2026年中考数学二轮复习 专题04 四边形综合(重难专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题04 四边形综合(重难专练)，共7页。试卷主要包含了平行四边形的判定与性质；，矩形，灵活应用等内容，欢迎下载使用。
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模块说明：
近三年：中考数学中四边形综合考点主要考向分为四类：
一、平行四边形的判定与性质（每年 1˜2 道，6˜10 分）；
二、矩形、菱形、正方形的判定与性质（每年 1˜2 题，8˜12 分）；三、四边形与三角形、全等/相似的综合（每年 1 道，8˜12 分）；四、四边形与函数、动点的综合（每 1˜2 年 1 道，10˜14 分）
考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为中档综合题，常作为几何压轴题的重要组成部分，难度中等偏上．
预测 2026 年：四边形综合仍是中考数学几何核心考点，全国统一命题趋势下，侧重考查特殊四边形的判
定与性质综合，强化与全等、相似、函数、动点的融合应用。命题更注重数形结合、转化思想，强调图形识别与辅助线构造能力，考生需熟练掌握各类四边形的核心性质与判定方法，牢记常见综合模型，提升图形分析和推理计算能力，做到举一反三、灵活应用。
考向 01平行四边形
题型 1 平行四边形的判定与性质
1、核心判定定理（中考必考）：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；
2、核心性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分；平行四边形的对边平行可用于转化角（同位角、内错角相等），对角线互相平分可用于转化线段长度；
3、应用思路：①由平行四边形的性质得出边、角、对角线的关系；②结合三角形全等、勾股定理、平行线性质，解决线段求值、角的计算、证明等问题；③延伸应用：平行四边形的面积=底×高，同底等高的平行四边形面积相等。
1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在 △ ???中，∠??? = 90°，?是??的中点，过点?，?分别作
?? ∥ ??，?? ∥ ??．若?? = 6，?? = 8，则四边形????的面积是（ ）
A．20B．22C．24D．48
【答案】C
【分析】由?? ∥ ??，?? ∥ ??，可得出四边形????为平行四边形，故????? = 2?△???，
由中点的性质，可得出?△??? = ?△??? = 2?△???，故求出?△???即可得出最后结果．
【详解】解：∵?? ∥ ??，?? ∥ ??，
∴四边形????为平行四边形，又∵??为对角线，
∴????? = 2?△???，
∵?是??的中点，
1
∴?△??? = ?△??? = 2?△???，
∴∠??? = 90°，?? = 6，?? = 8，
1
∴?△??? = 2 × 6 × 8 = 24，
∴????? = 2?△??? = 2 × 2?△??? = ?△??? = 24．
2．（2026·陕西西安·三模）如图，在平行四边形????中，?? = 4 2，?? = 2，∠??? = 135°．若?、?分
1
1
别是边??、??上的动点，且?? = ??，作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，垂足分别为?、?，则?? + ??的值为
．
4 13
【答案】 13
【分析】首先根据平行四边形的性质得到?? ∥ ??，?? = ??，从而得到∠??? = ∠???．接着利用三角函数或面积法证明?? + ??等于点?到??的距离．最后通过构造直角三角形，利用勾股定理求出??的长，利用面积法求出点?到??的距离即可．
【详解】解： ∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? ∥ ??，?? = ?? = 2，
∴ ∠??? = ∠???．
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90∘．
在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ sin∠???．在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ sin ∠???．
∴ ?? + ?? = ?? ⋅ sin ∠??? + ?? ⋅ sin ∠??? = (?? + ??)sin ∠???．
∵ ?? = ??，
∴ ?? + ?? = ?? + ?? = ??．
∴ ?? + ?? = ?? ⋅ sin ∠???．
过点?作?? ⊥ ??于点?，则?? = ?? ⋅ sin ∠???．
∴ ?? + ?? = ??．即?? + ??的值等于点?到??的距离．过点?作?? ⊥ ??交??的延长线于点?．
∵ ∠??? = 135∘， ∴ ∠??? = 180∘−135∘ = 45∘．在Rt △ ???中，?? = ?? = 2，
2
∴ ?? = ?? = ?? ⋅ cs 45° = 2 × 2 = 2．
∴ ?? = ?? + ?? = 4 2 + 2 = 5 2．
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =(5 2 )2 + ( 2 )2 = 50 + 2 = 52 = 2 13．
11
∵ ?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??，
∴ 4 2 × 2 = 2 13 × ??．
∴ 8 = 2 13??．
∴ ?? = =
13
4
4 13
13 ．
∴ ?? + ?? =
4 13
13 ．
故答案为：4 13．
13
3．（2026·福建泉州·一模）如图，??是 △ ???中??边上的中线，??与??相交于点 E，且?? = ??，??∥
??．
(1)求证：四边形????为平行四边形；
(2)若?? = ?? = 5，?? = 6，求△ ???的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质、三角形中线的定义得到?? = ??，根据平行四边形的判定即可得到结论；
（2）证明△ ???是直角三角形，且∠??? = 90°， 根据直角三角形的性质和勾股定理求出相应的边长，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵??∥??，
∴∠??? = ∠???，
又∵?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??，
∵??是 △ ???中??边上的中线，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∴四边形????为平行四边形；
（2）解：∵?? = ?? = 5，?? = ??，
∴?? = ?? = ?? = 2??，?? = 10，
∴点 A，B，C 都在以??为直径的圆上，
∴ △ ???是直角三角形，且∠??? = 90°，
1
∴?? =??2−??2 = 8，
∴?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 8 × 6 = 24．
1
1
4．（2026·陕西渭南·一模）如图，在▱????中，点 E、F 分别在??、??边上，连接??、??，有下列三个选项：①?? = ??，②∠??? = ∠???，③?? = ??．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法）
(1)你选的补充条件为、，结论为；（填序号即可） (2)根据第（1）问的选择，证明你的结论．
【答案】(1)①，②；③；（②，③；①）
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
根据全等三角形的判定选择即可
根据选择的条件进行证明△ ???≌ △ ???，即可求证．
【详解】（1）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③；解法二，选的条件为②，③，结论为①．
（2）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③，证明， ∵ 四边形????为平行四边形，
∴ ∠? = ∠?，
在△ ???和 △ ???中，
∠? = ∠?
?? = ??
∠??? = ∠???
，
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??；
解法二，选的条件为②，③，结论为①，证明， ∵ 四边形????为平行四边形，
∴ ∠? = ∠?，
在△ ???和 △ ???中，
∠? = ∠?
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??．
5．（2026·安徽合肥·一模）已知：如图 1，在△ ???中，∠??? = 90°，??为??边上的高，??平分∠???，分别交??，??于点 F，E．
(1)求证：?? = ??；
(2)若?? = 6，?? = 3，求??的长；
(3)如图 2，在??上取点 G 使?? = ??，连接??，求证：??∥??．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 5
(3)见解析
【分析】（1）可证∠??? = ∠???，从而?? = ??；
（2）先证△ ??? ∽△ ???，得出=，即=，设?? = ?，则?? = 2?，在Rt △ ???中，??2 +?
??
??
63
????????
?2 = ??2，据此列方程求解即可；
（3）在??上截取?? = ??，连接??，先证 △ ???≌ △ ???，根据全等三角形的性质得∠??? = ∠???，
?? = ??，从而可证四边形????为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵??为??边上的高，
∴∠??? = 90°，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴在△ ???和△ ???中，∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???， 又∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??；
（2）解：∵∠??? = 90°，?? ⊥ ??，
∴∠??? + ∠??? = 90°，∠? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠?，
又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，即?? = ??，
∴?? = 2??，
设?? = ?，则?? = 2?，
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴ 62 + (? + 3)2 = (2?)2，解得∴ ? = 5或−3（舍负），
∴ ?? = ? = 5；
（3）证明：在??上截取?? = ??，连接??，如图，
??
??63
在△ ???和△ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???，?? = ??，由（2）知∠??? = ∠?，
∴∠??? = ∠?，
∴??∥??，
由（1）知?? = ??，
又∵?? = ??，?? = ??，
∴?? = ??，
∴四边形????为平行四边形，
∴??∥??．
考向 02特殊平行四边形
题型 2 矩形的判定与性质
1、核心判定（矩形是特殊平行四边形，需先满足平行四边形条件或直接判定）：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；
2、核心性质：矩形具有平行四边形的所有性质，且四个角都是直角、对角线相等；矩形的对角线相等且互相平分，可得出直角三角形斜边中线等于斜边的一半（重要衍生性质）。
3、易错点：判定矩形时，未先证明是平行四边形（如仅对角线相等的四边形不是矩形）；忽略矩形的直角性质，无法结合勾股定理计算；误用“矩形的对角线互相垂直”（矩形对角线垂直时是正方形）。
1．（2026·浙江台州·一模）如图，在 △ ???中，∠? = 90°．将△ ???向右平移得到 △ ?1?1?1，点 B，
?1，C，?1在同一直线上，边?1?1与边??交于点 G．若??1 = 3，?1? = 2，则??的长为（ ）
10
3
A．
B．2
C．
D．5
13
【答案】C
【分析】根据平移的性质求得四边形???1?1是矩形，??1 = ??1 = 3，∠??1? = 90°，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由平移的性质得??1 = ??1 = 3，?? = ?1?1，??∥?1?1，
∵∠? = 90°，
∴四边形???1?1是矩形，
∴??1 = ??1 = 3，∠??1? = 90°，
∵?1? = 2，
∴?? =??12 + ?1?2 =32 + 22 = 13．
2．（2026·山西太原·模拟预测）如图，在四边形????中，??∥??，∠??? = 90°，对角线??平分∠???，且?? = 2，?? = 3．点?是??上一点，连接??，若?? = ??，则 △ ???的面积为．
9
【答案】8
【分析】已知??平分∠???，∠??? = 90°，?? = 3，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，构造辅助线，过点?作?? ⊥ ??于点?，可得到?? = ?? = 3，要求△ ???的面积，底边??上的高??已求得，则只需求得??的长即可，构造全等三角形，过点?作?? ⊥ ??，交??的延长线于点?，易证四边形????是矩 形，可得?? = ?? = 3，?? = ??，结合平行线的性质即可证明△ ???≌ △ ???(AAS)，从而得到
?? = ??，?? = ??，由等腰三角形三线合一即可得到?? = ??，设?? = ?? = ?，则
?? = ?? = ?? = ??−?? = ?−2，在Rt △ ???中，由勾股定理得，??2 +??2 = ??2，列方程求解即可得解．
【详解】解：如图，过点?作?? ⊥ ??，交??的延长线于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 90°，即?? ⊥ ??，
∴ ?? ∥ ??，
∵ ?? ∥ ??，
∴ 四边形????是矩形，∠??? = ∠???，
∴ ?? = ?? = 3，?? = ??，
∵ ??平分∠???，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ?? = ?? = 3，
∴ ?? = ?? = 3，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠??? = 90°
∠??? = ∠???，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，?? ⊥ ??，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = ??，
4 ，
设?? = ?? = ?，则?? = ?? = ?? = ??−?? = ?−2，在Rt △ ???中，由勾股定理得，??2 +??2 = ??2， 即32 + (?−2)2 = ?2，解得? = 13
13
∴ ? = 4 ，
13
135
∴ ?? = 4 ，?? = ?? = ?−2 =
4 −2 = 4，
13 5 53
∴ ?? = ??−??−?? =
4 −4−4 = 4，
∴△ ???的面积为2??·?? = 2 × 4 × 3 = 8．
1
13
9
3．（2026·陕西西安·模拟预测）小聪和小兰想测量学校实验楼的高度，他们制作了测量工具：将两根互相垂直的标杆??、??固定在点?(?? ⊥ ??)，并在 M 处安装测角仪．测量时，调整工具位置，使?? ⊥ ??
（??为地面），此时，从点 M 测得实验楼顶端 A 的仰角为45°，实验楼顶端 A 的影子恰好与标杆??的影子
【答案】实验楼??的高度为7.8米．
【分析】延长??交??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，易证四边形????是矩形，四边形????是矩形，得到?? = ?? = 2米，?? = ?? = ?? = 1.8米，?? = ??，∠??? = 90°，证明△ ???是等腰直角三角
3
形，得到?? = ??，由tan∠??? = ?? = tan∠? = 4，即可求解．
【详解】解：延长??交??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，
??
∵?? ⊥ ??,?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
同理，四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 2米，?? = ?? = ?? = 1.8米，?? = ??，∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
∵∠??? = 45°，
∴∠??? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ??，
∵?? = 4.4米，
∴?? = ??−?? = 2.4（米），
顶端 Q 重合（A、P、Q 三点共线），若??为 4.4 米，??为 1.8 米，??为 2 米，请根据以上数据，求实验楼??的高度．
在Rt △ ???中，tan∠? = ?? = 2.4 = 4，
∵四边形????是矩形，
∴??∥??，即??∥??，
∴∠??? = ∠?，
??1.8
3
∴在Rt △ ???中，tan∠??? = ?? = tan∠? = 4，
设?? = ?? = ?米，则?? = ?? + ?? = (? + 2)米，
3
??
3
∴?+2 = 4，
∴? = 6，即?? = 6米，
∴?? = ?? + ?? = 7.8（米）．答：实验楼??的高度为7.8米．
?
4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）在四边形????中，?? ∥ ??，∠? = 90°，?? = 12，?? = 8，?? > ??，
∠???的平分线交边??于点 E，点 F 在线段??上，射线??与四边形????的边??或边??交于点 G．
如图 1，求证?? = ??；
如图 2，若点 G 在边??上，连接??，当?? = 4，且∠??? = 90°，求∠???的度数；
当 F 是??中点，且?? = 3时，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)67.5°
(3)9 或30 + 12 2
【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义证明∠??? = ∠???，即可证明结论；
（2）过点 C 作?? ⊥ ??于点 M，证明四边形????为矩形，再证明Rt △ ??? ∽△ ???，求出?? = 16，进而推出∠??? = 45°，即可求解；
（3）分点?在??上和点?在??两种情况讨论即可．
【详解】（1）解： ∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???．
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???．
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??；
（2）解：过点 C 作?? ⊥ ??于点 M，如图，
∵ ?? ∥ ??，∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°．
∵ ?? ⊥ ??，
∴ 四边形????为矩形，
∴ ?? = ?? = 8．
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 90°−∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
??
??
??8
∴ ?? = ??，即 8 = 4，
∴ ?? = 16，
∴ ?? = ??−?? = 8,?? = ??−?? = 8．
∴ ?? = ??，
∴ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = 45°．
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 67.5°；
（3）解：①当点 G 在??上时，如图，由（1）知：?? = ??．
∵ ?是??中点，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???．
∴ ?? = ??．
∵ ?? = 3，?? = 12，
∴ ?? = 9，
∴ ?? = ?? = 9；
当点 G 在??上时，连接??,??，延长??,??交于点 N，如图，由（1）知：?? = ??，
∵ ?是??中点，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ??为??的垂直平分线，
∴ ?? = ??．
∴ ??2 = ??2，
∴ ??2 +??2 = ??2 +??2，即32 + 122 = 52 +??2，解得：?? = 8 2．
∵ ?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??3??
∴ ?? = ??，即5 = ??，
??
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??
∠??? = ∠??? = 90°
，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??．
设?? = ?，则?? = ?? + ?? = ? + 8 2，?? = ??−?? = ??−?? = ?−12，
?−12
∴ 5 = ?+8 2，
解得：? = 30 + 12 2，
3
经检验，? = 30 + 12 2是原分式方程的解，
∴ ?? = 30 + 12 2．
综上，??的长为 9 或30 + 12 2．
5．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边??长均为4dm．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动．
【动手操作】步骤如下：
第一步：如图①，将矩形纸片????对折、使边??,??重合，展开后折痕与??交于点 F．
第二步：如图②，在??上取一点 E，沿??折叠矩形????，点 A 的对应点为 G．延长??交??于点 H，将纸片沿过点 H 的直线折叠．使点 C 的对应点落在??所在直线上，折痕与??交于点 M．
(1)求证：?? = ??．
【初步感知】
A 小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点 E 与点 D 重合时，此时点 F、G、M 三点在一条直线上．
求??的长．
【应用创新】
如图④，B 小组的同学们选用了?? = 2dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点 E），且第二步折叠中，过点 H 的折痕与??交于点 M，把纸片展开后，连接??．当 △ ???为直角三角形时，则??的长为．
【答案】(1)见解析
(2)4 2
(3)2 2dm或 6dm
【分析】（1）连接??，根据折叠的性质得到?? = ?? = ??，再证明Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)即可；
（2）证明△ ???≌ △ ???，则?? = ?? = ?? = 2，再对Rt △ ???运用勾股定理求解即可；
（3）当∠??? = 90°时，可得四边形????是矩形，则?? = ?? = 2dm，然后可得 △ ???为等腰直角三角形，则?? =??2 + ??2 = 2 2dm；当∠??? = 90°时，连接??，过点?作?? ⊥ ??于点?，先得到
?,?,?三点共线，求出?? = ?? + ?? = 1 + 2 = 3，则?? =??2−??2 = 2 2 = ??，再证明
△ ??? ∽△ ???，设?? = ?，则?? = 2 2−?，根据相似三角形的性质求解? = 2，最后由勾股定理求
解得到?? =??2 + ??2 = 6．
【详解】（1）证明：连接??，如图②：
由第一次折叠可得，?? = ??，
∵四边形????是矩形，
∴∠? = ∠? = 90°
由第二次折叠可得，?? = ??,∠? = ∠??? = 90°
∴∠??? = 180°−∠??? = 90° = ∠?，?? = ??
∵?? = ??，
∴Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴?? = ??；
（2）解：连接??，如图③：
由②得，∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°
∵矩形????，
∴∠? = 90°，?? = ?? = 4，?? = ??
∴∠??? = ∠? = 90°
由折叠可得，∠??? = ∠???
∵?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)
∴?? = ??，
由（1）得，Rt △ ???≌Rt △ ???
∴?? = ??
1
∴?? = ?? = 2?? = 2
∴?? = 2，
由折叠可得，?? = ?? = 4
∴?? = ?? + ?? = 6，
∴?? =??2−??2 = 4 2，
∴?? = 4 2；
（3）解：当∠??? = 90°时，
∴∠??? = 180°−∠??? = 90°
∵矩形????，
∴∠? = ∠? = 90°
∴∠? = ∠? = ∠??? = 90°
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 2dm，∠??? = 90°
∴∠??? = 90°，
由折叠可得，??平分∠???
∴∠??? = 45°，
∴ △ ???为等腰直角三角形，
∴?? =??2 + ??2 = 2 2dm；
当∠??? = 90°时，连接??，过点?作?? ⊥ ??于点?，
则∠??? = ∠??? = 90°，
∵折叠，
∴∠??? = ∠???，∠? = ∠??? = 90°
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴?,?,?三点共线，
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
同上可证明四边形????为矩形，
∴?? = ?? = 2，?? = ??
∴?? = 2，
由折叠可得，?? = ??，
由（1）得，Rt △ ???≌Rt △ ???
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ?? = 2?? = 1
∴?? = ?? + ?? = 1 + 2 = 3
1
∴?? =??2−??2 = 2 2 = ??，
∵Rt △ ???≌Rt △ ???
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
又∵∠??? + ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°
∴∠??? = 2(∠??? + ∠???) = 90°
∵∠? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°−∠???
∴ △ ??? ∽△ ???
??
∴?? = ??，
设?? = ?，则?? = 2 2−?
??
∴? =
1
2 2−?
2
，
解得? = 2
∴?? =??2 + ??2 = 6，
综上：当△ ???为直角三角形时，则??的长为2 2dm或 6dm．
题型 3 棱形的判定与性质
1、核心判定（菱形是特殊平行四边形，需先满足平行四边形条件或直接判定）：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形；
2、核心性质：菱形具有平行四边形的所有性质，且四条边都相等、对角线互相垂直且平分一组对角；菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半（中考高频考点）；
3、易错点：判定菱形时，未先证明是平行四边形（如仅对角线垂直的四边形不是菱形）；计算面积时，混淆“对角线乘积”与“对角线乘积的一半”；忽略菱形对角线平分对角的性质，无法转化角的度数。
1．（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平行四边形????中，?? > ??，以点?为圆心，??的长为半径画弧，
1
与??交于点 F，然后分别以点?，F 为圆心，大于2??的长为半径画弧，两弧交于点?，连接??并延长，交
??于点 E，若?? = 6，?? = 4，则??的长为（ ）
7
7
A．
B．2
C．5D．10
【答案】B
【分析】连接??，根据尺规作图可得?? = ??，??平分∠???，证明????是菱形可得?? ⊥ ??,
?? = ?? = 2??,?? = ?? = 2?? = 3，再运用勾股定理可得?? = 2 7，进而可求出??的长．
【详解】解：如图所示：连接??，??交??于点 0，
1
1
由题中作图可知：?? = ??，??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵四边形????是平行四边形，
∴ ?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴ ?? = ?? = ??，
∵ ??∥??
∴四边形????是平行四边形，
∵?? = ??，
∴四边形????是菱形，
∴?? ⊥ ??,?? = ?? = 2??,?? = ?? = 2?? = 3，
在Rt △ ???中，
∵??2 = ??2−??2，
∴?? =??2−??2 =42−32 = 7，
∴?? = 2?? = 2 7．
1
1
2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图．在 △ ???中，∠? = 90°，点?,?分别在??,??上，连接??．将 △ ???
沿??折叠，使点?落在??边上的点?处．若?? ⊥ ??，?? = 4,?? = 3，则线段??的长是．
【答案】
16
9
【分析】根据∠? = 90°，?? ⊥ ??，得出?? ∥ ??，则∠??? = ∠???，由折叠的性质得：?? = ??，
?? = ??，∠??? = ∠???，则∠??? = ∠???，证出?? = ?? = ?? = ??，则四边形????是菱形，即可得
????
?? ∥ ??，证出△ ??? ∽ △ ???，则?? = ??， 在Rt △ ???中，由勾股定理求出?? = 5，设?? = ?，则
16
?? = ?? = 4−?，列方程求出?，即可求解 9 ．
【详解】解：∵∠? = 90°，?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
由折叠的性质得：?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ?? = ??，
∴四边形????是菱形，
∴?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽ △ ???，
??
∴?? = ??，
在Rt △ ???中，由勾股定理得?? =??2 + ??2 =42 + 32 = 5，设?? = ?，则?? = ?? = 4−?，
??
则4 = 5 ，
16
解得：? = 9 ，
16
∴??的长为 9 ．
?4−?
3．（2026·宁夏银川·一模）如图，矩形????中，??是对角线??的垂直平分线，连接??、??，且?? = 4、
?? = 8．证明四边形????是菱形并求面积．（提示：证??平分??）
【答案】证明见解析；20
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，菱形面积的计算公式．根据题意证明△ ???≌ △ ???(AAS)，先证明四边形????是平行四边形，再根据?? ⊥ ??证明四边形
????是菱形；根据菱形的性质得到?? = ??，设?? = ?? = ?，则?? = 8−?，根据在Rt △ ???中，??2
+??2 = ??2，得到42 + (8−?)2 = ?2，解得? = 5，根据?菱形???? = ?? ⋅ ??即可得到答案．
【详解】证明： ∵ 矩形????，
∴ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??垂直平分??，
∴ ?? = ??,?? ⊥ ??，在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??
∠??? = ∠???
，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ 四边形????是菱形，
∴ ?? = ??，
设?? = ?? = ?，则?? = 8−?，
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，即42 + (8−?)2 = ?2，
解得? = 5，
故?? = ?? = 5，
∴ ?菱形???? = ?? ⋅ ?? = 4 × 5 = 20．
4．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形????中，??、??相交于点?，?为??的中点，连接??并延长至点?，使?? = ??，连接??和??．
(1)求证：四边形????是菱形；
(2)若?? = 4 5，?? = 6，求菱形????的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12 5
【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形????是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果；
（2）利用矩形的性质结合三角形中位线定理得出?? = ?? = 2??，利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵点?为??的中点，且?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，
∵四边形????是矩形，
∴ ?? = ??，
∴四边形????是菱形；
（2）解：∵四边形????是矩形，且?? = 6，
∴?? = ?? = 6，?? = ??，又∵点?为??的中点，
∴??是 △ ???的中位线，
1
∴?? = 2??，
∴?? = ?? = 2??，
∴?? = ??，
1
1
∵?? = 4 5，
∴?? = ?? = 4 5，
由（1）可知：四边形????是菱形，
1
∴菱形????的面积为：2?? ⋅ ?? = 2 × 4 5 × 6 = 12 5．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌
1
握菱形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．
5．（2026·河南南阳·一模）九年级（1）班学生在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
(1)【观察猜想】
如图 1， △ ???是等边三角形，点?在边??上，将线段??绕点?顺时针旋转60°得到??，连接??，??，请直接写出线段??与线段??的数量关系：，∠??? = ；
(2)【类比探究】
如图 2，在菱形????中，∠??? = 60°，点?为线段??上一动点，点?为射线??上的一点（点?与点?不重合）．
①如图 3，当点?在线段??上，且∠??? = 60°，∠??? = 30°时，以线段??为边作等边三角形???，连接
??，请判断线段??与线段??的数量关系，并说明理由；
②在点?运动过程中，将线段??绕点?逆时针旋转120°得到??，射线??交射线??于点?，若?? = 2??，
?? = 5，请直接写出线段??的长．
【答案】(1)?? = ??，∠??? = 120°
10
(2)①?? = 2??，理由见解析；②2或 3
【分析】（1）证明 △ ???≌ △ ???(SAS)得出?? = ??，∠? = ∠??? = 60°，进而求得∠???；
（2）根据菱形的性质以及∠??? = 60°，得出△ ???是等边三角形，证明 △ ???≌ △ ???(SAS)，再证明
∠??? = 90°，进而根据含 30 度角的直角三角形的性质，即可求解；
（3）分情况讨论，当?在线段??上，记??与??交于点?，证明 △ ??? ∽△ ???， △ ??? ∽△ ???，根据
相似三角形的性质结合已知可得?? = 5??；当?在线段??上时，延长??交??于点?，同理可得?? = 3
??，即可求解．
【详解】（1）解： ∵ △ ???是等边三角形，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°，∠? = ∠??? = 60°，由旋转可得，?? = ??，∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，∠? = ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 120°；
（2）①?? = 2??，理由如下：
∵ 在菱形????中，∠??? = 60°，
∴?? = ??，
2
2
∴ △ ???是等边三角形，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°，
∵ △ ???是等边三角形，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = ∠???，∠??? = 180°−∠??? = 120°，在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = 120°，
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = 120°−60° = 60°，
∵ ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ?? = 2??，
∴ ?? = 2??；
②如图，当?在线段??上，记??与??交于点?，
∵四边形????是菱形
∴??∥??，∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠???，∠??? = 120°
∵将线段??绕点?逆时针旋转120°得到??，
∴∠??? = ∠??? = 120°
∴ △ ??? ∽△ ???
??
??
??
??
∴?? = ??，即?? = ??，
∵?? = 2??，
??2
∴?? = 3，
又∵??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
??
??
2??
∴?? = ?? = 3 = ??，
2
∴?? = 3 × 5 = 3 ；
2
??
??
??
同理可得?? = ?? = 2 = ??，
∴?? = 3??，
∵?? = ?? = 5，
10
??
∴?? = 2，
∵BE = 2FG，
2
∴?? = 5 × 5 = 2；
②如图，当?在线段??上时，延长??交??于点?
2
∴?? = 5??，
∵?? = ?? = 5，
题型 4 正方形的判定与性质
1、核心判定（正方形是特殊矩形、特殊菱形，可从矩形或菱形入手判定）：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；
2、核心性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互相垂直平分，对角线与边的夹角为 45˚；
3、易错点：判定正方形时，条件不完整（如仅邻边相等或仅直角，未结合平行四边形）；忽略正方形的对称性（既是中心对称图形，也是轴对称图形）；计算时混淆正方形与矩形、菱形的面积公式。
1．（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为6的正方形????中，点?是边??的中点，连接??，以点?旋转中心将线段??顺时针旋转90°，得到线段??，连接??，??交边??于点?，?，则??的长为（ ）．
53
A．3B．2C．2D．2
【答案】B
【分析】过点?分别作??、??的垂线，交??的延长线于点?，交??于点?，容易证明 △ ???≌ △ ???
(AAS)，则?? = ?? = 6，?? = ?? = 3．容易证明四边形????是正方形，则?? = ?? = ?? = ?? = 3 = ??，
?? ∥ ??．通过证明△ ???≌ △ ???(AAS)可得
13????
，利用平行可证明△ ??? ∽△ ???，则=
1
= 2，计算得?? = 1，最后相加即可．
?? = 2?? = 2
??
??
【详解】解：如图，过点?分别作??、??的垂线，交??的延长线于点?，交??于点?，
由旋转的性质可知，?? = ??，∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∵四边形????是正方形，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，?? = ?? = ?? = ?? = 6，?? ∥ ??，
∴∠??? + ∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵点?是边??的中点，
1
∴?? = ?? = 2?? = 3，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ?? = 6，?? = ?? = 3，
∴?? = ??−?? = 3，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∵?? = 3 = ??，
∴四边形????是正方形，
∴?? = ?? = ?? = ?? = 3 = ??，?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???和△ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
3
∴?? = ?? = 2?? = 2，
∵?? = 6，?? = 3，
∴?? = ??−?? = 3，
∵?? ∥ ??，?? ∥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
1
1
∴?? = ?? = 6 = 2，
∴?? = 3?? = 1，
5
∴?? = ?? + ?? = 2．
????3
1
2．（2026·河南驻马店·一模）如图，点 D 在圆心角为90°的扇形???的半径??上，矩形????与??交于点
E，?? ⊥ ??于点 F，若?? = ?? = 1，则图中阴影部分的面积是．
【答案】 2−1/−1 + 2
【分析】连接??，如图，先证明四边形????和四边形????都为矩形，再证明四边形????为正方形，可知∠??? = ∠??? = 45°，?△??? = ?△???，?? = 2?? = 2，然后利用图中阴影部分的面积 = ?矩形????进行计算．
【详解】解：连接??，如图，
∵四边形????为矩形，
∴∠??? = ∠??? = ∠? = ∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴四边形????和四边形????都为矩形，
∵?? = ?? = ?? = 1，
∴四边形????为正方形，
∴∠??? = ∠??? = 45°，?△??? = ?△???，?? = 2?? = 2，
∴?扇形??? = ?扇形???，
∴由??、??和弧??所围成的图形的面积 = 由??、??和弧??所围成的图形的面积，
∴图中阴影部分的面积 = ?矩形???? = ( 2−1) × 1 = 2−1．
3．（2025·江西抚州·二模）如图，将图 1 的七巧板，拼成图 2 所示的平行四边形，则tan∠???的值为
．
【答案】 /0.5
1
2
【分析】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，三角函数．
在图 1 中连接??，证明四边形????是正方形，得到∠??? = 90°，?? = ??，在图 2 中可得
∠??? = 90°，?? = ?? = ??，根据三角函数计算即可．
【详解】解：如图 1，连接??，
由七巧板可知，?? = ?? = ??，?? ∥ ??，∠??? = 90°，
∴四边形????是平行四边形，
∵∠??? = 90°，
∴平行四边形????是矩形，
∵?? = ??，
∴矩形????是正方形，
∴∠??? = 90°，?? = ??，
如图 2，连接??、??，则∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
由七巧板可知，?? = ??，则?? = ?? = ??，
1
∴tan∠??? = ??+?? = 2．
1
故答案为：2．
??
4．（2026·江苏盐城·一模）如图，在▱????中，?? = ??，点?是边??的延长线上的一点．连接??，过点
?作?? ⊥ ??于点?，交??于点 G，且∠? = ∠???．
(1)求证：四边形????是正方形；
(2)当点 F 是??的中点，且?? = 4 2时，求四边形????的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)16
【分析】（1）根据四边形????是平行四边形，?? = ??得平行四边形????为菱形，再根据?? ⊥ ??，
∠? = ∠???，可以证明∠??? + ∠??? = 90°，从而得出∠??? = 90°，由此即可得出结论；
（2）连接??、??，根据?? ⊥ ??于点?，点?为??的中点得??为线段??的垂直平分线，则?? = ?? = 8 2，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】（1）证明： ∵ 四边形????是平行四边形，?? = ??，
∴ 平行四边形????为菱形，
∵?? ⊥ ??，
∴∠? + ∠??? = 90°，又∵∠? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 180−(∠??? + ∠???) = 90°，
∴ 菱形????为正方形．
（2）解：连接??、??，如图所示：
∵ ?? ⊥ ??于点?，点?为??的中点，
∴ ??为线段??的垂直平分线，
∴ ?? = ?? = 4 2，
∵ 四边形????为正方形，
∴?? = ?? = 4 2，
∴ 正方形????的面积 = 2??·?? = 2 × 4 2 × 4 2 = 16．
1
1
5．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，正方形????中，点?在对角线??上．
(1)求作正方形????，使得?为正方形????的中心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，求证：??2 +??2 = 2??2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作?? = ??，交??延长线于点 G，然后尺规作出??的垂直平分线，然后截取?? = ?? = ??
即可；
（2）根据题意证明出△ ???≌ △ ???(SAS)，得到?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，正方形????即为所求；
（2）证明：连接??，
∵四边形????是正方形，
∴?? = ??，∠??? = 90°，∠??? = ∠??? = 45°
∵四边形????是正方形，??和??相交于点?
∴?? = ??，∠??? = 90°，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴在Rt △ ???中，由勾股定理得??2 +??2 = ??2
又∵在Rt △ ???中，由勾股定理得??2 = ??2 +??2 = 2??2
∴??2 +??2 = 2??2．
6．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形????中，点 E，F 分别是边??,??上的动点（不包含端点），
?? ⊥ ??于点 G，?? ⊥ ??于点 M，?? = ??．
如图 1，求证： △ ???≌ △ ???．
如图 2，过点 E 作?? ⊥ ??分别交??,??于点 H，N．
①求证：四边形????为正方形；
②求证：?? + ?? = ??；
③若?? = 1，请直接写出??的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析；③3 ≤ ?? < 1
【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到∠? = ∠? = 90° = ∠???，根据等角的补角相等得到
2
∠??? = ∠???，根据AAS即可证明 △ ???≌ △ ???；
（2）①根据?? ⊥ ??，?? ⊥ ??得到∠??? = ∠??? = ∠? = 90°，根据正方形的性质得到
?? = ??,∠? = 90°，根据△ ???≌ △ ???得到?? = ??，进而得到?? = ??，即可证明四边形????为正方形；
②延长??交??于点 K，根据正方形的性质得到∠? = ∠? = 90°，∠??? = ∠??? = 90°，根据矩形的性质得到?? = ?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，根据全等三角形的性质得到?? = ??，∠??? = ∠???，进而得到?? = ??，证明△ ???≌ △ ???，得到?? = ??，即可证明?? + ?? = ??；
1
③取??中点 0，连接??，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到?? = 2??，延长??交??于
P，则四边形????是矩形，得到∠??? = 90°，?? = ??，根据正方形的性质得到?? = ??，进而得到
?? = ??，证明 △ ???≌ △ ???(ASA)，得到?? = ?? = 1−??，可知0 ≤ ?? ≤ 1，根据?? ≥ ??得到
2
?? ≥ 3，即可得到??的取值范围．
【详解】（1）解：∵正方形????，?? ⊥ ??
∴∠? = ∠? = 90° = ∠???
∵?? ⊥ ??
∴∠??? + ∠??? = 360°−∠???−∠? = 180°
∵∠??? + ∠??? = 180°
∴∠??? = ∠???
在△ ???和△ ???中，
?? = ??
∠? = ∠???
∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)；
（2）①证明：∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠? = 90°，
∴四边形????为矩形，
∵四边形????为正方形，
∴?? = ??,∠? = 90°
∵ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，
∴?? = ??．
∴四边形????为正方形；
②证明：延长??交??于点 K，
∵四边形????为正方形，
∴∠? = ∠? = 90°．
又∵四边形????为正方形，
∴∠??? = ∠??? = 90°．
∵四边形????为矩形，
∴?? = ?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°
∵ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??，
∴?? + ?? = ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ?? = ?? = ??；
③解：取??中点 0，连接??，
∵∠??? = 90°
1
∴?? = 2??
延长??交??于 P，
∴四边形????是矩形，
∴∠??? = 90°，?? = ??，
∵四边形????为正方形，
∴?? = ??
∴?? = ??
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??
∠??? = ∠???
，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ?? = 1−??，
∴0 ≤ 1−?? ≤ 1
∴0 ≤ ?? ≤ 1
∵?? ≥ ??，
∴2?? ≥ 1−??
∴?? ≥ 3
∴3 ≤ ?? < 1
1
2
2
考向 03四边形与全等、相似综合
题型 5 四边形中的全等应用
1、核心思路：以四边形的性质为基础，通过全等三角形证明线段相等、角相等，进而推导四边形的判定或性质应用；常见于平行四边形、矩形、菱形的判定与性质综合题；
2、解题技巧：①识别四边形中的全等三角形（常通过平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分构造全等）；②利用全等三角形的对应边、对应角相等，补充四边形判定所需的条件；③结合四边形的性质，转化线段、角关系，完成推理或计算；
3、易错点：找不到四边形中隐含的全等条件（如平行四边形对角线平分得到的相等线段）；全等三角形的对应关系找错；忽略四边形的性质与全等三角形的衔接，导致推理中断。
1．（2026·陕西西安·二模）如图，在正方形????中，点 E 是对角线??上一点，连接??、??，??的延长线交??于点 F．若?? = ??，则∠???的度数为（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
【答案】B
【分析】先利用正方形的性质证明△ ???≌ △ ???，得到∠??? = ∠???；再结合?? = ??得到等腰三角形的等角关系，设∠??? = ?，通过三角形内角和与直角三角形的角度关系列方程求解．
【详解】解：∵四边形????是正方形，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = 90°．
∵在△ ???和△ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???（SAS）．
∴∠??? = ∠???．
设∠??? = ?，则∠??? = ?．
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = ?．
∵在△ ???中，∠??? = 180°−∠???−∠???，
∴∠??? = 180°−2?．
∵∠??? = 180°−∠???，
∴∠??? = 2?．
∵在Rt △ ???中，∠??? + ∠??? = 90°，
∴? + 2? = 90°．
∴3? = 90°，
∴? = 30°，即∠??? = 30°．
2．（2026·天津河北·一模）如图，在▱????中，以点 D 为圆心，小于线段??长为半径画弧交边??于 E点，以点 B 为圆心，线段??长为半径画弧，分别交边??，??于点 F，G，连接??，??，连接??，??交于点 0，则下列结论一定正确的是（ ）
A．?? ∥ ??B．?? = ??C．?? = ??D．∠??? = ∠???
【答案】C
【分析】假设??∥??，根据平行线分线段成比例可推出?? = ??，可判断 A；假设?? = ??，则
?? = ?? = 2??，可判断 B；根据平行线的性质，利用ASA可证 △ ???≌ △ ???，可判断 C；假设
∠??? = ∠???，那么∠? = ∠???，但题目中??长度可变，那么∠???的度数会变化，故不成立，可判断
D．
????
【详解】解：假设??∥??，则?? = ??，
1
由作图可知?? = ??，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∵??不一定等于??，
∴??∥??不一定成立，故选项 A 不符合题意；
假设?? = ??，则?? = ?? = 2??，根据题意不一定成立，故选项 B 不符合题意；
∵在▱????中，??∥??，
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，由作图可知?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??，故选项 C 一定正确，符合题意；假设∠??? = ∠???，
∵∠??? + ∠? + ∠??? = ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠? = ∠???，
∵??长度可变，
∴∠???的度数会变化，
∴∠? = ∠???不成立，故选项 D 不符合题意．
1
3．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形????中，?? = 12，?? = 16，E、F 为??、??边上的动点，以??为斜边作等腰直角△ ???，其中∠??? = 90°，连接??、??．当点 E、F 在??、??边上运动 时，则??的最小值为．
【答案】8 2
【分析】过点?作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，可证得△ ???≌ △ ???(AAS)，进而证得点?在∠???的角平分线
??上，当?? ⊥ ??时，??最小，此时 △ ???为等腰直角三角形，再进一步求解即可．
【详解】解：∵四边形????是矩形，?? = 12，?? = 16，
∴∠??? = ∠??? = 90°，?? = 16，
过点?作?? ⊥ ??于点 M，?? ⊥ ??于点 N，则四边形????是矩形，
∴∠??? = 90°，∠??? = ∠??? = 90°，
∵?? = ??，∠??? = 90°，则∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∴点?在∠???的角平分线??上，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴当?? ⊥ ??时，??最小，此时 △ ???为等腰直角三角形，
∴??2 +??2 = 2??2 = ??2 = 162，解得：?? = 8 2，
∴??的最小值为8 2．
4．（2026·山东潍坊·一模）如图，点?为线段??上一点，以线段??和??为边分别在线段??同侧作正方形
????和正方形????，连接??和??．
(1)证明：?? ⊥ ??；
????
(2)在备用图中尺规作图：在线段??上求作一点?，使得?? = ??．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长??，交??于?，利用SAS证明 △ ???≌ △ ???，得出∠??? = ∠???，利用角的和差关系得出∠??? = 90°，即可得结论；
????
（2）在??右侧作∠??? = ∠???，可得?? ∥ ??，根据平行线分线段成比例定理即可得出?? = ??．
【详解】（1）证明：如图，延长??，交??于?，
∵在线段??同侧作正方形????和正方形????，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? + ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°
∴?? ⊥ ??．
（2）解：如图，在??右侧作∠??? = ∠???，??交??于?，点?即为所求．
∵∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??，
??
∴?? = ??．
??
5．（2026·山东青岛·一模）已知：如图，在▱????中，??与??交于点?，??∥??交??的延长线于?，?为
??中点，连接??．
(1)求证： △ ???≌ △ ???；
(2)若∠??? = 2∠???, ?? = ??，请判断四边形????的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析；
(2)四边形????是矩形，证明见解析
【分析】（1）先证明四边形????为平行四边形得到∠??? = ∠???，?? = ??，再利用平行线性质得到
∠??? = ∠???，即可证明全等；
（2）先求出∠??? = 60°，结合角度关系证明△ ???是等边三角形，再证明四边形????是平行四边形，再证明矩形即可．
【详解】（1）由题意四边形????是平行四边形，则??∥??
∵??∥??
∴四边形????为平行四边形，
∴∠??? = ∠???，?? = ??，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，又∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??
∠??? = ∠???
∴△ ???≅ △ ???(???)．
（2）解：四边形????是菱形．证明如下：
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°，∠??? = ?，则∠??? = 2?，
∴ 2? + ? = 180°，解得? = 60°，
∴ ∠??? = 60°，∠??? = 120°，
∵ ?? = ??，∠??? = 60°，
∴△ ???是等边三角形，
∴ ?? = ?? = ??，∠??? = 60°，
∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ?? = ??，
∵ ?为??中点，
11
∴ ?? = 2?? = 2??，
1
∵ ?? = ?? = 2??，
在平行四边形????中，∠??? = 60°，
∴ ∠??? = 120°，
∵ ?? = ?? = ??，
∴△ ???中，?? = ??，∠??? = 120°，
∴ ∠??? = ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 30°，
∵ ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ??平分∠???，
∵△ ???是等边三角形，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ?? ∥ ??，?? = 2??，?? = 2??，
∴ ?? ∥ ??且?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形，又∵ ∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形．
1
1
6．（2026·海南省直辖县级单位·一模）综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程，请你按相关要求答题．
【操作实践】如图①，将矩形纸片????沿过点?的直线折叠，使点?落在??边上的点?′处，折痕交??于点?，再沿着过点?′的直线折叠，使点?落在?′?边上的点?′处，折痕交??于点?．将纸片展平，画出对应点?′、?′及折痕??、?′?，连接?′?、?′?、?′?．
(1)【初步成果】智慧小组经过探究，发现?? ∥ ?′?，证明过程如下：
由折叠可知∠??′? = ∠??′
1?′?，∠???′
1?′．由矩形的性质，可知?? ∥ ??， ∴ ∠?
? = 2∠?= ∠??? = 2∠??
?′? = ∠???′， ∴ ， ∴ ?? ∥ ?′?．（请你补充上述过程中横线上的内容，把答案直接写在答题卡上．）
(2)【猜想推理】实操小组通过测量??和??的长度，于是猜想存在关系：?? = ??．社团成员们经过探究发现实操小组的猜想是正确的，并得出验证方法多种，如：方法一：证明△ ??′?≌ △ ?′??，得到?′
? = ??，再由?′? = ??可得结论．方法二：过点?′作??的平行线交??于点?，构造平行四边形???′?，然后证?′? = ?′?可得结论．（请你选择上述其中一种方法证明?? = ??，要求写出完整推理过程．）
(3)【拓展探究】在上面“猜想推理”的“方法二”作辅助线“过点?′作?′? ∥ ??交??于点?″的基础上，连接?′
?，如图②，创新小组发现：
①若在矩形????中，?? = 6，?? = 10，则??′与??不平行．请你求出此时??的长，并证明??′与??不平行，要求写出完整推理过程；
②若要??′ ∥ ??，当矩形????的其中一边?? = 6时，??的值不等于 10，但??的值不容易计算，不过??
的长依然容易求出．请你计算此时??的长，要求写出完整推理过程．
【答案】(1)∠???′ = ∠??′?
(2)见解析
(3)①?? =
10
3 ，见解析，②?? = 3 5−3，见解析
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质推出角相等从而确定直线平行关系，再通过测量和推理猜想线段关系：
利用矩形的折叠性质可证明三角形全等，进而得出线段相等关系；
（3）①设?? = ?，则?′? = ?? = ?，?? = ??−?? = 6−?，在Rt △ ?′??中，利用勾股定理解答即可；
②根据前面的结论设未知数，分两种讨论直角三角形，利用三角函数和线段关系列方程求解．
【详解】（1）解：由折叠可知∠??′? = ∠??′
1?′?，∠???′
1?′．
由矩形的性质，可知?? ∥ ??，
∴∠??′? = ∠???′，
∴∠???′ = ∠??′?，
∴?? ∥ ?′?．
? = 2∠?
= ∠??? = 2∠??
（2）解：证明：方法一：∵四边形????是矩形，
∴∠? = ∠? = ∠??? = ∠? = 90°，?? = ??，
由折叠的性质，得?′? = ?′?′，?? = ?′? = ??，?? = ?′?，∠? = ∠?′?′? = 90°，∠??′? = ∠? = 90°，
∴??−?′? = ?′?−?′?′，∠??′? = 90° = ∠?，
∴??′ = ?′?，
由（1）知，∠??′? = ∠???′，
又∵∠??′? + ∠??′? = 180°−∠??′? = 90°，∠???′ +∠?′?? = ∠??? = 90°，
∴∠??′? = ∠?′??，
在△ ??′?和△ ?′??中，
∠??′? = ∠?′??
??′ = ??′，
∠? = ∠??′?
∴ △ ??′?≌ △ ?′??(ASA)，
∴?′? = ??，
∵?? = ?′?，
∴?? = ??．
方法二：如图，过点?′作?′? ∥ ??交??于点 G，
∵?? ∥ ?′?，
∴四边形???′?为平行四边形，
∴?′? = ??，
∵?′? ∥ ??，
∴∠?′?? = ∠???，
由折叠的性质，得∠??? = ∠?′??，?? = ?′?，
∴∠?′?? = ∠?′??，
∴?′? = ?′?，
∴?? = ?′? = ??；
解：①由折叠知?′? = ?? = 10
在矩形????中有∠? = ∠? = 90°，?? = ?? = 6
∴ 在Rt △ ?′??中，由勾股定理可得?′? = 8
∴ ??′ = ??−?′? = 2
设?? = ?，则?′? = ?? = ?，?? = ??−?? = 6−?
∴ 在Rt △ ?′??中，由勾股定理可得??2 + ?′?2 = ?′?2，即
3
(6−?)2 + 22 = ?2解之得? = 10
10
即?? = 3 ；
假设??′ ∥ ??，∠??? = ∠?′??，而由折叠知∠??? = ∠?′??，
∴ ∠?′?? = ∠?′??，
∴ ??′ = ??′
由上（2）方法一知??′ = ??′，
∴ ??′ = ??′ = ??′ = 2，
3 ，
由（2）方法二知?′? = ?? = 10
∴?′?′ = ?′? = 8
又??′ ∥ ??，则易得∠?′??′ = ∠??′? = 90°
2
在Rt △ ?′??′中，由勾股定理可得?′?2 + ?′?2 = ?′?'2，
即22 +
10 2
3
= 8 ，显然这个等式是不成立的
∴ 假设??′ ∥ ??不成立，即??′与??不平行；
②当??′ ∥ ??时，
∴ ??′ ∥ ?? ∥ ??，
∴ ∠??′? + ∠?′??′ = 180°，
∵ ?′? ∥ ??，
∴ ∠? = ∠??′? = 90°，
∴ ∠?′??′ = 90°，
由（2）可知：?′? = ?′? = ?? = ??，??′ = ??′， △ ??′?≌ △ ?′??，
∴ ?′? = ??，
设?? = ?，则：?′? = ?′? = ?? = ?，?′? = ?? = ??−?? = 6−?，
∴ ??′ = ??′ =?2−(6−?)2 = 12?−36，又∵ ∠???′ = ∠???，
∴ ∠???′ = ∠???′，
∴ ?′? = ?′? = 12?−36，
∵ ?′? ∥ ?? ∥ ??，
∴ ∠??′?′ = ∠???′，
∴ 在Rt △ ?′??′和Rt △ ??′?中，tan∠??′?′ = tan∠???′，
??′?′?
12?−36
6−?
∴ ??′ = ??′，即：
?=
，
12?−36
∴ ?(6−?) = 12?−36，
解得：? = 3 5−3或? = −3 5−3（舍去）；
∴ ?? = 3 5−3．
7．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，??是将正方形纸片????折叠后得到的一条折痕，其中点 P， Q 分别在边??，??上．
折叠正方形纸片????，使得??，??依次落在直线??上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕??，??（不写作法，保留作图痕迹），其中点 E，F 分别在边??，??上．设??，??的交点为 0，则∠??? = °；
在（1）的条件下，折叠正方形纸片????，使得??落在直线??上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图
②中作出折痕??（不写作法，保留作图痕迹），其中点 M，N 分别在边??，??上．设??，??的交点为
G，则点 G 落在正方形纸片????的哪一条对称轴上？请说明理由；
如图③，已知正方形纸片????的边长为8cm．在（2）的条件下，当点 P 为边??的中点时，则随着点 Q 位置的改变， △ ???的周长是否会发生改变？如果不变，求出 △ ???的周长；如果改变，求出 △ ???的周长的最小值，并求出此时折痕??的长．
【答案】(1)作图见解析；45
作图见解析；点 G 在边??、??的垂直平分线上；理由见解析；
改变； △ ???的周长的最小值为12cm；?? = 4 5cm
【分析】（1）作∠???，∠???的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到∠??? + ∠??? = 270°，再根据角平分线的定义得到∠??? + ∠??? = 135°，即可得到∠??? = 45°；
（2）延长??，??交于 T，作∠???的角平分线即可．证明 △ ???≌ △ ???(AAS)得到点 G 是??的中点即可；
（3）作∠???的角平分线交??于 E，连接??，先根据折叠的性质求出?△???
= ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ??，可知?△???的最小值为24cm，将??向上平移使得 M 与 A 重合，证明△ ??′?≌ △ ?′??′(ASA)，得到?? = ?′?′，即可得到?? = ?? = 4 5．
【详解】（1）解：如图，作∠???，∠???的角平分线即可，
∵∠??? = ∠? + ∠???，∠??? = ∠? + ∠???，
∴∠??? + ∠??? = ∠? + ∠??? + ∠? + ∠??? = ∠? + 180° = 270°，
∵??，??分别是∠???，∠???的角平分线，
1
∴∠??? + ∠??? = 2(∠??? + ∠???) = 135°，
∴∠??? = 180°−∠???−∠??? = 180°−135° = 45°；
（2）解：如图，延长??，??交于 T，作∠???的角平分线即可．
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，
∴点 G 是??的中点，
∴点 G 在边??、??的垂直平分线上；
（3）解：如图，作∠???的角平分线交??于 E，连接??，
∵??是折痕，
∴?? = ??且??垂直平分??，
∴?△??? = ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ??，
1
∵??为定值即2?? = 4cm，
∴当 A、M、E 三点共线时，?? + ??最小，最小值即为??的长，故?△???的最小值为12cm，
此时 E 和 B 重合，将??向上平移使得 M 与 A 重合，如下图：
∵∠??′?′ +∠??′?′ = 90°，∠?′?? + ∠??′?′ = 90°，
∴∠??′?′ = ∠?′??
∵?′? = ?′?，∠??′? = ∠?′??′ = 90°，
∴ △ ??′?≌ △ ?′??′(ASA)，
∴?? = ?′?′，即?? = ??，
∵?? =??2 + ??2 =82 + 42 = 80 = 4 5，
∴?? = 4 5cm．
题型 6 四边形中的相似应用
1、核心思路：利用相似三角形的比例关系，解决四边形中的线段求值、面积计算、比例证明等问题；常见于平行四边形、矩形、正方形与三角形的综合题，尤其侧重面积比的计算；
2、解题技巧：①结合四边形的性质（如平行四边形对边平行）构造相似三角形（如 A 字型、8 字型）；
②通过相似三角形的相似比，转化线段比、面积比（面积比等于相似比的平方）；③设未知数，利用比例关系列方程，求解线段长度或面积；
3、易错点：相似三角形的判定条件应用错误；比例关系找错（对应边顺序混乱）；混淆“相似比”与 “面积比”；忽略四边形的性质对相似三角形构造的作用。
????????
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在菱形????中，?? = ?? = ?? = ?? = 2，则四边形????的面
积与菱形????的面积的比值为（ ）
1214
A．9B．9C．3D．9
【答案】D
【分析】连接??,??交于点?，先证明 △ ??? ∽△ ???， △ ??? ∽△ ???，然后证明四边形????为平行四边形；同理可证明： △ ??? ∽△ ???, △ ??? ∽△ ???，再证明四边形????为矩形，然后根据矩形和菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接??,??交于点?，
∵四边形????是菱形，
∴?? ⊥ ??，即∠1 = 90°，?
1
菱形 = 2?? × ??
????????
∵?? = ?? = ?? = ?? = 2，
????????2
∴?? = ?? = ?? = ?? = 3
∵∠??? = ∠???,∠??? = ∠???
∴ △ ??? ∽△ ???， △ ??? ∽△ ???
????2
∴?? = ?? = 3，∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
2
∴?? = ?? = 3??，?? ∥ ?? ∥ ??
∴四边形????为平行四边形，
????????
∵?? = ?? = ?? = ?? = 2
????????1
∴?? = ?? = ?? = ?? = 3
同理可证明： △ ??? ∽△ ???, △ ??? ∽△ ???
??1
∴∠??? = ∠???，?? = 3
1
∴?? ∥ ??，?? = 3??
∴∠3 = ∠2
∵?? ∥ ??
∴∠2 = ∠1 = 90°
∴∠3 = ∠1 = 90°
∴四边形????为矩形，
124
∴?矩形???? = ??×??
= 3 ??× 3 ?? = ．
?菱形????1 ??×??
2
19
2 ??×??
2．（2026·陕西西安·二模）如图，正方形????边长为 3，点 E 是??上一点，连接??交??于点 F．若?△???
3
= 2，则??的长为（ ）
63
A．7B．2C．2D．3
【答案】B
13
【分析】过?作?? ⊥ ??于?，由正方形的性质推出?? = ?? = 3，?? ∥ ??，由?△??? = 2??·?? = 2， 求
出?? = 1，由△ ??? ∽△ ???，得?? = ?? = 1， ?? = 1，由?? ∥ ??， 得△ ??? ∽△ ???，进而得 ?? =
??1
??
??3
??2
??
?? = 2，由?? = 3，即可求得??的结果．
【详解】解：过?作?? ⊥ ??于?，
∵四边形????是边长为 3 的正方形，
∴?? = ?? = ?? = 3，?? ∥ ??，
13
∵?△??? = 2??·?? = 2 ，
∴?? = 1，
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
????1
∴?? = ?? = 3 ，
??1
∴?? = 2，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
????1
∴?? = ?? = 2，
∵ ?? = 3，
3
∴?? = 2．
3．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图，四边形????是正方形，点 E 在边??上， △ ???是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形，??，??分别交??于点 M，N，过点 F 作??的垂线交??的延长线于点 G，连接
??．若?? = 3，?? = 6 2，则??的长度为．
26
【答案】 5
【分析】过点 F 作?? ⊥ ??于点 Q，先证明△ ???≌ △ ???得到?? = ??，?? = ??，进而证明?? = ??，得到?? = ?? = 6，则?? = ?? = ?? = ?? + ?? = 9，证明四边形????是矩形，得到?? = ?? = 6，
3
?? ∥ ??，?? = ?? = 6，证明△ ??? ∽△ ???， 求出?? = 2，证明△ ??? ∽△ ???，求出?? = 5?? =
926
5，则?? = ??−??−?? = 5 ．
【详解】解：如图所示，过点 F 作?? ⊥ ??于点 Q，
∵四边形????是正方形，
∴∠? = 90°，?? = ??，
∵ △ ???是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠??? = 90°，?? = ??，
∴∠??? + ∠??? = 90°， 又∵∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???；
∵?? ⊥ ??，
∴∠? = 90° = ∠?，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，?? = ??，
∴?? = ?? = ??，
∴??−?? = ??−??，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∵?? = 6 2，
26
9
∴?? = ??−??−?? = 9−2−5 = 5 ．
3
∴?? = 5?? = 5，
????9
∴?? = ?? = 6 = 2，
9
??
∴?? = ??，即 6 = 9，
∴?? = 2，
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
3
2
∴?? = ?? = 2 ?? = 6，
∴?? = ?? = ?? = ?? + ?? = 9，
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 6，?? ∥ ??，?? = ?? = 6，
∴ △ ??? ∽△ ???，?? = ??−?? = 3，
????3
4．（2026·四川绵阳·一模）如图 1，在正方形纸片????中，点?是??的中点．将 △ ???沿??折叠，使点?
落在点?处，连接??，延长??交??于点?；如图 2，再将△ ???沿??折叠，此时点?的对应点?恰好落在
??上．设△ ???和△ ???重叠部分的面积为?1，正方形????
的面积为?
?1
2，则? = ．
2
3
【答案】25
【分析】先证△ ???≌ △ ???(AAS)，可得?? = ??，故?? = ??，进而得到四边形????是平行四边形，四边形????是平行四边形，故?? ∥ ??，从而可知四边形????是平行四边形，又根据折叠可知
∠??? = ∠? = 90°，得到四边形????是矩形，得到?? = ?? = ?，则?? = 2?,?2 = 4? ，再根据相似三角
形的性质，计算出??、??，进而计算出?1最后求比即可．
【详解】解：设??与??交于点 M，??与??交于点 N，如图，
2
∵四边形????是正方形，
∴?? ∥ ??，?? = ??，
∵点?是??的中点，
∴?? = ??，
由折叠的性质可知：?? = ?? = ??,∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? + ∠??? = 2∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，?? = ??，
∵?? = ??，
∴G 是??中点，
∴?? = ?? = ?? = ??，
由折叠可知?? = ??，?? = ??，
∴?? = ?? = ?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ??， 又∵?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形，由折叠可知∠??? = ∠? = 90°，
∴四边形????是矩形，
设?? = ?? = ?，则正方形????边长为2?，
6
25
∴? = ? ⋅ ? =
6212
1
5525
?2，
12
∴ 1 = 25 =．
?
?2
3
?2
4?2
4
2
??????
∴?? = ?? = ?? = 5，
∴?? = 5?,?? = 5?，
∴?? = 5?，
2
∵?? = ?? = ?，则?? = ?? = 2?,?2 = 4? ，?? = ?? = ?，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
2
2
??
∴?? = 5，
2 5
= 5 ?，
??⋅??
∴?? = ??
??
∴?? = ??，
∴?? =??2 + ??2 = 5? = ??，连接??，
由折叠可知?? ⊥ ??，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
5．（2026·四川绵阳·二模）如图，正方形????中，?、?分别是边??、??上的点，?? ⊥ ??，垂足为?，
??与??相交于?，??与 AC 交于?，??与??交于?．
(1)求证：?? = ??；
(2)若正方形边长为6，?? = 2 2，求??的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)?? = 5 ．
2 5
11
【分析】（1）由正方形性质可得?? = ??，?? ⊥ ??，?? = 2??，?? = 2??，再证明 △ ???≌ △ ???
(ASA)即可；
（2）由四边形????是正方形，得∠??? = 90°，?? = ?? = ?? = ?? = 6，?? = ??，??∥??，证明
??????
△ ??? ∽△ ???，所以?? = ?? = ??，由勾股定理得?? = 6 2，故有?? = 4 2，则有?? = 3，
????
?? = 2??，再求出?? = 5，然后证明△ ??? ∽△ ???，所以?? = ??，再代入即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形????是正方形，
11
∴?? = ??，?? ⊥ ??，?? = 2??，?? = 2??，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ??? = 90° = ∠??? + ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??；
（2）解：∵四边形????是正方形，
∴∠??? = 90°，?? = ?? = ?? = ?? = 6，?? = ??，??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
??
∴?? = ?? = ??，
由勾股定理得：?? =??2 + ??2 =62 + 62 = 6 2，
∴?? = ??−?? = 6 2−2 2 = 4 2，
??2 2
??
∴ 6 = 4 2 = ??，
∴?? = 3，?? = 2??，
由勾股定理得：?? =??2 + ??2 =62 + 32 = 3 5，
∴?? = 5，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴= 3 ，
3
??
3 5
∴?? = 5 ，
3 5
∴?? = ??−?? = 5− 5 = 5 ．
3 5
2 5
6．（2026·江西鹰潭·一模）某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程：
如图 1， △ ???和 △ ???是共顶点的等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°．
如图 2，当点 D 在直线??上时，
①求证：?? ⊥ ??．
②推断：??与??的比值．问题深入
当点 D 不在直线??上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图 1 说明理由．问题解决
如图 3，点 0 是正方形????的中心，点 E 在直线??上运动，连接??，过点 E 作?? ⊥ ??，且
2
?? = ??，连接??，??，正方形????的边??上是否存在一点 M，使 ?? =
写出点 M 的位置；若不存在，说明理由．
2 ??恒成立？若存在，直接
??
（1）①中的结论不成立；因为?? = ?? = 2，所以（1）②中的结论成立；
（3）连接??、??，作?? ⊥ ??于点 M，可证明?? = ??，∠??? = 90°，所以?? = ?? = ??，则?? =
??
??
（2）由?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，得?? = ?? = 2，∠??? = ∠??? = 45°−∠???，则
△ ???∽ △ ???，所以∠??? = ∠???，因为∠??? ≠ 90°，所以∠??? ≠ 90°，则??与??不垂直，可知
??
??
②由相似三角形的性质得?? = ?? = 2；
??
??
【分析】（1）①由∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，?? = ??，得?? = 2??，?? = 2??，则?? = ??
= 2，∠??? = ∠??? = 45°−∠???，所以 △ ???∽ △ ???，则∠??? = ∠??? = 90°，即可证明
?? ⊥ ??；
??
【答案】(1)①见解析；② 2
(2)（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立，理由见解析； (3)存在，见解析
2??，∠??? = ∠??? = 45°，而?? = ??，∠??? = 90°，所以?? = 2??，∠??? = ∠??? = 45°，则
??
??2
??
??22
?? = ?? =
2 ，∠??? = ∠???，可证明△ ???∽ △ ???，得?? = ?? =
2 ，则?? =
2 ??，所以边??上
2
存在使?? = 2??恒成立的点 M，点 M 为??的中点．
【详解】（1）解：①证明：如图 2，
∵ △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? = ??，?? = ??，
∴?? =??2 + ??2 = 2??，?? =??2 + ??2 = 2??，
????
∴?? = ?? = 2，
∵∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°−∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
∵点 D 在直线??上，
∴∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? ⊥ ??．
??
②??的值为 2，
理由：∵ △ ???∽ △ ???，
????
∴?? = ?? = 2，
??
∴??的值为 2．
解：（1）①中的结论不成立，②中的结论成立，
理由：如图 1，∵?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? = 2??，?? = 2??，∠??? = ∠??? = 45°，
????
∴?? = ?? = 2，∠??? = ∠??? = 45°−∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴∠??? = ∠???，
∵点 D 不在直线??上，
∴∠??? ≠ 90°，
∴∠??? ≠ 90°，
∴??与??不垂直，
∴（1）①中的结论不成立；
∵ △ ???∽ △ ???，
????
∴?? = ?? = 2，
??
∴??的值为 2，
∴（1）②中的结论成立．
（3）解：存在，点 M 是??的中点，
理由：如图 3，连接??、??，作?? ⊥ ??于点 M，则∠??? = ∠??? = 90°，
∵点 0 是正方形????的中心，
∴?? = ??，∠??? = 4 × 360° = 90°，
∴?? = ??，
1
∴?? = ?? = ?? = 2??，
∴?? =??2 + ??2 = 2??，∠??? = ∠??? = 45°，
∵?? ⊥ ??，且?? = ??，
∴∠??? = 90°，
1
∴?? =??2 + ??2 = 2??，∠??? = ∠??? = 45°，
∴?? = ?? = 2 ，∠??? = ∠??? = 45°−∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
??
??2
∴?? = ?? = 2 ，
∴?? = 2 ??，
??
??2
2
∴边??上存在使?? = 2 ??恒成立的点 M，点 M 为??的中点．
2
7．（2026·安徽六安·一模）如图，在正方形????中，?是对角线??上的一点，连接??，将??绕点?顺时针旋转90°得到??，连接??交??于点?，连接??．
(1)求证：?? = ??；
1
(2)若?? = 4??，求??:??的值；
【答案】(1)见解析
(2)3∶8
【分析】（1）证 △ ???≌ △ ???(SAS)即可；
（2）过?作?? ⊥ ??于?，过?作?? ⊥ ??于?，则?? ∥ ?? ∥ ??， △ ??? ∽△ ???， △ ??? ∼△ ???，
1
设正方形边长为4?，结合?? = 4??求出?? = ?? = ?，?? = 0.5?，代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵正方形????中，?? = ??，∠??? = 90°，??绕点 C 顺时针旋转90°得到??，
∴?? = ??，∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 90°−∠???，∠??? = ∠???−∠??? = 90°−∠???，
∴∠??? = ∠???， 在△ ???和 △ ???中
?? = ??
∠??? = ∠???
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)
∴?? = ??
（2）过?作?? ⊥ ??于?，过?作?? ⊥ ??于?，过?作?? ⊥ ??于?，
∴?? ∥ ?? ∥ ??，四边形????是矩形，
∴?? = ??，
∴ △ ??? ∽△ ???， △ ??? ∼△ ???，设正方形边长为4?，
1
∵?? = 4??，
31
∴?? = 4??，?? = 4??，
31
∴?? = 4?? = 3?，?? = 4?? = ?，
∴?? = ?? = 3?
由（1）得△ ???≌ △ ???(SAS)
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ?? = ?，
∵∠??? = ∠??? = 45°，
∴?? = ?? = ?，
∴?? = 3?，
∵ △ ??? ∼△ ???
∴?? = ?? = ? = 3
∴ ?? = 3?−? = 2?，?? + ?? = 2?
????3?
3?? + ?? = 2?
∴?? = 0.5?
∴ ?? = ?? + ?? = ? + 0.5? = 1.5?
∴??:?? = 1.5?:4? = 3∶8．
考向 04四边形与其他知识综合
题型 7 四边形与几何图形综合
1、核心综合形式：四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）+三角形（全等、相似）+圆，考查线段长度、角的度数、面积计算、图形判定等；
2、解题关键：先明确四边形的类型，利用其性质转化线段、角关系，再结合三角形、圆的性质，完成推理与计算；重点关注图形的拆分与组合（如将四边形拆分为两个三角形）；
3、解题思路：①识别图形中的四边形类型，运用其核心性质；②拆分复杂图形，构造全等或相似三角形；③结合几何图形的性质，求解未知量；④验证结果，确保符合图形实际意义；
4、易错点：图形识别错误（混淆不同类型的四边形）；复杂图形拆分不当，无法构造辅助线；忽略图形中的隐含关系（如四边形的对角线与三角形的边的关系）。
1．（2026·浙江丽水·一模）如图，在 △ ???中，∠? = 90°，点 D 在边??上，以??为直径的 ⊙ ?与??相切于点 E．
(1)求证：??平分∠???．
(2)若?? = 6，?? = 8，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)2 3
【分析】（1）连接??，利用切线性质证明??∥??，再结合角平分线性质和等腰三角形性质分析证明，即可解题；
（2）作?? ⊥ ??，证明四边形????为矩形，进而求出??，再利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】（1）证明：如图，∠? = 90°， ⊙ ?与??相切，连接??，
∴?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，
∴??∥??，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴??平分∠???；
（2）解：如图，?? = 8，作?? ⊥ ??，
1
∴?? = ?? = 2?? = 4，
∵∠??? = ∠? = ∠??? = 90°，
∴四边形????为矩形，
∴?? = ?? = 4,?? = ??，
∵?? = 6，
∴?? = 6−4 = 2，
在Rt △ ???中，由勾股定理得：?? =??2−??2 =42−22 = 2 3，
∴?? = ?? = 2 3．
2．（2026·江西吉安·二模）如图，已知 △ ???内接于 ⊙ ?，点 D 在??的延长线上，∠? = ∠? = 30°．
求证：??是 ⊙ ?的切线．
若?? ⊥ ??，?? = 4 3，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2) 3 −8 3
【分析】（1）连接??，根据圆周角定理求出∠??? = 60°，即可得∠??? = 90°，则此题可证；
（2）连接??，先说明 △ ???是等边三角形，进而得出四边形????是菱形，再解直角三角形求出
?? = 4，即可得?? = 4，然后根据勾股定理求出?? = 2 3，可得?? = 4 3,最后根据?阴影 = ?扇形???−
?菱形????得出答案．
【详解】（1）证明：连接??，
16?
∵∠? = 30°，
∴∠??? = 2∠? = 60°．
∵∠? = 30°，
∴∠??? = 90°，
∴?? ⊥ ??．
∵??是 ⊙ ?的半径，
∴??是 ⊙ ?的切线；
（2）解：连接??，
∵?? ⊥ ??，
⏜
⏜
∴?? = ??,?? = ??,即?? = ??．
∵?? = ??,∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴?? = ??，
∴?? = ?? = ?? = ??，
∴四边形????是菱形，则?? = 2??．
在Rt △ ???中，?? = 4 3,∠??? = 60°，
∴tan60° = ??，即 3 = ?? ，
解得?? = 4，
∴?? = 4，即?? = 2．
??4 3
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 = 2 3 ，
∴?? = 2?? = 4 3,
120?×42
∴?阴影 = ?扇形???−?菱形???? =360
−4 3 × 4 × 2 = 3 −8 3．
1
16?
3．（2026·山东青岛·一模）如图，在▱????中，?? ⊥ ??，点 M 为??的中点，连接??并延长，交??的延长线于点 E，连接??．
(1)求证：?? = 2??；
(2)当?? ⊥ ??时，四边形????是形，请证明．
【答案】(1)见解析
(2)正方，见解析
【分析】（1）平行四边形的性质，得到?? = ??证明△ ???≌ △ ???(AAS)，得到?? = ??，根据
?? = ?? + ??，等量代换，即可得出结论；
（2）先证明四边形????是平行四边形，斜边上的中线得到?? = ??，进而得到四边形????是菱形，再根据?? ⊥ ??，即可得到四边形????是正方形.
【详解】（1）证明： ∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ 点?是??的中点，
∴ ?? = ??，
在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，
∴?? = ??，
∴?? = ?? + ?? = ?? + ?? = 2??；
（2）解：当?? ⊥ ??时，四边形????是正方形．证明：由（1）知，?? = ??，
又∵ ?? ∥ ??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∵?? ⊥ ??
∴ △ ???是直角三角形，∠??? = 90°
由（1）可知，?? = ??，
∴ ?? = 2?? = ??，
∴ 四边形????是菱形，
∵?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 180°−90° = 90°，
∴菱形????是正方形．
1
4．（2026·甘肃定西·一模）如图 1，已知正方形????,?是边??上的一个动点（不与点?,?重合），连接??，点?关于直线??的对称点为点?，连接??并延长交??于点?，连接??,??．
写出??与??的数量关系，并说明理由．
如图 2，连接??，若??∥??，请探究线段??与??之间的数量关系，并说明理由．
如图 3，过点?作?? ⊥ ??于点?，连接??，请写出线段??与??的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)?? = ??，理由见解析
(2)?? = 2??，理由见解析
(3)?? = 2??，理由见解析
【分析】（1）由轴对称的性质可知∠??? = ∠???，利用全等三角形的性质证明?? = ??．
3
（2）先证明?? = ?? = ??，设?? = ?，?? = ?，则?? = 2?，推出?? = ? + ?，?? = 2?−?，根据??2
= ??2 +??2，构建关系式即可解决问题．
如图 3 中，过点?作直线?? ∥ ??交??，??于?，?．证明 △ ???≌ △ ??? (AAS)，推出
?? = ??，?? = ??，设?? = ?? = ?．?? = ?? = ?，推出?? =2?，?? = 2?即可得出结论．
【详解】（1）?? = ??，理由如下：
∵ 四边形????是正方形，点?关于直线??的对称点为?，
∴ ?? = ?? = ??，∠??? = ∠??? =
∵ ?? = ??，
∴ ?? △ ???≌?? △ ???(HL)，
∴ ?? = ??．
1
2 ∠???，∠? = ∠??? = ∠? = 90°，
3
（2）?? = 2??，理由如下
如图 2 中，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∵ △ ???≌ △ ???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ?? = ??，
设?? = ?，?? = ?，则?? = 2?，
∴ ?? = ? + ?，?? = 2?−?，
∵ ??2 = ??2 +??2，
∴ (? + ?)2 = (2?−?)2 + ?2，
∴ 6??−4?2 = 0，
∴ 3?−2? = 0，
33
∴ ? = 2?，即?? = 2??.
（3）结论：?? = 2??.
理由：如图3中，过点?作直线?? ∥ ??交??，??于?，?．
则四边形????为矩形，
∵ ∠??? = 45°，?? ⊥ ??，
∴ ?? = ??，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ???≌ △ ??? (AAS)，
∴ ?? = ??，?? = ??，
设?? = ?? = ?．?? = ?? = ?，
∴ ?? = ? + ?，
∵ 四边形????为矩形，四边形????是正方形，
∴ ?? = ?? = ?? = ??,
∵ ?? = ?? = ?，
∴ ?? = ?? = ?，
∴ ?? =2?, ?? = ?? + ?? = 2?，
∴ ?? =2??.
题型 8 四边形与函数、动点综合
1、核心综合形式：四边形+一次函数/二次函数+动点，考查动点运动过程中四边形的形状变化、线段长度、面积最值、点的坐标等，是中考几何压轴题的高频形式；
2、解题关键：数形结合，将四边形的性质与函数解析式结合，用代数方法解决几何问题；抓住动点的运动规律，分情况讨论（如动点在不同边上运动的情况）；
3、解题思路：①建立平面直角坐标系，确定四边形关键点的坐标；②结合动点运动规律，用含参数的式子表示动点坐标；③利用四边形的性质、全等/相似，建立与参数相关的等式，结合函数解析式求 解；④分情况讨论，确定符合条件的参数取值范围，求最值或特殊点坐标；
4、易错点：动点运动情况考虑不全面，遗漏分类讨论；无法用参数表示动点坐标；忽略函数自变量的取值范围，导致结果不合理；几何性质与函数解析式衔接错误。
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形????中，??∥??，∠??? = 90°，?? = ?? = 2?? = 4 cm，动点?以2cm/s的速度从点?出发，沿?−?−?向终点?运动，过点?作?? ⊥ ??，垂足为点?．设点?的运动时间为?(s)， △ ???的面积为?(cm2)，则?与?的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】过点?作?? ⊥ ??交??于点?，则四边形????是矩形，推出∠? = 60°，则?? = ?? = 2 3cm．①当0 ≤ ? ≤ 2时，点?在??上，此时?? = 2?cm，利用三角函数求出?? = 3?cm，?? = ?cm，?? = (4−?) cm，得出?是关于?的二次函数；②当2 < ? ≤ 3时，点?在??上，此时?? = (2?−4)cm，四边形????是矩形，则?? = ?? = 2 3cm，?? = ?? = (6−2?)cm，得出?是关于?的一次函数．
【详解】解：如图，过点?作?? ⊥ ??交??于点?，
在Rt △ ???中，cs? = ?? = 2，
∵ ??∥??，∠??? = 90°，
∴ ∠? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∵ ?? = ?? = 2?? = 4cm，
∴ ?? = ?? = 2cm，?? = ??−?? = 2(cm)
1
??
1
1
∴ ? = 2?? ⋅ ?? = 2(6−2?) × 2 3 = −2 3? + 6 3，
∴ 当0 ≤ ? ≤ 2时，函数图象是开口向下的抛物线，当2 < ? ≤ 3时，函数图象是直线．
∴ ?? = ??−?? = 2−(2?−4) = (6−2?)cm，
∵ ∠? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，
∴ ?? = ?? = 2 3cm，?? = ?? = (6−2?)cm。
2
②当2 < ? ≤ 3时，点?在??上，此时?? = (2?−4)cm，
2
3
3
3? = − ?2 +2 3? = − (?−2)2 +2 3；
2
2
11
∴ ? = ?? ⋅ ?? = (4−?) ×
∴ ∠? = 60°，
∴ ?? = ?? = ?? ⋅ sin60° = 2 3(cm)，
①当0 ≤ ? ≤ 2时，点?在??上，此时?? = 2?cm，
∴ ?? = ?? ⋅ sin60° = 3?(cm)，?? = ?? ⋅ cs60° = ?(cm)，
∴ ?? = ??−?? = (4−?)cm，
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在矩形????中，?? = 3，?? = 4，动点 P 从 A 出发，沿?→?→?的方向在??和??上移动，设?? = ?，点 D 到直线??的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分类讨论：①点 P 在??上时，点 D 到??的距离为??的长度，②点 P 在??上时，根据同角的余角相等求出∠??? = ∠???，再利用相似三角形的性质列出比例式整理得到 y 与 x 的关系式，从而得解．
【详解】解：连接??，如图
在矩形????中，?? = 3，?? = 4，∠? = 90°，
∴?? =??2 + ??2 = 5，
∴0 ≤ ? ≤ 5，
①点 P 在??上时，0 ≤ ? ≤ 3，点 D 到??的距离为??的长度，是定值 4；
②点 P 在??上时，3 < ? ≤ 5，过点 D 作?? ⊥ ??于点 E，如图
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
又∵∠? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
3?
即? = 4，
∴? =
12
? ，
只有 B 选项图形符合．
3．（2026·贵州遵义·一模）综合与实践：
【提出问题】
如图 1，在菱形????中，∠??? = 120°，点?是对角线??上一动点，连接??，将??绕点?顺时针旋转60°
得到??，连接??，??．则∠???的度数为；线段??与??的数量关系为．
【类比探究】
如图 2，在正方形????中，点?是对角线??上一动点，且?? > ??，连接??，将??绕点?顺时针旋转90°
得到??，连接??，??．当?? = ?? = 2时，求??的长．
【迁移运用】
【答案】(1)60°，?? = ??
(2)?? = 2 2−2
(3)??的长为2 ± 2
【分析】（1）结合菱形的性质以及等边三角形的判定和性质可证明 △ ???≌ △ ???(SAS)，即可求解；
??
（2）过?作?? ⊥ ??于点?，证明△ ??? ∽△ ???，可得?? = ?? = 2，即可解答；
（3）过?作?? ⊥ ??于?，过?作?? ⊥ ??于?，则?? = 6，在Rt △ ???中，?? = ??cs60° = 2，然后分两种情况讨论：当?在??上方时，当?在??下方时，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形????是菱形，∠??? = 120°，
??
∴∠??? = ∠??? = 120°，?? = ??,∠??? = 2∠??? = 60°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 60°， △ ???是等边三角形，
∴∠??? = 60°，
由旋转的性质得：?? = ??,∠??? = 60°，
∴ △ ???为等边三角形，
∴∠??? = 60° = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
1
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??；
（2）解：如图 2，过?作?? ⊥ ??于点?，
∵ 四边形????是正方形，??是对角线，
∴ ∠??? = 45°，即△ ???是等腰直角三角形
如图 3，在矩形????中，?? = 4，∠??? = 30°，?是对角线??上一动点，连接??，以??为边在??的右边作Rt △ ???，且∠??? = 90°，∠??? = 30°，当点?到??的距离为 6时，求出??的长．
∴ ?? = 2??，∠??? = 45°，
由旋转的性质，得?? = ??，∠??? = 90°，
∴△ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? = 2??，∠??? = 45°，
????
∴ ?? = ?? = 2，∠??? = ∠??? = 45°−∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ?? = 2，
在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ cs45° = 2，
∴ ?? = ??−?? = 2− 2，
∴ ?? = 2?? = 2(2− 2) = 2 2−2；
（3）解：在Rt △ ???中，∠??? = 30°，则∠??? = 60°，
??
∴ ?? = tan60° = 3
∵ ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 60°，
如图 3，过?作?? ⊥ ??于?，过?作?? ⊥ ??于?，则?? = 6，在Rt △ ???中，?? = ??cs60° = 2，
①当?在??上方时，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???
又∵ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴△ ??? ∽△ ???
????
∴ ?? = ?? = 3
??
∴ ?? =
= 2，
3
∴ ?? = ??−?? = 2− 2；
②如图 4，当?在??下方时，
同理?? = 2，
∴ ?? = ?? + ?? = 2 + 2；综上，??的长为2 ± 2．
4．（2026·江西鹰潭·一模）某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程：
如图 1， △ ???和 △ ???是共顶点的等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°．
如图 2，当点 D 在直线??上时，
①求证：?? ⊥ ??．
②推断：??与??的比值．问题深入
当点 D 不在直线??上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图 1 说明理由．问题解决
如图 3，点 0 是正方形????的中心，点 E 在直线??上运动，连接??，过点 E 作?? ⊥ ??，且
2
?? = ??，连接??，??，正方形????的边??上是否存在一点 M，使 ?? =
写出点 M 的位置；若不存在，说明理由．
2 ??恒成立？若存在，直接
??
??
（2）由?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，得?? = ?? = 2，∠??? = ∠??? = 45°−∠???，则
??
②由相似三角形的性质得?? = ?? = 2；
??
??
【分析】（1）①由∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，?? = ??，得?? = 2??，?? = 2??，则?? = ??
= 2，∠??? = ∠??? = 45°−∠???，所以 △ ???∽ △ ???，则∠??? = ∠??? = 90°，即可证明
?? ⊥ ??；
??
【答案】(1)①见解析；② 2
(2)（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立，理由见解析； (3)存在，见解析
△ ???∽ △ ???，所以∠??? = ∠???，因为∠??? ≠ 90°，所以∠??? ≠ 90°，则??与??不垂直，可知
????
（1）①中的结论不成立；因为?? = ?? = 2，所以（1）②中的结论成立；
（3）连接??、??，作?? ⊥ ??于点 M，可证明?? = ??，∠??? = 90°，所以?? = ?? = ??，则?? = 2??，∠??? = ∠??? = 45°，而?? = ??，∠??? = 90°，所以?? = 2??，∠??? = ∠??? = 45°，则
??
??2
??
??22
?? = ?? =
2 ，∠??? = ∠???，可证明△ ???∽ △ ???，得?? = ?? =
2 ，则?? =
2 ??，所以边??上
2
存在使?? = 2??恒成立的点 M，点 M 为??的中点．
【详解】（1）解：①证明：如图 2，
∵ △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? = ??，?? = ??，
∴?? =??2 + ??2 = 2??，?? =??2 + ??2 = 2??，
????
∴?? = ?? = 2，
∵∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°−∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
∵点 D 在直线??上，
∴∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? ⊥ ??．
??
②??的值为 2，
理由：∵ △ ???∽ △ ???，
????
∴?? = ?? = 2，
??
∴??的值为 2．
解：（1）①中的结论不成立，②中的结论成立，
理由：如图 1，∵?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? = 2??，?? = 2??，∠??? = ∠??? = 45°，
????
∴?? = ?? = 2，∠??? = ∠??? = 45°−∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴∠??? = ∠???，
∵点 D 不在直线??上，
∴∠??? ≠ 90°，
∴∠??? ≠ 90°，
∴??与??不垂直，
∴（1）①中的结论不成立；
∵ △ ???∽ △ ???，
????
∴?? = ?? = 2，
??
∴??的值为 2，
∴（1）②中的结论成立．
解：存在，点 M 是??的中点，
理由：如图 3，连接??、??，作?? ⊥ ??于点 M，则∠??? = ∠??? = 90°，
∵点 0 是正方形????的中心，
1
∴?? = ??，∠??? = 4 × 360° = 90°，
∴?? = ??，
1
∴?? = ?? = ?? = 2??，
∴?? =??2 + ??2 = 2??，∠??? = ∠??? = 45°，
∵?? ⊥ ??，且?? = ??，
∴∠??? = 90°，
∴?? =??2 + ??2 = 2??，∠??? = ∠??? = 45°，
????2
∴?? = ?? =
2 ，∠??? = ∠??? = 45°−∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
????2
2
∴?? = ?? = 2 ，
∴?? =
2 ??，
2
∴边??上存在使?? =
2 ??恒成立的点 M，点 M 为??的中点．
5．（2026·广东东莞·一模）如图 1，矩形????的顶点?、?分别在?轴和?轴上，点?的坐标为(8,6)．
反比例函数 ? = ?(? > 0)的图象与边??，??分别交于点?，?，当
1
时，求?的值和点?的坐
??? = 3??
标；
?
如图 2，点?，?分别在边??，??上，且反比例函数? = ?(? > 0)的图象经过点?、?，连接??、??，求
证：?? ∥ ??；
?
如图 3，反比例函数 ? = ?(? > 0)的图象与边??，??分别交于点?，?，若以??为直径的圆与矩形
????的边有5个公共点，求?的取值范围．
3
【答案】(1)? = 12，? 8, 2
证明见解析
16
3 < ? < 12
1
【分析】（1）由?? = 3??可得点?的坐标为(2,6)，代入反比例函数的表达式可得? = 12，再将? = 8代入
12
? = ? ，可求得点?的坐标；
??
48−?
48−?
??
（2）根据题意可得，点?的坐标为 6 ,6 ，点?的坐标为 8, 8 ，则?? =6 ，?? =8 ，进而可得?? =
??
??，利用夹角相等两边对应成比例可证明△ ??? ∽△ ???，则∠??? = ∠???，从而证明?? ∥ ??；
?+48
?+48
240−5?
（3）设??的中点为?，由（2）可得，点?的坐标为 12 , 16，圆?的半径为 48 ．分情况研究，当
圆?与??相切时，如图，设切点为点?，连接??，由?? = ??解出? = 12，此时圆?与矩形????的边仅
有4个公共点，因此? < 12；当圆?与??相切时，如图，设切点为点?，连接??，同理可得? =
16
48
9 ，此时
圆?与矩形????的边有6个公共点，因此? > 3 ，公共部分即为?的取值范围．
【详解】（1）解：在矩形????中，?? ⊥ ?轴，?? ⊥ ?轴，
∵点?的坐标为(8,6)，
∴?? = 8，?? = 6，
1
∵?? = 3??，
1
∴?? = 4?? = 2，
∴点?的坐标为(2,6)，
?
将点?(2,6)代入? = ?，得，
?
6 = 2，
解得? = 12，
∴反比例函数的解析式为? =
12
? ，
123
将? = 8代入? = ? ，得? = 2，
3
∴点?的坐标为 8, 2 ；
（2）证明：由（1）可知，?? = 8，?? = 6，
∵点?，?分别在边??，??上，
?
又∵反比例函数? = ?(? > 0)的图象经过点?、?，
??
∴点?的坐标为 6 ,6 ，点?的坐标为 8, 8 ，
?48−??48−?
∴?? = 8−6 =6 ，?? = 6−8 =8 ，
??
48−???
48−?
∵?? =
??
48 ，?? =
??
48 ，
∴?? = ??，
又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??；
（3）解：设??的中点为?，
∵∠??? = 90°，
∴点?在圆?上，
∵圆?与矩形????的边有5个公共点，
∴圆?与边??、??共有2个公共点，
??
由（2）可知，点?的坐标为 6 ,6 ，点?的坐标为 8, 8 ，
∴点?的坐标为
?+48
12 ,
?+48
16，
①当圆?与??相切时，如图，设切点为点?，连接??，
由（2）可知，?? =
48−?
6 ，?? =
48−?
8 ，
24 ，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 = 240−5?
此时圆?与矩形????的边有6个公共点，若??继续向下平移，则公共点数量会超过6个，
16
∴? > 3 ，
16
综上所述，?的取值范围为 3 < ? < 12．
，解得? = 3 ，
48
=
16
?+48240−5?
∴ 12
，
48
240−5?
同理①可得，?? = ?? =
此时圆?与矩形????的边仅有4个公共点，
∴??需向下平移，即? < 12，
②当圆?与??相切时，如图，设切点为点?，连接??，
?+48
= 16 ，解得? = 12，
240−5?
∴ 48
，
48
240−5?
1
∴?? = ?? = ?? = 2?? =
∵圆?与??相切，
∴?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
6．（2026·山东青岛·一模）如图，已知平行四边形????，?? = 8，?? = 10，?? ⊥ ??，延长??到?，使
?? = ??，连接??．点?从?出发，沿??方向匀速运动，速度为 2 单位长度/s，同时点?从?出发，沿??方向匀速运动，速度为 3 单位/s．连接?、?，设运动时间为?(s)(0 < ? < 5)．
解答下列问题：
当 △ ???是直角三角形时，求?的值；
连接??、??，设 △ ???的面积为?，求?与?之间的函数关系式；
(3)线段??与??相交于?，在运动的过程中是否存在某一时刻?，使得∠??? = 120°．若存在，求出?；若不存在，请说明理由．
3690
【答案】(1)11或23
2
9
(2)? = 5? −15? + 54(0 < ? < 5)
1422−180 3
457
4
【分析】（1）解直角三角形得到cs? = 5，由平行四边形的性质得到?? = ?? = ?? = 10，则?? = 18，根
据题意可得?? = 3?，?? = 2?，则?? = ??−?? = 18−3?，再分两种情况：∠??? = 90°和∠??? = 90°，讨论求解即可；
（2）过点 A 作?? ⊥ ??于点 F，?? ⊥ ??交??的延长线于点 H，过点 Q 作?? ⊥ ??于点 G，求出?? = 6，
246
由等面积法求出?? = 5 ；解直角三角形得到?? = 5?；证明?? = ?? = 6，根据?△??? = ?梯形????−?△???
−?△???−?△???，列式求解即可；
（3）过点 P 作?? ⊥ ??于点 T，可求出∠??? = ∠??? = 60°；解直角三角形可得?? =
72−12?
5，?? =
54−9?
5 ，则?? =
72−22?
5，再解直角三角形得到?? = 3??，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∵?? = 8，?? = 10，
??84
∴cs? = ?? = 10 = 5；
∵四边形????是平行四边形，
∴?? = ?? = 10，
∴?? = ?? = 10，
∴?? = ?? + ?? = 18，
由题意得，?? = 3?，?? = 2?，则?? = ??−?? = 18−3?，
??4
当∠??? = 90°时，则cs? = ?? = 5，
2?4
∴18−3? = 5，
36
解得? = 11（已检验）；
??4
当∠??? = 90°时，则cs? = ?? = 5，
18−3?4
∴ 2?= 5，
90
解得? = 23（已检验）；
3690
综上所述，t 的值为11或23；
（2）解：如图所示，过点 A 作?? ⊥ ??于点 F，?? ⊥ ??交??的延长线于点 H，过点 Q 作?? ⊥ ??于点
G，
由（1）得?? = 3?，?? = 18−3?，?? = 2?，则?? = ??−?? = 10−2?，?? = 18，
∵?? ⊥ ??
∴∠??? = 90°，
∵?? = 8，?? = 10，
∴?? =??2−??2 = 6，
∵四边形????是平行四边形，
∴?四边形???? = ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，?? ∥ ??，?? = ?? = 8，
∴10?? = 6 × 8，
24
∴?? = 5 ；
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
????
∴sin? = ?? = ??，
??6
∴ 2? = 10，
6
∴?? = 5?；
∵?? ∥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴?? = ?? = 6；
∵?△??? = ?梯形????−?△???−?△???−?△???，
18+811 6124
∴? =
2 × 6−2 × 6 ⋅ 3?−2 ⋅ 5? ⋅ (18−3?)−2 × 5 ⋅ (10−2?)
54
= 78−9?−
9 212024
5 ? + 5 ? − 5 + 5 ?
5
= 9?2−15? + 54(0 < ? < 5)；
（3）解：如图所示，过点 P 作?? ⊥ ??于点 T，
当∠??? = 120°时，∠??? = 180°−∠??? = 60°，
72−22?
．
1422−180 3
457
解得? =
，
5
= 3 ×
54−9?
5
∴
在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ tan∠??? = ?? ⋅ tan60° = 3??，
72−22?
，
5
−2? =
5
∵四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 60°；
4
由（1）得cs? = 5，?? = 18−3?，?? = 2?，
由（2）得sin? = ?? = 10 = 5，
在Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ cs? = 5(18−3?) =
72−12?
∴?? = ??−?? =
，
5
3
?? = ?? ⋅ sin? = 5(18−3?) =
54−9?
，
5
72−12?
4
3
??6
（建议用时：90 分钟）
1．（2026·河南信阳·一模）如图，四边形????是边长为4的正方形，取边??的中点?，连接??，将 △ ???
沿??折得到△ ???，延长??交边??于点?，则??的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】连接??，由正方形性质可得?? = ?? = ?? = ?? = 4，∠? = ∠? = ∠? = 90°，通过折叠性质可知?? = ?? = 4，?? = ?? = ?? = 2，∠??? = ∠? = 90°，然后证明Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，所以
?? = ??，设?? = ?? = ?，则?? = 4 + ?，?? = 4−?，由勾股定理得??2 +??2 = ??2，即42 + (4−?)2
= (4 + ?)2，然后求出?的值即可．
【详解】解：连接??，
∵四边形????是正方形，
∴?? = ?? = ?? = ?? = 4，∠? = ∠? = ∠? = 90°，
∵?是??中点，
∴?? = ?? = 2，
由折叠性质可知：?? = ?? = 4，?? = ?? = ?? = 2，∠??? = ∠? = 90°，
∴∠??? = ∠? = 90°，
∵?? = ??，
∴Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴?? = ??，
设?? = ?? = ?，则?? = 4 + ?，?? = 4−?，由勾股定理得：??2 +??2 = ??2，
∴42 + (4−?)2 = (4 + ?)2，解得? = 1，
∴?? = 4−? = 4−1 = 3，
∴??的长为3．
2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，在边长为8 2的正方形????中，对角线??，??交于点 0，点 E 在
??上，连接??，作?? ⊥ ??交??于点 F，交??于点 G，延长??交??于点 I，连接??，交??于点 H，下列结论错误的是（ ）
A．∠??? = 45°B．?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??
C．若?? = 5 2，则?? =
25
2
8D．?? ⋅ ?? = 64
【答案】D
【分析】由正方形的性质可得∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = 90°，?? = ?? = ?? = 8 2，?? = ?? = 2?? = 2?? = 16，?? ⊥ ??，则?? = ?? = ?? = 8，证明点?、?、?、?四点共圆， 由圆周角定理可得∠??? = ∠??? = 45°，即可判断 A 选项正确；证明△ ??? ∽△ ???，由相似三角形的性
25
质即可判断 B 选项正确；证明△ ??? ∽△ ???，求出?? = 3，再证明△ ??? ∽△ ???，求出?? = 8 ，即
????
可判断 C 选项正确；证明△ ??? ∽△ ???，得出?? = ??①，
??
??
??⋅??
??⋅??
证明△ ??? ∽△ ???，得出?? = ??②，由① × ②可得??⋅?? = ??⋅??，计算即可判断 D 错误．
【详解】解：∵四边形????为正方形，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = 90°，?? = ?? = ?? = 8 2，?? = ?? = 2?? = 2
?? = 16，?? ⊥ ??，
∴?? = ?? = ?? = 8，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴点?、?、?、?四点共圆，
∴∠??? = ∠??? = 45°，故 A 选项正确，不符合题意；
∵∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
∴?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，故 B 选项正确，不符合题意；
∵∠??? = 45°，?? ⊥ ??，
∴ △ ???为等腰直角三角形，
∴∠??? = 45°，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 45°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
????1
∴?? = ?? = 2，
∵?? = 5 2，
∴?? = ??−?? = 3 2，
??1
∴=，
3 22
∴?? = 3，
∴?? = ??−?? = 5，
∵∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
∴5 = ??，
25
∴?? = 8 ，故 C 正确；
∵∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
8
5
∴?? = ??①，
∵∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
????
∴?? = ??②，
????
??⋅????⋅??
由① × ②可得??⋅?? = ??⋅??，
2
∴?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ?? = (8 2) = 128，故 D 错误．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在 △ ???中，?? ⊥ ??，垂足为点 H，?? = 8，?? = 3，以??
为边在△ ???外部作 △ ???，?? = ??，且∠??? = 2∠???，则??的长是．
【答案】10
【分析】过点?作平行于??的直线、过点?作垂直于??的直线，两直线相交于点?，在直线??上取点?，使?? = ??，连接??，??，首先证明四边形????是矩形，可得?? = 6，再证明△ ???≌ △ ???，可得
?? = ??，利用勾股定理求得??即可得??的长．
【详解】解：如图，过点?作平行于??的直线、过点?作垂直于??的直线，两直线相交于点?，在直线??上取点?，使?? = ??，连接??，??，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴∠??? = 90°，?? = ?? = 3，
∴?? ⊥ ??，
∵?? = ??，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，?? = ?? = 3，
∴∠??? = 2∠??? = 2∠???，?? = 2?? = 6，
∵∠??? = 2∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =62 + 82 = 10，
∴?? = ?? = 10．
4．（2026·湖北随州·一模）如图 1，在矩形????中，?? = ?，点 E 在??上，且∠??? = 90°，点 M 从点
A 出发，沿?→?→?的路径匀速运动到点 B 后停止，作?? ⊥ ??于点 N，设点 M 运动的路径为 x， △ ???
??
的面积为 y，若 y 与 x 之间的函数关系的图象如图 2 所示，则（1）?? = ，（2）? = ．
【答案】
4
9
6
【分析】首先由矩形的性质得到?? = ?? = ?，然后由图象得到2??? = 12，表示出?? = ? ，得到2
1241
??? = 27，表示出?? = ? ，即可求出?? = 9；设?? = 4?，?? = 9?，证明出 △ ??? ∽△ ???，得到?? =
54??4??
??
??，代入求出? = 6?，然后代入2??? = 12求解即可．
1
【详解】解：∵四边形????是矩形
∴?? = ?? = ?，
4
11
??
54
?
9
设?? = 4?，?? = 9?
∵四边形????是矩形
∴∠? = ∠? = 90°
∴∠??? + ∠??? = 90°
∵∠??? = 90°
∴∠??? + ∠??? = 90°
∴∠??? = ∠???
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，即9? = ?
∴ ?2 = 36?2，
∴ ? = 6?，
??
???4?
∴将? = 6?，?? = 4?代入2??? = 12得，2 × 6? ⋅ 4? = 12，
∴ ? = 1，
∴ ? = 6? = 6．
?
??
∴== ；
54
1
1
∴2?? ⋅ ?? = 27，即2??? = 27
∴?? = ?
24
24
1
∴2?? ⋅ ?? = 12，即2??? = 12
∴?? = ?
当点 M 运动到点 B 时，点 M 停止运动，此时点 N 和点 C 重合，
∴此时△ ???的面积? = 27
由图 2 得，当? = 0，即点 M 在 A 点时，此时点 N 和点 D 重合，
∴此时△ ???的面积? = 12
1
5．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在四边形????中，?? = ??，?? ∥ ??，?? ⊥ ??，垂足为 E，F， G 分别为边??，??的中点，连接??，??，∠??? = ∠???．
(1)求证：四边形????为菱形．
(2)若∠? = 70°，求∠???的度数．
【答案】(1)见详解
(2)105°
【分析】（1）根据题意可得四边形????为平行四边形，进而根据邻边相等可证明；
（2）根据直角三角形斜边上中线的性质，三角形的内角和，平行线的性质以及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵?? = ??，?? ∥ ??，
∴四边形????为平行四边形，
∵∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∵ F，G 分别为边??，??的中点，
∴?? = 2??，?? = 2??，
∴?? = ??，
∴四边形????为菱形；
（2）解：∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∵F 为边??的中点，
∴?? = ?? = ??，
∵∠? = 70°，
∴ ∠??? = 180−2∠? = 40°，
∵?? ∥ ??，
∴ ∠??? = 180°−∠? = 110°，
1
1
∴∠??? =
180−∠???
2
= 35°，
∴∠??? = 180°−∠???−∠??? = 105°．
6．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，平行四边形????中，点 E 是对角线??上一点，连接??，??，且
?? = ??．
求证：四边形????是菱形；
(2)若∠??? = 60°，?? = 2，则?? + ?? + ??的最小值是．
【答案】(1)见解析
2 3
【分析】连接??交??于点 0，先推导出?? = ??，再根据三线合一，得到?? ⊥ ??，即可解答；
（2）求出?? = 1?? = 1 × 2 = 1, ?? = ??cs∠??? = 2 × 3 = 3，设?? = ?，得到?? = 3−?,
222
?? = ?? =1 + ?2，则?? + ?? + ?? = 2 1 + ?2 + 3−?，设? = 2 1 + ?2 + 3−?，推导出3?2−2
2
?− 3 ? + 4− ?− 3
= 0，得到Δ = −2 ?− 3
22
−4 × 3 × 4− ?− 3
≥ 0，解得? ≥ 2 3或? ≤ 0
（不符合题意，舍去），即可解答．
【详解】（1）证明：连接??交??于点 0，如图
∵四边形????是平行四边形，
∴?? = ??，
∵?? = ??，
∴?? ⊥ ??，即?? ⊥ ??，
∴四边形????是菱形；
解：如图
∵四边形????是菱形，?? ⊥ ??
11
∴∠??? = 2∠??? = 2 × 60° = 30°，∠??? = 90°，
113
∴?? = 2?? = 2 × 2 = 1, ?? = ??cs∠??? = 2 × 2 = 3，
设?? = ?，则?? = ??−?? = 3−?,?? =??2 + ??2 =1 + ?2，
∴?? = ?? =1 + ?2，
∴?? + ?? + ??
=1 + ?2 + 3−? +1 + ?2
= 2 1 + ?2 + 3−?，
设? = 2 1 + ?2 + 3−?，则
?− 3 +? = 2 1 + ?2，
2
2
?− 3 + ?= 2 1 + ?2，
2
?− 3
+2 ?− 3 ? + ?2 = 4(1 + ?2)，
3?2−2 ?− 3 ? + 4− ?− 3= 0，
∵x 有实数解，
2
2
2
∴Δ = −2 ?− 3−4 × 3 × 4− ?− 3≥ 0，
化简，得
2
?− 3≥ 3，
?− 3 ≥ 3或?− 3 ≤ − 3
解得? ≥ 2 3或? ≤ 0（不符合题意，舍去）．
∴则?? + ?? + ??的最小值是2 3．
7．（2026·山东青岛·一模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．操作思考：
如图 1，在矩形????中，当?? = 1，?? = 2，?为??边上一点，?为??边上一点，连接??,??，将 △ ???
和△ ???分别沿??,??翻折，若?,?的对应点?,?均落在矩形对角线??上．小明发现，若设??为?、??为
1 1
?，则?−? = 2．
小明是这样思考的：
设??为?、??为?，则?? = ?? = ?，?? = ?? = ?，由于∠??? = ∠??? = 90°，
易证：∠??? = ∠??? = ∠???
??????1
∴ ?? = ?? = ?? = tan∠??? = 2，
1
∴ ?? = 2?，?? = 2?，则?? = 1−?，?? = 2−?，
????
∴ ?? = ?? = cs∠???，
?2?
∴ 1−? = 2−?．
∴ 2?−2?? = 2?−??，两边同除以2??得
1111
? − ? = 1− 2 = 2
问题探究：
如图 2，在矩形????中，当?? = 1，?? = 3，?为??边上一点，?为??边上一点，连接??,??，将
△ ???和△ ???分别沿??,??翻折，若?,?的对应点?,?均落在矩形对角线??上．若设??为?、??为 y，则
1 1
?−? = ，请写出你的具体解决过程．
拓展延伸：
如图 3，在矩形????中，当?? = ?，?? = ?，?为??边上一点，?为??边上一点，连接??,??，将
1
△ ???和△ ???分别沿??,??翻折，若?,?的对应点?,?均落在矩形对角线??上．设??为?、??为?，则?−
1
? = （用含?、?的代数式表示）．
1
??????
∴ ?? = ?? = ?? = 3，?? = ??，
∴ ?? = 3?，?? = 3?，
∵?? = 1−?，?? = 3−?，
?3?
1
??1????
??
??
∠??? = ∠? = 90°，∠??? = ∠? = 90° ，证明∠??? = ∠??? = ∠???，根据锐角三角函数可推出?? = ??
= ?? = 3，?? = ??，则可得到?? = 3?，?? = 3?，进而可得1−? = 3−?，据此求解即可；
（2）同（1）求解即可．
【详解】（1）解：设??为?、??为?，则?? = ?? = ?，?? = ?? = ?，
∵四边形????是矩形，
∴∠? = ∠? = ∠??? = 90°，?? = ?? = 1，
由折叠的性质可得∠??? = ∠? = 90°，∠??? = ∠? = 90°
∴∠??? = ∠??? = 180°−90° = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90° = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
∴tan∠??? = tan∠??? = tan∠???，cs∠??? = cs∠??? = cs∠???，
1????
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠? = ∠? = ∠??? = 90°，?? = ?? = 1，由折叠的性质可得
?−?
(2) ??
3
2
【答案】(1)
?
?−?
? ?
?
?−?
∴−
?? ??
??? ??????
= ?
??
∴?−? = ?? ．
1 1
∴ ?−? = ?−?．
∴ ??−??? = ??−??，
∴??−?? = ? ??，
?−?
?
?
?
??????
∴ ?? = ?? = ?? = ? ，?? = ??，
∴ ?? = ? ?，?? = ??，
∵?? = ?−?，?? = ?−?，
1
1
∴?−? = 3；
（2）解：设??为?、??为?，则?? = ?? = ?，?? = ?? = ?，
∵四边形????是矩形，
∴∠? = ∠? = ∠??? = 90°，?? = ?? = ?，
由折叠的性质可得∠??? = ∠? = 90°，∠??? = ∠? = 90°
∴∠??? = ∠??? = 180°−90° = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90° = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
∴tan∠??? = tan∠??? = tan∠???，cs∠??? = cs∠??? = cs∠???，
?????
∴ 3?−3? = 2??
2
3?
?
∴ 1−? = 3−?．
∴ 3?−3?? = 3?−??，
8．（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线??交?轴于点?，交?轴于点?，??，?? (?? < ??)的长是一元二次方程2?2−3? + 1 = 0的两个实数根，点?关于原点的对称点为点?，过点?作直线??的垂线交??于点?，交?轴于点?．
求直线??的解析式．
点?的坐标为(?,0)，设 △ ???的面积为?，求?与?的函数关系式，并写出自变量?的取值范围．
若点?在直线??上，?为坐标平面内任意一点，是否存在以?、?、?、?为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点?的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)? = 2?−1
− 3 ? + 3 (? < 2)
105
(2)? =3 ?− 3 (? > 2)
105
(1,−1)43
(3)存在，?
，? − 5 ,− 5
【分析】（1）先求出 A、B 的坐标，然后根据待定系数法求解即可；
????
（2）证明△ ??? ∽△ ???，得出?? = ??，根据对称性求出?? = 1，进而求出?? = 2，待定系数法求出直
1
线??的解析式为? = −2? + 1．联立方程组求出点 D 的坐标，然后分? < 2；? > 2分别求出函数解析式即
可；
分两种情况讨论：??为矩形的边和??为矩形的对角线，然后根据矩形的性质，求解即可．
【详解】（1）解：解方程2?2−3? + 1 = 0，得?1
= 1，?2
1
= 2．
∵ ?? < ??，
1
∴ ?? = 2，?? = 1．
∴ ?
1
2 ,0 ，?(0,−1)
设直线??的解析式为? = ?? + ?．
1 ? + ? = 0
∴ 2 ? = −1．，
? = 2
解得 ? = −1 ，
∴ 直线??的解析式为? = 2?−1．
（2）解： ∵ ∠??? + ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??
∵ 点?关于原点的对称点为点?，
∴ ?? = 1．
??1
∴=
?(0,1)．
11，
2
∴ ?? = 2．
∴ ?(2,0)．
1
同理可求：直线??的解析式为? = −2? + 1．
? = 2?−1
1
? = 4
5
? = −
? + 1 ，得
2
? = 3 ， 5
4 3
∴ ?
5 , 5 ．
1
333
当? < 2时，? = 2(2−?) × 5 = −10? + 5；
1333
当? > 2时，? = 2(?−2) × 5 = 10?−5．
− 3 ? + 3 (? < 2)
105
综上所述，? =3 ?− 3 (? > 2) ．
105
（3）解：存在，求解如下：
①如图 1：当??为矩形????一边时，过?作?? ⊥ ??交??于?，分别过?、?作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??相交于点
?，
∵ ?(0,1)，
∴ 点?的纵坐标为 1，则有1 = 2?−1，解得：? = 1，
∴ ?(1,1)，即点?的横坐标为 1，
∵ ?(0,−1)， ∴ 点?的纵坐标为−1，
∴ ?(1,−1)；
②如图 2：当??为矩形????的对角线时，分别过?、?作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??相交于点?
∴ ??，??相互平分，
∵ 过点?作直线??的垂线交??于点?，交?轴于点?．
∴ 点?和点?重合，
∵ ? 5 , 5 ，
4 3
∴ ? 5 , 5 ，
∵ 点?关于原点的对称点为点?，
∴ 点?、点?关于原点的对称，
4 3
∴ ? − 5 ,− 5 ．
43
综上，存在点?即?(1,−1)或? − 5 ,− 5 ，使?，?，?，?为顶点的四边形是矩形．
43
9．（2026·河南商丘·一模）在平行四边形????中，连接??，作 △ ???的外接圆 ⊙ ?，已知∠??? = 35°．
(1)当??经过圆心 0 时，求∠?的度数．
(2)若??与 ⊙ ?相切， ⊙ ?的半径为 6，求??的长．
【答案】(1)∠?的度数是55°
(2) 3
7?
【分析】根据??是⊙ ?的直径，得出∠??? = 90°，结合四边形????是平行四边形，∠??? = 35°，即可
求解．
（2）连接??，??，根据切线的性质得出∠??? = 90°，根据??∥??，∠??? = 35°，得出
∠??? = ∠??? = 35°，则∠??? = 55°，即可求出∠??? = 70°，再根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解： ∵ ??经过圆心 0，
∴ ??是⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = 90°，
∵四边形????是平行四边形，∠??? = 35°，
∴ ∠? = ∠? = 90°−∠??? = 55°，
∴ ∠?的度数是55°．
（2）解：连接??，??，
∵ ??与 ⊙ ?相切于点 D， ⊙ ?的半径为 6，
∴ ∠??? = 90°，
∵四边形????是平行四边形，
∴??∥??，
∵ ∠??? = 35°，
∴ ∠??? = ∠??? = 35°，
∴ ∠??? = 55°，
∵?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 55°，
∴∠??? = 180°−55° × 2 = 70°，
7?
∴ ??? =
70?×6
180
= 3 ．
10．（2026·湖北随州·一模）如图，M、N 分别是菱形????的??、??边上一点，将四边形????沿??折叠得四边形????，??经过点 A（注：折叠后?? ∥ ??）．
(1)若点 F 在菱形????内部，延长??交??于点 G，求证： △ ??? ∽△ ???；
4
(2)若?? = 5，tan? = 3，?? = ??，求??的长；
4
(3)当2∠? + ∠??? = 270°且tan? = 3时．
①求证：?? ⊥ ??；
??
②直接写出??的值．
【答案】(1)见解析
(2)11
30
(3)①见解析；②13
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数的应用，折叠的性质，熟练掌
22
握性质定理是解题的关键．
（1）根据平行的性质得到(∠2 + ∠3) +∠4 = 180°，由折叠性质知：?? ∥ ??，∠? = ∠?，证明∠1 = ∠4，即可得到结论；
（2）过 A 作?? ⊥ ??，由折叠性质知：?? = ??，∠? = ∠?，在Rt △ ???中，tan? = ?? = tan? = 3，设
?? = 4?，则?? = ?? = 3?，求出?? = 6?，再根据勾股定理求出?? = 5?，即可得到答案；
（3）①延长??，??交于点 H，在菱形????中，∠? + ∠??? = 180°，?? ∥ ??，由折叠性质知：
∠? = ∠?，证明∠??? = ∠? = 90°，即可得到结论；
②过 C 作?? ⊥ ??于 K，设?? = 4?，?? = 3?，则?? = 7?，?? = 5?，即菱形????的边长为 7x，由折
??
4
??2?13
叠性质知：?? = ?? = 7?，?? = ??，证明 △ ??? ∽△ ???，根据相似的性质得到3? = 5?，求出?? = 5
22
?，?? = 5 ?，即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图 1，在菱形????中，?? ∥ ??，∠? = ∠?，
∴ (∠2 + ∠3) +∠4 = 180°，
由折叠性质知：?? ∥ ??，∠? = ∠?，
∴ ∠? = ∠?，∠1 + (∠2 + ∠3) = 180°，
∴ ∠1 = ∠4，
∴△ ??? ∽△ ???，
（2）解：过 A 作?? ⊥ ??，
由折叠性质知：?? = ??，∠? = ∠?，
∵ ?? ⊥ ??，?? = ??，
∴ ?? = ??，
??4
在Rt △ ???中，tan? = ?? = tan? = 3，
设?? = 4?，则?? = ?? = 3?，
∴ ?? = ?? = 6?，
∴ ?? =??2 + ??2 = 5?，
∵ ?? + ?? = ??，
∴ 5? + 6? = 5，
5
∴ ? = 11，
30
∴ ?? = 6? = 11；
（3）解：①延长??，??交于点 H，
在菱形????中，∠? + ∠??? = 180°，?? ∥ ??，由折叠性质知：∠? = ∠?，
∵ 2∠? + ∠??? = 270° = ∠? + ∠??? + ∠? + ∠???，
∴ ∠? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠? = 90°，
∴ ?? ⊥ ??；
22
②13．
过 C 作?? ⊥ ??于 K，
由①可知，??∥??,∠??? = 90°,?? ⊥ ??，
∴ ∠? = 90°,∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∵ ?? ⊥ ??，
故四边形????是矩形，
∴ ?? = ??，
4??
∴ tan? = tan? = 3 = ??，
设?? = 4?，?? = 3?，则?? = 7?，?? = 5?，即菱形????的边长为7?，由折叠性质知：?? = ?? = 7?，?? = ??，
∴ ?? = ??−?? = 2?，
∵ ∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
??
??
??
2?
∴ ?? = ??，即3? = 5?，
6
∴ ?? = 5?，
4
∵ tan? = 3，
4
∴ sin? = 5，
∴ ?? = ?? = ?? ⋅ sin? =
28
5 ?，
28622
∴ ?? = ??−?? = 5 ?−5? = 5 ?，
22
∴ ?? = 5 ?，
2213
∴ ?? = ??−?? = 7?− 5 ? = 5 ?，
??
∴ ??
22
==
5 ?
13
5 ?
22
13．
11．（2026·广东深圳·二模）综合与探究
【定义】如图 1，点?是▱????的对角线的交点，过点?作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，垂足分别为?、?．若
??
?? ≥ ??时，我们称? = ??是▱????的中心距比．
【概念理解】如图 2，当? = 1时，求证：▱????是菱形；
????
【性质探究】在图 1 中，▱????的中心距比? = ??与其相邻两边比??是否存在某种关系？若有，求出
这种关系；若没有，请说明理由；
4
【拓展应用】如图 3，在矩形????中(?? > ??)，其中心距比? = 3，?为对角线??中点，?是??边上一
点，连接??，作?? ⊥ ??交??边于点?，若?? = 10，?△??? = 2?△???，求??的值；
4
如图 4，?? = 5，tan∠??? = 3，点?是射线??上一动点，点?是平面内一点．以?、?、?、?为顶点、
??为边的平行四边形的中心距比? = 2．点?在射线??上，连接??、??，当∠??? = ∠???时，直接写出
??的长．
【答案】(1)见解析
(2)存在，? = ??
(3)?? = 17
??
50
(4)??的长为 2 或 16 或
17
10 21−15
3
．
【分析】（1）方法 1：当? = 1时，则?? = ??，根据平行四边形的性质，证明Rt △ ???≌Rt △ ???
(HL)，则∠??? = ∠???，从而得出?? = ??，即可得证；方法 2：根据平行四边形对角线互相平分，可得
?△??? = ?△???，再结合?? = ??，得到?? = ??，即可得证；
根据平行四边形对角线互相平分，可得?
= ?
11
，进而推出
????
△???
△???，从而得出2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??
? = ?? = ??，即可得解；
过点?作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，设?? = 4?，?? = ?? = 3?，利用勾股定理列方程，求出?? = 8，
?? = ?? = 6，证明四边形????是矩形，得到∠??? = 90°，?? = ?? = 3，?? = ?? = 4，进而推出
△ ??? ∽△ ???，设?? = 4?，?? = 3?，根据三角形面积公式列方程，求出?的值，即可得解；
（4）由（2）可知，当? = 2时，平行四边形两相邻边的比为 2．分三种情况讨论：①当?? = 2??时，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??延长线于点?；②当?? = 2??时，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点
?作?? ⊥ ??延长线于点?，利用角的正切值求解；③?? = 2??时，连接??，过点?作?? ⊥ ??，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：方法 1：当? = 1时，则?? = ??，
∵ ▱????，
∴ ?? = ??，
在Rt △ ???和Rt △ ???中，
?? = ??
?? = ?? ，
∴ Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴ ∠??? = ∠???．
∴ ?? = ??，
∴ ▱????是菱形．方法 2：
∵ ▱????
∴ ?? = ??，
∴ ?△??? = ?△???，
11
∴ 2 ?? ⋅ ?? = 2 ?? ⋅ ??
∵ ? = 1时，?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴ ▱????是菱形．
（2）解： ∵ ▱????
∴ ?? = ??，
∴ ?△??? = ?△???，
11
∴ 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??，
????
∴ ? = ?? = ??．
（3）解：如图，过点?作?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∵ 矩形????，?? = 10，
∴ ?? = ??，?? = ??，∠??? = 90°，?? = ?? = ?? = 5，
????4
∵ ? = ?? = ?? = 3，
∴ 设?? = 4?，?? = ?? = 3?，
∴ ?? =??2 + ??2 = 5? = 10，解得：? = 2，
∴ ?? = 8，?? = ?? = 6，
∵ ?? = ?? = ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
11
∴ ?? = 2?? = 3，?? = 2?? = 4，
∵ ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，
∴ ∠??? = 90°，?? = ?? = 3，?? = ?? = 4，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????4
∴ ?? = ?? = 3，
∴ 设?? = 4?，?? = 3?，
∴ ?? = ?? + ?? = 3 + 4?，?? = ??−?? = 4−3?，
∵ ?△??? = 2?△???，
11
∴ 2(3 + 4?) × 4 = 2 × 2(4−3?) × 3，
6
解得：? = 17，
650
∴ ?? = 4−3? = 4−3 × 17 = 17．
（4）解：由（2）可知，当? = 2时，平行四边形两相邻边的比为 2．
①如图 1，当?? = 2??时，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??延长线于点?，
∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ?? = 5，??∥??，
∴ ?? = ?? = 10，∠??? = ∠???，
在Rt △ ???中，tan∠??? = ?? = 4 ，
??3
∴ 设?? = 4?，?? = 3?，
∴ ?? =??2 + ??2 = 5? = 5，解得：? = 1，
∴ ?? = 4，?? = 3，
??4
∵ tan∠??? = ?? = tan∠??? = 3，
同理可得，?? = 6，?? = 8，
∴ ?? = ?? + ?? = 11，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ tan∠??? = tan∠???，
????
∴ ?? = ??，
48
∴ ?? = 11，
11
∴ ?? = 2 ，
1117
∴ ?? = ?? + ?? = 3 + 2 = 2 ；
②如图 2，当?? = 2??时，过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??延长线于点?，
∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ?? = 5，??∥??，
5
∴ ?? = 2，∠??? = ∠???，
∴ tan∠??? = tan∠???，
??4
∴ ?? = 3，
3
同理可求，?? = 2，?? = 2，
313
∴ ?? = ?? + ?? = 5 + 2 = 2 ，
由①可知，?? = 4，?? = 3，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ tan∠??? = tan∠???，
????
∴ ?? = ??，
42
∴ ?? = 13，
2
∴ ?? = 13，
∴ ?? = ?? + ?? = 13 + 3 = 16；
③如图 3，当?? = 2??时，连接??，过点?作?? ⊥ ??，
??4
∵ tan∠??? = ?? = 3，
∴ 设?? = 4?，?? = 3?，
∴ ?? =??2 + ??2 = 5?，
∴ ?? = ?? = 10?，
∴ ?? =??2−??2 =(10?)2−(4?)2 = 2 21?，
∵ ?? = ?? + ?? = 5，
∴ 3? + 2 21? = 5
解得：? =
2 21−3
15
，
∵ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，又∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
??
∴ ?? = ??，
∴ 10? = 5? ，
∴ ?? = 20?，
??
??
10?
∴ ?? = ?? + ?? = 25? =
10 21−15
3
．
综上可知，??的长为 2 或 16 或
17
10 21−15
3
．