2026年中考数学二轮复习 专题03 相似三角形与全等模型(重难专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题03 相似三角形与全等模型(重难专练)，共7页。试卷主要包含了灵活应用等内容，欢迎下载使用。
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近三年：中考数学中相似三角形与全等模型考点主要考向分为四类：
全等三角形的判定与性质（每年 1˜2 道，6˜10 分）；
相似三角形的判定与性质（每年 1˜2 题，6˜10 分）；
全等与相似的综合应用（每年 1 道，8˜12 分）；
全等、相似与几何图形（三角形、矩形、菱形等）的综合（每 1˜2 年 1 道，8˜10 分）
考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为中档综合题，常作为几何压轴题的核心考点，难度中等偏上．
预测 2026 年：相似三角形与全等模型仍是中考数学几何核心考点，全国统一命题趋势下，侧重考查模型
的灵活应用，强化与几何图形、函数的综合融合。命题更注重数形结合、转化思想，强调模型识别与构造能力，考生需熟练掌握全等、相似的判定定理与性质，牢记常见模型，提升图形分析和辅助线构造能力，做到举一反三、灵活应用。
考向 01全等三角形
题型 1 全等三角形的判定与性质
核心判定定理（中考必考）：SSS、SAS、ASA、AAS、HL；
核心性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，对应边上的高、中线、角平分线也分别相等，周长、面积也相等；
应用思路：①由全等判定得出对应边、对应角相等；②利用对应相等关系，转化线段长度、角的度数，解决求值、证明等问题；③结合几何图形性质（如平行线、角平分线、垂直平分线），延伸应用结论。
1．（2026·四川广元·一模）如图，在 △ ???中，∠??? = 90°，?? = 8，?? = 6，??平分∠???，过点?作
10
2
10
??的垂线，交??的延长线于?，交??的延长线于?，则??的长为（ ）
10
A．
B．2
C．4
D．4
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求得?? = 10，再证明△ ???≌ △ ???(ASA)得到?? = ?? = 10，则?? = 2，在 Rt △ ???中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在△ ???中，∠??? = 90°，?? = 8，?? = 6，
∴?? =??2 + ??2 =62 + 82 = 10，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵过点?作??的垂线，交??的延长线于?，交??的延长线于?，
∴?? ⊥ ??，则∠??? = ∠??? = 90°，在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??
∠??? = ∠???
，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ?? = 10，则?? = ??−?? = 10−8 = 2，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =62 + 22 = 2 10．
2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在直角 △ ???中，①以点 A 为圆心，以适当长为半径画弧，交??于点
7
1
M，交??于点 N；②分别以 M，N 为圆心，以大于2??的长为半径画弧，两弧在∠???的内部相交于点
1
P；③作射线??交??于点 D；④分别以 A，D 为圆心，以大于2??的长为半径画弧，两弧相交于 G，H 两
点；⑤作直线??，分别交??,??于点 E，F．依据以上作图，若?? = 10，?? = 6，则△ ???的面积是
（ ）
A．32B．32C．56D．64
【答案】D
【分析】首先由①、②、③判定??是∠???角平分线，由④、⑤判定??是??的垂直平分线，连接
??，设??与??相交于点 0，然后可证△ ???≌ △ ???，则有?? = ?? = 10，进而根据线段垂直平分线的性质可得?? = ?? = 10，再根据勾股定理求出??，最后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：连接??，设??与??相交于点 0，如图所示：
由题意得：??是∠???角平分线，??是??的垂直平分线，
∴∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ?? = ?? = 10，
∵?? = 6，
∴在Rt △ ???中，由勾股定理可得：?? =??2−??2 = 8，
1
∴ △ ???的面积为2?? ⋅ ?? = 2(?? + ??) ⋅ ?? = 2 × (10 + 6) × 8 = 64．
1
1
3．（2026·安徽滁州·一模）如图，在 △ ???中，?? = 2?? = 2?，??是 △ ???的角平分线，?? ⊥ ??，垂足为点?，则??的取值范围是（ ）
1111
A．0 < ?? < 3?B．0 < ?? < 2?C．0 < ?? ≤ 3?D．0 < ?? ≤ 2?
【答案】A
【分析】延长??交??于点?，即可证明 △ ???≌ △ ???(ASA)，有?? = ??和?? = ??，结合题意可得
????11
?? = ?? = ?和?? = ?，作?? ∥ ??，则?? = ?? = 2，可证明??为 △ ???的中位线，可得?? = 2??，同
111
理可证??为 △ ???的中位线，则?? = 2?? = 4??，那么有?? = 3??，根据三角形三边关系得到
?? < ??，有3?? < ?，即可解得答案．
【详解】解析：如图，延长??交??于点?，
则∠??? = ∠??? = 90°，
∵??是 △ ???的角平分线，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??，?? = ??，
∵?? = 2?? = 2?，
∴?? = ?? = ?，
∴ ?? = ?．
????1
作?? ∥ ??，则?? = ?? = 2，
∴点 Q 为??的中点，
∴??为 △ ???的中位线，
1
∴?? = 2??．
∵?? = ??，
∴同理可证??为 △ ???的中位线，
11
∴?? = 2?? = 4??，
则?? = 4??，
∵?? = 3??，
∵?? < ??，
∴3?? < ?，
?
则?? < 3 ，
3
1
那么，0 < ?? < 3?．
1
4．（2026·河南许昌·一模）如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，?? = ?? = 5，点?在射线??上，将线段
??绕点?顺时针旋转45°得到线段??，过点?作?? ∥ ??，交??于点?．若?? = 2，则??的长为．
【答案】5− 2或5 + 2
【分析】过点?作?? ⊥ ??交??于点?，由旋转的性质可证 △ ???≌ △ ???，得?? = ??，由?? ∥ ??，可得∠??? = 45°，由勾股定理可得出??的长度，由点?的位置不确定，故可做分类讨论，当点?在点?左右两侧时得出结果．
【详解】解：过点?作?? ⊥ ??交??于点?，如下图所示：
∵将线段??绕点?顺时针旋转45°得到线段??，
∴?? = ??，∠??? = 45°，
∴∠??? + ∠??? = 45°， 又∵∠??? + ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠???，
又∵?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴?? = ??，
由勾股定理??2 + ??2 = ??2，
解得?? = 2，
∴?? = 2，
∴?? = ??−?? = 5− 2；
当点?在点?右侧时，同理可得?? = 2，
∴?? = ?? + ?? = 5 + 2；
综上，??的长为5− 2或5 + 2．
5．（2026·广东广州·模拟预测）如图，点 P 为Rt △ ???的边??上一动点（点 P 与点 B，C 不重合），
?? = ?? = 4，∠? = 90°， △ ???与 △ ???关于边??成轴对称，将线段??绕点 P 逆时针旋转90°得到线段
??，连接??．
（1）若?? = 2??，则∠???的度数为；
点 P 在运动的过程中，??的最小值为．
【答案】
30°/30 度
2 2
【分析】（1）解直角三角形得出∠??? = 60°，由旋转的性质可得∠??? = 90°，即可得出结果；
（2）由轴对称的性质可得?? = ?? = 4，∠??? = ∠? = 90°，?? = ??，作?? ⊥ ??，交??的延长线于点
?，则∠??? = ∠??? = 90°，由旋转的性质可得∠??? = 90°，?? = ??，证明 △ ???≌ △ ???(AAS)，得
出?? = ??，?? = ?? = 4，设?? = ?? = ?(0 < ? < 4)，则?? = 4−?，再由勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：（1）在Rt △ ???中，∠? = 90°，?? = 2??，
1
∴cs∠??? = ?? = 2，
∴∠??? = 60°，
∵将线段??绕点 P 逆时针旋转90°得到线段??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = 180°−∠???−∠??? = 30°；
（2）∵ △ ???与 △ ???关于边??成轴对称，
∴?? = ?? = 4，∠??? = ∠? = 90°，?? = ??，如图，作?? ⊥ ??，交??的延长线于点?，
??
则∠??? = ∠??? = 90°，
∵将线段??绕点 P 逆时针旋转90°得到线段??，
∴∠??? = 90°，?? = ??，
∵∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，?? = ?? = 4，
设?? = ?? = ?(0 < ? < 4)，则?? = ??−?? = 4−?，
∴?? =??2 + ??2
=(4−?)2 + ?2
=16−8? + ?2 + ?2
=2?2−8? + 16
=2(?−2)2 + 8，
∵(?−2)2 ≥ 0，
∴当? = 2时，??的值最小，为 8 = 2 2．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【答案】见解析
【分析】先根据角平分线的定义得∠??? = ∠??? = 30°，再根据三角形内角和定理求出∠???，进而可求
∠???、∠???，证明 △ ???≌ △ ???(ASA)，即可得出结论．
6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在 △ ???中，∠? = 50°，??平分∠???，∠??? = 30°，点?在??的延长线上，且∠??? = 20°．求证：?? = ??．
【详解】证明：∵??平分∠???，∠??? = 30°，
∴∠??? = ∠??? = 30°，又∵∠? = 50°，
∴∠??? = 180°−∠???−∠? = 100°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 80°，
∵∠??? = 20°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 100°，在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
?? = ??
∠??? = ∠???
，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??．
7．（2026·广东东莞·一模）旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．
【发现问题】如图 1，P 为等边△ ???内一点，∠??? = 123°，∠??? = 113°，求：以??，??，??为边构成的三角形各个内角的度数．
解：如图 2 ，把△ ???绕点 A 旋转到△ ???′，连接??′，请完成后面的过程；
【类比探究】如图 3 ，已知线段? = 4，? = 5，? = 6用无刻度的直尺和圆规求作等边△ ???，使
△ ???内部一个顶点 P 到△ ???三个顶点的距离分别为 4 ，5 ，6．（保留作图痕迹，不写作法）
【拓展延伸】如图 4，在四边形????中∠??? = 30°，∠??? = 60°，?? = ??．探索线段??、??、??
的数量关系并证明你的结论．
【答案】(1)53°、63°、64°，过程见解析
见解析
??2 = ??2 +??2，证明见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质得到∠??? = 60°，由旋转的性质可得??′ = ??，?? = ??′，∠??′
? = ∠??? = 123°，则可证明 △ ???′是等边三角形，得到??′ = ??，∠??′? = ∠???′ = 60°，据此求出
∠???′和∠??′?的度数，再求出∠???′的度数即可得到答案；
（2）先作△ ???，满足?? = 4，?? = 5，?? = 6，再作等边三角形???，连接??，以??为边作等边
△ ???，则 △ ???即为所求；利用SAS可证明 △ ???≌ △ ???，则?? = ?? = 6，而?? = ?? = 4，
?? = 5，故△ ???即为所求；
将??绕点 B 逆时针旋转 60 度得到??，连接??，??，??，则 △ ???是等边三角形，可得
?? = ??，∠??? = 60°，?? = ??，∠??? = ∠??? = 60°；证明△ ???是等边三角形，得到?? = ??，
∠??? = 60° = ∠???，证明 △ ???≌ △ ???(SAS)，得到?? = ??；证明∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，由勾股定理得??2 = ??2 +??2，即??2 = ??2 +??2．
【详解】（1）解：如图 2 ，把△ ???绕点 A 旋转到△ ???′，连接??′，
∵ △ ???是等边三角形，
∴∠??? = 60°；
由旋转的性质可得??′ = ??，?? = ??′，∠??′? = ∠??? = 123°，∠???′ = ∠??? = 60°，
∴ △ ???′是等边三角形，
∴??′ = ??，∠??′? = ∠???′ = 60°，
∴∠???′ = ∠???−∠???′ = 53°，∠??′? = ∠??′?−∠??′? = 63°，
∴∠???′ = 180°−∠???′−∠??′? = 64°，
∵??′ = ??，??′ = ??，
∴以??，??，??为边构成的三角形即为 △ ???′，
∴以??，??，??为边构成的三角形的三个内角的度数分别为53°、63°、64°；
解：如图所示， △ ???即为所求；
解：??2 = ??2 +??2，证明如下：
如图所示，将??绕点 B 逆时针旋转 60 度得到??，连接??,??,??，
∴?? = ??，∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴?? = ??，∠??? = 60°，
∵∠??? = 60°，?? = ??，
∴ △ ???是等边三角形，
∴?? = ??，∠??? = 60° = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??；
∵∠??? = 30°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
在Rt △ ???中，由勾股定理得??2 = ??2 +??2，
∴??2 = ??2 +??2．
考向 02相似三角形
题型 2 相似三角形的判定与性质
核心判定定理（中考必考）：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；④直角三角形中，斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
核心性质：相似三角形的对应角相等、对应边成比例（相似比为 k）；对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比 k；周长比等于相似比 k；面积比等于相似比的平方 k²；
应用思路：①由相似判定得出相似比；②根据性质，将线段比、周长比转化为相似比，面积比转化为相似比的平方；③结合已知条件，求线段长度、面积、角度等，或证明线段比例关系。
1．（2026·云南红河·一模）如图，在 △ ???中，点?、?分别在??、??上，且?? = 3??、?? ∥ ??，若
△ ???的面积为 9，则△ ???的面积为（ ）
32
A．8B．16C．27D． 3
【答案】B
【分析】由?? = 3??得出?? = 4??，再证明 △ ??? ∽△ ???，由相似三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】解：∵?? = 3??，?? = ?? + ?? = 3?? + ?? = 4??，
3
∴?? = 4??，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
3
∵ △ ???的面积为 9，
∴ △ ???的面积为16．
16
9
=，
3 2
4
=
?? 2
??
?△???
?
∴ △??? =
2．（2026·山东菏泽·一模）如图，在 △ ???中，按如下步骤作图：①在??和??上分别截取??，??，使
1
?? = ??，分别以点 M 和 N 为圆心，以大于2??的长为半径作弧，两弧在∠???内交于点 0，作射线??交
1
??于点 D，②分别以点 C 和 D 为圆心，以大于2??的长为半径作弧，两弧相交于点 P 和 Q，作直线??交
??于点 E，交??于点 F．根据以上作图，若?? = 4，?? = 2，?? = 3 2，则线段??的长为（）
11 2
3
2
11
A．B． 2C．6
D．4
2
【答案】D
【分析】根据作法得??平分∠???，??垂直平分??，所以∠??? = ∠???，?? = ??，从而证明?? ∥ ??，
可得△ ??? ∽△ ???，然后利用相似三角形性质可得?? = ?? = ??，解比例方程即可求解．
【详解】解：连接??，
??
????
由作法得??平分∠???，??垂直平分??，
∴∠??? = ∠???，?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???
??
∴?? = ?? = ??，
∵?? = 4，?? = 2，?? = 3 2，
????
∴4+2 = 3
4??
，
2
∴?? = 2 2，
∴?? = ?? = 2 2，
4
∴
??
= 6，
??+2 2
∴?? = 4 2．
【答案】4
??
【分析】通过证明△ ??? ∽△ ???，可得?? = 2,∠??? = ∠??? = 45°，可求??的长，由三角形的面积
公式和二次函数的相知可求解最大值．
【详解】解：过点?作?? ⊥ 直线??于?，
在?? △ ???中，∠??? = 90°,∠? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = 2??,∠??? = 45°，
∵ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = 2??,∠??? = 45° = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
又∵?? = ?? = 2，
∴ △ ??? ∽△ ???，
????
∴?? = 2,∠??? = ∠??? = 45°，
∴?? = 2??,∠??? = 135°，
∴∠??? = 45°，
??
∴?? = 2 ?? = 2??，
2
1
3．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，其中∠? = 45°，?? = 8，若点 M 是??边上的动点，连接??，以??为斜边作等腰直角 △ ???，连接??．则 △ ???面积的最大值是．
∴ △ ???面积 = × ?? ⋅ ?? = × ?? ⋅ (8−??) = − (??−4)2 +4，
1
1
1
1
2
2
2
4
∴当?? = 4时， △ ???面积的最大值为4，
4．（2026·辽宁锦州·一模）如图?,?,?三点共线，??与??交于点?，?? ∥ ?? ∥ ??，若?? ∶ ?? = 5 ∶ 7，则
?△???
?△???
的值为 ．
△???
??
?△???
∴?= ?? = 12．
??5
??
∴?? = ?? = 12，
∵?? ∥ ??，
5
??5
??5
??
∴?? = ?? = 7，
∴?? = 12，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
????
??5
??5
??
【分析】根据?? ∥ ??可得?? = ?? = 7，继而?? = 12，又根据?? ∥ ??可得 △ ??? ∽△ ???，进而?? = ??
5
= 12，最后面积之比可求．
【详解】解：∵?? ∥ ??，
5
【答案】12
5．（2026·广东惠州·一模）如图，??是 △ ???的中线．
尺规作图：过点?作??的平行线交??于点?；（保留作图痕迹，不要求写作法）
在（1）的条件下，若 △ ???面积为 36，则△ ???面积为．
【答案】(1)见解析
(2)18
【分析】（1）作∠??? = ∠???，直线??交??于点?，直线??为所求的平行线；
（2）根据题意得到?△??? = 2?△??? = 2 × 36 = 72，证明△ ??? ∽△ ???，利用相似三角形的性质计算即
可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，直线??为所求的平行线，
（2）解： ∵ ??是 △ ???的中线，?△??? = 36，
∴ ?△??? = 2?△??? = 2 × 36 = 72，由（1）知?? ∥ ??，
∴△ ??? ∽△ ???，
∴ ?=
?△???
?? 2
??
=
△???
1 2
2
= 4
1
∴ ?△??? = 4?△??? = 4 × 72 = 18．
1
1
6．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图， △ ???是等边三角形，?为??边上一点，连接??，将??绕点?顺时针旋转60°得到??，连接??交??于点?．
(1)求证： △ ??? ∽△ ???．
(2)若?? = 8，?? = 7，求??的值．
【答案】(1)见解析
(2) 8
21
【分析】（1）由旋转的性质可得 △ ???是等边三角形，则∠??? = 60°，由△ ???是等边三角形，可得
∠? = ∠? = ∠??? = 60°，由等量代换可得∠??? = ∠???，命题得证；
（2）过点?作?? ⊥ ??于点?．由等边三角形的性质和勾股定理可得?? = 4，?? = 4 3，?? = 1，则
?? = 3，利用△ ??? ∽△ ???计算出??的值即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，?? = ??，∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴∠??? = 60°，
∴∠??? + ∠??? = 180°−∠??? = 120°，
∵ △ ???是等边三角形，
∴∠? = ∠? = 60°，
∴∠??? + ∠??? = 180°−∠? = 120°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???；
（2）解：过点?作?? ⊥ ??于点?．
∵ △ ???是等边三角形，
∴?? = ?? = ?? = 8，又∵?? ⊥ ??，
∴?? = ?? = 2?? = 4，
由勾股定理可得，?? =??2−??2 =
∴?? = 3，
由（1）得△ ??? ∽△ ???，
??78
1
82−42 = 4 3，?? =??2−??2 = 49−48 = 1，
∴?? = ??，即?? = 3，
21
解得?? = 8 ．
??
7．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，在 △ ???中，?? = ??，∠??? = 90°，点 M 为??中点，连接??，过点 A 作?? ⊥ ??于点 D，连接??并延长交??于点 E．
求证：??2 = ?? ⋅ ??；
??
求??的值；
(3)若?? = 6，求线段??的长．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 3
(3)?? = 2 10
【分析】（1）根据题意可得 △ ???∽ △ ???，再利用相似的性质证明即可；
??2
（2）过点 M 作??∥??，得到 △ ??? ∽△ ???，则?? = ?? ，再结合tan∠??? = ?? = ?? = 2即可求解；
????
????1
（3）过点 B 作??的垂线交??的延长线于点 G，得到△ ???∽ △ ???，再证?? = ??、 △ ???∽ △ ???
即可求解．
【详解】（1）证明：由?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°,∠??? + ∠??? = 90°，又∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???∽ △ ???,
∴ ?? = ??，即??2 = ?? ⋅ ??；
????
解：如图，过点 M 作??∥??，
∴△ ??? ∽△ ???，又 M 点是??中点，
??????1
∴ ?? = ?? = ?? = 2，即?? = ??，
∵??∥??，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ?? ，
由（1）知∠??? = ∠???， 又 M 点是??中点，?? = ??，
11????1
∴ ?? = 2?? = 2??，则tan∠??? = ?? = ?? = 2，
??1
∴ tan∠??? = ?? = 2，
???? ??1
∴ ?? = ?? ⋅ ?? = 4，
??1
∴?? = 4，
∴ ?? = 4??,?? = ?? + ?? = 5??,?? = ?? + ?? = 6??
??4??2
∴ ?? = 6?? = 3；
解：过点 B 作??的垂线交??的延长线于点 G，又?? ⊥ ??，
∴ ?? ∥ ??，
∴ △ ???∽ △ ???，
2
??2
又?? = 3，
∴ ?? = 3?? = 4,?? = ?? + ?? = 10，解得?? = 2 10．
??
??
??
??
∴=，即??2 = ?? ⋅ ??，
??
∴ ?? = ??，
∴?? = ??，
∴ △ ???是等腰直角三角形，∠??? = 45°，又?? = ??，∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，又∠??? = ∠???，
∴△ ???∽ △ ???，
????
∴ ?? = ?? = 2，
??1
又?? = 2，
??
??1
1 ????1
??
由（2）知?? = 2, ?? = ?? = 4，
∴ ?? = 2，
1
??
??
∴?? = ??，
考向 03全等与相似综合
题型 3 全等与相似的综合应用
核心衔接点：全等是相似的特殊情况（相似比 k=1），两者可相互转化；常通过全等证明线段相等、角相等，为相似判定提供条件，或通过相似得出比例关系，辅助全等判定；
解题思路：①分析图形，判断需先全等还是先相似；②若需转化角、线段相等，先判定全等，再利用全等性质为相似创造条件；③若需线段比例、面积关系，先判定相似，再结合全等性质补充条件； 3、易错点：混淆全等与相似的判定条件，误用判定定理；不能灵活切换全等与相似的思路，导致推理中断；忽略图形中的隐含关系（如公共角、对顶角）。
1．（2026·安徽合肥·一模）如图，在 △ ???中，∠??? = 90°，?? = ?? = 4，点?是??边上一动点，以??为直角边作等腰直角△ ???，∠??? = 90°，连接??，直线??与??相交于?点．设?? = ?，则下列结论正确的是（ ）
A．??的最小值为2 2−1B．?? ⊥ ??
2
C．当?? = 2时，?? = 2
【答案】B
D． △ ???的面积?随?增大先减小后增大
2
【分析】本题考查相似三角形，全等三角形，等腰三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据题意，求出∠?，根据全等三角形的判定和性质，可得△ ???≌ △ ???(SAS)，得到?? = ??，∠??? = ∠??? + ∠??? = 45° + 45° = 90°；根据垂线段最短，当点?与点?重合时，此时?? = ??且?? ⊥ ??，??有最小值，最小值为：?? = 2?? = 2
?? = 4；过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?；过点?作?? ⊥ ??于点?；求出?? =
2 ?，根
????
据相似三角形的判定和性质，可得?? = ??，根据线段的和差，表示出?? = ??−??−?? = 4 2
1
−?−??，?? = ??−?? = 4 2−?，求出??，根据?△??? = 2 × ?? × ??，得到?△??? = 2?−
?2(4 2−?) 2
16，进行解答，即可．
【详解】解：∵在△ ???中，∠??? = 90°，?? = ?? = 4，
∴∠? = ∠??? = 45°
∵ △ ???是等腰直角三角形
∴?? = ??，∠??? = 90°
∵∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°
∴∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)
∴∠? = ∠??? = 45°，?? = ??
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 45° + 45° = 90°
∴?? ⊥ ??；
∴选项 B 正确；
∵?? = ??
∴当?? = 2时，?? = 2；
∴选项 C 错误；
过点?作?? ⊥ ??交于点?，
∵ △ ???是等腰直角三角形，且?? = 4
∴?? = ??，??2 +??2 = ??2
∴?? = 2 2；
∵ △ ???是等腰直角三角形
∴?? = 2??；
当点?与点?重合时，此时?? = ??且?? ⊥ ??，??有最小值，最小值为：?? = 2?? = 2?? = 4；
∴选项 A 错误；
过点?作?? ⊥ ??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?；过点?作?? ⊥ ??于点?；
∵∠??? = ∠??? = 45°
∴ △ ???是等腰直角三角形；四边形????是正方形；
2
∴?? =
2 ?，
∵∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
∵?? = ?，
∴?? = ??−??−?? = 4 2−?−??，?? = ??−?? = 4 2−?，
4 2−?−??
∴
4 2−?
??
= ? ，
∴?? =
?(4 2−?)
，
4 2
∴?? =
?(4 2−?)
，
4 2
∵?? = ??−??，?? = 2??，
∴?? = ??−?? = 4− 2??，
1
∵?△??? = 2 × ?? × ??，
∴?
1
△??? = 2 ×
(4− 2??) × 2?，
2
?2(4 2−?) 2
整理得：?△??? = 2?−
16，
∴?△???是一个三次函数，其单调性并非简单的先增大后减小，
∴D 错误；故选：B．
2．（2026·河南南阳·一模）定义：如果三角形的两个内角?与?满足? + 2? = 90°，那么我们称这样的三角
形为“类直角三角形”．如图，在Rt △ ???中．∠? = 90°，?? = 3，?? = 5，点?在??边上，使得△ ???
是“类直角三角形”，则?? = ．
39
【答案】2或4
【分析】先求出?? = 4，然后分当∠? + 2∠??? = 90°时，当2∠? + ∠??? = 90°时两种情况，通过相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线性质即可求解．
【详解】解：∵∠? = 90°，?? = 3，?? = 5，
∴?? =??2−??2 =52−32 = 4，当∠? + 2∠??? = 90°时，
∵∠? + ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
过点?作?? ⊥ ??于点?，如图，
∵∠? = 90°，
∴?? = ??，
在Rt △ ???和Rt △ ???中，
?? = ??
?? = ?? ，
∴Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴?? = ?? = 3，
∴?? = ??−?? = 5−3 = 2，
在直角三角形 ABC 中，由勾股定理得：?? =??2−??2 =52−32 = 4，设?? = ?? = ?，则?? = 4−?，
根据勾股定理得：??2 = ??2 +??2，即(4−?)2 = ?2 + 22，
3
解得：? = 2，
3
∴?? = 2；
当2∠? + ∠??? = 90°时，
∵∠? + ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠?，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
∴?? = ??，
??3
即 3 = 4，
??
9
解得：?? = 4，
39
综上所述，?? = 2或4．
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在 △ ???中，∠??? = 90°，点 B、点 D 关于??对称，连接??，
??，??，点 E 在??上，作?? ⊥ ??，垂足为点 F，点 M 为线段??的中点，连接??，??，有如下结论：
①∠??? = ∠???；②?四边形???? = ?? ⋅ ??；③?? = ??；④若?? = 5，tan∠??? = 3，连接??，则
??的最小值为 9．其中一定正确的结论是．（请将正确的结论序号填在横线上）
【答案】①③④
【分析】因为点?、?关于??对称，所以??是??的中垂线，根据轴对称的性质，可判断∠???与∠???的关系，验证结论①；
因为四边形????的面积可拆分为 △ ???和 △ ???的面积之和，结合轴对称性质中?? ⊥ ??，利用三角形面积公式，可验证结论②；
可作辅助线过点 M 作?? ∥ ??，连接??，证得?? = ??，则易验证结论③；
要找??的最小值，根据点到直线的距离垂线段最短，可用等面积法来求最短距离，验证结论④．
【详解】解：①：∵点?、?关于??对称，
∴??是??的中垂线，
∴?? = ??,?? = ??,
又∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SSS)，
∴∠??? = ∠???，①正确；
②：因为?、?关于??对称，
∴?? ⊥ ??，?四边形???? = ?△??? + ?△??? = 2?? ⋅ ?? + 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??，不是?? ⋅ ??，②错误；
1
1
1
③：如图，过点 M 作?? ∥ ??，连接??，
∵?? ⊥ ??，∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = 90°，
??
??
∴?? = ??，
∵点 M 为线段??的中点，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∴??垂直平分??，
∴?? = ??，
又∵??是??的中垂线，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
③正确；
④：如图，作?? ⊥ ??，由图可知??的最小值是点?到直线??的距离??，
∵?? = 5，tan ∠??? = 3，
∴?? = ?? = 15，
∴?? =??2 + ??2 =52 + 152 = 5 10，由∠??? = ∠??? = 90°,∠??? = ∠???，得 △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
∴??2 = ??·??，
∴?? =
9 10
2 ，
∴?? =
3 10
2 ，
11
∵?△??? = 2??·?? = 2??·??，
∴?? =
??·??
??
3 10
= 22 = 9，
×2×
9 10
15
∴??的最小值为 9，
④正确；
综上，正确结论为①③④．
4．（2026·甘肃临夏·一模）如图1，在四边形????中，∠??? = ∠???，点?在边??上，且?? ∥ ??，
?? ∥ ??，点?在边??上，且?? = ??，连接??，??，??交??于点?．
(1)求证：?? = ??；
(2)如图2，若∠??? = ∠???，求证：??·?? = ??·??．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）通过论证 △ ???≌ △ ???(SAS)和四边形????是平行四边形即可得出结论；
（2）通过△ ??? ∽△ ???得到?? = ??， △ ??? ∽△ ???得到?? = ??，进而得出?? = ??，再结合
????????????
?? = ??，?? = ??得到?? = ??，转换成等积式即可得出结论.
【详解】（1）证明：∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
????
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∵?? = ??，
∴?? = ??，
∵?? ∥ ??，
∴四边形????是平行四边形，
∴?? = ??，
∴?? = ??；
（2）证明：∵∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
∴?? = ??，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∵?? = ??，?? = ??，
??
??
????
∴?? = ??，
即：??·?? = ??·??.
??
5．（2026·山东枣庄·一模）探究解题：
如图，等腰直角 △ ???中，点?是斜边??上任意一点，在??的右侧作等腰直角 △ ???，使∠???=90
°，?? = ??，连接??．判断∠???和∠???数量关系并说明理由；
【拓展延伸】
如图 2，在等腰△ ???中，?? = ??，点?是??边上任意一点（不与点?，?重合），在??的右侧作等腰
△ ???，使?? = ??，∠??? = ∠???，连接??，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
(3)在（2）的条件下，若?? = ?? = 5，?? = 3，点?是直线??上任意一点，请直接写出当?? = 2时??的长．
【答案】(1)∠??? = ∠???，理由见解析
成立，理由见解析
921
5或 5
【分析】（1）利用SAS证明 △ ???≌ △ ???，得?? = ??；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠??? = ∠??? = 1(180°−∠???)，∠??? = ∠??? = 1(180°−∠???)，根
22
据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）分两种情况，即点?在线段??上和点?在线段??的延长线上，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）解：相等，理由如下：
∵ △ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ∠??? = ∠???；
解：成立，理由：
∵ ?? = ??，
2
∴ ∠??? = ∠??? = 1(180°−∠???)，
∵ ?? = ??，
2
∴ ∠??? = ∠??? = 1(180°−∠???)，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
??
??
∴ ?? = ??，
∵ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴ ∠??? = ∠???；
解：如图 2，当点?在线段??上，
根据（2）可得△ ??? ∽△ ???，
??
??
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ?? = 5，?? = 3，?? = 2
5
∴ 3 =
5−2
?? ，
9
∴ ?? = 5．
如图 3，当点?在线段??的延长线上，
∵ ?? = ??，
2
∴ ∠??? = ∠??? = 1(180°−∠???)，
∵ ?? = ??，
2
∴ ∠??? = ∠??? = 1(180°−∠???)，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
??
??
∴ ?? = ??，
∵ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，即∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ?? = 5，?? = 3，?? = 2
5
∴ 3 =
5+2
?? ，
21
∴ ?? = 5 ．
921
综上所述，??为5或 5 ．
考向 04全等与相似模型应用
题型 4 常见全等模型
核心模型及识别：①手拉手模型：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，可通过 SAS 判定全等（对应边相等、对应角相等）；②一线三垂直模型：一条直线上有三个直角，可通过 AAS 或 ASA 判定全等（常用来转化线段、角）；③轴对称全等模型：图形关于某条直线对称，对应边、对应角相等，可直接判定全等。
应用技巧：①快速识别模型，确定全等判定方法；②利用模型性质，快速找到对应边、对应角，简化推理过程；③结合模型特点，构造辅助线（如连接顶点、作垂线），补全模型。
易错点：模型识别不熟练，无法快速找到全等条件；忽略模型的隐含条件（如等腰三角形的两腰相等、顶角相等）；构造辅助线时，方向错误。
1．（2026·山东济南·一模）如图，在 △ ???中，按如下步骤作图：
1
①在??和??上分别截取??,??，使?? = ??，分别以点?和?为圆心，以大于2??的长为半径作弧，两
弧在∠???内交于点?，作射线??；
1
②分别以点?和?为圆心，以大于2??的长为半径作弧，两弧相交于点?和?，作直线??交??于点?，连接
??,??．
根据以上作图，若?? = 6,?? = 4,?? = 3，则点?到直线??的距离为（ ）
2
2
A．1 +
B．2
C．1 +
D．2
3
3
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．根据作图步骤可知??平分∠???，??垂直平分??，从而得出?? = ??，点?到??、??的距离相 等．过点?作?? ⊥ ??于?，?? ⊥ ??交??的延长线于?，通过证明Rt △ ???≌Rt △ ???和Rt △ ???≌Rt
△ ???，利用线段的和差关系求出??的长，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点?作?? ⊥ ??于?，?? ⊥ ??交??的延长线于?，
在Rt △ ???和Rt △ ???中，
由作图步骤①可知，??平分∠???，
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = 90∘，
?? = ??
?? = ?? ，
∴ Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴ ?? = ??，
由作图步骤可知，??垂直平分??，点?在??上，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = 3，
∴ ?? = 3，
?? = ??
在Rt △ ???和Rt △ ???中， ?? = ?? ，
∴ Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = 6，?? = 4，
∴ ?? = ??−?? = 6−??，
?? = ?? + ?? = 4 + ??，
∵ ?? = ??，
∴ 6−?? = 4 + ??，解得?? = 1，
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 =32−12 = 8 = 2 2，
即点?到直线??的距离为2 2．
2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在Rt △ ???中，∠? = 90°，点?、?分别在边??和??上，且?? = 4，
?? = 3，连接??，点?、?分别是??、??的中点，连接??，则??的长度为（ ）
51213
A．2B． 5C．2D． 5
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型
构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点?作??∥??，连接??并延长交??于点?，连接??，可证 △ ???≌ △ ???(ASA)，可得?? = ?? = 4，
?? = ??，再根据平行线的性质得∠??? = 90°，即得?? =??2 + ??2 = 5，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解，
【详解】解：如图，过点?作??∥??，连接??并延长交??于点?，连接??，
∴∠??? = ∠?，
∵点?是??的中点，
∴?? = ??，
又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ?? = 4，?? = ??，
∵??∥??，∠? = 90°，
∴∠??? = 180°−∠? = 90°，
∵?? = 3，
∴?? =??2 + ??2 =42 + 32 = 5，
∵?? = ??，点?是??的中点，
∴??是 △ ???中位线，
5
∴?? = 2?? = 2，
故选：A．
1
3．（2025·安徽池州·三模）如图，菱形????中，∠? = 60°,?是??边上一点，?是??边上一点，
∠??? = 60°，连接??交??于点?．
（1）若∠??? = ?，则∠??? = （用?表示）；
（2）若?? = 4，则?? ⋅ ??的最大值是．
【答案】60°−?3
【分析】（1）先证明 △ ???是等边三角形；得出∠??? = 60° = ∠???，再利用三角形的内角和定理进一步可得答案；
12
（2）设?? = ?，?? = ?，根据?? ⋅ ?? = ??(??−??) = − ?− 2 ?
?? ⋅ ??有最大值，求出最大值为 3 即可．
【详解】解：（1）∵四边形????是菱形，∠?=60°，
∴?? = ?? = ?? = ??，∠??? = 180°−60° = 120°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴?? = ??，∠??? = ∠? = ∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 60°，
∴∠? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 60°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠???，
∴在△ ???和 △ ???中，
∠??? = ∠???
1?2
+
4
，根据二次函数性质，说明
∵?? = ??，
∠? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ??，
又∵∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形；
∴∠??? = 60° = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? = ?，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 60°−?；故答案为：60°−?
（2）∵?? + ?? = ??，
∴?? = ??−??，
∴?? ⋅ ?? = ??(??−??)，设?? = ?，?? = ?，
∴?? ⋅ ?? = ??(??−??)
= ?(?−?)
= −?2 + ??
性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
1
∴?? = ?? = 2?? = 3，
∴?? ⋅ ?? = 3 × 3 = 3，即?? ⋅ ??的最大值为 3．故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和
∴?? = ?? = 2 3，
1
∴此时?? ⊥ ??，∠??? = ∠??? = 2??? = 30°，
∴此时∠??? = 60°−∠??? = 30°，
∴??平分∠???，
∵ △ ???为等边三角形，
∴?? ⊥ ??，
∵?? = 4，
∴?? = ?? = 2，
11
∴此时?? = ?−2? = 2?，
∴此时?? = ??，
∵ △ ???为等边三角形，
4
2
1
1
∴当? = ?时，?? ⋅ ??取最大值 ?2，
21 2
1
= − ?− 2 ?+ 4? ，
4．（2025·青海西宁·一模）综合与实践
【问题呈现】
如图 1， △ ???和 △ ???都是等边三角形，连接??，??．求证：?? = ??．
【类比探究】
??
如图 2， △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°，连接??，??，则?? =
【拓展提升】
??2
如图 3， △ ??? ∽△ ???，∠??? = ∠??? = 90°，连接??，??，若?? = 4 ．
??
①求??的值；
②延长??交??于点?，则sin∠??? = ．
212 2
【答案】（1）见解析；（2） 2 ；（3）①3，② 3 ．
【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
??1
①利用勾股定理求得?? = 3，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到∠??? = ∠???，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵ △ ???和 △ ???是等边三角形，
∴?? = ?? = ??，?? = ?? = ??，∠??? = ∠??? = 60°，
∵∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???（SAS），
∴?? = ??；
（2）∵ △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? = 2??，?? = 2??，∠??? = ∠??? = 45°，
????2
∴?? = ?? = 2 ，
∵∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
????2
∴?? = ?? = 2 ．
2
故答案为： 2 ；
??2
（3）①∵∠??? = 90°，?? = 4 ，
∴设?? = 2?，则?? = 4?，
∴?? =??2 + ??2 = 3 2?，
角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的
判定与性质是解题的关键．
2 2
故答案为： 3 ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三
= 3 ．
3 2?
??4?2 2
∴sin∠??? = sin∠??? = ?? =
∵ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
????
∴?? = ?? = 3．
②设??，??交于点?，如图，
1
??2?
∴?? = 3 2? = 3．
∵ △ ??? ∽△ ???，∠??? = ∠??? = 90°，
????
∴∠??? = ∠???，?? = ??，
∵∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
1
5．（2025·山西大同·一模）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
三角形中位线定理的证明如图 1，在△ ???中，点 D，E 分别是??，??的中点，连接??，像??这样，
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：??∥??，且?? = 2??．
1
证明：如图 2，延长??到点 F，使?? = ??，连接??，??，??．
∵点 D，E 分别是??，??的中点，∴?? = ??，?? = ??．又∵?? = ??，
∴四边形????是平行四边形．（依据 1）
∴??∥??，?? = ??．∴?? ∥ ??，?? = ??．
∴四边形????是平行四边形．（依据 2）
∴??∥??，?? = ??．又∵?? = 2??，∴?? = 2??．
归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法．
1
1
任务：
上述材料证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别是指：依据 1：；
依据 2：．
数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明．
1
如图 3，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，点 E 为??边的中点．求证：?? = 2??．
如图 4，四边形????和四边形????都是正方形，点 M 是??的中点．若?? = 4，则??的长为．
【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
见解析
2
【分析】（1）由平行四边形的判定定理可得出答案；
延长??到点 F．使?? = ??．连接??，??．证明四边形????是平行四边形．从而可证得四边形????是矩形，由矩形的性质得到?? = ??，继而可得出结论．
延长??到点 N，使?? = ??，连接??，??．证明四边形????是平行四边形．得到??∥??，
?? = ??．从而有∠??? + ∠??? = 180°．再证明 △ ???≌ △ ???(SAS)，得出?? = ?? = 4，继而可求解．
【详解】（1）解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
证明：如图，延长??到点 F．使?? = ??．连接??，??．
∵点 E 为??的中点．
∴?? = ??．又∵?? = ??，
∴四边形????是平行四边形．
∵∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形．
∴?? = ??．
∵?? = ??．
1
∴?? = 2??．
1
∴?? = 2??．
解：如图，延长??到点 N，使?? = ??，连接??，??．
∵点 M 是??的中点，
∴?? = ??． 又∵?? = ??．
∴四边形????是平行四边形．
∴??∥??，?? = ??．
∴∠??? + ∠??? = 180°．
∵四边形????和四边形????都是正方形
∴?? = ??，?? = ??．∠??? = ∠??? = 90°．
∴?? = ??，∠??? + ∠??? = 360°−∠???−∠??? = 180°．
∴∠??? = ∠???．
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ?? = 4．
∴?? = 2?? = 2．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理的证明，直角三角形
1
斜边 中线等于斜边的一半性质的证明，全等三角形的判定与性质． 本题是四边形综合题，熟练掌握“倍长
线段法”是解题的关键．
6．（2025·辽宁本溪·模拟预测）【问题初探】
如图 1，??是 △ ???的中线，?? = 6，?? = 4，求中线??长度的取值范围．小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小红同学的思考过程：如图 2，延长??到点?，使?? = ??，连接??，利用三角形中位线…；
②小林同学的思考过程：如图 3，延长??到点?，使?? = ??，连接??，构造三角形全等…；请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图 4，已知等腰Rt △ ???中，?? = ??，∠??? = 90°，点 D 在直线??上移动，连接??，将??绕点?逆时针旋转90°得到??，连接??，取??中点?，连接??，猜想??与??之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）在（2）的条件下，若?? = 1，?? = 2 2，请你直接写出??的长度．
35
【答案】（1）见解析；（2）?? = 2??，证明见解析；（3）2或2
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
（1）①小红同学的解题思路：延长??到点?，使?? = ??，连接??，先根据三角形的中位线定理可得
?? = 2??，再根据三角形的三边关系可得??−?? < ?? < ?? + ??，由此即可得；②小林同学的解题思
路：延长??到点?，使?? = ??，连接??，先证出 △ ???≌ △ ???，根据全等三角形的性质可得
?? = ?? = 6，然后根据三角形的三边关系可得??−?? < ?? < ?? + ??，由此即可得；
（2）?? = 2??，证明：延长??至?，使?? = ??，连接??，先根据三角形的中位线定理可得?? = 2??，再证出△ ???≌ △ ???，根据全等三角形的性质可得?? = ??，由此即可得；
（3）先利用勾股定理可得?? = 4，再分两种情况：①当?在点?的右侧时，②当?在点?的左侧时，先求
1
出??的长，再参考（2）的思路证出?? = 2??，由此即可得．
【详解】解：（1）①小红同学的解题思路：如图，延长??到点?，使?? = ??，连接??，
∵??是 △ ???的中线，?? = ??，
∴??是 △ ???的中位线，
1
∴?? = 2??，即?? = 2??，
∵?? = ??，?? = 6，
∴?? = 6，
∵?? = 4，
∴在△ ???中，??−?? < ?? < ?? + ??，即6−4 < ?? < 6 + 4，
∴2 < 2?? < 10，
∴1 < ?? < 5．
②小林同学的解题思路：如图，延长??到点?，使?? = ??，连接??，
∵??是 △ ???的中线，
∴?? = ??，
在△ ???和△ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ?? = 6，又∵?? = ??，
∴?? = ?? + ?? = 2??，
∵?? = 4，
∴在△ ???中，??−?? < ?? < ?? + ??，即6−4 < ?? < 6 + 4，
∴2 < 2?? < 10，
∴1 < ?? < 5．
（2）?? = 2??，证明如下：
如图，延长??至?，使?? = ??，连接??，
∵点?为??中点，?? = ??，
∴??是△ ???的中位线，
∴?? = 2??，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∵将??绕点?逆时针旋转90°得到??，
∴∠??? = 90°，?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∵?? = ??，?? = ??，
∴?? = ??，
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
又∵?? = 2??，
∴?? = 2??．
∵等腰Rt △ ???中，?? = ?? = 2 2，∠??? = 90°，
∴?? =??2 + ??2 = 4，
∵?? = 1 < ??．
则分以下两种情况：
①如图，当?在点?的右侧时，
∴?? = ??−?? = 3，
由（2）已证：?? = 2??，
13
∴?? = 2?? = 2；
②如图，当?在点?的左侧时，
延长??至?，使?? = ??，连接??，
∵点?为??中点，?? = ??，
∴??是△ ???的中位线，
∴?? = 2??，
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∵将??绕点?逆时针旋转90°得到??，
∴∠??? = 90°，?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，即∠??? = ∠???，
∵?? = ??，?? = ??，
∴?? = ??，
在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ?? = ?? + ?? = 5，又∵?? = 2??，
115
∴?? = 2?? = 2?? = 2；
35
综上，??的长度为2或2．
题型 5 常见相似模型
核心模型及识别：①A 字型：一条直线平行于三角形一边，与另外两边相交，形成的小三角形与原三角形相似（两角相等）；②8 字型：两条直线相交，形成的两个三角形有对顶角，且另外一组角相等，可判定相似；③母子相似：直角三角形斜边上的高，分原三角形为两个小直角三角形，三个三角形两两相似；
应用技巧：①识别模型，快速确定相似判定条件（两角相等）；②利用模型的固定比例关系，直接转化线段比例，无需重复证明相似；③复杂图形中，拆分或补全模型，简化计算。
易错点：模型识别错误（如混淆 A 字型与 8 字型）；比例关系找错（对应边顺序混乱）；忽略模型的适用条件（如 A 字型需平行线）。
1．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知 △ ???和 △ ???是等腰直角三角形，其中∠??? = ∠??? = 90°，且
E 是中线??的中点，连接??，若?? = 4，则线段??的长为（ ）
2
A． 2
2
B．2C．
3 2
D． 2
【答案】C
【分析】如图所示，延长??到点 G，使?? = ??，连接??，首先求出?? = ?? = 2?? = 2，?? = ??，证
明出△ ???≌ △ ???(SAS)，得到?? = ?? = 2，然后证明出△ ??? ∽△ ???，得到?? = ?? = 2，进而求解即可．
1
????
【详解】如图所示，延长??到点 G，使?? = ??，连接??
∵ △ ???是等腰直角三角形，∠??? = 90°
∴?? = ?? = 4
∵E 是中线??的中点
∴?? = ?? = 2?? = 2，?? = ??
1
【点睛】此题考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键
是正确作出辅助线．
2
2，即?? = 2
????
∴?? = ?? =
∴?? = 2．故选：C．
????
∴?? = 2 = ??
∴ △ ??? ∽△ ???
??
∴1= 2
2 ??
2
????
∴∠??? = ∠??? = 45°，?? = 2，?? =
∴∠??? = ∠???
∵?? = ??
∵?? = ??，∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)
∴?? = ?? = 2
∵ △ ???和 △ ???是等腰直角三角形，
2．（2026·安徽六安·一模）如图，在 △ ???中，??垂直平分边??，垂足为点?，交??于点?，点?为??的中点，连接??与??交于点?．若?? = ??，则下列结论错误的是（ ）．
??1
??3
??7
??4
A．?? = 3B．?? = 4C．?? = 12D．?? = 5
【答案】D
【分析】根据??垂直平分边??，推出∠??? = ∠?，?? = ??，?? = ??，结合?? = ??，推出
△ ??? ∽△ ???和 △ ??? ∽△ ???，根据性质可判断选项的值．
【详解】∵??垂直平分??，
∴∠??? = ∠?，?? = ??，?? = ??，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
∴?? = ??，
∵??垂直平分??，点?为??的中点，
??
??9?
∴?? = 7? = 7．
∴选项 D 错误，符合题意．故选：D．
??7?
∴?? = 12? = 12．
∴选项 C 正确，不符合题意．
9
??????
∵?? = ?? = ?? = 4，
∴设?? = 12?，则?? = 16?，?? = 9?，
∴?? = ??−?? = 16?−9? = 7?．
7
3
????3?
∴?? = ?? = 4? = 4，
∴选项 B 正确，不符合题意．
3
????
∴?? = ?? = ??，
∵?? = ??，
?
??
∴?? = 3? = 3．
选项 A 正确，不符合题意．
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠? + ∠???，∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??1
1
????
∴?? = ?? = 4，
∴?? = 4，
∵设?? = ?，?? = ?? = 4?，
∴?? = ??−?? = 3?，
1
3．（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图 1，这个图案是 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图 2，在
△ ???中，∠? = 90°，将线段??绕点?顺时针旋转90°得到线段??，作?? ⊥ ??交??的延长线于点?．
【观察感知】如图 2，通过观察，线段??与??有怎样的数量关系？
【问题解决】如图 3，连接??并延长交??的延长线于点?，若?? = 2，?? = 6，求△ ???的面积；
??
【类比迁移】在（2）的条件下，连接??交??于点?，求??的值；
【答案】(1)?? = ??
(2)?△??? = 10；
9
(3)13．
【分析】（1）根据旋转的性质可得∠??? = 90°，?? = ??，进而证明 △ ???≌ △ ???(AAS)，即可求解；
（2）根据（1）的方法证明△ ???≌ △ ???(AAS)，进而证明 △ ??? ∽△ ???，求得?? = 4，则
?? = 10，然后根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）过点?作?? ⊥ ??于点?，证明△ ??? ∽△ ???得出?? = 3??，证明 △ ??? ∽△ ???，设
54
?? = ?，则?? = ??−?? = 6−?，代入比例式，得出? = 13，进而即可求解；
本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题
1
的关键．
【详解】（1）解：?? = ??．
∵将线段??绕点?顺时针旋转90°得到线段??，作?? ⊥ ??交??的延长线于点?．
∵∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∵∠? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
又∵∠? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??；
（2）解：∵∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∵∠? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
又∵∠? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，?? = ??，
∵?? = 2，?? = 6，
∴?? = 2，?? = 6
∴?? = ?? + ?? = 2 + 6 = 8，
∵∠??? + ∠? = 180°，
∴??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
2??
∴6 = ??+8，
∴?? = 4，
∴?? = ?? + ?? = 6 + 4 = 10，
11
∴?△??? = 2 × ?? × ?? = 2 × 10 × 2 = 10；
（3）解：如图所示，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∵∠? = ∠??? = 90°，∠??? = 90°−∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
??
∴?? = ?? = ?? ，
??????1
即?? = 6 = 2 ，即?? = 3??，
又∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ?? ，
设?? = ?，则?? = ??−?? = 6−?，
1
6−?
8
= 6 ，
3 ?
54
解得：? = 13，
54
∴?? = 13，
54
∴=
????
9
????6
= 13 =
13
，
4．（2025·河南南阳·二模）综合与实践
【问题呈现】
如图①， △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°，连接??，??，则??，??
之间的数量关系是，∠??? = ．
如图②，在△ ???中，?? = ??，∠??? = 90°，?（不与点?，?重合）是直线??上的一动点，将线段??绕点?按顺时针方向旋转90°得到??，连接??，??．
【类比探究】
①如图②，点?在线段??上时，求证：??−?? = 2??．
【拓展提升】
②如图③，?? = ?? = 4 2，在点?运动的过程中，当∠??? = 60°时，请直接写出??的长．
【答案】（1）?? = 2??；45°；（2）①见解析；②4 3 ± 4
【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、30°直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点．
（1）证明△ ??? ∽△ ???，根据相似三角形的性质可得?? = ?? = 2，∠??? = ∠??? = 90°；
（2）同理（1）可得可求?? = ?? = 2??，?? = 2??，由此求出??−?? = 2??；
（3）分当??在∠???内时，当??在∠???外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用30°直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解．
??
??
【详解】解：（1）?? = 2??；∠??? = 45°；
∵ △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，?? =??2 + ??2 = 2??，?? =??2 + ??2 = 2??，
??
∴∠??? = ∠???，?? = ?? = 2，
??
∴ △ ??? ∽△ ???，
????
∴?? = ?? = 2，∠??? = ∠??? = 90°，
∴?? = 2??，∠??? = ∠???−∠??? = 45°，故答案为：?? = 2??；45°；
（2）①如图②，过点?作?? ⊥ ??，垂足为?，
∵在△ ???中，?? = ??，∠??? = 90°，
∴?? = ??，
1
∴?? = ?? = ?? = 2??，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
由旋转可知： △ ???是等腰直角三角形，
同理（1）可得：?? = 2??；∠??? = 90°；设?? = ?? = ?? = ?，?? = ?，
则?? = ??−?? = ?−?，?? = ?? = 2?，?? = 2?? = 2?，
∴??−?? = 2?− 2? = 2(?−?)，
∴??−?? = 2??，
②当??在∠???内时，如图③-1，过点?作?? ⊥ ??，垂足为?，
同理可得： △ ??? ∽△ ???，?? = 2??；∠??? = 90°；
∵在△ ???中，?? = ??，∠??? = 90°，
∴?? =??2 + ??2 = 8，
∴?? = ?? = ?? = 4，
∴当∠??? = 60°时，
∴∠??? = 30°，
∴?? = 2?? = 8 2，
∴?? =??2−??2 = 3?? = 4 6，
∴?? == 4 6 ÷ 2 = 4 3，
2
??
∴?? = ?? + ?? = 4 + 4 3
当??在∠???内时，如图③-2，
同理可求：?? = 4 3，?? = 4，
∴?? = ??−?? = 4 3−4
综上所述：??长为4 3 ± 4
5．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在 △ ???中，?? = ??，?为??边上一点，连接??，将 △ ???沿??翻折，得到△ ???，??交??于点?．
如图 1，当?? ∥??时，猜想四边形????的形状，并说明理由．
1
如图 2，当?? ⊥ ??，?? = 3??时，请判断线段??,??,??之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)若tan? = 3，?? = 3，在△ ???和 △ ???中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的 2 倍时，请直接写出△ ???与 △ ???重叠部分的面积．
【答案】(1)四边形????是菱形，见解析
(2)?? = 2?? + ??或?? = 2?? = 4??，见解析
(3) 32
21 3
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、解三角形，解题关键是利用相似三角形性质转化线段
比，求出线段之间的关系．
（1）根据折叠和平行证明∠??? = ∠??? = ∠???，从而可得?? = ??，由四边相等的四边形是菱形得出
结论；
??
过点C作?? ⊥ ??于点F，证明 △ ???≌ △ ???，可得?? = ??，?? = ??，再由?? ∥ ??，可得?? =
????
?? = ??，进而可得?? = 3??，?? = 3??，根据相等的等量关系计算可得?? = 2?? = 4??．
??????
（3）先根据面积关系得出?? = ?? = 2?? = 2，?? = 1，再证明△ ??? ∽△ ???，可得?? = ?? = ?? =
1321
3，利用线段和差计算求解即可得出?? = 8，?? = ??−?? =
△ ???的面积．
【详解】（1）解：结论：四边形????是菱形，
证明：由折叠可知：?? = ??，?? = ??，∠??? = ∠???，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ?? = ?? = ??，
∴四边形????是菱形，
（2）解：?? = 2?? + ??， 理由：过点C作?? ⊥ ??于点F，
∴∠??? = 90°，
8 ，由此即可求出△ ???与 △ ???重叠部分
∵?? ⊥ ??，即∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵ △ ???沿??翻折，得到 △ ???，
∴∠? = ∠???，?? = ??，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴?? = ??，?? = ??，
∵∠??? = 90°，∠??? = 90°
∴?? ∥ ??，
??????
∴?? = ?? = ??
1
∵?? = 3??，
∴?? = 3??，?? = 3??，
∴?? = 2??，
∵?? = ?? + ??
∴?? = 2?? + ??，（可作结论）
∴?? = ?? = 2?? + ?? + ?? = 3?? + ??，
22
∴?? = ?? = 3?? = 3(3?? + ??)，
21
∴?? = ??−?? = 3(3?? + ??)−?? = 2??−3??，
1
∴?? = 3?? = 3(2??−3??) = 6??−??，
∴2?? + ?? = 6??−??，
∴?? = 2??，
∴?? = 2?? + ?? = 2??，
∴?? = 2?? = 4??．
解：如图：
∵tan? = 3，
∴∠? = 60°，
∵?? = ??，
∴ △ ???是等边三角形，
∴∠? = ∠? = ∠? = 60°，?? = ?? = ?? = ?? = 3，
在△ ???和 △ ???中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的 2 倍时，而且??交??于点?．
∴?△??? = ?△??? = 2?△???，
2
∴?? = ?? = 2?? = 3?? = 2，?? = 1，
3
∴?? = ??sin∠? = 2 ，
∵∠? = ∠?，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??????1
∴?? = ?? = ?? = 3，
∴?? = 3??，?? = 3??，
∴?? = 3(??−??) = 3(2−3??)，
∴?? = ??−?? = 3−3(2−3??)，
3
∴?? = 8，
21
∴?? = ??−?? = 8 ，
∴?△??? = 2 × 2 × 8 = 32 3．
1
32121
考向 05全等、相似与几何、函数综合
题型 6 全等、相似与几何、函数综合
核心综合形式：全等/相似模型+三角形/矩形/菱形/圆+一次函数/二次函数，考查线段长度、点的坐标、面积计算、最值问题等；
解题关键：数形结合，先识别图形中的全等、相似模型，利用模型性质转化线段、角关系，再结合函数解析式，建立等式求解；
解题思路：①分析图形，识别全等、相似，判定全等或相似，得出线段、角关系；②结合几何图形性质，确定关键点坐标；③代入函数解析式，求解未知量，或利用函数性质求最值；④验证结果，确保符合图形和函数的取值范围。
1
1．（2026·重庆·一模）如图，在正方形????中，点?在对角线??上，且?? = 3??，点?在??上，连结
??
??，??，且?? = ??，连结??交??于?，则??的值为（ ）
4 55
A． 15
4 5
5
B． 3
C． 3D． 5
【答案】B
【分析】考查正方形性质、等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理；用几何推理 + 相似 +
勾股解题，关键是先证 F 为??中点，再用相似得线段比，易错点是比例关系看错、勾股计算错误．先由正方形对角线得45°角，结合?? = ??证 F 是??中点；再由??∥??得 △ ??? ∽△ ???，推出
??:?? = 1∶2，算出??；最后用勾股定理求??，化简得出比值．
【详解】
过 E 作?? ⊥ ??于 M．
正方形中??是对角线，∠??? = 45°，设?? = 3?，则?? = ?，?? = 4?， 正方形边长?? = ?? = 2 2?．
由△ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? = ?? =
由?? = ??，
3 2
，
2
2 ??? = ??−?? =
2 ?．
2
∴ ?? = ?? = 2 ?，
1
∴ ?? = ??−?? = 2? = 2??，即 F 是??中点．
正方形中?? ∥ ??，
故△ ??? ∽△ ???，相似比??:?? = 2∶1，
∴ ??:?? = 1∶2．由?? = 4?，
14
∴ ?? = 3?? = 3?，
又∵ ?? = 3?，
45
?? = ??−?? = 3?−3? = 3?．
2 ?
2
在?? △ ???中，?? = 3 2 ，?? = 2?，
由勾股定理：?? =??2
+ ??2 =
2
2
3 2 ?+
2 ?
2
= 5?
??
∴ ?? =
2
5?
3
5?
5
= 3 ．
故选：B．
2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）正方形纸片????的边长为12，点?在边??上，连接??，点?在边??上，沿
??折叠该纸片，使点?落在??上的?点，折痕??与??交于点?，若?? = 5，则??的长为（ ）
4959
A．3B．13C．13D．5
【答案】B
【分析】由折叠及轴对称的性质可知， △ ???≌ △ ???，??垂直平分??，先证△ ???≌ △ ???(ASA)，推出??的长，再利用勾股定理求出??的长，最后在Rt △ ???中利用面积法可求出??的长，可进一步求出??的长，即可求出??的长．
【详解】解： ∵ 四边形????为正方形，
∴ ?? = ?? = 12，∠??? = ∠? = 90°，
由折叠及轴对称的性质可知， △ ???≌ △ ???，??垂直平分??，
∴ ?? ⊥ ??，?? = ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，又∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ?? = 5，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =52 + 122 = 13，
?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2?? ⋅ ??，
∴ 12 × 5 = 13??，
60
∴ ?? = 13，
120
∴ ?? = 2?? = 13 ，
∵ ?? = ?? = 13，
49
1
1
∴ ?? = ??−?? = 13− 13 = 13．
120
3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平行四边形????中，?? = 6，?? = 8，∠?=60°．动点
?、?分别在边??、??上，且?? = ??，以??为边作等边 △ ???，使点?始终在□????的内部或边上．
（1）∠??? = °；
（2）当△ ???的面积最大时，??的长为．
【答案】905
【分析】（1）在□????中，得出∠??? = 120°，根据 △ ???是等边三角形，得出?? = ?? = ??，
∠??? = 60°，连接??，证明 △ ???≌ △ ???，得出∠1 = ∠2 = 60°，∠3 = ∠4 = 30°，则∠??? = 90°
（2）作∠???的平分线交??于点?，证明 △ ???是等边三角形，得出?? = ?? = ??，根据∠??? = ∠1，
得出直线??和直线??重合，确定点?在??上运动，根据?
△???
= 3??2，得出??最大时， △ ???的面积
4
最大，当点?与点?重合时， △ ???的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得?? = ?? = 3，则
?? = ?? = 3，得出?? = 8−3 = 5．
【详解】解：∵在□????中，?? = 6，?? = 8，∠? = 60°．
∴∠??? = 180°−60° = 120°，
∵ △ ???是等边三角形，
∴?? = ?? = ??，∠??? = 60°，连接??，
∵?? = ??，?? = ??，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SSS)，
∴∠1 = ∠2 = 60°，∠3 = ∠4 = 30°，
∴∠??? = 180°−∠1−∠3 = 90°；
（2）作∠???的平分线交??于点 E，
∵∠? = ∠??? = ∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∵∠??? = ∠1，
∴直线??和直线??重合，即点 P 在??上运动，
1
∵?△??? = 2??·??sin60° =
3??2，
4
则??最大时， △ ???的面积最大，
根据题意可得当点 P 与点 E 重合时，??最大，即 △ ???的面积最大，此时，如图，
则?? = ?? = 3，
∴?? = ?? = 3，
∴?? = 8−3 = 5．
4．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，在平行四边形????中，对角线??、??相交于点?，且?? ⊥ ??，过点?作?? ⊥ ??交??延长线于点?，点?为??中点，连接??，连接??交??于点?，连接??．若四边形????是平行四边形，则：
∠???的度数为；
（2）tan∠??? = ．
??1
∴sin∠??? = ?? = 2
1
1
∴?? = ?? = 2??
∴?? = 2??
∵?? ⊥ ??
1
1
∴?? = 2??
∴?? = 2??
又∵四边形????是平行四边形，
1
1
1
??
【分析】（1）先证明四边形????是菱形，得出?? = ?? = ??，进而得出sin∠??? = ?? = 2，则
∠??? = 30°，根据?? = ??，即可得出∠??? = ∠??? = 2∠??? = 30°；
（2）过点?,?分别作??的垂线，垂足分别为?,?，设?? = ?，则?? = ?，?? = 2?，证明
△ ??? ∽△ ???，根据相似三角形的性质，分别求得??,??，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：∵在平行四边形????中，?? ⊥ ??，
∴四边形????是菱形，
∴?? = ?? = ??
∵点?为??中点，
3 9
30°/30 度
【答案】
∴∠??? = 30°
∴∠??? = 90°−30° = 60°
∵?? = ??
1
∴∠??? = ∠??? = 2∠??? = 30°；
如图，过点?,?分别作??的垂线，垂足分别为?,?
∴??∥??
∵∠??? = ∠??? = 30°
∴∠??? = 60°
∵四边形????是菱形
∴?? = ??
1
∴?? = 2?? = ??
∴ △ ???是等边三角形，
∵∠??? = ∠??? = 30°
∴?? = ??
∵∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°−∠??? = 30°
11
在Rt △ ???中，?? = 2?? = 2??
1
3
设?? = ?，则?? = ?，?? = 2?
∴?? = ??cs30° =
2 ?，
∵Rt △ ???中，?是??的中点，
∴?? = ?? = ?
∴?? = ?? ⋅ tan∠??? = 3?
∵??∥??
∴ △ ??? ∽△ ???
??????1
∴?? = ?? = ?? = 2
1311
∴?? = 2?? = 4 ?，?? = 2?? = 4?
3
∴?? = ??−?? = 3?− 4 ? =
3 3
4 ?
??
∴tan∠??? = ?? =
1
4 ? = 3
4
3 3 ?9
5．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究
【问题发现】
如图 1，已知点?为正方形????对角线??上一动点（不与点?、?重合），连接??，将线段??绕点?顺时针旋转 90˚到??处，连接??．请写出??与??的数量关系，并给出证明过程．
【类比探究】
如图 2，在矩形????中，∠??? = 60°，点?为对角线??上一动点（不与点?、?重合）．在Rt △ ???中，
∠??? = 90°，∠??? = ∠???，连接??．请探究此时??与??的数量关系，并给出探究过程．
【拓展延伸】
如图 3，在矩形????中，∠??? = 60°，点?为射线??上一动点，点?为△ ???的外接圆的圆心，连接
??，??，若?? = 8，则当∠??? = 90°时，请直接写出线段??的长．
【答案】(1)?? = ??，见解析
(2)?? = 3??，见解析
(3)??的长为6−2 3或6 + 2 3
【分析】（1）①先根据旋转的性质得出?? = ??，∠??? = 90°，再根据正方形的性质得出∠??? = 90°，
?? = ??，接着证明△ ???≌ △ ???(SAS)，从而可得?? = ??；
（2）先根据矩形的性质得出∠??? = 90°，再利用正切求得?? = 3，?? = 3，从而可得?? = ??，再证明
??
????????
∠??? = ∠???，从而可得△ ??? ∽△ ???，根据相似三角形的性质列出比例式?? = ?? = 3 ，由此可得
?? = 3??；
??
3
（3）分两种情况：当点?在线段??上时，当点?在线段??的延长线上时．根据∠??? = 90°可得∠??? = 2
∠??? = 45°，再解三角形即可．
【详解】（1）解： ?? = ??
证明如下：
1
∵ 将??绕点?顺时针旋转 90˚到??处，
∴ ?? = ??，∠??? = 90°，
∵ 四边形????是正方形，
∴ ∠??? = 90°，?? = ??，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(???)
∴ ?? = ??，
（2）?? = 3??，理由如下：
∵ 四边形????是矩形，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 60°，
??3
∴ tan∠??? = ?? = 3 ，
同理在Rt △ ???中，∠??? = 60°，
??3
∴ tan∠??? = ?? = 3 ，
????
∴ ?? = ??，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????3
∴ ?? = ?? =
3 ，即?? = 3??
??的长为6−2 3或6 + 2 3
解：方法一
在?? △ ???中，∠??? = 60°，?? = 8，
∴ ?? = 4，
当点?在线段??上时，
∵ ∠??? = 90°，
1
∴ 在⊙ ?中，∠??? = 2∠??? = 45°，
过点?作?? ⊥ ??，
在Rt △ ???中，∠??? = 60°，?? = 4，
∴ ?? = 2， ∴ ?? = 2 3，
在Rt △ ???中，∠??? = 45°，
∴ ?? = ?? = 2 3，
∴ ?? = ??−??−?? = 8−2 3−2 = 6−2 3；当点?在线段??的延长线上时：
∵ ∠??? = 90°，
1
∴ 在⊙ ?中，∠??? = 2∠??? = 45°，
过点?作?? ⊥ ??，
同理，在Rt △ ???中，?? = 2，?? = 2 3，在Rt △ ???中，?? = ?? = 2 3，
∴ ?? = ?? + ??−?? = 8 + 2 3−2 = 6 + 2 3．综上所述，??的长为6−2 3或6 + 2 3．
方法二：
在?? △ ???中，∠??? = 60°，?? = 8，
∴ ?? = 4，
连接??并延长??交 ⊙ ?于点?，连接??，??
在⊙ ?中，??为直径
2
∴ ∠??? = 90°，∠??? = ∠??? = 60°，且?? = ??，又∵ ∠??? = 90°，
∴ ?? =
2 ?? = 2 2， ∴ ?? = 2?? = 4 2，
由（2）得△ ??? ∽△ ???，?? = ?? = 3
????3
设?? = ?，则?? = 3?， ∴ ?? = ??−?? = 8− 3?，
∵ ∠??? = 90°， ∴ ??2 +??2 = ??2，
2(4 2)
22
∴ (8− 3?) + ? =，
∴ ? = 2 3−2或? = 2 3 +2，
∴ ?? = 3? = 6−2 3或6 + 2 3．
6．（2026·山东青岛·一模）潍坊国际风筝节（会）每年 4 月 20 日至 25 日在潍坊举行，是我国最早冠以”国
际”并被国际社会承认的大型地方节会，为参加风筝节，华华和琳琳准备设计风筝图案．
如图 1，在华华设计的“风筝”图案中，∠??? = ∠??? = 90∘，??与??相交于点?，∠??? = ∠???．求证：??垂直平分??；
如图 2，在琳琳设计的“风筝”图案中，在Rt △ ???中，∠??? = 90∘，∠??? 的平分线交??于点?，以?
为圆心，??为半径画⊙ ?．求证：??是 ⊙ ?的切线；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由∠??? = ∠???可得?? = ??，从而证明Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，则∠??? = ∠???，由等腰三角形的性质可得??垂直平分??；
（2）作?? ⊥ ??于点?，由角平分线的性质可得?? = ??，因此圆心?到??的距离等于半径，命题得证．
【详解】（1）证明：∵∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
在Rt △ ???和Rt △ ???中，
?? = ??
?? = ?? ，
∴Rt △ ???≌Rt △ ???(HL)，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，即??平分∠???，
∴?? ⊥ ??，?? = ??，
∴??垂直平分??；
（2）证明：如图，作?? ⊥ ??于点?，
∵??平分∠???
又∵∠??? = 90°，?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∴点?在⊙ ?上，即圆心?到??的距离等于半径，
∴??是 ⊙ ?的切线．
7．（2026·广东东莞·一模）如图 1，矩形????的顶点?、?分别在?轴和?轴上，点?的坐标为(8,6)．
反比例函数 ? = ?(? > 0)的图象与边??，??分别交于点?，?，当
1
时，求?的值和点?的坐
??? = 3??
标；
?
如图 2，点?，?分别在边??，??上，且反比例函数? = ?(? > 0)的图象经过点?、?，连接??、??，求
证：?? ∥ ??；
?
如图 3，反比例函数 ? = ?(? > 0)的图象与边??，??分别交于点?，?，若以??为直径的圆与矩形
????的边有5个公共点，求?的取值范围．
3
【答案】(1)? = 12，? 8, 2
证明见解析
16
3 < ? < 12
1
【分析】（1）由?? = 3??可得点?的坐标为(2,6)，代入反比例函数的表达式可得? = 12，再将? = 8代入
12
? = ? ，可求得点?的坐标；
??
48−?
48−?
??
根据题意可得，点?的坐标为 6 ,6 ，点?的坐标为 8, 8 ，则?? =6 ，?? =8 ，进而可得?? =
??
??，利用夹角相等两边对应成比例可证明△ ??? ∽△ ???，则∠??? = ∠???，从而证明?? ∥ ??；
?+48
?+48
240−5?
设??的中点为?，由（2）可得，点?的坐标为 12 , 16，圆?的半径为 48 ．分情况研究，当
圆?与??相切时，如图，设切点为点?，连接??，由?? = ??解出? = 12，此时圆?与矩形????的边仅
有4个公共点，因此? < 12；当圆?与??相切时，如图，设切点为点?，连接??，同理可得? =
16
48
9 ，此时
圆?与矩形????的边有6个公共点，因此? > 3 ，公共部分即为?的取值范围．
【详解】（1）解：在矩形????中，?? ⊥ ?轴，?? ⊥ ?轴，
∵点?的坐标为(8,6)，
∴?? = 8，?? = 6，
1
∵?? = 3??，
1
∴?? = 4?? = 2，
∴点?的坐标为(2,6)，
?
将点?(2,6)代入? = ?，得，
?
6 = 2，
解得? = 12，
∴反比例函数的解析式为? =
12
? ，
123
将? = 8代入? =
? ，得? = 2，
3
∴点?的坐标为 8, 2 ；
（2）证明：由（1）可知，?? = 8，?? = 6，
∵点?，?分别在边??，??上，
?
又∵反比例函数? = ?(? > 0)的图象经过点?、?，
??
∴点?的坐标为
6 ,6 ，点?的坐标为 8, 8 ，
?48−??48−?
∴?? = 8−6 =6 ，?? = 6−8 =8 ，
??
48−???
48−?
∵?? =
??
48 ，?? =
??
48 ，
∴?? = ??，
又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??；
（3）解：设??的中点为?，
∵∠??? = 90°，
∴点?在圆?上，
∵圆?与矩形????的边有5个公共点，
∴圆?与边??、??共有2个公共点，
??
由（2）可知，点?的坐标为
6 ,6 ，点?的坐标为 8, 8 ，
∴点?的坐标为
?+48
12 ,
?+48
16，
①当圆?与??相切时，如图，设切点为点?，连接??，
由（2）可知，?? =
48−?
6 ，?? =
48−?
8 ，
此时圆?与矩形????的边有6个公共点，若??继续向下平移，则公共点数量会超过6个，
16
∴? > 3 ，
16
综上所述，?的取值范围为 3 < ? < 12．
，解得? = 3 ，
48
=
?+48
∴ 12
16
240−5?
，
48
240−5?
同理①可得，?? = ?? =
此时圆?与矩形????的边仅有4个公共点，
∴??需向下平移，即? < 12，
②当圆?与??相切时，如图，设切点为点?，连接??，
= 16 ，解得? = 12，
240−5?
∴ 48
，
48
1
∴?? = ?? = ?? = 2?? =
∵圆?与??相切，
∴?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
?+48
，
24
240−5?
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =
240−5?
（建议用时：90 分钟）
1．（2026·河北沧州·一模）如图，在Rt △ ???中，∠? = 90°，?? = 3，?? = 4，??平分∠???，交??于点
?，则△ ???的面积为（ ）
121510
A．3B． 5C． 4D． 3
【答案】C
【分析】过 D 作?? ⊥ ??于?，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得?? = ??，再利用“HL”证明
Rt △ ???和Rt △ ???全等，根据全等三角形对应边相等可得?? = ??，再利用勾股定理列式求出??，再在 Rt △ ???中利用勾股定理求出??即可得解．
【详解】解：过 D 作?? ⊥ ??于?，
∵ ??是∠???的平分线，∠? = 90°，?? ⊥ ??于?，
∴ ?? = ??，
在 Rt △ ???和 Rt △ ???中，
?? = ??
?? = ?? ，
∴Rt △ ???≅Rt △ ???（HL），
∴ ?? = ?? = 3，
由勾股定理得，?? =??2 + ??2 =
∴ ?? = ??−?? = 5−3 = 2， 设?? = ?，则?? = ?? = 4−?在 Rt △ ???中??2 +??2 = ??2
∴(4−?)2 + 22 = ?2，
解得? = 2
3
即?? = 2，
32 + 42 = 5，
5
∴ △ ???的面积为2?? × ?? = 2 × 5 × 2 = 4 ．
1
1
315
2．（2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点?(0,0)，?(0,2)，?(?,5)，连接??，并将线段??绕点
?顺时针旋转90°，点?旋转到点?′，连接??′．则△ ???′周长的最小值为（ ）
13
A．
B．2 + 2
C．2
D．2 +
10
10
13
【答案】B
【分析】过点?作?? ⊥ ?轴于点?,过点?′作?′? ⊥ ?轴于点?,证明△ ???≌ △ ?′??，得出??′ = ??，根据? (0,2)，?(?,5)，得出??′ = 3，说明点在直线? = 3上，根据?? = 2为定值，得出当??′ +??′最小时，
△ ???′的周长最小，作点?关于直线? = 3的对称点?′(6,0),连接??′交直线? = 3于点?,连接??,根据两点之间线段最短，当?′在点?处时, ??′ +??′最小,且最小值为??′的长度,根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：过点?作?? ⊥ ?轴于点?,过点?′作?′? ⊥ ?轴于点?,如图所示：
则∠??? = ∠???′ = 90°,
根据旋转可知,∠???′ = 90°,?? = ??′ ,
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???′ = 90°,
∴ ∠??? = ∠???′,
∴ △ ???≌ △ ?′??(AAS),
∴ ??′ = ??,
∵?(0,2),?(?,5),
∴?? = 5−2 = 3,
∴ ??′ = 3,
∴点?′在直线? = 3上,
∵ ?? = 2为定值,
∴当??′ +??′最小时, △ ???′的周长最小,
如图,作点?关于直线? = 3的对称点?′(6,0),连接??′交直线? = 3于点?,连接??,
根据轴对称可知：?? = ?′?,
∴?? + ?? = ?? + ?′?,
∵两点之间线段最短,
∴当?′在点?处时,??′ +??′最小,且最小值为??′的长度,
∴??′ +??′最小值为：??′ =22 + 62 = 2 10,
∴△ ???′的周长最小值为2 + 2 10.
3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图， △ ???中，∠? = 90∘,∠??? = 60∘,?? = 6,tan∠??? = 2 3,?? = 13
,??与??交于点?，则??的长为．
9
【答案】5
【分析】过点 D 作?? ⊥ ??于点 F， 由tan∠??? = 2 3和勾股定理求出?? = 1，?? = 2 3，求出
∠??? = 30°,得?? = 1?? = 3，?? =??2−??2 = 3 3，?? = ??−?? = 2，由△ ??? ∽△ ???，得2−??
2
349
??
= 2，求出?? = 5，即得?? = ?? + ?? = 5．
【详解】解：如图，过点 D 作?? ⊥ ??于点 F，则∠??? = 90°，
∵tan∠??? = 2 3，
??
∴?? = 2 3，
∴?? = 2 3??，
∵??2 +??2 = ??2，?? = 13，
∴?? = 1，?? = 2 3，
∵∠? = 90°，∠??? = 60°，
∴∠??? = 30°，
∵?? = 6，
1
∴?? = 2?? = 3，
∴?? =??2−??2 = 3 3，?? = ??−?? = 2，
∴?? = 2−??，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
????3 33
∴?? = ?? = 2 3 = 2，
2−??3
∴ ?? = 2，
4
∴?? = 5，
9
∴?? = ?? + ?? = 5．
4．（2026·湖北黄石·一模）如图，点 F 是菱形对角线??上一动点，点 E 是线段??上一点，且?? = 4??，连接??、??，设??的长为 x，?? + ?? = ?，点 F 从点 B 运动到点 D 时，y 随 x 变化的关系图象，则
?? = ，图象最低点的横坐标是．
【答案】51
【分析】由图象可知：当? = 0时，? = 6，此时?? = 0，即点 B、F 重合，则有?? + ?? = ?? + ?? = 6，然后可求??，取点 E 关于??成轴对称的点 G，连接??,??，??与??交于点?′，如图，则有?? = ??，
?? = ??，所以?? + ?? = ?? + ?? = ?，根据三角形三边不等关系可得?? + ?? ≥ ??，所以当点 F 与点
?′重合时，此时 y 取最小值，进而通过得到△ ???′ ∽△ ???′进行求解即可．
【详解】解：由图象可知：当? = 0时，? = 6，此时?? = 0，即点 B、F 重合，?? + ?? = ?? + ?? = 6，
∵?? = 4??，
1
∴?? = 5??，
1
∴5?? + ?? = 6，
∴?? = 5；
取点 E 关于??成轴对称的点 G，连接??,??，??与??交于点?′，如图，则有?? = ??，?? = ??，所以
?? + ?? = ?? + ?? = ?，根据三角形三边不等关系可得?? + ?? ≥ ??，所以当点 F 与点?′重合时，此时
y 取最小值，
由题意得?? = ??,?? ∥ ??，由图象得?? = 6，
1
∵?? = 5??，
1
∴?? = 5??，
∵?? ∥ ??，
∴ △ ???′ ∽△ ???′，
????′1
∴?? = ??′ = 5，
∴??′
1
= 6?? = 1
，即?? = ? = 1，
∴图象最低点的横坐标是 1．
5．（2026·河北邢台·一模）如图，点?，?，?，?在同一直线上， △ ???和 △ ???都是等边三角形，且
?? = ?? = 4．
求证： △ ???≌ △ ???；
当?? ⊥ ??时，连接??，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）分别证明?? = ??，∠??? = ∠???，再根据SAS证明 △ ???≌ △ ???即可；
（2）证明点 C 与点 E 重合，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵ △ ???和 △ ???都是等边三角形，
∴?? = ?? = 4，?? = ?? = 4，∠??? = ∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠???,
又?? = ?? = 4，
∴?? = ??，
∴??−?? = ??−??，
∴?? = ??，
在△ ???和△ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ,
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)；
（2）解：∵ △ ???是等边三角形，
∴∠??? = ∠??? = 60°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°−60° = 30°，又∠??? = 60°，
∴∠??? = 180°−60° = 120°，
在△ ???中，∠??? = 30°，∠??? = 120°，
∴∠??? = 180°−30°−120° = 30°,
∴∠??? = ∠???,
∴?? = ?? = 4,
∵ △ ???是等边三角形，?? = 4，
∴?? = 4,
∴?? = ??−?? = 0,
即点 C 与点 E 重合，
∵ △ ???和 △ ???都是等边三角形，且?? = ?? = 4，
∴?? = ?? = 4,
∴?? = 2 × 4 = 8．
6．（2026·河南信阳·一模）等腰 △ ???,?? = ??,∠??? = ?°，在??边上取一动点 D，以点 A 为旋转中心，将线段??逆时针旋转?°得到线段??，连接??．
观察猜想
如图 1，?° = 60°,∠??? = 15°，则∠??? = °．
类比探究
如图 2，?° = 90°，点 F 为??中点，连接??，请判断线段??与线段??的数量关系，并说明理由．
拓展应用．
如图 3，?° = 90°，过点 D 作?? ⊥ ??,??交??的延长线于 G，连接??．请直接用等式表示线段??与??的数量关系．
【答案】(1)15；
(2)?? = 2??，见解析；
(3)?? = 2??，见解析．
【分析】（1）由旋转可得?? = ??，∠??? = 60°，求出∠? = 60°，利用三角形外角的定义求出
∠??? = ∠? + ∠??? = 75°，即可求解；
证明△ ???≌ △ ???，得到?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，再求出∠??? = 90°，即可得出结论；
先证明△ ???≌ △ ???，得到?? = ??，再证明△ ???≌ △ ???，得到?? = ??，根据△ ???是等
腰直角三角形，得出答案．
【详解】（1）解： 由旋转可得：?? = ??，∠??? = 60°，
1
∴∠??? = 2(180°−∠???) = 60°，
∵∠??? = 60°，?? = ??，
1
∴∠? = 2(180°−∠???) = 60°，
∵∠??? = 15°，
∴∠??? = ∠? + ∠??? = 75°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 75°−60° = 15°；
（2）解：?? = 2??，理由如下：如图，连接 CE，
∵ ∠??? = 90°，?? = ??．
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
由旋转知?? = ??,∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
即∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???．
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 45° + 45° = 90°，
∵点 F 为??中点，
∴ ?? = 2??．
（3）解：?? = 2??，理由如下：
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
∴ ?? = ??，
∵∠??? = ∠??? = ?° = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°−∠???，又∵?? = ??,?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
又∵?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，
∵△ ???是等腰直角三角形，
∴ ?? = 2??，
∴ ?? = 2??．
7．（2026·河南周口·一模）综合探究
△ ???和 △ ???的位置如图 1 所示，已知△ ???和 △ ???都是等边三角形，连接??，??，则??与??
之间的数量关系是；
??
△ ???和 △ ???的位置如图 2 所示， △ ???和 △ ???都是直角三角形，且∠??? = ∠??? = 90°，?? =
??8
??
?? = 15，连接??，??，求??的值；
如图 3， △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，∠??? = ∠??? = 90°，?? = 5，?? = 3．连接??，
??，将△ ???绕点?旋转，在旋转过程中，当?，?，?三点共线时，直接写出??的长．
【答案】(1)?? = ??
(2)?? = 17
(3)??的长为4 2
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用SAS证明 △ ???≌ △ ???，即可得出结论；
??8
（2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明△ ??? ∽△ ???，得出对应边成比例，令
?? = 8?,?? = 15?，利用勾股定理求出?? = 17?，即可求解；
（3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明△ ??? ∽△ ???，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解．
【详解】（1）解：∵ △ ???和 △ ???都是等边三角形，
∴?? = ??,?? = ??,∠??? = ∠??? = 60°，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??；
????
（2）解：∵∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∵ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
??8
∵?? = 15，
∴令?? = 8?,?? = 15?，
由勾股定理得?? =??2 + ??2 = 17?，
??
??
8?8
∴?? = ?? = 17? = 17；
（3）解：①如图所示，?，?，?三点共线，
∵ △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，
????
∴∠??? = ∠??? = 45°，?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠? = 90°，
由勾股定理得??2 = ??2 +??2 = 9 + 9 = 18，??2 = ??2 +??2 = 25 + 25 = 50，
∴?? =??2−??2 = 50−18 = 4 2；
②如图所示，?，?，?三点共线，
此时，∠??? = ∠??? = 90°，
∵ △ ???和 △ ???都是等腰直角三角形，
??
∴∠??? = ∠??? = 45°， ?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
由勾股定理得??2 = ??2 +??2 = 9 + 9 = 18，??2 = ??2 +??2 = 25 + 25 = 50，
??
∴?? =??2−??2 = 50−18 = 4 2；
综上，??的长为4 2．
8．（2026·山西朔州·一模）阅读与思考请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务．
三角形的布洛卡点【概念理解】
定义：如图 1，已知点?为△ ???内部的一点，连接??,??,??，若∠??? = ∠??? = ∠???，则点?叫做
△ ???的布洛卡点．
【问题解决】
问题 1：如图 1，通过研究可以发现，∠???与∠???,∠???与∠???,∠???与∠???分别具有相同的数量关系．
问题 2：如图 2，在△ ???中，?? = ?? = 5,?? = 6，点?为△ ???的布洛卡点，且∠??? = ∠??? =
??
∠???，求??的值．
解： ∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???．
∵ ∠??? = ∠???，
……
任务：
问题 1 中这个相同的数量关系为．
将问题 2 的解答过程补充完整．
如图， △ ???为等边三角形，请作出 △ ???的布洛卡点?，连接??，??，??，使得
∠??? = ∠??? = ∠???．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
【答案】(1)它们的和均为180°
见解析
见解析
【分析】（1）根据∠??? = ∠???，可得∠??? = ∠??? + ∠???，再由三角形内角和定理可得
∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，即可解答；
证明△ ??? ∽△ ???，可得?? = ?? = ?? = 6，从而得到?? = ?? ，即可解答；
作∠???,∠???的角平分线交于点 N，即可．
【详解】（1）解：∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∵∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? + ∠??? = 180°；
同理∠??? + ∠??? = 180°；∠??? + ∠??? = 180°；即这个相同的数量关系为它们的和均为180°；
（2）解： ∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???．
∵ ∠??? = ∠???，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，即∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
5
??
????5
??2
∴?? = ?? = ?? = 6，
??????
1
1
1
∴∠??? = 2∠??? = 30°,∠??? = 2∠??? = 30°,∠??? = 2∠??? = 30°，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，即点 N 为△ ???的布洛卡点．
理由如下：
由作法得：??,??分别为∠???,∠???的角平分线，
∴??平分∠???，
∵ △ ???为等边三角形，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 60°，
36
（3）解：如图，点 N 即为所求；
25
=；
2
5
6
=
2
??
??
??
= ?? =
??2
??
??
∴
??2
∴?? = ?? ，
9．（2026·四川达州·一模）如图，▱????中，点 E 是??的中点，连接??并延长交??的延长线于点 F．
(1)求证：?? = ??；
(2)点 G 在线段??上，且?? = 3,?? = 9，连接??交??于点 H，若??恰好平分∠???，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)7.2
【分析】（1）结合平行四边形的性质证明 △ ???≌ △ ???，由全等三角形的性质可得?? = ??，然后证明
?? = ??即可；
（2）首先确定?? = ?? = 12，由平行四边形的性质可得?? = ?? = 12，再结合??平分∠???证明
∠? = ∠???，进而可得?? = ?? = 9，然后证明△ ??? ∽△ ???，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形????是平行四边形，
∴?? ∥ ??,?? ∥ ??,?? = ??，
∴∠? = ∠???,∠??? = ∠?，
∵E 是??的中点，
∴?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，
∴?? = ??；
（2）解：∵?? = 3,?? = 9，
∴?? = ?? + ?? = 9 + 3 = 12，
∴?? = ?? = 12，
∵四边形????是平行四边形，
∴?? = ?? = 12，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠?，
∴∠? = ∠???，
∴?? = ?? = 9，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???,∠? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??12??
∴?? = ??，即 3 = 9−??，
∴?? = 7.2．
??
10．（2026·广西南宁·一模）综合与实践：数学与音乐
【问题背景】制作尤克里里
尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图 1 所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定．
【建立模型】
小州设计了如下确定品丝（如图 1 的?1?1）位置的方法：如图 2，设琴枕为点 A，弦桥为点 B，则完整琴弦为??，以??为直角边构造Rt △ ???，在??上截取．??1 = ??，在?1处确定第一根品丝，则第一根品丝
的对应有效弦长为?1?，过?1作?1?1 ⊥ ??交??于点?1，接着在??上截取?1?2 = ?1?1，在?2处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为?2?，以此类推确定后续品丝位置．在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取??长为20mm，?1?1长为19mm．
【求解模型】
??
1
求? ?；
求第一根品丝的有效弦长?1?及tan?．
【检验模型】
制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置?3到弦桥 B 的长度约为342mm，若允许偏差是 ± 2mm，请判断该品丝是否合格，并说明理由．
20?1?+20
1
∵ ??1 = ?? = 20，
∴
??1+?1?
? ?
1
= 19，即
（2）解：由（1）得? ? = 19，
?1?
20
= 19．
解得?1? = 380(mm)．
在Rt △ ?1?1?中，tan? = ? ? = 380 = 20．
?1?119
1
1
（3）解：合格，理由如下：
∵ ?1?2 = ?1?1 = 19，
∴ ?2? = ?1?−?1?2 = 380−19 = 361．
??20
????
11 1
∴ ? ? = ? ? = 19．
（3）根据题意可得?2? = ?1?−?1?2 = 361，在Rt △ ?2?2?中，?2?2 = ?2? ⋅ tan? = 18.95，从而得到?3
? = ?2?−?2?3 = ?2?−?2?2 = 342.95，即可求解．
【详解】（1）解： ∵ ?1?1 ⊥ ??，
∴ ∠?1?1? = ∠??? = 90°．又∠? = ∠?，
∴△ ??? ∽△ ?1?1?．
20
20
= 19，从而得到?1? = 380(mm)，即可求解；
1
? ?
1
?1?+20
??20
（2）由（1）得? ? = 19，可得
1
?1? = 380mm，tan? = 20
合格，理由见解析
【分析】（1）证明 △ ??? ∽△ ?1?1?，即可求解；
19
20
【答案】(1)
在Rt △ ?2?2?中，
∴ ?2?2 = ?2? ⋅ tan? = 361 × 20 = 18.05．
∴ ?3? = ?2?−?2?3 = ?2?−?2?2 = 361−18.05 = 342.95．
∴ 342.95−342 = 0.95(mm)．
∵ −2 < 0.95 < 2，
∴该品丝合格．
1
11．（2026·山东淄博·一模）【问题情境】
某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学
习． △ ???中，?? = ?? = 2．同学们在边??上取点?，连接??，将 △ ???以点?为中心旋转，由于同学们所取点?的位置不同，∠???的角度大小不同，产生了以下两种方案．
【探究感悟】
小明方案：取∠??? = 90°，旋转△ ???使点?的对应点?′落到线段??上；
如图 1，小明发现，此时点?的对应点?′与点?的连线恰好平分∠???，则线段??的长是；
【深入探究】
小刚方案：如图 2，旋转△ ???使点?的对应点?′落到点?上，折叠 △ ???使点?与点 D 重合，折痕为
??；
在图 2 中找出与∠???相等的角，并证明；
1
如图 3，F 为线段??上的点，??∥??．若?? = 3??，求??的长．
【答案】(1)2 2−2
(2)∠??? = ∠??? = ∠?′??′，证明见解析
(3)3
【分析】（1）证明 △ ???≌ △ ??′?(AAS)，可得∠???′ = ∠???，从而得到∠??? = ∠???，进而得到
?? = ?? = 2，即可求解；
（2）证明∠??? = ∠?，可得?? ∥ ??，即可求解；
????
2
（3）证明△ ??? ∽△ ???，可得?? = ??，再结合?? = 3??，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠??? = 90°，?? = ?? = 2，
1
∴∠? = ∠? = 45°，?? =??2 + ??2 = 2 2，
∵点?′与点?的连线恰好平分∠???，
∴∠???′ = ∠???′ = 45°，
由旋转的性质得：∠??? = ∠?′??′,∠??? = ∠??′?′,?? = ??′，
∴∠??′? = ∠???′，∠???′ = ∠?′??′ +∠???′ = ∠??? + ∠???′ = ∠???′ = 45°，
∴∠??? = ∠??′?，
∴ △ ???≌ △ ??′?(AAS)，
∴∠???′ = ∠???，
∴∠??? = ∠???′ +∠?′?? = 45° + ∠???′，
∵∠??? = ∠? + ∠??? = 45° + ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ?? = 2，
∴?? = ??−?? = 2 2−2；
（2）解：∠??? = ∠??? = ∠?′??′，证明如下：由题意得??垂直平分??，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠???
∵?? = ??
∴∠??? = ∠?，
∴∠??? = ∠?，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
由旋转的性质得：∠??? = ∠?′??′
∴∠??? = ∠??? = ∠?′??′；
（3）解：∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠?，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???
??
??
∴?? = ??，
??
??
∴?? = ??，
1
∵?? = 3??，
??1
∴?? = 3，
∴?? = 3?? = 3．
1
2
12．（2026·山东济南·一模）已知，抛物线? = −?2 +2??−?2 +4(? > 0)与?轴交于?、?两点，交?轴于点
?．
当点?坐标为(0,3)时，求抛物线的表达式及点?的坐标；
如图 1，在（1）的条件下，点?是直线??上方抛物线上的一个动点，过点?作?? ∥ ?轴交??于点?，
?? ⊥ ??交??于点?，求△ ???周长的最大值；
如图 2，抛物线顶点为点?，直线?经过点?，与抛物线交于点?，直线?与直线??所夹的锐角为?，若tan
1
? = 3，请直接写出??的长．
【答案】(1)? = −?2 +2? + 3，?(3,0)
9
△ ???周长的最大值为4( 2 + 1)
2或5 26
【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令? = 0求解点 B 坐标；
（2）先求解直线??:? = −? + 3，然后证明△ ???为等腰直角三角形，则?? = 2 ?? = ??，那么?△???
= ?? + ?? + ?? = ( 2 + 1)??，故当??取得最大值时，?△???取得最大值，设?(?,−?2 + 2? + 3)，则?(?,−? + 3)，则?? = −?2 +2? + 3−(−? + 3) = −?2 +3?，再由二次函数的性质求解??的最大值，即可求解?△???的最大值；
（3）当点?在??右侧抛物线上时，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，设??与??交点为点?，在射线??上取点?，
1
使得?? = 3??，连接??，可得tan? = tan∠??? = 3，则∠? = ∠???，证明 △ ??? ∽△ ???，求出?
(1,2)，设直线??:? = ?? + ?，则直线??:? = ? + 1，再与抛物线? = −?2 +2? + 3联立求解点?坐标，即可求解??；当点?在??左侧抛物线上时，过点?作?? ⊥ ??交直线?于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，证明
2
△ ??? ∽△ ???，求出?
即可求解??．
− ,
1 14
3 3
，同理可求?:? = 7? + 7，与抛物线? = −? +2? + 3联立求解点?坐标，
2
【详解】（1）解：由题意得，将点?(0,3)代入? = −?2 +2??−?2 +4(? > 0)，则−?2 +4 = 3
解得? =± 1
∵? > 0
∴? = 1，
∴解析式为：? = −?2 +2? + 3令? = 0，则−?2 +2? + 3 = 0解得?1 = 3，?2 = −1
∴?(3,0)；
（2）解：设直线??:? = ?? + ?，
3? + ? = 0
? = −1
则代入点?,?得，
∴直线??:? = −? + 3
∵?(3,0),?(0,3)
∴?? = ?? = 3
? = 3，解得
? = 3
∴△???为等腰直角三角形，
∴∠??? = 45°
∵?? ∥ ?轴，
∴∠??? = ∠??? = 45°
∵?? ⊥ ??
∴ △ ???为等腰直角三角形，
∴?? =
∴?
2
2 ?? = ??
= ?? + ?? + ?? = 2?? + 2?? + ?? = ( 2 + 1)??，
△???22
∴当??取得最大值时，?△???取得最大值，设?(?,−?2 + 2? + 3)，则?(?,−? + 3)
∴?? = −?2 +2? + 3−(−? + 3) = −?2 +3?
∵−1 < 0
333 239
∴当? = −2×(−1) = 2时，??的最大值为− 2+3 × 2 = 4
9
∴ △ ???周长的最大值为4( 2 + 1)；
（3）解：对于? = −?2 +2? + 3，令? = 0，则−?2 +2? + 3 = 0
解得?1 = 3，?2 = −1
∴?(−1,0)；
∵? = −?2 +2? + 3 = −(?−1)2 +4，
∴?(1,4)，
当点?在??右侧抛物线上时，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，设??与??交点为点?，在射线??上取点?，使得
?? = 3??，连接??
∵?? = 1−(−1) = 2，?? = 4，
∴?? = 6
??1
∴tan? = ?? = 3，
1
∵tan? = tan∠??? = 3
∴∠? = ∠???
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???
????
∴?? = ??
2 5??
∴4+6 = 2 5
解得?? = 2
∴?? = ??−?? = 2，
∴?(1,2)
设直线??:? = ?? + ?，
−? + ? = 0
则代入?,?得，
? = 1
解得 ? = 1
? + ? = 2
∴直线??:? = ? + 1，
与抛物线? = −?2 +2? + 3联立可得，−?2 +2? + 3 = ? + 1，解得? = 2或? = −1
∴?(2,3)
∴?? =(2−1)2 + (3−4)2 = 2；
当点?在??左侧抛物线上时，过点?作?? ⊥ ??交直线?于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，
则∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°
∴∠??? = ∠??? = 90°−∠???
∴ △ ??? ∽△ ???
∴?? = ?? = ?? = tan? = 3
∴ 2 = 4 = 3，
∴?? = 3,?? = 3，
1 14
??????1
????1
24
∴? − 3 , 3 ，
则同理可求?:? = 7? + 7
与抛物线? = −?2 +2? + 3联立可得，−?2 +2? + 3 = 7? + 7，解得? = −4或? = −1
∴?(−4,−21)
∴?? =(−4−1)2 + (−21−4)2 = 5 26，
综上：??的长为 2或5 26．
13．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：在平面直角坐标系中，0 为坐标原点．抛物线交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B，C，?? = 8．
1
? = −4?
?2 +?? + 8?
求 a 的值；
如图 1，点 P 为第一象限抛物线上一点，连接??，??，点 P 横坐标为 m，请用含 m 的式子表示△ ???
的面积 S（不要求写出自变量的取值范围）；
如图 2，在（2）的条件下，过点 P 作??垂直于 x 轴，垂足为 H，交直线??于点 D，点 E 为??的中
13
2
点，点 G 在第二象限，连接??，??，??，??，点 Q 为第四象限抛物线上一点，连接??，交??于点 K，
??
若?? = ??，∠??? + ∠??? = 90°，??平分∠???，?? =
时，连接??交 y 轴于点 T，求点 T 的坐标．
4
1
∴抛物线解析式? = − ?2 +? + 8；
∴ 8? = 8，解得? = 1，
4
【详解】（1）解：∵抛物线? = − ??2 +?? + 8?交 y 轴于点 A，?? = 8，?(0,8)，
Q 的坐标，求出??所在直线解析式，即可求得点 T 的坐标．
1
??3
13??
2 ，从而有?? = ?? = 2，据此求得点
13??
2 ，得?? =
??
△ ??? ∽△ ???，求得??，进而得?? = ??，由?? =
2
? + ? + 8 ，易得
1
4
而求得点 P 的坐标；过 Q 作 y 轴垂线，交 y 轴于 L，交直线??于 R，设? ?,−
1
求出点 B、C 的坐标，即可求得??的长，由点 P 的横坐标可得点 P 的纵坐标，由面积公式?△??? = 2
?? ⋅ ??即可求解；
延长??至点 M，使?? = ??，连接??，??，过 B 作?? ⊥ ??于 N，易得?? = ??，?? ∥ ??，且
?? = 2??；由∠??? + ∠??? = 90°的条件，可得
∠??? = ∠???，即可证 △ ???≌ △ ???，有?? = ??，?? = ??；再证明?? = ??，则可证明
△ ???≌ △ ???，得?? = ??，进而得?? ⊥ ??；再结合角平分线的条件得∠??? = ∠??? = 45°；过 H
作??的垂线交??的延长线于 S，则可证明△ ???≌ △ ???，得?? = ??，由此建立方程求得 m 的值，从
(3)?(0,−2)
【分析】（1）把点 A 的坐标代入抛物线解析式中求得 a 的值，即可求得解析式；
2
△???
3
(2)?= − ?2 +6? + 48
【答案】(1)1
1
（2）解：令? = 0， ?2 +? + 8 = 0，
−4
解得?1 = −4，?2 = 8，
∴ ?(−4,0)，?(8,0)，
∴ ?? = 12，
∵点 P 为第一象限抛物线上一点，点 P 横坐标为 m，
1
4
∴ ?? = − ?2 +? + 8，
∴ ?
1?3?2 +6? + 48；
△??? = 2?? ⋅ ? = −2
（3）解：延长??至点 M，使?? = ??，连接??，??，过 B 作?? ⊥ ??于 N，
∵ ?为??中点，
∴ ?? = ??，?? ∥ ??，且?? = 2??，
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
设∠??? = ?，则∠??? = 90°−?，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°−?，
∴ ∠??? = 2?，又∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 2?，
∴ ∠??? = ∠??? = ?，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)，
∴ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?? = ??−??
= 2??−??
= 2??−??
= 2??−(?? + ??)
= ??−??
= ??−??
= ??，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
过 H 作??的垂线交??的延长线于 S，则∠??? = ∠??? = 45°，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，
∵∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(ASA)，
∴ ?? = ??，
4
∴ −1?2 +? + 8 = ? + 4，解得? = 4或? = −4（舍），
∴ ?(4,8)，
过 Q 作 y 轴垂线，交 y 轴于 L，交直线??于 R，
2
1
设? ?,− 4 ?
+ ? + 8 ，
4
∴ ?? = ?−4，?? = 1?2−?，
∵ ?? ∥ ??，
∴△ ??? ∽△ ???，
??
??
??
?−4
4
∴ ?? = ??，即1 ?2−? =
4
解得?? = 1(?−4)2，
? ，
2
1
∴ ?? = ??−?? = 8− − 4 ?
1
2
+ ? + 8 −4(?−4)
= ?−4 = ??，
??13
∵ ?? = 2 ，
??13
∴ ?? = 2 ，
设?? = 13?(? > 0)，则?? = 2?，由勾股定理得?? =??2−??2 = 3?，
????3
∴ ?? = ?? = 2，
2
1
∴ 4?
3
−? = 2?，解得? = 10或? = 0（舍），
∴ ?(10,−7)，
∵ ?(−4,0)，?(10,−7)，
∴设??所在直线解析式为? = ?? + ?，
0 = −4? + ?
即 −7 = 10? + ? ，
? = − 1
解得：
2 ，
? = −2
∴ ??所在直线解析式为? = −2?−2，
令? = 0，则? = −2，
∴ ?(0,−2)．
1