2，
1
2
在Rt △ ???中，∵?? = 4，?? = 1?? = 1?? = 2，
2
2
∴?? =??2 + ??2 = 2 5，
∵?? ≤ ?? + ??，
∴?? ≤ 2 5 + 2，
∴当 O，A，F 三点共线时，??有最大值，??的最大值为2 5 + 2．
3
如图，在▱????中，?? > ??，?? = 5，?? = 4，sin∠??? = 5，?，?分别为线段??，??上的点，且
满足?? = ??，则?? + ??的最小值为．
【答案】 73
【分析】在??上截取?? = ?? = 4，过?作?? ⊥ ??，交??延长线于点?，则∠? = 90°，由平行四边形的
性质可得??∥??，所以∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，则sin∠??? = sin∠??? = 3 = ??，则有?? = 3，
5
??
然后证明△ ???≌ △ ???(SAS)，则?? = ??，所以?? + ?? = ?? + ??，当?、?、?三点共线时，?? + ??
有最小值，即?? + ??有最小值，为??的长，再通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，在??上截取?? = ?? = 4，过?作?? ⊥ ??，交??延长线于点?，则∠? = 90°，
∵四边形????是平行四边形，
∴??∥??，
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴sin∠??? = sin∠??? = 5 = ?? ，
3
??
∴?? = 3，
5
5
∴?? = 3，
∴?? =??2−??2 =52−32 = 4，
∴?? = ?? + ?? = 8，在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ??，
∴当?、?、?三点共线时，?? + ??有最小值，即?? + ??有最小值，为??的长，如图，
∴?? =??2 + ??2 =82 + 32 = 73，
∴?? + ??的最小值为 73．