2026年中考数学二轮复习 专题11 统计与概率(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题11 统计与概率(高频考点专练)，共8页。

统计与概率是中考数学基础必考模块，分值约 10～18 分，以选择题、填空题为主，搭配 1 道中档解答题，整体以低中档题为主，侧重考查概念理解、图表分析、概率建模与规范解题，是中考必须稳拿满分的核心板块。
基础知识必备：掌握平均数、中位数、众数、方差的定义、计算方法及实际意义；能熟练读取
条形、扇形、折线统计图的信息，完成统计图的补全与综合分析；理解样本与总体的关系，会用样本的统计特征估计总体；能准确区分必然事件、不可能事件、随机事件；掌握古典概型的概率计算公式，会用列表法、树状图法求解一步、两步（放回 / 不放回）事件的概率；理解频率与概率的关系，能用频率估计概率解决实际问题。
2026 中考预测：
题型稳定：统计量概念辨析、统计图信息读取、事件分类、一步概率计算为选择填空必考内容，统计图综合分析 + 两步概率计算为解答题必考；
难度平稳：以基础题、中档题为主，无偏题怪题，重点考查图表分析能力、概率建模能力与解
题规范性；
命题趋势：贴近生活实际背景（如校园调查、社会热点、生活实践），统计图综合考查（条形
+ 扇形）成为主流，概率计算注重与统计知识的结合，强调对实际问题的数学转化.
题型一：数据的收集与整理
【典例 01】（2025·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式
B．64 的平方根为 8
C．若一个正多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是正五边形 D．甲、乙两人在相同的条件下各射击 8 次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是?甲2 = 0.1，?乙2
= 0.5，则乙的射击成绩较稳定
【答案】C
【分析】本题考查了普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义．根据普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、调查某种灯泡的使用寿命，具有破坏性，其范围广，最适宜采用抽样调查的方式，故原说法不正确，该选项不符合题意；
B、64 的平方根为± 8，故原说法不正确，该选项不符合题意；
C、∵一个正多边形的每一个内角都是108°，
∴每一个外角都是180°−108° = 72°，
∵多边形的外角和为360°，
∴这个正多边形的边数为360° ÷ 72° = 5，
即这个多边形是正五边形，故原说法正确，该选项符合题意；
D、甲、乙两人在相同的条件下各射击 8 次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是?甲2 = 0.1，?乙2 = 0.5，
0.1 < 0.5，则甲的成绩较稳定，故原说法不正确，该选项不符合题意；故选：C．
【变式 01】（2025·湖南·中考真题）下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A．了解某班同学的跳远成绩B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况 C．了解全国中学生的身高状况D．了解某批次汽车的抗撞击能力
【答案】A
【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况．
全面调查适用于范围小、精确度要求高或破坏性小的调查；抽样调查适用于范围大、具有破坏性或无法全
面调查的情况．
【详解】解：选项 A：某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的跳远成绩，适合全面调查，符合题意；
选项 B：夏季冷饮市场冰激凌数量庞大，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适合抽样调查，不符合题意；
选项 C：全国中学生人数极多，全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题意；
选项 D：检测汽车抗撞击能力会破坏被测车辆，无法对所有汽车进行测试，必须采用抽样调查，不符合题意；
故选：A．
【变式 02】（2025·江苏扬州·中考真题）下列说法不正确的是（ ） A．明天下雨是随机事件 B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D．若甲组数据的方差?甲2
【答案】B
= 0.13，乙组数据的方差?乙2
= 0.04，则乙组数据更稳定
【分析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相关知识点进行判断即可．
【详解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意； B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意； C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意； D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意．
故选：B．
【变式 03】（2025·江西·中考真题）某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ）
A．随机抽取城区三分之一的学校B．随机抽取乡村三分之一的学校 C．调查全体学校D．随机抽取三分之一的学校
【答案】D
【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会
偏离总体情况．
【详解】解：A、随机抽取城区三分之一的学校，调查不具代表性，故本选项不符合题意；
B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性，故本选项不符合题意；
C、调查全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快”要求，故本选项不符合题意； D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式 05】（2024·江苏镇江·中考真题）下列各项调查适合普查的是（ ）
A．长江中现有鱼的种类B．某班每位同学视力情况
C．某市家庭年收支情况D．某品牌灯泡使用寿命
【答案】B
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵 活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．再根据问卷调查方法即可求解．
【详解】解：A、长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，不符合题意；
B、某班每位同学视力情况，适合普查，符合题意；
C、某市家庭年收支情况，适合抽样调查，不符合题意； D、某品牌灯泡使用寿命，适合抽样调查，不符合题意；故选：B．
题型二： 统计图表的识别与解读
星期
—
二
三
四
五
六
日
最高气温/℃
25
25
28
30
33
30
29
【典例 01】（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是选择合适的统计图，根据条形图，折线图，扇形图的特点进行选择即可．
【详解】解：∵扇形统计图可以清楚地表示各部分数量和总量之间的关系；条形统计图可以清楚地看出数量的多少；折线统计图，不仅可以清楚地看出数量的多少，而且还能清楚地看出数量的增减变化趋势；
∴最适合描述气温变化趋势的是折线统计图；故选：C．
【变式 01】（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
科技类图书销售了 60 册B．文艺类图书销售了 120 册 C．文艺类图书销售占比30%D．其他类图书销售占比18%
【答案】D
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可．
【详解】解：总销售量为：150 ÷ 37.5% = 400（册），
∴科技类图书销售了400 × 15% = 60（册），
∴文艺类图书销售了400−150−60−70 = 120（册），
120
∴文艺类图书销售占比为：400 × 100% = 30%，
70
∴其他类图书销售占比：400 × 100% = 17.5%；
综上：只有选项 D 错误，符合题意；故选 D．
【变式 02】（2025·四川成都·中考真题）在第 25 个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
根据图表信息，表中 a 的值为（ ）
B．10C．12D．15
【答案】B
【分析】本题考查统计表和扇形统计图，根据元宇宙的人数以及所占的比例求出总人数，进而求出?的值即可．
【详解】解：? = 16 ÷ 40%−16−14 = 10；故选 B．
第 1 次测试
第 2 次测试
第 3 次测试
甲
×
4.82
5.36
5.56
6.15
×
5.81
×
5.78
乙
4.65
5.76
5.53
5.67
×
5.90
5.30
6.05
5.86
【变式 03】．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了 3 次测试，每次各跳远 3 次，统计成绩如下表（单位：m）．
注：×表示犯规．
将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，5.75m以下为“一般成绩”， 5.75m及以上为“优秀
成绩”，并绘制条形统计图．
(1)补全条形统计图；
(2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？
【答案】(1)见详解
(2)乙参加跳远比赛较为合适，理由见详解
【分析】本题考查了补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据共进行了 3 次测试，每次各跳远 3 次，共9次测试，用总次数减去犯规次数以及优秀成绩的次数，即可得出甲的一般成绩有3次，再补全条形统计图，即可作答．
分析表格，得出乙的—般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，3 × 3−3−3 = 3，即甲的一般成绩有3次，
补全条形统计图，如图所示：
（2）解：乙参加跳远比赛较为合适，
理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，
∴乙参加跳远比赛较为合适．
【变式 04】（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实 施了“百日提升训练计划”，并分别于 3 月份和 6 月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用 x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：? ≥ 30；良好：25 ≤ ? < 30；合格：20 ≤ ? < 25；不合格：? < 20．
为了解本计划的实施效果，随机抽取了 20 名学生，对他们 3 月份和 6 月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
信息一：3 月份测试成绩如下：
17 33 28 27 35 19 21 22 25 22
25 27 19 27 18 27 28 29 31 32
信息二：6 月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下：
信息三：测试成绩对比表如下：
请根据以上信息；完成下面问题：
补全条形图；
(2)表中的? = ，? = ，? = ；
(3)已知该校七年级共 400 人，请估算七年级，6 月份达到“优秀”等级的学生比 3 月份增加了多少人？
【答案】(1)见解析
27；20%；35%；
6 月份达到“优秀”等级的学生比 3 月份增加了 60 人．
【分析】题目主要考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，理解题意，结合图形获取相关信息是解题关键．
结合条形统计图和扇形统计图得出合格的人数为：20 × 30% = 6人，然后确定优秀的人数，补全统计图即可；
根据众数得定义即可确定 a 的值，利用优秀率的计算方法求解即可；
用总人数乘以相应的优秀率，然后相减即可得出结果．
月份
平均数/个
众数/个
优秀率
3 月
25.6
a
b
6 月
27.7
29
c
【详解】（1）解：根据题意得，合格的人数为：20 × 30% = 6人，
∴优秀的人数为：20−5−6−2 = 7人，补全统计图如下：
（2）根据题意得，3 月测试成绩中 27 出现的次数最多，
∴? = 27，
∵优秀：? ≥ 30；
∴3 月份中优秀的人数为 4 人，6 月份中优秀的人数为 7 人，
∴? =
4 = 20%，? =
20
7 = 35%，
20
故答案为：27；20%；35%；
（3）6 月份达到“优秀”的人数为：400 × 35% = 140人，
3 月份达到“优秀”的人数为：400 × 20% = 80人，
∴140−80 = 60人，
∴6 月份达到“优秀”等级的学生比 3 月份增加了 60 人．
【变式 05】（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校 800 名学生 1 分钟跳绳的情况，随机抽取了 50 名学生 1 分钟的跳绳次数（次数用?表示，单位：次），将其分成以下五组：
60 ≤ ? < 90,90 ≤ ? < 120,120 ≤ ? < 150,150 ≤ ? < 180,180 ≤ ? < 210，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1 分钟的跳绳次数在90 ≤ ? < 120中的具体数据为 92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，
114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
1 分钟的跳绳次数在90 ≤ ? < 120范围内的众数是次，中位数是次；
补全频数分布直方图；
请估计该校学生 1 分钟的跳绳次数不低于 120 次的人数．
【答案】(1)105；110 (2)图象见解析 (3)480
【分析】本题考查统计图的分析和统计量的计算，找到题目对应的数据并正确运用统计量的概念求解是解题关键．
根据众数和中位数的概念求解即可；
先计算所给90 ≤ ? < 120的数据的样本个数，再通过样本总量，减去频数分布直方图中其他组的样本个数和90 ≤ ? < 120这一组的样本个数，得到120 ≤ ? < 150这一组的样本个数，以此补全频数分布直方图即可；
先计算样本中 1 分钟的跳绳次数不低于 120 次的人数，再通过样本占总体的比例，求出该校学生中对应的人数即可．
【详解】（1）解：由题中数据，可知 105 共出现三次，出现频数最高，为众数；
90 ≤ ? < 120中共有 15 个样本，故从小到大排列第 8 个数即为中位数，故中位数为 110，故答案为：105，110；
（2）解：由图可知，60 ≤ ? < 90这一组共有 5 个样本，150 ≤ ? < 180这一组共有 8 个样本，180 ≤ ? < 210
这一组共有 2 个样本，
由（1），可知90 ≤ ? < 120这一组共有 15 个样本，由题意可知，样本总量为 50，
故120 ≤ ? < 150这一组共有50−5−15−8−2 = 20个样本，补全频数分布直方图如下：
（3）解：由（2）可知，随机抽取的 50 名学生中共有20 + 8 + 2 = 30名学生 1 分钟跳绳次数不低于 120 次，
30
∴800 × 50
= 480（人）
故估计该校学生 1 分钟的跳绳次数不低于 120 次的人数为 480．
题型三： 平均数、中位数、众数的计算与应用
【典例 01】（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼 情况，随机调查了 10 名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：h）如下：5，7，3，6，8，6， 4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．5，6B．5，7C．6，6D．6，7
【答案】C
【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．
【详解】解：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8，处于中间的两个数据为 6，6，故中位数
6+6
为 2 = 6；
在这组数据中出现次数最多的是 6，则众数为 6，故选：C．
【变式 01】（2025·江苏镇江·中考真题）一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ）
A．82B．84C．85D．87
【答案】B
【分析】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数
就是这组数据的中位数．
先将数据从小到大排序，然后根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：从小到大排序为：80，82，82，84，85，87，90，中间的数为 84，
∴中位数为 84．故选：B．
【变式 02】（2025·湖南长沙·中考真题）2020 年，我国承诺，力争于 2030 年前实现“碳达峰”，2060 年前实现“碳中和”．倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组 8 名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为： 76，78，77，79，78，75，78，80．则这组数据的众数是（ ）
A．77B．78C．79D．80
【答案】B
【分析】本题考查了众数的求解，根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据，统计各数值出现的次数即可求解；
【详解】解：∵78出现的次数最多（3 次），
∴众数为78，故选：B
【变式 03】（2025·四川乐山·中考真题）某学校食堂有 7 元、8 元和 9 元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5 月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（ ）
A．7.8 元B．7.9 元C．8 元D．8.1 元
【答案】A
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．
【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为8 × 60% +7 × 30% +9 × 10% = 7.8（元），
故选：A．
【变式 04】（2025·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（）
A．15，14B．14，15C．14，14D．15，15
【答案】A
【分析】本题考查平均数和众数，根据平均数和众数的定义进行计算即可．
【详解】解：平均数为：(13 + 14 + 14 + 16 + 18) × 1
5
1
= 75 × 5
= 15，
5 个数据中，14 出现了 2 次，出现的次数最多，因此众数为：14，故选：A．
书籍本数
2
3
4
5
6
人数
2
2
2
3
1
【变式 05】（2025·四川广元·中考真题）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了 10 名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：
下列关于书籍本数的描述正确的是（ ）
A．众数是 3B．平均数是 3C．中位数是 4D．方差是 1
【答案】C
【分析】本题考查了众数、平均数、中位数和方差的概念及计算，解题的关键是掌握各统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；平均数是所有数据之和除以数据个数；中位数是将数据排序后中间位置的数（或中间两数的平均数）；方差是各数据与平均数差的平方的平均数，通过计算判断选项正确性．
【详解】解：A、众数是一组数据中出现次数最多的数．由表格可知，5 本对应的人数为 3 人（最多），故众数是 5，A 错误．
B、(2 × 2 + 3 × 2 + 4 × 2 + 5 × 3 + 6 × 1 = 4 + 6 + 8 + 15 + 6) ÷ 10 = 3.9，B 错误．
4+4
C、将数据按从小到大排列：2,2,3,3,4,4,5,5,5,6（共10个数据），中位数为第 5、6 个数的平均数，即 2
= 4，C 正确．
D、平均数为 3.9，
方差 = 1 × [2 × (2−3.9)2 +2 × (3−3.9)2 + 2 × (4−3.9)2 +3 × (5−3.9)2 +1 × (6−3.9)2] = 1.69，D 错误．
10
故选：C．
题型四： 统计图表的综合分析与运用
【典例 01】（2025·海南·中考真题）2025 年初，海南省教育厅印发了《关于优化义务教育学校学生作息时 间的通知》，各市县中小学积极实施大课间质量提升活动．某校为了解学生对本校大课间活动实施情况的满意程度，从八年级随机抽取 20 名学生进行问卷调查（满分 100 分，划分为 A、B、C、D、E 五个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用▲和★表示）：54，71，57，▲，65，67，73，76， 76，77，79，87，88，87，87，82，89，★，92，94．
数据扇形统计图
数据统计表
(1)扇形统计图中? = ，统计表中? = ；
这 20 个数据的众数为，中位数为；
若该校八年级共有 400 人，请估计评价结果为“A”等次的八年级学生有人；
为更好地开展大课间活动，请提一条合理建议．
【答案】(1)15；3；
(2)87；78； (3)60
(4)大课间的活动内容要形式多样、丰富多彩，更好的吸引学生，提高满意程度
分数段
等次
人数
90 ≤ ? ≤ 100
A
?
80 ≤ ? < 90
B
6
70 ≤ ? < 80
C
6
60 ≤ ? < 70
D
?
0 ≤ ? < 60
E
2
【分析】本题主要考查了扇形统计图和统计表，利用样本估计总体，理解题意，根据图象获取相关信息是解题关键．
根据扇形统计图直接确定 m 的值即可；再用抽取的人数乘以相应比例即可；
根据题意得出▲在 D 组，★在 A 组，然后利用众数和中位数的定义求解即可；
用总数乘以相应比例即可；
提出合理建议即可．
【详解】（1）解：?% = 1−10%−15%−30%−30% = 15%，
∴? = 15；
∴? = 20 × 15% = 3；故答案为：15；3；
（2）解：根据题意得：D 组人数为：? = 20 × 15% = 3人，
∵20 个数据为：54， 57，▲，65，67，71，73，76，76，77，79，82，87， 87，87，88， 89，★，92， 94．
∴▲在 D 组，★在 A 组，
∵87 出现的次数最多为 3 次，
∴众数为 87；
77+79
中位数为第 10、11 位数据 77,79 的平均数即 2= 78，
故答案为：87；78；
（3）解：根据题意得：400 × 15% = 60人，故答案为：60；
（4）解：大课间的活动内容要形式多样、丰富多彩，更好的吸引学生，提高满意程度．
【变式 01】（2025·山东滨州·中考真题）2025 年 6 月 6 日是第 30 个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
组别
分数
频数
百分比
第 1 组
51 ≤ ? < 61
?
5%
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为 51 分，最高分为满分 100 分，对样本数据分成 5 组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图．
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：
(1)? = ，? = ；请将频数分布直方图补充完整；
(2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第组的分数段内；
(3)计划将竞赛成绩不低于 91 分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校 3000 名学生中获得“护眼知识达人”
的人数．
【答案】(1)10%，30%，见解析
(2)4
(3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有 900 人
【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体．
根据第 2 组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可；
根据中位数的定义求解即可
利用全校人数乘以成绩不低于 91 分的学生占比，即可求解．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为15 ÷ 15% = 100人，
则? = 10 × 100% = 10%，
100
? = 1−5%−10%−15%−40% = 30%，
? = 100 × 5% = 5，? = 100 × 30% = 30，
补全频数分布直方图如下：
第 2 组
61 ≤ ? < 71
10
?
第 3 组
71 ≤ ? < 81
15
15%
第 4 组
81 ≤ ? < 91
40
40%
第 5 组
91 ≤ ? < 101
?
?
（2）解：抽取的100名学生竞赛成绩中，中位数为第50和51名学生竞赛成绩的平均数，由（1）可知，第 1 组有 5 人，第 2 组有 10 人，第 3 组有 15 人，第 4 组有 40 人，
前三组人数为5 + 10 + 15 = 30人，前四组人数为5 + 10 + 15 + 40 = 70人，则中位数处于第 4 组的分数段内，
故答案为：4；
（3）解：由（1）可知，? = 30%，即全校 91 分以上的同学占比约为30%，则全校 91 分以上的同学约有3000 × 30% = 900（人），
答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有 900 人．
【变式 02】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生 60 秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图．
A 组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98
组别
次数?（单位：次）
频数
A 组
60 ≤ ? < 100
9
B 组
100 ≤ ? < 140
?
C 组
140 ≤ ? < 180
12
D 组
180 ≤ ? < 220
3
根据以上信息回答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
A 组学生跳绳次数的中位数是，?的值是；
若颖立中学共有 1500 名学生，估计该中学 60 秒钟的跳绳次数在100 ≤ ? < 140范围的学生有多少名．
【答案】(1)60 (2)85，36 (3)900
【分析】本题主要考查频率分布表和扇形统计图、中位数，熟练掌握频率分布表和扇形统计图、中位数是解题的关键；
由扇形统计图和频率分布表可知 C 组的人数为 12 人，所占百分比为20%，然后问题可求解；
根据中位数的定义可进行求解；
由（1）（2）及题意可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：12 ÷ 20% = 60（名）．答：一共抽取 60 名学生．
解：由 A 组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是 85，所以 A 组学生跳绳次数的中位数是 85，
? = 60−9−12−3 = 36；
故答案为 85，36．
解：由题意得：1500 × 36 = 900（名）．
60
答：估计该中学 60 秒钟的跳绳次数在100 ≤ ? < 140范围的学生有 900 名．
【变式 03】（2026·陕西西安·一模）为丰富同学们的校园生活，检验日常学习成果，某校在学期中开展了 学科素养达标测试．测试结束后，教务处从全校学生的测试成绩（单位：分，满分 100 分，均不低于 60 分）中用分层抽样的方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图．
其中 D 组共有 10 个成绩，从高到低分别为：69，68，66，65，65，65，64，63，61，60．根据以上信息，解答下列问题：
D 组 10 个成绩的平均数为；众数为；
本次被抽取的所有成绩的个数为，扇形统计图中，B 组对应扇形的圆心角为；
若测试成绩不低于 80 分为优秀，估计该校 3000 名学生中成绩优秀的人数是多少？
【答案】(1)64.6分，65 分；
(2)50,108° (3)1620人．
【分析】（1）根据平均数和众数的定义进行解答即可；
根据 D 组数据的个数及其百分比即可求出被抽取的所有成绩的个数，用360°乘以 B 组的百分比即可求出 B 组对应扇形的圆心角；
利用样本估计总体的思想列式计算即可．
【详解】（1）解：(69 + 68 + 66 + 65 + 65 + 65 + 64 + 63 + 61 + 60) ÷ 10 = 64.6，
∴D 组 10 个成绩的平均数为64.6分，
D 组 10 个成绩中出现次数最多的是 65 分，即众数为 65 分；
由题意可得，本次被抽取的所有成绩的个数为：10 ÷ 20% = 50，扇形统计图中，B 组对应扇形的圆心角为：360° × 30% = 108°；
由题意可得，3000 × (24% + 30%) = 1620（人）答：估计该校 3000 名学生中成绩优秀的人数是1620人．
【变式 04】（2026·河北张家口·一模）为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机抽取了部分学生成绩（大于 60 分）进行分析，成绩按百分制分为 A，B，C，D 四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
等级
成绩/分
人数/人
本次调查共抽取了名学生；
求表中 m 的值和扇形统计图中 x 的值；
若抽取的 A 等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97， 98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩大于中 位数的概率；
已知该校共有学生 2000 人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：60 < ? ≤ 70）进行安全教育，请估计该校需要参加安全教育活动的学生人数．
【答案】(1)200
(2)? = 84，? = 15，
1
众数为 97，中位数为96.5，概率为2
300 名
【分析】（1）用 C 等级人数除以所占百分比即可；
用总人数乘以 B 等级所占百分比可得 m，用 D 等级人数除以总人数可求所占百分比；
根据众数、中位数的定义及概率公式求解；
利用样本估计总体思想求解．
【详解】（1）解：抽取学生总数为：68 ÷ 34% = 200（名）；
（2）解：? = 200 × 42% = 84，
A
90 < ? ≤ 100
18
B
80 < ? ≤ 90
m
C
70 < ? ≤ 80
68
D
60 < ? ≤ 70
30
?% =
30
200
× 100% = 15%；
解：A 组数据中 97 出现了 4 次，出现的次数最多，因此众数为 97；
A 组数据共 18 个，按从小到大顺序排列后，第 9 位、第 10 位分别为 96，97，
因此中位数为：
96+97
2= 96.5；
91
随机从该组数据中抽取一个成绩，该成绩大于中位数的概率为18 = 2；
解：2000 × 30
200
= 300（名）
答：估计该校需要参加安全教育活动的学生人数为 300 名．
【变式 05】（2026·陕西西安·一模）某校以“享受乐趣，增强体质、健全人格、锤炼意志”为指导，鼓励更多的孩子参与到阳光体育锻炼之中，切实提高他们的身体素质．该校为了解七年级学生的身体素质，随机抽取了七年级部分学生调查他们的体重情况，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
请根据图表信息回答下列问题：
(1)表格中? = ，所调查学生体重的中位数落在组；
(2)若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如：A 组数据中间值为40千克），求被调查学生的平均体重；
(3)如果该校七年级有1000名学生，请估算七年级体重低于52.5千克的学生大约有多少人？
【答案】(1)20，C
(2)50千克 (3)700人
【分析】（1）根据D组人数和所占百分比即可求解总人数，根据中位数的定义，共100个数据，从小到大排列的第50个数据和第51个数据的平均数为中位数，判断两个数据所在的组即可；
根据加权平均数的公式求解即可；
组别
体重（千克）
人数
A
37.5 ≤ ? < 42.5
10
B
42.5 ≤ ? < 47.5
m
C
47.5 ≤ ? < 52.5
40
D
52.5 ≤ ? < 57.5
20
E
57.5 ≤ ? < 62.5
10
计算出样本中七年级体重低于52.5千克的学生所占的比例，然后乘以总人数1000即可．
【详解】（1）解：总人数 = 20 ÷ 20% = 100（人)， B组人数为：100−10−40−20−10 = 20（人），
故? = 20；
共100个数据，从小到大排列的第50个数据和第51个数据的平均数为中位数，
∵A、B两组共10 + 20 = 30（人），
A、B、C三组共10 + 20 + 40 = 70（人），
∴第50个数据和第51个数据均在C组，故中位数落在C组；
解：被抽取同学的平均体重为：
1
100
× (40 × 10 + 45 × 20 + 50 × 40 + 55 × 20 + 60 × 10) = 50（千克）．
答：被抽取同学的平均体重为50千克；
解：1000 × 10+20+40 = 700（人)．
100
答：七年级学生体重低于52.5千克的学生大约有700人．
题型五： 随机事件与古典概型的概率的计算
【典例 01】（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有 4 个红球与 2 个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出 3 个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有 1 个球是红球B．至多有 1 个球是黑球
C．至少有 1 个球是红球D．至少有 1 个球是黑球
【答案】C
【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可．
【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有 4 个红球与 2 个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出 3 个球，
∴至多有 3 个红球，至少有 1 个红球，至多有 2 个黑球，至少有 0 个黑球，
至多有 1 个球是红球，不是必然事件，不符合题意；
至多有 1 个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
至少有 1 个球是红球，是必然事件，符合题意；
至少有 1 个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；故选：C．
【变式 01】（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不．可．能．事．件．是（ ）
投掷—枚硬币，正面向上B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析.
【详解】解：选项 A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；
选项 B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；选项 C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；
选项 D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；综上，只有选项 B 符合不可能事件的定义，
故选：B．
【变式 02】（2026·湖北·模拟预测）下列事件中必然发生的事件是（ ）
—个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
0件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少一件是正品 C．不等式的两边同时乘一个数，结果仍是不等式 D．随意翻一本书的某页，这页的页码一定是偶数
【答案】B
【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
依据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，判断各选项即可．
【详解】解：∵平移变换不改变图形的形状和大小，平移后图形与原图形全等，
∴A 选项是不可能事件．
∵100 件产品中仅有 4 件次品，从中抽取 5 件，最多抽到 4 件次品，至少有 1 件是正品，
∴B 选项是必然事件．
∵当不等式两边同时乘以非零数时，结果仍为不等式，当乘以 0 时，结果为等式，事件的结果不唯一，
∴C 选项是随机事件．
∵书的页码可能是奇数，也可能是偶数，
∴D 选项是随机事件．故选：B．
【变式 03】（2025·湖北武汉·中考真题）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有 10 元、20 元、30 元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为 50 元的概率是（ ）
1111
A．6B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据概率 =
符合条件的结果数
，再求概率．
总结果数
【详解】抽奖盒中有三个小球，分别标有 10 元、20 元、30 元．随机摸出两个小球的所有可能组合共有 3 种：
10 元和 20 元，和为 30 元；
10 元和 30 元，和为 40 元；
20 元和 30 元，和为 50 元．
其中，和为 50 元的组合只有 1 种（20 元和 30 元）．
1
因此，所求概率为：3．
故选：C．
【变式 04】（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
1
出现点数为 6 的概率是6
出现点数为 0 是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件
【答案】A
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不
可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
1
【详解】解：A．出现点数为 6 的概率是6，正确，符合题意；
出现点数为 0 是不可能事件； C．出现点数为偶数是随机事件； D．出现点数为奇数是随机事件；故选 A．
3
【变式 05】（2026·四川泸州·一模）从 2,0,?,3.14,7这 5 个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（ ）
1234
A．5B．5C．5D．5
【答案】B
【分析】本题考查概率公式和无理数的判断，需准确识别无理数个数，解题的关键是熟练掌握无理数的概念即无限不循环小数．
先找出无理数，再用概率公式求解即可．
3
【详解】解： 2,0,?,3.14,7这 5 个数中无理数有 2和?，
2
∴抽到无理数的概率是5，
故选：B．
【变式 06】如图，将一个飞镖随机投掷到方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
5413
B．9C．2D．5
【答案】B
【分析】本题考查了几何概率，用阴影方块个数除以方块总数即可得出答案，解题的关键是掌握几何概率的求法．
【详解】解：根据题意得：方格纸中一共有 9 个小正方形，其中阴影部分有 4 个，
4
∴飞镖落在阴影部分的概率为9．
故选：B
题型六：列举法求随机事件的概率
【典例 01】（2026·陕西西安·一模）如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上
(1)从 4 张卡片中抽取一张，这张卡片的数字为 3 的倍数的概率是；
(2)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜 的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的 3 张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于 11 小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由．
2
【答案】(1)1
(2)不公平，理由见详解
【分析】（1）直接计算出抽到数字为 3 的倍数的概率即可；
（2）用树状图列举出所有情况，看和大于 11 的情况占所有情况的比值，即可求得小明赢的概率，进而求得小亮赢的概率比较即可．
【详解】（1）解：∵3,6,8,10四个数字中3和6为 3 的倍数，
21
∴? = 4 = 2；
（2）解：画树状图如下
一共有 12 种可能，和大于 11 的个数有 8 种，和小于等于 11 的数有 4 种，
8
?=
2 ?41
小明胜
12 = 3,
小亮胜 = 12 = 3，
∴游戏不公平
【变式 01】（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为 1，2，3，4 的 4 个球，这些球除标号外都相同．
将球搅匀，从中任意摸出 1 个球，摸到标号为 2 的球的概率是；
将球搅匀，从中任意摸出 1 个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出 1 个球，记录标号．求两次
摸到的球标号均小于 3 的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
4
【答案】(1)1
6
(2)1
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
直接由概率公式求解即可；
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为 1，2，3，4 的 4 个球，这些球除标号外都相同，
1
∴将球搅匀，从中任意摸出 1 个球，摸到标号为 2 的球的概率是4，
1
故答案为：4；
（2）解：画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于 3 的结果有 2 种，
21
∴两次摸到的球标号均小于 3 的概率为12 = 6．
【变式 02】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图是某商业中心地下停车场的平面图，共有?1,?2,?3三个入口， ?1
,?2,?3,?4四个出口，假设顾客选择各个出入口的机会均等．
某顾客从?3入口进入地下车库的概率为；
请用列表或画树状图的方法，求某顾客进出地下车库出入口数字序号相同的概率．
3
【答案】(1)1
4
(2)1
【分析】本题考查列表法求概率，正确地画出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键：
直接利用概率公式进行计算即可；
列出表格，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：共 3 个入口，从每个入口进入的可能性相同，故某顾客从?3入口进入地下车库的概率为
1
3；
（2）由题意，列表如下：
共 12 种等可能的结果，其中某顾客进出地下车库出入口数字序号相同的结果有 3 种，
31
∴? = 12 = 4．
【变式 03】（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了 4
等份与 3 等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在 A 区域的概率为；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在 C 区域且乙盘指针未落在 Q 区域的概率．
4
【答案】(1)1
1
(2)转盘停止转动后甲盘指针落在 C 区域且乙盘指针未落在 Q 区域的概率为6
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 = 所求情况数与总情况数之比．
直接由概率公式求解即可；
?1
?2
?3
?4
?1
?1，?1
?1，?2
?1，?3
?1，?4
?2
?2，?1
?2，?2
?2，?3
?2，?4
?3
?3，?1
?3，?2
?3，?3
?3，?4
列举出所有情况，乙盘指针落在 C 区域未落在 Q 区域的情况数，再进一步求解即可．
1
【详解】（1）解：旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是4．
（2）解：列表如下：
由表知，所有的情况数有 12 种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在 C 区域且乙盘指针未落在 Q 区域的情况数有 2 种，
21
∴转盘停止转动后甲盘指针落在 C 区域且乙盘指针未落在 Q 区域的概率为12 = 6．
【变式 04】（2025·江苏南通·中考真题）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动．
已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率：
小明到南通博物苑参加社会实践活动；
小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动．
11
【答案】(1)4；(2)16．
【分析】本题主要考查了概率的计算，包括简单事件概率（单一对象选择）和两步事件概率（两人选择），
?
熟练掌握概率公式（?(?) = ? ，其中?是总结果数，?是事件?发生的结果数 ）以及用列表法列举所有等可
能结果是解题的关键．
根据有四个等可能的场所，小明选到南通博物苑是其中一种情况，用南通博物苑这一种情况数除以总场所数即可得概率；
通过列表法列出小华和小丽选择场所的所有等可能结果，再找出两人都选南通美术馆的结果数，用该结果数除以总结果数得到概率 ．
?
?
?
?
?
(?,?)
(?,?)
(?,?)
(?,?)
?
(?,?)
(?,?)
(?,?)
(?,?)
?
(?,?)
(?,?)
(?,?)
(?,?)
【详解】（1）解：图中社会实践活动分别用①，②，③，④表示，则小明到南通博物苑参加社会实践活
1
动的概率为4；
（2）解：列表如下：
共有 16 种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有 1 种，所以小华
1
和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为16．
【变式 05】（2025·江苏常州·模拟预测）《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号?，?，?，?来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为；
(2)将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率．
1
【答案】(1)4；
1
(2)3．
【分析】本题考查了求概率．
直接根据概率公式计算即可；
画出树状图，再根据概率公式计算即可．
小华小丽
①
②
③
④
①
①①
①②
①③
①④
②
②①
②②
②③
②④
③
③①
③②
③③
③④
④
④①
④②
④③
④④
1
【详解】（1）解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为4，
1
故答案为：4；
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有4种，
41
∴ 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为12 = 3
题型七： 统计与概率的综合应用
【典例 01】2026·河北沧州·一模）为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个 志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制出以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
请把图 1 折线统计图补充完整；
求图 2 扇形统计图中，生态环保部分对应的圆心角的度数；
小丽和小明参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加的不是同一服务活动的概率．
4
【答案】(1)见解析(2)90°(3)3
【分析】本题考查了折线统计图，扇形统计图，列表法求概率．
根据参加生态环保的人数以及百分比求得总人数，用总人数乘以“社区服务”百分比求得其人数，再补全折线统计图即可；
根据生态环保部分的占比乘以360°，即可求解．
首先根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与他们参加的不是同一服务活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）解：该班全部人数：12 ÷ 25% = 48，
参加社区服务的人数为：48 × 50% = 24，补全折线统计图如图所示
解：生态环保部分对应的圆心角的度数为25% × 360° = 90°
分别用“1，2，3，4”代表“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个服务活动，列表如下：
则所有等可能的情况有 16 种，其中他们参加不是同一服务活动的情况有 12 种，
123
∴他们参加的不是同一服务活动的概率为16 = 4
【变式 02】（2025·山东青岛·模拟预测）“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到 A、B、C 三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：
小明小丽
1
2
3
4
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配 100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为；
(2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字 1，2，3，4 的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷 1 次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
2
【答案】(1)1
(2)不公平
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与概率公式得到应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率 = 所求情况数与总情况数之比．
直接利用概率公式计算可得；
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较是否相等即可求得答案．
501
【详解】（1）解：员工小王抽到去?地车票的概率为100 = 2，
1
故答案为：2．
（2）解：不公平，画树状图如下：
由此可知，共有 16 种等可能结果．
其中小张掷得数字比小李掷得数字大的有 6 种：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
3
所以小张掷得数字比小李掷得数字大的概率为6 ÷ 16 = 8．
则小张掷得数字不小于小李掷得数字的概率为35，
1−8 = 8
35
∵ 8 ≠ 8，
∴ 不公平．
【变式 03】（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设 C 语言编程、无人机飞行
训练、科创小论文、科幻画创作 4 门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图．
意愿参加课程人数统计表
抽取的学生共有人，其中意愿参加无人机飞行训练的有人；
若该校有 800 人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？
某班有 2 名男生 2 名女生参加 C 语言编程课程，现从这 4 人中随机抽取 2 名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【答案】(1)50，17
全校参加科幻画创作的学生有240人；
2
恰好抽到一名男生一名女生的概率为3．
【分析】本题考查扇形统计图，用样本频数估计总体频数，用树状图求概率．
用 C 语言编程的人数除以对应的百分比，即可得抽取的学生人数，减去意愿参加 C 语言编程、科创小论文、科幻画创作的人数，即可得意愿参加无人机飞行训练的人数；
用全校总人数乘以科幻画创作学生数占总人数的比，即可得全校参加科幻画创作的学生人数；
根据题意画树状图，用—男—女的组合数比总数，即可得恰好抽到—名男生—名女生的概率．
【详解】（1）解：10 ÷ 20% = 50（人）
50−10−8−15 = 17（人）
故答案为：50，17．
（2）解：800 × 15 = 240（人）
50
课程
C 语言编程
无人机飞行训练
科创小论文
科幻画创作
人数
10
8
15
答：全校参加科幻画创作的学生有240人．
（3）解：画树状图如下：
82
∴?(一男一女) = 12 = 3．
2
答：恰好抽到一名男生一名女生的概率3．
组别
成绩/分
频数（人数）
1
75 ≤ ? < 80
10
2
80 ≤ ? < 85
?
3
85 ≤ ? < 90
35
4
90 ≤ ? < 95
25
5
95 ≤ ? ≤ 100
?
【变式 04】（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100 分，所有成绩均不低于 75 分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请直接写出统计表中的? = ，? = ，第 4 组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心
角是度；
请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
现从第 5 组中选拔演讲能力出众的 2 名男生和 3 名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取 2 人进社区宣讲，求所抽取的 2 人恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率．
【答案】(1)20，10，90 (2)统计图见解析
5
(3)3
【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算：
结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求 b 和 a，最后再求第 4 组的圆心角；
根据（1）中求出数据即可作图；
将 2 名男生和 3 名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可．
【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为35 ÷ 35% = 100，
由扇形统计图可知第 5 组人数? = 36° × 100 = 10，
360°
则第 2 组人数? = 100−(10 + 35 + 25 + 10) = 20，
25
第 4 组人数在扇形图中对应的圆心角为100 × 360° = 90°，
故答案为：20，10，90；
解：如图：
解：设 2 名男生为 a、b 和 3 名女生为 1、2、3，则随机选出 2 人，有下列组合：
(?,?),(?,1),(?,2),(?,3),(?,1),(?,2),(?,3),(1,2),(1,3),(2,3)，
共 10 种可能的结果，其中恰好是 1 名男生和 1 名女生的有 6 种，
63
故概率为10 = 5．
调查问卷
年 月
在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选)
A．玩偶
B．冰箱贴
C．创意摆件
D．手机挂件
【变式 05】（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
本次抽样调查的样本容量是；
扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是；
【做出合理估计】
若全校共有 1800 名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有 A，B，C，D(A 玩偶、B 冰箱贴、C 创意摆件、D 手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
1
【答案】(1)120；(2)96°；(3)600 人；(4)4．
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合利用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键；
用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可；
用 360 度乘以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可；
利用样本估计总体的思想进行求解即可；
画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：(1)36 ÷ 30% = 120；故答案为：120；
(2)喜爱玩偶的人数为120−40−12−36 = 32，
360° ×
32
120
= 96°；
故答案为：96°；
(3)1800 × 40
120
= 600(人)
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有 600 人． (4)根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有 16 种，即
??,??,??,??,??,??,??,??,??,??,??,??,??,??,??,??，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有 4 种，即??,??,??,??．
所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品) = 4
16
1
= 4．
（限时训练：25 分钟）
1．（2025·四川·中考真题）某航模社团开展某小型无人机飞行时长测试，随机抽取 5 架该型无人机，充满
电后首次飞行时长记录如下（单位：分钟）：18，20，22，23，24．这组数据的中位数为（ ）
A．18B．20C．22D．23
【答案】C
【分析】本题考查了中位数的概念及计算，解题的关键是熟练掌握中位数的定义——将一组数据从小到大
（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，中间位置的数即为中位数；若为偶数，则中间两个数的平均数为中位数．
先确认所给数据是否已按从小到大顺序排列，本题数据 18，20，22，23，24 已有序；再根据数据个数为 5
5+1
（奇数），计算中间位置为 2 = 3，即第 3 个数据就是这组数据的中位数．
【详解】解：根据中位数的定义，将数据按从小到大排列：18，20，22，23，24；
5+1
数据个数为 5（奇数），中间位置为第 2 = 3个，第 3 个数据为 22，故这组数据的中位数是 22．
故选：C．
2．（2025·四川广元·一模）下列事件是确定性事件的是（）
购买—张彩票，中奖； B．射击运动员射击 1 次，命中靶心； C．等边三角形的三条边长相等； D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．
【答案】C
【分析】本题主要考查了事件的分类，掌握确定性事件指必然发生或必然不发生的事件是解题的关键．根据确定性事件的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意； B．射击运动员射击 1 次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； C．等边三角形的定义是三条边长相等，是确定性事件，符合题意； D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不符合题意．故选 C．
某公司生产 A，B，C，D 四种型号的帐篷共 20000 顶，有关信息见如下统计图：
下列判断正确的是（ ）
单独生产 B 型帐篷的天数是单独生产 C 型帐篷天数的 3 倍
单独生产 B 型帐篷的天数是单独生产 A 型帐篷天数的 1.5 倍
单独生产 A 型帐篷与单独生产 D 型帐篷的天数相等
每天单独生产 C 型帐篷的数量最多
【答案】C
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图的综合运用，由条形统计图可得生产四种型号的帐篷的数量，分别求出四种帐篷所需天数即可判断各选项，解题关键在于结合两个统计图，找到总数与各部分的关系．
【详解】解：A．单独生产 B 型帐篷所需天数为
20000×30%
1500= 4(天)，
3000
单独生产 C 型帐篷所需天数为 20000×15% = 1(天)，
∴单独生产 B 型帐篷的天数是单独生产 C 型帐篷天数的 4 倍，故选项不符合题意；
20000×45%
单独生产 A 型帐篷所需天数为 4500= 2(天)，
∴单独生产 B 型帐篷的天数是单独生产 A 型帐篷天数的 2 倍，故选项不符合题意；
单独生产 D 型帐篷所需天数为
20000×10%
1000= 2(天)，
∴单独生产 A 型帐篷与单独生产 D 型帐篷的天数相等，故选项符合题意； D．由条形统计图可得每天单独生产 A 型帐篷的数量最多，故选项不符合题意；故选：C．
4．（2025·河南安阳·三模）如图是某电路的示意图，随机闭合开关S1,S2,S3中的任意 2 个，则小灯泡L2发光的概率是（ ）
1121
A．4B．2C．3D．3
【答案】D
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率 = 所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有 6 种等可能的结果，能让小灯泡L2发光的结果数为 2，然后由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得：
共有 6 种等可能的结果，其中能让小灯泡L2发光的结果数为 2，
21
∴能让灯泡 L2 发光的概率为：6 = 3．
故选：D．
5．（2025·江苏宿迁·中考真题）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按6∶4计算最终成绩．小李的笔试成绩为 85 分，面试成绩为 90 分，则小李的最终成绩为分．
【答案】87
【分析】本题考查了加权平均数的应用，掌握加权平均数的意义及计算是关键．按照加权平均数的计算公式计算即可．
85×6+90×4
【详解】解：由题意得小李的最终成绩为：6+4= 87（分），
故答案为：87．
6．（2025·湖南长沙·一模）小明与小雅玩一种比较数字大小的小游戏：两人各有三张卡片，小明的卡片上分别标有数字 1，4，9，小雅的卡片上分别标有数字 2，5，8，两人各从自己的卡片中随机抽一张，则“小雅所抽数字大于小明所抽数字”的概率是．
5
【答案】9
【分析】本题考查画树状图求概率，画树状图找出所有等可能情况及小雅抽数字大于小明所抽数字的情况数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
总共有 9 种可能，小雅抽数字大于小明所抽数字的情况有：2，1；5，1；5，4；8，1；8，4，共 5 种可能，
5
故? = 9．
5
故答案为：9．
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数 m
73
117
152
370
604
751
摸到白球的
?
频率?
0.73
0.78
0.76
0.74
0.755
0.751
7．（2025·四川成都·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有 4 个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据∶
估计口袋中黑球有个，白球有个；
从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率．
8
【答案】(1)1，3 (2)5
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，列表法与树状图法，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
本题考查了由频率估计概率，随着 n 的增大，摸到白球的频率逐渐接近0.75，则摸到白球的概率可看作0.75，根据概率乘以总数即可求得白球个数，用球的总数减去白球个数即求得黑球个数；
根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的事件数，利用概率公式计算即可解题．
【详解】（1）解：随着 n 的增大，摸到白球的频率逐渐接近0.75，则摸到白球的概率可看作0.75，而小球总数为 4，
∴口袋中白球的个数：4 × 0.75 = 3个，所以口袋中黑球的个数：4−3 = 1个．故答案为：1，3；
（2）解：画树状图，得：
∵ 共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有10种情况，
105
∴ 两次摸到的球的颜色正好相同的概率为16 = 8．
8．（2026·陕西西安·一模）国家邮政局发布：2025 年纪特邮票发行计划（第一批）共 21 套、其中 2025 年
3 月 14 日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是 4 枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片 A，卡片 B，卡片 C；卡片 D 四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）．
小文从中随机抽取一张，抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的概率是；
小文从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率．
4
【答案】(1)1
6
(2)1
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，共有 4 种等可能的结果，其中抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的结果有 1 种，
1
∴抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的概率为4．
（2）解：画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中恰好抽到卡片 A 和 D 的有 2 种，
21
∴所求的概率为12即6．
9．（2026·陕西西安·二模）在观看了 2025 年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知 识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取 20 名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用?表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60 分，共分为四组：A．90 ≤ ? ≤ 100，B．80 ≤ ? < 90，
C．70 ≤ ? < 80，D．60 ≤ ? < 70，得分在 90 分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级 20 名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，
98，99，100，100．
九年级 20 名学生竞赛成绩在 B 组的数据是：82，83，85，86，87，88．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
年级
平均数
众数
中位数
方差
八年级
88
?
90
10.3
九年级
88
94
?
11.0
(1)上述图表中的? = ，? = ，? = ；
根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
若该校八年级有 800 名，九年级有 700 名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
【答案】(1)93，87.5，30
八年级学生的知识竞赛成绩更好，理由见解析；
估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有 755 人．
【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可；
根据中位数、方差的意义求解即可；
八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数所占比例，相加即可．
【详解】（1）解：根据数据，八年级 20 名学生的竞赛成绩中，93 出现次数最多，所以众数? = 93，
由题知，九年级 20 名学生竞赛成绩在 B 组的数据有 6 个，
6
所以占20 × 100% = 30%，则? = 30，
根据扇形图可知，竞赛成绩在 C、D 占1−30%−45% = 25%，共20 × 25% = 5名学生，又 20 名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第 10、11 位的平均值，
所以中位数? = 87+88 = 87.5，
2
故答案为：93；87.5；30．
解：八年级学生的知识竞赛成绩更好，
理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级．
11
解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占20 × 100% = 55%，
又八年级有 800 名，所以知识竞赛成绩达到优秀有800 × 55% = 440（人）；九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占45%，
又九年级有 700 名，所以知识竞赛成绩达到优秀有700 × 45% = 315（人）； 440 + 315 = 755（人）．
答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有 755 人．
10．（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿
报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分 100 分）中各随机抽取了 10 名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中的? = ，? = ，?12?22（填“ > ”“ < ”或“ = ”）；
根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；
该校七年级 200 名学生和八年级 160 名学生参加了本次环保知识竞赛，得分 90 分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．
【答案】(1)93.2；96.5； 101，
∴中位数应该是第 100 个数和第 101 个数的平均数，
∴中位数在 C 组，
即抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别 C 组；
根据题意列表
由上表可知，共有 12 种情况，并且它们出现的机会均等，其中都是一男一女的有 8 种，
男 1
男 2
女 1
女 2
男 1
男 2，男 1
女 1，男 1
女 2，男 1
男 2
男 1，男 2
女 1，男 2
女 2，男 2
女 1
男 1，女 1
男 2，女 1
女 2，女 1
女 2
男 1，女 2
男 2，女 2
女 1，女 2
所以，恰好分组是一男一女的概率? = 8
12
2
= 3．