2026年中考数学二轮复习 专题06 多结论选填题小综合(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题06 多结论选填题小综合(高频考点专练)，共7页。试卷主要包含了函数图象与性质多结论判断，几何图形性质多结论判断题型三，方程与不等式多结论判断，函数与几何跨模块多结论判断，动态几何多结论判断等内容，欢迎下载使用。
高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（5 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 函数图象与性质多结论判断
题型二 几何图形性质多结论判断题型三 动态几何多结论判断
题型四 方程与不等式多结论判断
题型五 函数与几何跨模块多结论判断
实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升）
多结论选填题小综合是中考数学选填压轴核心题型，分值约 3～5 分，以选择题（多选 / 选正确结论个数）、填空题（填正确结论序号）为主，整体为中档偏难题，侧重考查知识综合应用、逻辑推理与细节辨析能力，是拉开基础分与高分的关键板块，也是各地中考的必考题型。基础知识必备：熟练掌握函数（一次、反比例、二次）的图象与性质、几何（三角形、四边形、圆）的核心定理、方程与不等式的核心知识点（根的判别式、根与系数关系、解集判定）；能结合数形结合、分类讨论思想分析问题；具备逐一验证结论、用排除法简化判断的解题思维；能准确进行几何计算与代数推导，注重推理的严谨性。
2026 中考预测：
题型稳定：函数图象性质、几何图形性质、动态几何为必考类型，函数与几何跨模块综合为选填压轴最高频考法，方程与不等式多结论判断为基础常考形式；
难度平稳：基础结论侧重单一知识点应用，难点结论侧重多知识点融合，无偏题、怪题，重点考查结论验证的逻辑与计算准确性；
命题趋势：结论设计更隐蔽，常结合图象、动点、几何计算设置结论，强调细节辨析与推理严谨性；跨模块综合题占比提升，注重数形结合思想的实际应用，部分题目结合简单生活背景。
题型一函数图象与性质多结论判断
【典例 01】（24-25 八年级下·湖南湘潭·期末）关于?的一次函数? = ?? + 4?−1，下列说法：
①若? = 2，则函数图象经过第一、二、三象限；
1
②若函数图象经过原点，则? = 4；
③无论?为何实数，函数的图象总经过点(−4,−1)．其中正确的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解 题的关键．根据一次函数的性质即可判断①；把(0,0)代入即可判断②；把? = −4代入解析式求得? = −1，即可判断③．
【详解】解：① ∵ ? = 2，
∴ 一次函数为? = 2? + 7，
∴ 函数图象经过第一、二、三象限，故正确；
② ∵ 函数图象经过原点，
∴ 4?−1 = 0且? ≠ 0，
1
∴ ? = 4，故正确；
③ ∵ ? = ?? + 4?−1 = ?(? + 4)−1，
∴ ? = −4时，? = −1，
∴ 函数的图象总经过(−4,−1)，故正确．
∴①②③都正确．正确个数为 3，故选 D．
【典例 02】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，二次函数? = ??2 +?? + ?的图象与正比例函数? = ??的图象相交于 A，B 两点，已知点 A 的横坐标为−3，点 B 的横坐标为 2，二次函数图象的对称轴是直线?=− 1．下列结论：①??? 0；③关于 x 的方程??2 +?? + ? = ??的两根为?1 = −3，?2 = 2；
④? =
1?．其中正确的有（ ）
2
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，依据题意，根据所给图象可以得出? > 0，? < 0，再结合对称轴
?=−1，同时令??2 +?? + ? = ??，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【详解】解：由图象可得，? > 0，? < 0，又− ?
2?
= −1，
∴? > 0，
∴??? < 0，
∴①正确；
由题意，令??2 +?? + ? = ??，
∴??2 + (?−?)? + ? = 0，
又二次函数? = ??2 +?? + ?的图象与正比例函数? = ??的图象相交于 A，B 两点，已知点 A 的横坐标为−3，点 B 的横坐标为 2，
∴??2 + (?−?)? + ? = 0的两根之和为−3 + 2 = −1，两根之积为−3 × 2 = −6，
?−??
∴− ? = −1，? = −6，
∴6? + ? = 0，又? = 2?，
∴3? + ? = 0，
∴3? + 2? = ? < 0，
∴②错误，③正确；
?−?
∵− ?
= −1，? = 2?，
∴? = ?，
∴④错误．
综上，正确的有①③，一共 2 个．故选：B．
【典例 03】（25-26 九年级上·安徽芜湖·月考）如图，矩形????的顶点 A，E 分别在 y 轴，x 轴的正半轴上，
B 为??的中点，反比例函数?
的图象经过点 B，且与??交于点 D，连接??，??，??．若 △ ???
? = ? (? > 0)
的面积为 3，则下列结论：① △ ???与 △ ???的面积一定相等；② △ ???的面积为 1；③? = 4；④D 为
??的中点．其中正确的结论是（ ）
①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，关键是找到图形面积与反比例函数的关系；
理解题意，结合矩形的性质以及中线与面积的关系，得?△??? = ?
△???
= 1?△???，设?(?,?)，根据△ ??? 2
的面积为3，列出方程求得??，在论证的过程中逐一判断结论的正确性．
【详解】解：连接??，
∵四边形????是矩形，
∴?△??? = ?△???，
∵?是??的中点，
∴?
△???
= ?
△???
= 1?△???， 2
设?(?,?)，
∵?,?在反比例函数图象上，
∴?
1
△???
= ?△??? = 2??，
∴?△??? = ?△??? = ?△??? = ?△???，故①正确；
∴?? = ??，
即：?为??的中点，故④正确；
∵ △ ???的面积为3，
∴?矩形????−?△???−?△???−?△??? = 3，
∵?,?分别是??,??的中点，?? ∥ ??,?? ∥ ??，
∴?? = ?? = ?,?? = ?? =
1?，
2
1111
∴2? × ?−??−??−? × ? = 3，
2222
解得：?? = 4，
即：?
△??? =
1
2? ×
1
2? =
1?? = 1，②正确；
4
∴? = 4，故③正确；故选：D
【变式 01】（2024·辽宁·模拟预测）一次函数?1 = ?? + ?与?2 = ?? + ?的图象如图所示，下列结论中，正确的有（ ）
①对于函数?2 = ?? + ?来说，y 随 x 的增大而减小；
②函数?1 = ?? + ?的图象经过第一、二、四象限；
③?−? =
?−?
2
个B．1 个C．2 个D．3 个
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．
【详解】解：由图象可知，对于函数?2 = ?? + ?来说，y 随 x 的增大而增大；函数?1 = ?? + ?的图象经过第一、二、四象限，故①错误，②正确．
由图象可知，一次函数?1，?2的图象的交点横坐标为 2．
∴2? + ? = 2? + ?，
∴?−? =
?−?
2 ，故③正确．
故答案：C．
【变式 02】．（25-26 九年级上·广东东莞·期末）如图，一次函数? = ?(? ≥ 0)与反比例函数? = 9(? > 0)的
?
图象交于点 C，过反比例函数图象上点 A 作 x 轴垂线，垂足为点 D，交? = ?的图象于点 B，点 A 的横坐标为 1．有以下结论：
①点 C 的坐标为(3,3)；
②当? > 3时，一次函数的值小于反比例函数的值．
③将直线??向上平移 k 个单位后与反比例函数? = 9(? > 0)的图象一定有交点．
?
④连接??，??，则 △ ???的面积为 12．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键． 联立方程组可求得点 C 坐标，可判断①；由一次函数图象与反比例函数图象相对点 C 坐标的位置关系可判断②；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断③；先求得点 A、B 的坐标，再利用坐标与图形性质求得△ ???的面积可判断④，进而可得答案．
【详解】解：∵一次函数? = ?(? ≥ 0)与反比例函数? = 9(? > 0)的图象交于点 C，
?
? = ?
? = 3
? = −3
∴联立方程组
? = 9 ，解得 ? = 3 或 ? = −3 （舍去），
?
∴点 C 的坐标为(3,3)，故①正确；
由图象知，当? > 3时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方，
∴当? > 3时，一次函数的值大于反比例函数的值，故②错误；
∵将直线??向上平移 k 个单位后，直线??始终经过第一象限，又反比例函数? = 9(? > 0)的图象位于第一象
?
限，
∴将直线??向上平移 k 个单位后与反比例函数? = 9(? > 0)的图象一定有交点，故③正确；
?
∵点 A 在反比例函数? = 9(? > 0)的图象上，且点 A 的横坐标为 1．
?
∴当? = 1时，? = 9，则点 A 坐标为(1,9)，
又∵点 A 作 x 轴垂线，垂足为点 D，交? = ?的图象于点 B，
∴点 B 坐标为(1,1)，
∴?? = 8，如图，
则?△??? = ?
+ ?1
1(3−1) = 4 + 8 = 12，故④正确，
△???
△??? = 2 × 8 × 1 + 2 × 8 ×
综上，结论正确的个数是 3 个，故选：C．
2
【变式 03】如图，二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象与?轴正半轴交于点 5 ,0，对称轴为直线? = 1，以下结论：①??? > 0；②4? + 2? + ? = 0；③5? + 4? > 0；④若点(−4,?1),(1,?2),(2.5,?3)均在函数图象 上，则?1 > ?3 > ?2；⑤对于任意实数?，都有? + ? ≤ ??2 +??．其中结论正确的有（ ）
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，包括系数符号的判断、函数值的计算与比较、不等式的证明等知识点，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等信息，确定?,?,?的符号及它们之间的关系，并灵活运用二次函数的对称性和最值性质，根据抛物线开口向上，判断? > 0．根据对称轴
? = 1，判断? = −2? < 0，结论①正确，4? + 2? + ? = 0是当? = 2时的函数值?．利用抛物线的对称性，? = 2
2
和? = 0，关于对称轴? = 1对称，所以? = 2时的函数值与? = 0时的函数值相等，②错误；将 5 ,0代入
? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)中，结合? = −2?，得5? + 4? = 0，③错误；根据二次函数的性质，点到对称轴的距离越远，函数值越大（因为开口向上），即可判断④正确；将? + ? ≤ ??2 +??等价转化为?(?−1)2 ≥ 0恒成立，即可判断⑤正确．
【详解】解：由图象开口向上得? > 0，对称轴? = 1得? = −2? < 0，与?轴交点在负半轴得? < 0，故??? > 0，①正确；
当? = 2时，? = 4? + 2? + ?，由对称性，? = 2关于? = 1的对称点为? = 0，此时? = ? < 0，故4? + 2? + ? < 0，②错误；
2
将 5 ,0代入? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)中，结合? = −2?，得5? + 4? = 0，③错误；
点(−4,?1)距对称轴最远，(1,?2)在顶点，(2.5,?3)距对称轴较近，故?1 > ?3 > ?2，④正确；由? = −2?，知? + ? ≤ ??2 +??等价于?(?−1)2 ≥ 0恒成立，⑤正确，
故①④⑤正确，共 3 个，故选：C．
【变式 04】（2024·四川广元·二模）如图，抛物线? = ??2 +?? + ?(? < 0)与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，对称轴是直线? = −1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当? ≠ −1时，
?−? > ??2 +??；②若??2 +?? = ??2 +??2且?1 ≠ ?2，则 ? + ? = 2；③若?? = ??，则1
11212
?? = −④
?
若?1，0，?0，3，连接??，点 P 在抛物线的对称轴上，且∠??? = 90°，则?−1，4．
其中正确的有（ ）
①③④B．①②③C．①②④D．②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线? = −1，得到当? = −1时，?最大值 = ?−? + ?，据此可判断①；根据题意可得直线? = ?1和直线? = ?2关于对称轴对称，则?1 + ?2 = −2，据此可判断②；先由对称轴公式得到? = 2?，再由?? = ??，得到?−?，0，点 B
? ，则点
?
的坐标为 ?−2，0 ，把? −?，0 代入抛物线解析式中求出? = 2?−1B 的坐标为 − 1 ，0 ，据此可判
断③；先求出?−3，0，设?−1，?，利用勾股定理得到??2 +??2 = ??2，则?2−6? + 10 + 18 = ?2
+4，解得? = 4，据此可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线? = −1，
∴当? = −1时，?最大值 = ?−? + ?，
∴当? ≠ −1时，?−? + ? > ??2 +?? + ?，即?−? > ??2 +??，故①正确；
当??2 +??1 = ??2 +??2且?1 ≠ ?2时，则直线? = ?1和直线? = ?2关于对称轴对称，
12
∴?1 + ?2 = −2，故②错误；
∵抛物线对称轴为直线? = −1，
∴− ? = −1，
2?
∴? = 2?，
∵?? = ??，
∴?−?，0，
∴点 B 的坐标为?−2，0，
把? −?，0 代入抛物线解析式中得??2−2?? + ? = 0，
∴? =
2?−1
? ，
1
∴?−2 = −?，
?
∴点 B 的坐标为 − 1 ，0 ，
1
∴?? = −?，故③正确；
∵?1，0，
∴?−3，0，设?−1，?，
∴??2 = −1−(−3)2 + (?−0)2 = ?2 +4，??2 = (−1−0)2 + (?−3)2 = ?2−6? + 10，
??2 = (−3−0)2 + (0−3)2 = 18，
∵∠??? = 90°，
∴??2 +??2 = ??2，
∴?2−6? + 10 + 18 = ?2 +4，解得? = 4，
∴? −1，4 ，故④正确；故选：A．
【变式 05】若二次函数? = ??2 +?? + ?(? > 0)的图象向右平移1个单位长度，得到的新抛物线关于?轴对
称．则下列说法正确的是．（填序号）
；
?
① ? = 2
35
②
?2
?2
当2 ≤ ? ≤ 2时，代数式+−5? + 8的最小值为3；
③对于任意实数?，不等式??2 +??−? + ? ≥ 0一定成立；
④ ?(?1,?1)，?(?2,?2)为该二次函数图象上任意两点，且?1 < ?2．当?1 + ?2 +2 > 0时，一定有?1 > ?2．
【答案】①③
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值，由平移可得二次函数? = ??2 +?? + ?(? > 0)的图象的对称轴为直线? = −1，从而判断①；由? = 2?，则有?2 + ?2−5? + 8 = ?2 + (2?)2−5 × 2? + 8 = 5?2−10? + 8 = 5(?−1)2 +3，把
? = 3代入即可判断②；由? = 2?代入??2 +??−? + ?即可判断③；根据题意得?1+?2 > −1，则直线? = ?1+?2
222
在对称轴右侧，可得点?离对称轴的距离比点?离对称轴的距离近，从而判断④；熟练掌握并能灵活运用是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数? = ??2 +?? + ?(? > 0)的图象向右平移1个单位长度，得到的新抛物线关于?轴对称，
∴二次函数? = ??2 +?? + ?(? > 0)的图象的对称轴为直线? = −1，
∴− ? = −1，
2?
∴?
?
= 2，故①正确；
∴? = 2?，
∴?2 + ?2−5? + 8 = ?2 + (2?)2−5 × 2? + 8 = 5?2−10? + 8 = 5(?−1)2 +3，
35
∵2 ≤ ? ≤ 2，
3
?22
3217
∴当? = 2时，
∵? = 2?，
+ ?
−5? + 8的最小值为5−1
2
+3 =
4 ，故②错误；
∴??2 +??−? + ? = ??2 +2??−? + 2? = ??2 +2?? + ? = ?(? + 1)2 ≥ 0，故③正确；
∵?1 + ?2 +2 > 0，
∴?1+?2 > −1，
2
?1+?2
2
∴直线? =在对称轴右侧，
∵?1 < ?2，
∴点?到对称轴的距离比点?离对称轴的距离近，
∵? > 0，
∴?1 < ?2，故④错误，综上可知：①③正确，故答案为：①③．
【变式 06】（2025·湖北武汉·模拟预测）二次函数? = ??2 +?? + ? (a，b，c 为常数，? > ? > ?)的图像经过点(1,0)，下列四个结论：①?? < 0；②?2−4?? > 0；③若? + ? = 0，则对任意 x，都有??2
+?? + ? ≥ 2?−2；④记 S 为函数的最小值，若? < ? < ?恒成立，则?−? > 2?；其中正确的有
．
【答案】①②
【分析】首先将(1,0)代入? = ??2 +?? + ?得到? + ? + ? = 0，然后由? > ? > ?得到? > 0，? < 0，即可判断①；根据题意判断出抛物线与 x 轴有两个交点，即可判断②；根据题意得到? = 0，? = −?，然后令
? = ??2 +?? + ?−2? + 2，得到Δ = (−2)2−4?(? + 2) = 4−4?(−? + 2) = 4(?−1)2 ≥ 0，即可判断③；首先
(?−?)29
4
得到? = −?−?，然后表示出? = − 4? ，然后根据? > ? > ?得到? > −?−? > ?，然后表示出−? < ? < −
9?9
，取
9?
16? = −4?，? = −16，代入?−?即可判断④．
【详解】解：①∵二次函数? = ??2 +?? + ?的图像经过点(1,0)，
∴? + ? + ? = 0，
∵? > ? > ?，
∴? > 0，? < 0，
∴?? < 0，故①正确；
②∵? > 0，
∴抛物线开口向上，
∵? < 0，
∴抛物线与 y 轴交于负半轴，
又∵二次函数? = ??2 +?? + ?的图像经过点(1,0)，
∴抛物线与 x 轴有两个交点，
∴?2−4?? > 0，故②正确；
③∵? + ? + ? = 0，? + ? = 0，
∴? = 0，? = −?，
∴若对任意 x，都有??2 +?? + ? ≥ 2?−2，即??2 +?? + ?−2? + 2 ≥ 0，
∴令? = ??2 +?? + ?−2? + 2，
∴? = ??2−2? + ? + 2，
∴Δ = (−2)2−4?(? + 2) = 4−4?(−? + 2) = 4(?−1)2 ≥ 0，
∴抛物线? = ??2−2? + ? + 2与 x 轴有 1 个交点或 2 个交点，
∴? = ??2−2? + ? + 2可能小于 0，故③错误；
④∵? + ? + ? = 0，
∴? = −?−?，
∵二次函数? = ??2 +?? + ?，
∴最小值? =
4??−?2 =
4?
4??−(−?−?)2 = −
4?
(?−?)2
4? ，
∵? > ? > ?，
∴? > −?−? > ?，
?
∴−2? < ? < −2，
∴?
2
< −? < 2?，
3?
∴
2
< ?−? < 3?，
∴9?2 < (?−?)2 < 9?2，
4
∴−9?2
< −(?−?)2
9?2
< − 4 ，
9
∴−? < −
4
(?−?)2
4?
9?
< −16，
99?
4
∴−? < ? < −16，
99?
∴取? = −4?，? = −16，
∴?−? = −
9?
16− −
9
4 ? =
27?
16
< 2?，故④错误．
综上所述，其中正确的有①②．故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数和 x 轴交点问题，二次函数? = ??2
+?? + ?系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
题型二 几何图形性质多结论判断
【典例 01】（24-25 八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形????中，??，??相交于点 0，且
?? = ?? = ?? = ??，动点 E 从点 B 开始，沿折线?−?−?运动至点 D 停止，??与??相交于点 N，点 F是线段??的中点，连接??，有下列结论：①四边形????是矩形；②当点 E 在边??上，且?? = 4??时，点 E 是??的中点；③当?? = 3，?? = 4时，线段??长度的最大值为 2；④当点 E 在边??上，且∠??? = 60°时， △ ???是等边三角形．其中正确的结论有()
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定等，由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形????是矩形，即可判断①；可证明??是 △ ???中位线，
?? = ?? = 4?? = 2??，而点?在??上，据此可判断②；根据?? =
1??，则??有最大值时，??有最大值，
2
则点?与点?重合时，??的最大值为 4 ，则??长度的最大值为 2．据此可判断③；根据
∠??? = ∠??? + ∠??? > 60°，据此可判断④．
【详解】解：①∵?? = ?? = ?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，?? = ??，
∴平行四边形????是矩形，故①正确；
②由①可知，四边形????是矩形，
∴?? = ??，
∵0，F 分别是??，??的中点，点?在??上，
∴??是△ ???的中位线，
∴?? = 2??，
∵?? = 4??，
∴?? = ?? = 2??，
∴点 E 是??的中点，故②正确；
③∵??是 △ ???的中位线，
∴?? =
1??，
2
∴当??的值最大时，??的值最大，
当点 E 与点 D 重合时，??的值最大，此时?? = ?? = ?? = 4，
∴线段??长度的最大值是 2，故③正确；
④当点 E 在边??上，且∠??? = 60°时，∠??? = ∠??? + ∠??? > 60°，
∴ △ ???不是等边三角形，故④错误．综上所述，正确的结论有 3 个，
故选：C．
【变式 01】如图，在菱形 ABCD 中，∠? = 60°，E、F 分别是 AB，AD 的中点，DE、BF 相交于点 G，连接
BD，CG．有下列结论：①∠??? = 120°；②?? + ?? = ??；③ △ ???≌ △ ???；④?
中正确的结论有( )
①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
△???
= 3??2，其
4
【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°，由三角形的内角和为 180°就可以求出∠BGD 的值；得出∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，由直角三角形的性质就可以得出 CG=2GD 就可以得出 BG+DG=CG；在直角三角形 GBC 中，CG＞BC=BD，故△BDF 与△CGB 不全等；由三角形的面积公式系可判断④．
【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD．∠A=∠BCD．
∵∠A=60°，
∴∠BCD=60°，
∴△ABD 是等边三角形，△BDC 是等边三角形．
∴∠ADB=∠ABD=60°，∠CDB=∠CBD=60°．
∵E，F 分别是 AB，AD 的中点，
∴∠BFD=∠DEB=90°，
∴∠GDB=∠GBD=30°，
∴∠BGD=180°-30°-30°=120°，
故①正确；
∵∠GDB=∠GBD=30°，
∴DG=BG，
在△CDG 和△CBG 中，
?? = ??
?? = ?? ，
?? = ??
∴△CDG≌△CBG（SSS），
∴∠DGC=∠BGC=60°．
∵∠BFD=∠DEB=90°，?? ∥ ??，?? ∥ ??，
∴∠GDC=∠GBC=90°，
∴∠GCD=30°，
∴CG=2GD=GD+GD，
∴CG=DG+BG．
故②正确．
∵△GBC 为直角三角形，
∴CG＞BC，
∴CG≠BD，
∴△BDF 与△CGB 不全等．故③错误；
∵sinA=
??
??
∴?? = 3??
2
1
2
∵?△???= AD•BF
=1AB× 3??
22
4
= 3??2，故④正确；
∴正确的有：①②④共三个．
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通．
【变式 02】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在正方形????中，??与??交于点?，?为??延长线上的一
2
点，?? = ??，连接??，分别交??，??于点?，?，连接??，则下列结论：①?? = 2；②tan∠? = 2
??
−2；③??平分∠???；④2??2 = ?? ⋅ ??．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．
利用正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：①假设正方形????的边长为?，根据勾股定理得?? = ?? = 2?，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°,∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????2
∴ ?? = ?? = 2 ，
故①错误，不符合题意；
②由①可得tan∠? =
??
?? =
?= 2−1，
?+ 2?
故②错误，不符合题意；
③根据正方形的性质可得，??垂直平分线段??，
∴ ∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???,
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠?，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠? = ∠???，
综上，∠??? = ∠???，即??平分∠???，
故③正确，符合题意；
④由③可得∠??? = ∠???,∠??? = ∠?,
∴△ ??? ∽△ ???,
????
∴ ?? = ??，
∴??2 = ?? ⋅ ??,
由①可得?? = 2??,
∴2??2 = ?? ⋅ ??，
故④正确，符合题意；故选：B．
【变式 03】（2025·河北石家庄·三模）如图，直角三角板???中，∠??? = 90°，∠??? = 60°，?? = 3．已知斜边??的端点 A，B 分别在相互垂直的射线??，??上滑动，连接??．给出下列结论：①若 C，0 两点关于 AB 对称，则?? = 3；②C，0 两点距离的最大值为 4；③若??平分??，则?? ⊥ ??；④在滑动过程中，∠???始终等于 60°．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②③
【答案】C
【分析】在Rt △ ???中，由∠??? = 90°，∠??? = 60°，?? = 3，求出?? = 2 3，?? = 3．由轴对称的性质得?? = ?? = 3，可判断①正确；取??的中点为?，连接??、??，由三角形三边关系可知当??经过点?时，??最大且?、?两点距离的最大值为2 3，可判断②不正确；当∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，则四边形????是矩形，满足??与??相互平分，但?? ⊥ ??不成立，可判断③不正确；
【详解】解：在Rt △ ???中，∠??? = 90°，∠??? = 60°，?? = 3，
∴?? = ?? ÷ sin60° = 2 3，?? = ?? ÷ tan60° = 3，
∴若?、?两点关于??对称，如图1，
∴??为??的垂直平分线，
∴?? = ?? = 3，故①正确；
②如图1，取??的中点为?，连接??、??．
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? = ?? =
1?? = 3．
2
当??经过点?时，??最大且?、?两点距离的最大值为2 3，故②不正确；
③如图2，当∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴??与??相互平分，但?? ⊥ ??不成立，故③不正确；
④延长??至点 F，如图 1，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 2∠???．
同理：∠??? = 2∠???,∠??? = 2∠???，
∴2∠??? = ∠??? = ∠??? + ∠??? = 2∠??? + 2∠??? = 2∠???，
∴∠??? = ∠??? = 60°，故④正确．故选 C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【变式 04】如图，点?、?分别在?轴、?轴上(?? > ??)，以??为直径的圆经过原点?，?是???的中点，
连结??，??．下列结论：①∠??? = 90°；②?? = ??；③若?? = 4，?? = 2，则 △ ???的面积等于 5；
④若??−?? = 4，则点?的坐标是(1,−1)．其中正确的结论有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【答案】B
【分析】本题考查圆的有关知识，勾股定理及三角形全等等知识点，关键是综合运用几何知识点．根据圆周角定理判断①，弧、弦、圆心角的关系判断②，求出??，根据等腰直角三角形的性质可判断③，作?? ⊥ ?轴于?，?? ⊥ ?轴于?，通过构造全等三角形△ ???≌ △ ???，可判断④．
【详解】解： ∵ ??是直径，
∴ ∠??? = 90°，故①符合题意；
∵ ?是???中点，
∴ ?? = ??，故②符合题意；
∵ ??2 = ??2 +??2 = 22 + 42，
∴ ?? = 2 5，
∵△ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? = ?? = 2?? = 10，
2
2
( 10)
2
∴△ ???的面积为= 5，故③符合题意；
作?? ⊥ ?轴于?，?? ⊥ ?轴于?，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∴ ????是正方形， 设正方形的边长为?，
∴ ??−? = ?? + ?，
∴ 2? = ??−?? = 4，
∴ ? = 2，
∴ 点?坐标是(2,−2)，故④不符合题意，故选：B．
【变式 05】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 0，∠MPN 为直角，使点 P 与点 0
重合，直角边 PM，PN 分别与 0A，0B 重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为 θ（0°＜θ＜90°），PM，
PN 分别交 AB，BC 于 E，F 两点，连接 EF 交 0B 于点 G，则下列结论：①EF＝ 20E；②S 四边形 0EBF：S 正方
3
形ABCD＝1：4；③BE+BF＝ 20A；④在旋转过程中，当△BEF 与△C0F 的面积之和最大时，AE＝4；
⑤0G•BD＝AE2+CF2．其中结论正确的个数是（）
个B．3 个C．4 个D．5 个
【答案】C
【分析】①由四边形????是正方形，直角∠???，易证得 △ ???≅ △ ???（ASA），则可证得结论；②
由①易证得?四边形???? = ?
△???
= 1?正方形????，则可证得结论；③?? + ?? = ?? + ?? = ?? = 2??，故
4
可得结论；④首先设?? = ?，则?? = ?? = 1−?，?? = ?，继而表示出△ ???与△ ???的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；⑤易证得△ ??? ∼△ ???，然后由相似三角形的对应边成比例，证得?? ⋅ ?? = ??2，再利用??与??的关系，??与??的关系，即可证得结论.
【详解】解：① ∵ 四边形????是正方形，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???， 在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴ △ ???≅ △ ???（ASA），
∴ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?? = 2??，故正确；
② ∵ ?
四边形????
= ?
△???
+ ?
△???
= ?
△???
+ ?
△???
= ?
△???
= 1?正方形????， 4
∴ ?四边形????∶?正方形???? = 1∶4，故正确；
③?? + ?? = ?? + ?? = 2??，故正确；
④过点?作?? ⊥ ??，
∵ ?? = 1，
11
∴ ?? = 2?? = 2，
设?? = ?，则?? = ?? = 1−?，?? = ?，
111
11129
1
4
2
∴ ?△??? + ?△??? = 2?? ⋅ ?? + 2?? ⋅ ?? = 2?(1−?) + 2(1−?) × 2 = − ?−+ 32，
1
∵ ? = −2
< 0，
4
∴ 当? = 1时，?
△???
+ ?
△???
最大；
1
即在旋转过程中，当△ ???与△ ???的面积之和最大时，?? = 4，故错误；
⑤ ∵ ∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 45°，
∴ △ ??? ∼△ ???，
∴ ??:?? = ??:??，
∴ ?? ⋅ ?? = ??2，
∵ ?? =
1??，?? =
2
??，
2
2
∴ ?? ⋅ ?? = ??2，
∵ 在△ ???中，??2 = ??2 +??2，
∴ ??2 = ??2 +??2，
∴ ?? ⋅ ?? = ??2 +??2，故正确.
故选?.
【点睛】此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题.注意掌握转化思想的应用是解此题的关键.
题型三 动态几何多结论判断
【典例 01】如图，已知菱形????的边长为 4，?，?分别是??，??边上的动点，?? = ??，∠??? = 120°，
??与??相交于点?，则下列结论：① △ ???≌ △ ???，② △ ???为等边三角形；③∠??? = ∠???；④若
??1
?? = 1，则?? = 3．其中正确个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质等等解题的关键是对几何图形的性质能够灵活应用．
①首先证△ ???为等边三角形，得?? = ??，∠? = ∠???，结合已知条件?? = ??可证△ ???≌ △ ???；②
得?? = ??，∠??? = ∠???，得∠??? = ∠??? = 60°，进而可得结论；③证明∠??? = ∠???则可得结论；
④过点 G 分别作??，??的垂线，垂足为 N、M，由角平分线的性质得到?? = ??，求出?? = 3，进而得
到?1
3?11
?△???
??1
△??? = ?? ⋅ ?? = ??，
22
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2??，据此可得?△??? = ?? = 3．
【详解】解：在四边形????是菱形中，∵∠??? = 120°，
∴∠??? = ∠??? = 60°，∠? = 60°，
∴∠??? = ∠?，∠? = ∠??? = 60°，
∴ △ ???为等边三角形，
∴?? = ??， 又∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，故①正确；
∴?? = ??，∠??? = ∠???
∴∠??? = ∠??? = 60°，
∴ △ ???为等边三角形，故②正确；
∵∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，又∵∠??? = ∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠???，
由①得，∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，故③正确；
如图所示，过点 G 分别作??，??的垂线，垂足为 N、M，
∵??平分∠???，
∴?? = ??，
∵?? = ?? = 1，
∴?? = 3，
1
∴?
3?11
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2??，
∴?△??? = ?? = 1，故④正确；
△??? = ?? ⋅ ?? = ??，
22
?△???
??3
故选：D．
【变式 01】如图，已知一个矩形纸片 0ACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（10，0），点 B
（0，6），点 P 为 BC 边上的动点，将△0BP 沿 0P 折叠得到△0PD，连接 CD、AD．则下列结论中：①当
∠B0P＝45°时，四边形 0BPD 为正方形；②当∠B0P＝30°时，△0AD 的面积为 15；③当 P 在运动过程中，
CD 的最小值为 2 34﹣6；④当 0D⊥AD 时，BP＝2．其中结论正确的有（）
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】D
【分析】①由矩形的性质得到∠??? = 90°，根据折叠的性质得到?? = ??， ∠??? = ∠??? = 90°，
∠??? = ∠???，推出四边形????是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形 ????为正方形；故①
正确；
②过?作?? ⊥ ??于?，得到?? = 10， ?? = 6，根据直角三角形的性质得到?? =
1?? = 3，根据三角形
2
的面积公式得到????的面积为 11
，故②正确；
2??·?? = 2 × 3 × 10 = 15
③连接??，于是得到?? + ?? ≥ ??，即当 ?? + ?? = ??时，??取最小值，根据勾股定理得到??的最小值为2 34−6；故③正确；
④根据已知条件推出?，?，?三点共线，根据平行线的性质得到∠??? = ∠???，等量代换得到
∠??? = ∠???，求得?? = ?? = 10，根据勾股定理得到?? = ??−?? = 10−8 = 2，故④正确．
【详解】解：① ∵ 四边形????是矩形，
∴ ∠??? = 90°，
∵ 将????沿??折叠得到????，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°， ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，
∵ ?? = ??，
∴ 四边形????为正方形；故①正确；
②过?作?? ⊥ ??于?，
∵ 点?(10,0)，点?(0,6)，
∴ ?? = 10，?? = 6，
∴ ?? = ?? = 6，∠??? = ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 30°，
∴ ?? =
1?? = 3，
2
11
∴ ????的面积为2??·?? = 2 × 3 × 10 = 15，故②正确；
③连接??，
则?? + ?? ≥ ??，
即当?? + ?? = ??时，??取最小值，
∵ ?? = ?? = 6，?? = 10，
??2 + ??2
∴ ?? =
=
= 2 34，
102 + 62
∴ ?? = ??−?? = 2 34−6，
即??的最小值为2 34−6；故③正确；
④ ∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 180°，
∴ ?，?，?三点共线，
∵ ??//??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ?? = 10，
∵ ?? = 6，
102−62
∴ ?? == 8，
∴ ?? = ??−?? = 10−8 = 2，故④正确；故选：?．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
【变式 02】如图，在 △ ???中 ，?? = ?? = 5,?? = 8,?是??边上一动点（不与点?,?重合），
∠??? = ∠? = ?，??交??于点 E， 下列结论：①??2 = ??·??；②1.8 ≤ ?? < 5；③当?? = 10时，
△ ???≌ △ ???；④ △ ???为直角三角形时，?? = 4或者 6.25．其中正确的结论有（） 个．
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】如图 1：在线段??上取点 F，使?? = ??，连接??，易证△ ???∽ △ ???进而可得??2 = ??·??
即可判定①
；结合①
的结论可得
?? =
??2 =
??
??2，再确定
??
的范围为
3 ≤ ?? < 5
，进而得到
1.8 ≤ ?? < 5，
5
即②正确；分两种情况：当?? < 4时，可证明结论正确，当?? > 4时，结论不成立；故③错误； △ ???
为直角三角形，可分两种情况∠??? = 90°或∠??? = 90°分别讨论求解即可④．
【详解】解：如图 1，在线段??上取点 F，使?? = ??，连接??，则∠??? = ∠???
∵?? = ??，
∴∠? = ∠?，
∵∠??? = ∠? = ?，
∴∠? = ∠??? = ?，
∵∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = ∠? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? + ∠??? = ∠? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴?? = ??，即??2 = ?? ⋅ ??
??
??
∴??2 = ?? ⋅ ??，故①正确；
∴?? =
??2 =
52−42
??
??2
，
5
??2−??2
当?? ⊥ ??时，由勾股定理可得：?? =
=
= 3 ，
∴3 ≤ ?? < 5，
∴9 ≤ ?? < 5，即1.8 ≤ ?? < 5，故②正确；
5
如图 2，作?? ⊥ ??于 H，
∵?? = ?? = 5，
∴?? = ?? =
1?? = 4，
2
??2−??2
∴?? =
=
= 3，
52−42
∵?? = ??′ = 10，
??2−??2
∴?? = ?′? =
=
= 1，
( 10) −32
2
∴?? = 3或??′ = 5，?? = 5或??′ = 3，
∵∠??? + ∠? = ∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = ∠? = ?，
∴∠??? = ∠???，
∵∠? = ∠?，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
但△ ???′与 △ ?′??显然不是全等形，故③不正确；如图 3，?? ⊥ ??，?? ⊥ ?? ，
∴∠??? + ∠??? = ∠? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠? = ∠?，
∴?? = 4，
如图 4，?? ⊥ ??于 D，?? ⊥ ??于 H，
∵∠??? = ∠?，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴?? = ??
??3
= ，
??
??，即 34
9
∴?? = 4，
9
∴?? = ?? + ?? = 4 + 4 =
25 = 6.25，故④正确．
4
故选 C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形性质、勾股定理、全等三角形判定和性质、相似三角形判定和性质、动点问题和分类讨论思想等知识点；掌握动点问题和分类讨论思想是解题的关键．
【变式 03】如图， △ ???是等边三角形点?是??延长线上的一个动点，连接??，点?是??的垂直平分线与
∠???的角平分线的交点，连接??，??，过点?作?? ⊥ ??于点?．给出下面五个结论：
① ??垂直平分??，点?一定是线段??的中点；
②当?? = 2??时，??与??互相垂直平分；
③当?? = ??时，?? ⊥ ??；
④点?在运动过程中，∠???的大小始终为120°
??
⑤当∠??? = 45°时，?? = 3
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
①②③B．①②④C．①③④D．②④⑤
【答案】B
【分析】由垂直平分线的性质和等边三角形的性质可判断①；由△ ???是等边三角形，??平分与∠???，
则??垂直平分??，?? = ??，证明△ ???， △ ???是等边三角形可判断②；由垂直平分线的性质和等边三角形的性质可判断③；证明△ ???≌ △ ???(SSS)，则∠??? = ∠???，通过垂直平分线的性质，等边三角形的性质和角度和差可判断④；由等腰直角三角形的判定和性质及含30°角的直角三角形的性质可判断
⑤．
【详解】解：①∵点?是??的垂直平分线上的点，
∴?? = ??，
∵ △ ???是等边三角形，??平分∠???，
∴??垂直平分??，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∵?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∴点?一定是线段??的中点，故①正确；
②∵ △ ???是等边三角形，
∴?? = ??，
由①得：?? = ??，?? = ??，
∵?? = 2??，
∴?? = ?? = ??，
∴?在??垂直平分线上，
∴??垂直平分??，
∵∠??? = 120°，
∴∠??? = ∠??? = 60°，
∴ △ ???， △ ???是等边三角形，
∴??垂直平分??，
∴??与??互相垂直平分，故②正确；
③由①得：?? = ??，
∵?? = ??，?? = ??，
∴?? = 2??，
∴∠??? ≠ 30°，
∴∠??? ≠ 90°，故③不正确；
④∵?? = ??，?? = ??，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SSS)，
∴∠??? = ∠???，
∵点?是??的垂直平分线上的点，
∴?? = ??，
∵ △ ???是等边三角形，??平分∠???，
∴??垂直平分??，∠??? = ∠??? = 30°，
∵∠??? = 60°，
∵?? = ??，?? ⊥ ??，
∴根据三线合一性质得：∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? + ∠??? + ∠??? = 2(∠??? + ∠???) = 120°，故④正确；
⑤由上得：?? = ??，∠??? = 30°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴?? = ??，
∵∠??? = 30°，
∴?? =
1??，
2
∴?? =
1??，
2
??
∴
??
= 2，故⑤错误；
综上可知：①②④正确，故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式 04】如图，等腰??????的一个锐角顶点?是 ⊙ ?上的一个动点，∠??? = 90°，腰??与斜边??分别
交⊙ ?于点?,?，分别过点?,?作 ⊙ ?的切线交于点?，且点?恰好是腰??上的点，连接??,??,??，若 ⊙ ?的半径为 4，则??的最大值为：（ ）
5
A．2
【答案】A
+2B．4
+2C．6D．8
2
【分析】先由等腰三角形的性质、切线的性质及圆的半径相等判定四边形 ODFE 是正方形，再得出点 C 在以 EF 为直径的半圆上运动，则当 OC 经过半圆圆心 G 时，OC 的值最大，用勾股定理计算出 OG 的长度，再加上 CG 的长度即可．
【详解】解：∵等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°，
∵分别过点 D，E 作⊙O 的切线，
∴OD⊥DF，OE⊥EF，
∴四边形 ODFE 是矩形，
∵OD=OE=4，
∴四边形 ODFE 是正方形，
∴EF=4，
∵点 F 恰好是腰 BC 上的点，
∴∠ECF=90°
∴点 C 在以 EF 为直径的半圆上运动，
1
2
∴设 EF 的中点为 G，则 EG=FG=CG=EF=2，且当 OC 经过半圆圆心 G 时，OC 的值最大，此时，在 Rt△OEG
??2 + ??2
中，OG=
=
= 2 5，
42 + 22
5
∴OC=OG+CG=2
故答案为：A.
+2.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、正方形的判定、直角所对的弦是直径及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.
4
【变式 05】如图，在 △ ???中，∠? = 90°,?? = 5cm,cs? = 5．动点?从点?出发沿着射线??的方向以每秒
1cm 的速度移动，动点?从点?出发沿着射线??的方向以每秒 2cm 的速度移动．已知点?和点?同时出发，设它们运动的时间为?秒．连接??．下列结论正确的有（ ）个
①?? = 4；
②当?? = ??时，tan∠??? = 2；
25
③以点?为圆心、??为半径画⊙ ?，当? = 13时，??与⊙ ?相切；
25
④当∠??? = ∠???时，? = 11．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数求出 BC 可判断①，利用勾股定理求 AC，BD，AG，再用正切锐角三角函数定义求值可判断②，利用相似三角形判定与性质，可判断③，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程
求解可判断④
4
【详解】解：在△ ???中，∠? = 90°,?? = 5cm,cs? = 5．
?? = ?? ⋅ cs? = 5 × 5 = 4，
??2−??2
52−42
4
故①?? = 4正确；作 AG⊥BD 于 G，
在 Rt△ABC 中，?? =
=
= 3，
∵AD=AB=5，AG⊥BD
22 + 42
∴CD=AD-AC=5-3=2，DG=BG，
??2 + ??2
在 Rt△DCB 中，?? =
=
= 2 5，
∴DG=BG= 5，
??2−??2
在 Rt△BGA 中，?? =
2 5
5
??
∴tan∠??? = ?? =
52−5
2
= 2，
=
= 2 5，
故②当?? = ??时，tan∠??? = 2正确；
AD=t，BE=2t，csA=?? = 3，
2525
当? =
2550
??5
13时，?? = ? = 13，?? = 2? = 2 × 13 = 13，
5015
∴?? = ??−?? = 5−2? = 5−13 = 13，
∵??
??
153
==
，
13
255
13
?? ??
∴csA=??=??，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠DEB=90°，
∴??与⊙ ?相切，
25
故③以点?为圆心、??为半径画⊙ ?，当? = 13时，??与⊙ ?相切正确；
过 E 作 EH⊥AC 于 H，当∠??? = ∠???时，
∵∠EHD=∠DCB=90°，
∴△EHD∽△DCB，
??
??
∴?? = ??，
∵AE=5-2t，
∴AH=3(5-2?)，EH=4(5-2?)，?? = 3−?，
611，
5
4 (5−2?)
5
11 ?−3
?? = ??−?? = ?−3 + 5? =
5 ?−3
∴5 = 5，
3−?4
整理得11?2−80? + 125 = 0，
因式分解得(11?−25)(?−5) = 0，
25
∴? = 11或? = 5（舍去），
25
故④当∠??? = ∠???时，? = 11正确；
正确的结论有 4 个．
故选择 D．
【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键．
题型四 方程与不等式多结论判断
【典例 01】方程?：??2 +?? + ? = 0；?：??2−?? + ? = 0，其中?? ≠ 0，则以下四个结论：
①若?? < 0，则方程?有两个不相等的实数根；②若方程?有两个不相等的实数根，则方程?必定也有两个
1
不相等的实数根；③若 5 是方程 P 的一个根，则−5是方程?的一个根；④若方程 P 和方程?有相同的根，
则? + ? = 0．正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据 一元二次方程??2 +?? + ? = 0(? ≠ 0)的根与
? = ?2−4??有如下关系：当? > 0时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②；③如果 5 是
方程 P 的一个根，反代回方程，通过变形得 1 ?−(−1?) + ? = 0，据此可判断③；解方程??2 +?? + ? = ??2
255
−?? + ? ，解方程可判断④．
【详解】解：①若?? < 0，则方程?中? = ?2−4?? > 0，则方程?有两个不相等的实数根，故①正确；
②由①如果方程P 有两个不相等的实数根，则?? < 0，则方程?的根的判断式? = (−?)2−4?? = ?2−4?? > 0，则方程?必定也有两个不相等的实数根，故②正确；
③如果 5 是方程 P 的一个根，那么25? + 5? + ? = 0，
? + ? +? = 0
方程两边同时除以 25，得1 1 ，即 11，
525
25?−(−5?) + ? = 0
1
∴−5是方程 Q 的一个根，故③正确；
④如果方程 P 和方程 Q 有一个相同的根，那么??2 +?? + ? = ??2−?? + ? ，解得：? = 1，? = 0，则? + ? = 0，故④正确；
综上，正确的有①②③④，共 4 个，
故答案为：D．
【变式 01】关于 x 的一元二次方程??2−?? + ? = 0(? ≠ 0)有下列说法：①若?−? + ? = 0，则?2−4?? ≥ 0；
②若方程两根为−1和 2，则2? + ? = 0；③若方程??2 +? = 0有两个不相等的实数根，则方程??2
+?? + ? = 0必有两个不相等的实数根；④若? = 2? + 3?，则方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（）
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】D
【分析】①若?−? + ? = 0，那么? = 1为一个实数根，根据判别式即可判断；②把? = −1和 2 代入方程，建立两个等式，即可得到2? + ? = 0；③方程??2 +? = 0有两个不相等的实根，则Δ = −4?? > 0，得出?2
−4?? > 0，即可判断方程??2 +?? + ? = 0必有两个不相等的实数根；④若? = 2? + 3?，计算根的判别式的值得到Δ = 4(? + ?)2 +5?2 > 0，于是根据根的判别式的意义可对其进行判断．
【详解】解：①若?−? + ? = 0，方程??2−?? + ? = 0有一根为 1，又? ≠ 0，则?2−4?? ≥ 0，故正确；
?
②两根关系可知，−1 × 2 = ?，整理得：2? + ? = 0，故正确；
③若方程??2 +? = 0有两个不相等的实根，则−4?? > 0，可知?2−4?? > 0，故方程??2 +?? + ? = 0必有两个不相等的实数根，故正确；
④若? = 2? + 3?，则Δ = ?2−4?? = (2? + 3?)2−4?? = 4(? + ?)2 +5?2 > 0，即方程有两个不相等的实数根，故正确；
故选 D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．
【变式 02】对于一元二次方程??2 +?? + ? = 0(? ≠ 0)，有下列说法：①若?−? + ? = 0，则方程??2
+?? + ? = 0(? ≠ 0)必有一个根为−1；②若方程??2 +? = 0有两个不相等的实根，则方程??2
+?? + ? = 0(? ≠ 0)必有两个不相等的实根；③若?是方程??2 +?? + ? = 0(? ≠ 0)的一个根，则一定有
?? + ? + 1 = 0成立．其中正确的有（ ）
个B．1 个C．2 个D．3 个
【答案】C
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、因式分解法解一元二次方程等知识对各选项分别讨论，可得答案．
【详解】解：①当? = −1时，? × (−1)2 +? × (−1) + ? = ?−? + ? = 0，所以方程??2 +?? + ? = 0(? ≠ 0)
必有一个根为−1，故①正确．
②方程??2 +? = 0有两个不相等的实根，则−4?? > 0，那么?2−4?? > 0，故方程??2 +?? + ? = 0(? ≠ 0)必
有两个不相等的实根，故②正确．
③由?是方程??2 +?? + ? = 0的一个根，得??2 +?? + ? = 0．当? ≠ 0，则?? + ? + 1 = 0；当? = 0，则
?? + ? + 1不一定等于 0，故③不一定正确．故选：C．
?−5
2
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、因式分解法解一元二次方程、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
? < ?
【变式 03】（24-25 八年级下·陕西西安·月考）关于 x 的不等式组
< 3? −2 ，给出下列说法：①当? ≤ −2
4
时，不等式组无解；②当? = 1时，不等式组的整数解只有 0；③当不等式组的解集为−2 < ? < 4时，
? ≤ 4；④当不等式组只有两个整数解时，0 < ? ≤ 1．其中说法正确的有几个（ ）
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式组的解集，
先解不等式组，再根据无解判断①，然后令? = 1，可得−2 < ? < 1，根据整数解判断②，接下来根据不等式组的解集判断③，最后根据两个整数解为为−1,0，判断④即可．
? < ?
【详解】解：解不等式，得 ? > −2 ，
当? ≤ −2时，不等式组无解；
? < 1
当? = 1时，不等式组 ? > −2 的解集为−2 < ? < 1，
所以不等式组的整数解有−1,0；
当不等式组的解集是−2 < ? < 4时，? = 4；当不等式组只有两个整数解时，为−1,0， 所以0 < ? ≤ 1．
正确的有①④，共 2 个．故选：B．
? ≤ 3
【变式 04】已知关于?的不等式组 ? > ? ，现有以下结论：
①若? = −3，则? = 2是该不等式组的一个解；
②若该不等式组无解，则? > 3；
③若该不等式组只有三个整数解，则0 < ? < 1；
④若原不等式组的解集为−5 < ? ≤ 3时，则? = −5．
其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①④/④①
【分析】先求出不等式组的解集，再根据各小题的结论解答即可．
? ≤ 3
【详解】解：∵关于?的不等式组 ? > ? ，
∴当? = −3时，−3 < ? ≤ 3，
∴? = 2是该不等式组的一个解，故①正确；
? ≤ 3
∵不等式组 ? > ? 无解，
∴? ≥ 3， 故②错误；
? ≤ 3
∵不等式组 ? > ? 只有三个整数解，
∴0 ≤ ? < 1，故③错误；
? ≤ 3
∵关于?的不等式组 ? > ? 的解集为−5 < ? ≤ 3，
∴? = −5，故④正确；
∴正确的序号为①④，故答案为：①④；
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解集的概念是解题的关键．
【变式 05】关于?的一元二次方程?2 +?? + ? = 0，下列说法：①若?−2? = 1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若?是方程?2 +?? + ? = 0的一个根，则? + ? = −1；③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角度数为40°；④一元二次方程−?2 +3? + 4 = 0，由根与系数的关系，可得?1 + ?2 = 3,?1?2 = −4．正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的判别式、等腰三角形性质及根与系数关系，需注意分类讨论．
根据根的判别式可以判断①；将?代入方程?2 +?? + ? = 0，可得?(? + ? + 1) = 0，即可判断②；分类讨论画图，利用角度的计算可判断③；根据根与系数的关系可判断④．
【详解】解：①∵?−2? = 1，
∴? = 1 + 2?，
Δ = ?2−4? = (1 + 2?)2−4? = 1 + 4? + 4?2−4? = 1 + 4?2 ≥ 1 > 0，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故①正确.
②若?是方程?2 +?? + ? = 0的根，
则代入得?2 +?? + ? = 0，即?(? + ? + 1) = 0，
若? = 0，则? + ?不一定为−1；若? ≠ 0，则? + ? = −1，故②错误.
③等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为50°，
当等腰三角形顶角为锐角时，如图，?? = ??,?? ⊥ ??，
此时∠? = 90°−∠??? = 90°−50° = 40°；
当等腰三角形顶角为钝角时，如图，?? = ??,?? ⊥ ??，
此时∠??? = 90° + ∠??? = 90° + 50° = 140°，故顶角可能为40°或140°，不唯一，故③错误.
④方程−?2 +3? + 4 = 0即?2−3?−4 = 0，
由根与系数关系，?1 + ?
−3 = 3，?1? == −4，故④正确.
−4
2 = − 121
∴正确的有①和④，共 2 个．故选：B．
题型五 函数与几何跨模块多结论判断
【典例 01】（2025·山东淄博·一模）如图 1，E 为矩形????的边??上一点，点 P 从点 B 出发沿折线??−??−??运动到点 C 停止，点 Q 从点 B 出发沿??运动到点 C 停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点 P、点 Q 同时 开始运动，设运动时间为?(s)， △ ???的面积为?(cm2)，已知 y 与 t 之间的函数图象如图 2 所示．给出下列结论：①当0 < ? ≤ 10时， △ ???是等腰三角形；②?△??? = 48cm2；③当14 < ? < 22时，? = 110−5?；
④在运动过程中，使得△ ???是等腰三角形的 P 点一共有 3 个；⑤ △ ???与 △ ???相似时，? = 14.5．对以上结论判断正确的是（ ）
①③⑤B．①②③C．①③④⑤D．②③⑤
【答案】A
【分析】由图2 可知，整个运动过程分为3段，故点?到达?时，点?同时到达?，由此可知?? = ?? = 10，?? = 4，
?? = ??−?? = 6，由勾股定理求得?? = 8，由此分别分析各命题的正误．
【详解】解：由图可知，?? = ?? = 10，?? = 14−10 = 4，
∵ 四边形????是矩形，
∴ ?? = ?? = 10，?? = ??．
∴ ?? = ??−?? = 10−4 = 6，
??2−??2
∴ ?? =
=
= 8，
102−62
∴ ?? = ?? = 8．
对于①，当0 < ? ≤ 10时，点?在??上，点?在??上，且?? = ??，
∴ △ ???是等腰三角形，①正确；
对于②，?△??? = 1 × ?? × ?? = 1 × 8 × 6 = 24cm2，②错误；
22
对于③， ∵ ?? + ?? = 14cm，?? + ?? + ?? = 10 + 4 + 8 = 22cm，
∴ 当14 < ? < 22时，点?在??上，点?在?处，
∴ ? =
1 × 10 × (22−?) = 110−5?，③正确；
2
对于④，如图，以点?为圆心，??长为半径画弧，交??于?1，当点?位于?1处时， △ ???是等腰三角形；
以点?为圆心，??长为半径画弧，交??于?2，当点?位于?2处时， △ ???是等腰三角形；
作??的垂直平分线，交??于?3，交??于?4，当点?位于?3或?4处时， △ ???是等腰三角形．综上，运动过程中，使得△ ???是等腰三角形的点?一共有4个，④错误；
对于⑤， ∵ △ ???是直角三角形，
∴ 当且仅当点?在??上时，△ ???与 △ ???相似，此时?? = ?? = 10，?? = 22−?，且∠? = ∠??? = 90°，
????????
∴ ?? = ??或?? = ??，
8686
即10 = 22−?或22−? = 10，
解得? = 14.5或? =
26
3 （舍去）．
∴ 当△ ???与 △ ???相似时，? = 14.5，⑤正确．综上可得，正确的有：①③⑤．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与
判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【变式 01】如图，点?(?,0)是 x 轴正半轴上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线，分别与直线1 ，直线
? = −?交于 A，B 两点，以 AB 为边向右侧作正方形 ABCD．有下列五个结论：
① △ ???是等腰三角形；②??2 = 2?? ⋅ ??；
③?△??? = 3?△???；④当? = 2时，正方形 ABCD 的周长是 16．其中正确结论的序号是．
【答案】②③
? = 2?
【分析】根据题意可知 A、B 点的横坐标与 P 的横坐标相同，即可求出 A、B 的坐标，进而可求出 A0、 0B、PA、PB、AB，据此即可逐项判断求解．
【详解】根据题意有??∥?轴，
∵P(t,0)，
∴A、B 两点的横坐标为 t，
? = ?
∴将 x=t 分别代入1 、y=-x 有? = ?，? = −?，
2?2?
∴A(t,)，B(t,-t)，
?
2
∴0P=t、PA=?、PB=t、AB=PA+PB=3?，即??2 = ( 3? )2 = 9?2，
2224
∴??2 = ?2 + ( ? )2 = 5?2，??2 = ?2 + (−?)2 = 2?2，
24
∵??2＜??2＜??2，
∴△A0B 不是等腰三角形，即①错误，
∴??2 = ?2
?
= 2 × ?? ⋅ ?? = 2 × 2 ⋅ ? =
?2，即②正确，
1
∵?
13?
3?2?1
1?
1?2
△??? = 2 × ?? × ?? = 2 × 2 × ? = 4 ， △??? = 2 × ?? × ?? = 2 × 2 × ? = 4 ，
∴?△??? = 3?△???，即③正确，
∵正方形 ABCD 的周长为4?? =
3?
2
× 4 = 6?，
∴当 t=2 时，周长为 12，即④错误，故答案为：②③．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、正方形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识，根据题意求出 A、 B 的坐标是解答本题的关键．
【变式 02】如图，抛物线? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)与 x 轴交于点?(5,0)，与 y 轴交于点 C，其对称轴为直线
? = 2，结合图像分析如下结论： ?? > 0；②? + ? > ?；③当? > 0时，y 随 x 的增大而增大；④若一次
①
?
函数? = ??-?(? ≠ 0)的图像经过点 A，则点?(?,?)在第三象限；⑤点 M 是抛物线的顶点，若?? ⊥ ??，则
2
? = −
3
6．其中正确的有（ ）
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】①根据二次函数图象与系数的符号判断即可；②根据对称轴求出抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(−1,0)，代入解析式可得?−? + ? = 0；③当? > 2时，?随?的增大而增大；④由直线经过点 A 可得 k 与 b 的数量关系，进行判断．⑤设抛物线的解析式为? = ?(? + 1)(?−5) = ?(?−2)2−9?，可得?(2,−9?)，? (0,−5?)，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，设对称轴交?轴于点?．利用相似三角形的性质，构建方程求出?，进而根据? = −4?求出?．
【详解】解： ∵ 抛物线开口向上，
∴ ? > 0，
∵ 对称轴是直线? = 2，
∴ − ? = 2，
2?
∴ ? = −4? < 0，
∵ 抛物线交?轴的负半轴，
∴ ? < 0，
??
∴ ?
> 0，故①正确；
∵ 抛物线与 x 轴交于点?(5,0)，对称轴是直线? = 2，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(2 × 2−5,0)，即(−1,0)，将(−1,0)代入? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)，得?−? + ? = 0，
∴ ? + ? = ?，故②错误；
观察图象可知，当? > 2时，?随?的增大而增大，故③错误；
∵一次函数? = ??-?(? ≠ 0)的图像经过点 A，
将?(5,0)代入? = ??−?得0 = 5?−?，
?
解得? = 5，
∵? < 0，
∴? < 0，
∴点?(?,?)在第三象限，故④正确；
∵ 抛物线经过(−1,0)，(5,0)，
∴ 设抛物线的解析式为? = ?(? + 1)(?−5) = ?(?−2)2−9?，
∴ ?(2,−9?)，?(0,−5?)，
过点?作?? ⊥ ?轴于点?，设对称轴交?轴于点?．
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴△ ??? ∽△ ???，
??
∴ ?? =
??
??，
2
∴ 9? =
4?
3 ，
6
∴ ?2 = 1，
∵ ? > 0，
，
6
∴ ? =6
∴ ? = −4 × 62 6，
6 = − 3
故⑤正确，
故正确的有①④⑤，共 3 个．故选 C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数
构建方程解决问题．
【变式 05】如图，已知直线
2 与双曲线?
交于 A、B 两点，A 点的横坐标为 3，则下列结论：
? = 3?? = ?(? > 0)
2??
①k=3；②关于 x 的不等式3?−? < 0的解集为? < −3或0 < ? < 3；③若双曲线? = ?(? > 0)上有一点 C 的
纵坐标为 6，则△AOC 的面积为 8；④若在?轴上有一点 M，?轴上有一点 N，且点 M、N、A、C 四点恰好构成平行四边形，则 M、N 点的坐标分别为 M(2,0)、N(0,4)，其中正确结论的个数()
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【答案】B
【详解】分析：①直线
2 与双曲线?
交于 A、B 两点，A 点横坐标为 3，代入正比例函数，
? = 3?? = ?(? > 0)
可求得点 A 的坐标，继而求得 k 值；②根据对称性，可求得点 B 的坐标，结合图象，即可求得关于 x 的不
2?
等式3?−? < 0的解集；③过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，过点 A 作 AE⊥轴于点 E，可得 S△AOC=S△OCD+S 梯形
-S=S
，又由双曲线 y=?
(k＞0)上有一点 C 的纵坐标为 6，即可求得点 C 的坐标，继而求得
AEDC △AOE
梯形 AEDC?
答案；④由当 MN∥AC，且 MN=AC 时，点 M、N、A、C 四点恰好构成平行四边形，根据平移的性质，即可求得答案．
详解：
∵直线? =
2?与双曲线? =
3
(? > 0)交于 A、B 两点，A 点横坐标为 3，
?
?
∴点 A 的纵坐标为：y=×3=2，
2
3
∴点 A（3，2），
?
∴2=3，
∴k=6；
①错误；
∵直线? =
2?与双曲线? =
3
(? > 0)交于 A、B 两点，点 A（3，2），
?
?
∴B（-3，-2），
2?
∴关于 x 的不等式3?−? < 0的解集为? < −3或0 < ? < 3；
②正确；
过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，过点 A 作 AE⊥轴于点 E，
?
∵双曲线 y=?
(k＞0)上有一点 C 的纵坐标为 6，
6
∴把 y=6 代入 y=?得：x=1，
∴点 C（1，6），
1
∴S△AOC=S△OCD+S 梯形 AEDC-S△AOE=S 梯形 AEDC=2×（2+6）×（3-1）=8；
③正确；
如图，当 MN∥AC，且 MN=AC 时，点 M、N、A、C 四点恰好构成平行四边形，
∵点 A（3，2），点 C（1，6），
∴根据平移的性质可得：M（2，0），N（0，4）或 M′（-2，0），N′（0，-4）．
④正确；
综上，正确的结论有 3 个，故选 B.
点睛：此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及一次函数的性质等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
2
【变式 04】在平面直角坐标系???中，点?,?分别在?,?轴的正半轴上，始终保持?? = 6，以??为边向右上方作正方形????,??,??交于点?，连接??．（1）直线??的函数表达式为? = ?；（2）??的取值范围是3
5
< ?? < 6；（3）若?点的坐标为(4− 2,0)时，则?? = 4 2；（4）连接??，则??的最大值为3
（5）四边形????面积的最大值为 18．其中结论正确的个数是( )
+3；
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
2
【分析】如图：作?? ⊥ ?轴，?? ⊥ ?轴，再证△ ???≌ △ ???(AAS)可得?? = ??，进而可求得直线??的函数解析式为? = ??；当?? = 4 2时，?? = ?? = 4，则?? = 2＝，则?? = ??−?? = 4− 2，（当?? < ??时同理可得：?? = 4 + 2），当?? = 2时，B 点的坐标为4 + 2，0或4− 2，0；取??的中点 Q， 连接??，??，??，??，则?? = 3，?? = 3 5，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得?? = 1?? = 3，
?? =
1?? = 3，由三角形三边关系可得：?? ≤ ?? + ?? = 6，当 O、Q、P 在同一直线上时取等，由
2
2
?? > ??−??，0 < ?? < 6，可得?? > ?? = 3 2，（当?? < ??时同理可得：?? > 3 2），即可得3
< ?? ≤ 6,即②错误；由三角形三边关系可得：?? ≤ ?? + ?? = 3 + 3 5，当 O、Q、D 在同一直线上时取等，即可求得??的最大值．先说明四边形????面积等于正方形????的面积，再求得??的最大值，然后求出正方形????的面积的最大值即可判定⑤．
【详解】解：如图：作?? ⊥ ?轴，?? ⊥ ?轴，则四边形????是矩形，
∴∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = 90°，
∵四边形????是正方形，?? = 6，
∴??与??互相垂直且平分，?? = ?? = 6，则?? = ??，∠??? = 90°，?? = 2??，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，?? = 3 2，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，（当?? < ??时同理）
由题意可知，点 P 在第一象限，设?(?,?)，直线??的函数解析式为：? = ??,
代入可得：? = ??,可得? = 1，即直线??的函数表达式为? = ?,故①正确；
∵?? = ??，?? ⊥ ?轴，?? ⊥ ?轴，
∴四边形????是正方形，则?? = 2??，?? = ??，
??2−??2
当?? = 4 2时，?? = ?? = 4，则?? == 2，则?? = ??−?? = 4− 2，（当?? < ??时同
理可得：?? = ?? + ?? = 4 + 2）
∴当?? = 4 2时，B 点的坐标为 4 + 2，0 或 4− 2，0 ，故③错误；
??2 + ??2
取??的中点 Q，连接??，??，??，??，则?? = 3，?? == 3 5，
∵∠??? = 90°，∠??? = 90°，
11
∴?? = 2?? = 3，?? = 2?? = 3，
由三角形三边关系可得：?? ≤ ?? + ?? = 6，当 O、Q、P 在同一直线上时取等，
∵?? > ??−??，0 < ?? < 6，
2
∴?? > ?? = 3 2，（当?? < ??时同理可得：?? > 3 2）则3< ?? ≤ 6，故②错误；
由三角形三边关系可得：?? ≤ ?? + ?? = 3 + 3 5，当 O、Q、D 在同一直线上时取等，
∴??的最大值为3 + 3 5，故④正确；
∵ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴四边形????面积等于正方形????的面积，
2
∵?? = 2??，3< ?? ≤ 6，
∴??的最大值为3 2，
2
∴四边形????面积的最大值为??2 = 3
2
= 18,即⑤正确
综上：正确的有①④⑤，共 3 个．故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
【变式 05】如图 1，在△ABC 中，∠C=90°，动点 P 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 CA→AB 匀速运动，到达点 B 时停止运动，点 P 出发一段时间后动点 Q 从点 B 出发，以相同的速度沿 BC 匀速运动，当点 P 到
达点 B 时，点 Q 恰好到达点 C，并停止运动，设点 P 的运动时间为 t s，△PQC 的面积为 S cm2，S 关于 t 的函数图象如图 2 所示（其中 0＜t≤3，3≤t≤4 时，函数图象均为线段（不含点 0），4＜t＜8 时，函数图象为
63
抛物线的一部分）给出下列结论：①AC=3cm；②当 S=5时，t=5或 6．下列结论正确的是（ ）
A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②对
【答案】A
【分析】①由函数图象可知当 0＜t≤3 时，点 Q 未动，点 P 在 AC 上移动，移动时间 t=3，然后依据路程=时间×速度求解即可；
6
②分情况求出求 S 关于 t 的函数关系式，由 S=5列出关于 t 的方程，从而可求得 t 的值．
【详解】解：由函数图象可知当 0＜t≤3 时，点 P 在 AC 上移动，
∴AC=t×1=3×1=3cm．故①正确；
在 Rt△ABC 中，S
=6，即1BC×3=6，得：BC=4．
△ABC2
由勾股定理可知：AB=5．
2
当 0＜t≤3 时，点 P 在 AC 上移动， S=1BC•PC
2
=1×4t
=2t；
∵点 P 到达点 B 时，点 Q 恰好到达点 C，
∴t=4s 时，点 Q 开始移动，
当 3 0的解集为−1 < ? < 4 D．当? > 1时，y 随 x 的增大而减小
【答案】B
【分析】去绝对值化简得当? ≥ 2时，? = −? + 5，?(2,3)，当? < 2时，? = ? + 1，结合图象逐项判断即可求解．
【详解】解：当? ≥ 2时，? = 3−(?−2) = −? + 5，令? > 0，则−? + 5 > 0，解得：? < 5；当? = 2时，? = −2 + 5 = 3，则?(2,3)；
当? < 2时，? = 3 + ?−2 = ? + 1，令? > 0，则? + 1 > 0，解得? > −1；
A、当? ≥ 2时，? = 0，则−? + 5 = 0，解得? = 5，则?(5,0)，故此项错误，不符合题意；
B、当? ≥ 2时，? = −? + 5，即直线??的解析式为? = −? + 5，故此项正确，符合题意；
C、不等式3−|?−2| > 0的解集为−1 < ? < 5，故此项错误，不符合题意；
D、当? > 2时，y 随 x 的增大而减小，故此项错误，不符合题意．
2
?
2．如图，已知直线 ? = ?1? + ?与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点，与 y= ? 的图像相交于 A（－2，m）、B
（1，n）两点，连接 0A、0B．给出下列结论： ①k k ＞0；②m＋1n=0；③S△= S△；④不等式 k x+b
1 22
AOP
BOQ1
2
?
＞ ? 的解集是 x 0，故①正确；
?2
②把?(−2,?)、?(1,?)代入? = ? 中得−2? = ?，
∴ ? +
1? = 0，故②正确；
2
③把?(−2,?)、?(1,?)代入? = ? ? + ?得{? = −2?1 + ?
1? = ?1 + ? ，
?1
= ?−?
3
解得{? = 2?+?，
3
∵ −2? = ?，
∴ ? = −??−?，
∵ 已知直线? = ?1? + ?与?轴、?轴相交于?、?两点，
∴ ?(−1,0)，?(0,−?)，
∴ ?? = 1，?? = ?，
∴ ?
1?1
Δ??? = 2?，
Δ??? = ?，
2
∴ ?Δ??? = ?Δ???，故③正确；
④由图象知不等式? ? + ? > ?2的解集是? < −2或0 < ? < 1，故④正确；
1?
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点．
3．如图，一次函数? = ?(? ≥ 0)与反比例函数? = 9(? > 0)的图象交于点 C，过反比例函数图象上点 A 作 x
?
轴垂线，垂足为点 D，交? = ?的图象于点 B，过点 C 作?? ⊥ ??于 E，点 A 的横坐标为 1．有以下结论：
①线段??的长为 9；②点 C 的坐标为(3,3)；③当? > 3时，一次函数的值大于反比例函数的值；④
??:?? = 1∶3．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，根据条件求出相应点的坐标是解题关键．
先根据条件求出点 A，C 的坐标，从而求出点 B，D，E 的坐标，求出坐标后，通过坐标逐一确定选项即可．
【详解】∵点 A 在反比例函数图象上，且横坐标为 1，又?? ⊥ ?轴，
令? = 1，得
99，? = ? = 1，
? = ? = 1 = 9
∴?(1,9)，?(1,1)，?(1,0)，
∴?? = 9−1 = 8，①错误，
9
令? = ?，解得? = 3（负值已舍去），
9
令? = 3，得? = = 3，
?
∴?(3,3)，②正确，
由图象可知，在点 C 的右侧，一次函数的图象在反比例函数的上方，
∴当? > 3时，一次函数的值大于反比例函数的值，③正确，
∵?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ?轴，
∴?(1,3)，
∴?? = 3−1 = 2，?? = 9−3 = 6，
∴??:?? = 2∶6 = 1∶3，④正确，故正确的个数为 3，
故选：C．
如图，直线 y＝kx＋c 与抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的图像都经过 y 轴上的 D 点，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，其对称轴为直线 x＝1， 且 0A＝0D，直线 y＝kx＋c 与 x 轴交于点 C（点 C 在点 B 的右侧），则下列结论① abc>0；②2a＋b＝0；③－1 0．
∵ 抛物线对称轴是直线? = 1，
∴ ? < 0且? = −2?．
∵ 抛物线与?轴交于正半轴，
∴ ? > 0．
∴ ①??? > 0错误；
②2? + ? = 0正确；
∵ 直线? = ?? + ?经过一、二、四象限，
∴ ? < 0．
∵ ?? = ??，
∴ 点?的坐标为(?,0)．
直线? = ?? + ?当? = ?时，? > 0，
∴ ?? + ? > 0可得? > −1．
∴ ③−1 < ? < 0正确；
∵ 直线? = ?? + ?与抛物线? = ??2 +?? + ?的图像有两个交点
∴ ??2 +?? + ? = ?? + ?，
得?1 = 0，?2 = ?−?
?
由图像知?2 > 1，
?−?
∴? > 1
∴ ? > ? + ?
∴ ④正确；故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数图像与系数的关系和一次函数的性质以及抛物线与直线的交点的求法，解题的关键是掌握一、二次函数的性质、灵活运用数形结合思想，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
5．如图，抛物线? = −?2 +?? + ?与 x 轴交于点?1，0 、点 B 与 y 轴相交于点?0，3，下列结论：
①? = −2；②B 点坐标为 −3，0 ；③抛物线的顶点坐标为 −1，3 ；④直线? = ℎ与抛物线交于点 D、
E，若?? < 2，则 h 的取值范围是3 < ℎ < 4；⑤在抛物线的对称轴上存在一点 Q，使△ ???的周长最小，则 Q 点坐标为−1，2．其中正确的有（ ）
4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】①代入点?、?的坐标即可求出参数的值；②函数值为 0 时，可求出与横轴的交点坐标；③代入公式即可求出抛物线的顶点坐标；④把? = ℎ带入后，即可表示出??，进而求出 h 的取值范围；⑤连接??交对称轴于点 Q，此时△ ???的周长最小，再列出方程组即可求出 Q 点坐标．
【详解】解：①∵抛物线? = −?2 +?? + ?与 x 轴交于点?1，0，与 y 轴相交于点?0，3，
−12 + ? + ? = 0
∴可得：
? = −2
? = 3，
∴ ? = 3 ，故①正确；
②∵函数? = −?2−2? + 3函数值为 0，
∴−?2−2? + 3 = 0，
∴?1 = 1,?2 = −3，
∴? = −3时，? = 0，
∴B 点坐标为 −3，0 ，故②正确；
4??−?2
4?
− ? ,
(−1,4)
③抛物线的顶点坐标为
−−4 ×
−2 2
−1
3−ℎ
−1
2?
=，故③错误；
(?2 + ?1)2−4?1?2
④把? = ℎ带入后，?? = ?2−?1 =
解得：3 < ℎ < 4，
∴h 的取值范围是3 < ℎ < 4，故④正确；
⑤连接??交对称轴于点 Q，此时△ ???的周长最小，直线?? ? = ? + 3和对称轴?=−1联立方程组，
=
< 2，
? = −1
可得 ? = ? + 3 ，
? = −1
解得 ? = 2 ，
∴Q 点坐标为−1，2，故⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②④⑤，共有 4 个．故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，难度较大，熟练记忆理解二次函数相关性质和充分利用数形结合思想是解题的关键．
6．如图，在矩形????中，?? = 3，?? = 3，??的垂直平分线分别交??，??，??于点 E，0，F，点 G
是??的中点，连接??，??，??，则下列结论：①?? = 1；②?? = 2??；③四边形????是菱形；④????
12
= 1 ?矩形????，其中结论正确的个数有（）
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】利用正切函数求得∠??? = 30°，由垂直平分线的性质推出?? = ??，?? = ??，可证明四边形????
是菱形；在Rt △ ???中，利用正切函数的定义可求得?? = 1；根据斜边中线的性质求得11
?? = 2?? = 2?? >
1??，判断②错误；计算得出?△???和?矩形????的面积即可判断④正确．
2
【详解】解：∵四边形????是矩形，
∴∠? = 90°，
∵?? = 3，?? = 3，
，
??3
∴tan∠??? = ?? = 3
∴∠??? = 30°，
∵??是??的垂直平分线，
∴?? = ??，?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 30°，∠??? = ∠??? = 30°，∠??? = ∠???,
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 30°,
∴?? = ?? = ?? = ??，
∴四边形????是菱形，故③正确；
在Rt △ ???中，∠??? = 90°−30°−30° = 30°，
3
∴?? = tan30° ⋅ ?? = 3 ⋅
3
∵四边形????是菱形，
∴?? ⊥ ??，即∠??? = 90°，
∵点?是??的中点，
= 1，故①正确；
∴?? =
1
2?? =
1
2?? >
1??，即?? < 2??，故②错误；
2
∵在矩形????中，?? = 3，?? = 3，∠??? = 30°，
∴?? = 2 3，则?? = 3，?? = 1，
∵点?是??的中点，
∴?
= 1?
113
△???
2 △??? = 2 × 2 ×
× 1 = 4 ，
3
而?矩形???? = ?? × ?? = 3 3，
∴?
△???
= 1 ?矩形????，故④正确；
12
综上，①③④正确，即正确的结论有 3 个；故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明四边形????是菱形是解题的关键．
7．（2024·湖南长沙·一模）如图，在 △ ???中，∠??? = 90°，?? = ??．点?是??边上的中点，连接??，将△ ???绕?点逆时针旋转90°，得到 △ ???，延长??交??于点?，连接??，过点?作?? ⊥ ??，交??于点
?．现有如下四个结论：①∠??? = 45°；②??:??:?? = 1∶2∶3；③??−?? = ??；④?△??? = 2?△???中正确的个数为（）
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】根据题意条件可证得 △ ???≌ △ ???(ASA)，结合全等三角形的性质得到 △ ???是等腰直角三角形，则∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，故①正确；过点 A 作?? ⊥ ??，垂足为点 H，通过条件证得
?? = ?? = ??，?? = 2??，再通过条件证得△ ???≌ △ ???(AAS)，结合对应边相等可得到?? = 3??，
从而说明②③正确；通过边长的等量关系能推出
3，最后说明?△??? ≠ 2?△???，故能说明④错误．
?? = 5??
【详解】解：∵由题可知， △ ???≌ △ ???，∠??? = 90°，
∴?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠???，∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∵∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???与△ ???中，
∠??? = ∠???
∵?? = ??，
∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，?? = ??，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
即∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，故①正确；
如图，过点 A 作?? ⊥ ??，垂足为点 H，
∵ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ?? = ??，
∵点?是??边上的中点，
∴?? = ?? =
1??，
2
∵?? = ??，
??1
∴tan∠??? = ?? = 2，
∵∠??? = ∠???，
1
∴tan∠??? = 2，∠??? + ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 180°−∠???−∠???−∠??? = 90°，
??1
∴tan∠??? = ?? = 2，
∴?? = 2??，
在△ ???和△ ???中，
∠??? = ∠??? = 90°
∵∠??? = ∠???，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ?? =
1
2?? =
1??，?? = ??，
2
∴?? = ?? + ?? = 3??，
∵?? = 2??，
∴??:??:?? = 1∶2∶3，故②正确；
∴??−?? = ??，故③正确；
∵?? = ??，?? = ??，
∴?? = ??−?? = ??−?? = ??，
∵?? = ??，?? = ??，
∴?? = ?? = 2??，
∵?? = ?? + ?? = 3??，
∴?? = 5??，
3?
3?
3?
∴?? =
??，
5
△??? = 5
△??? = 5
△???，
则?△??? ≠ 2?△???，故④错误；故选 C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形性质与判定，锐角三角函数的应用等知识，综合运用相关知识，采用数形结合的方法是解题关键．
2?−2 > 0
已知关于 x 的不等式组 2?−? ≤ 1 ，下列结论：①若? = 9，则不等式组的解集为1 < ? ≤ 5；②若不等
式组的解集是1 < ? ≤ 2，则? = 3；③若不等式组的整数解仅有 2 个，则 a 的取值范围是5 < ? < 7；④若
不等式组无解，则? ≤ 1． 其中结论正确的是(填序号)．
【答案】①②④
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
2?−2 > 0
【详解】解：不等式组 2?−? ≤ 1 ，整理得
①∵? = 9，
∴不等式组的解集为1 < ? ≤ 5，故①正确；
②∵不等式组的解集是1 < ? ≤ 2，
∴?+1 = 2，解得? = 3，故②正确；
2
? > 1
? ≤ ?+1 ，
2
③∵不等式组的整数解仅有 2 个，即整数解为 2，3
∴3 ≤
?+1 2
< 4，解得：5 ≤ ? < 7，故③不正确；
④∵不等式组无解，
∴?+1 ≤ 1，解得：? ≤ 1，故④正确；
2
故答案为：①②④．
8
如图，正比例函数 y＝kx 与反比例函数? = −?相交于 A，C 两点，点 A 的横坐标为－4，过点 A 作 x 轴的
18
垂线交 x 轴于 B 点，连接 BC，下列结论：①? = −2；②不等式?? < −?的解集为－4