浙江省金华市2026年5月九年级下学期数学学业水平监测试卷（含解析）

这是一份浙江省金华市2026年5月九年级下学期数学学业水平监测试卷（含解析），共7页。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上，
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上作答一律无效．
4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．
选择题部分
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1. 在数中，比小的数是（ ）．
A. B. 2C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数大于0和一切负数，0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数更小即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴ 大小排序为 ，
∴比小的数是．
2. 如图所示的几何体，其主视图是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：如图所示的几何体的主视图为
．
3. 年清明节假期天，国内出游人次，将数用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解，当原数绝对值时，为正整数，且等于原数的整数位数减．
【详解】解：数用科学记数法表示为：．
4. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法以及包含用实心点，不包含用空心点解答即可．
【详解】解：由数轴图可知，该不等式组的解集是．
5. 某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表：
下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是（ ）．
A. 频数是
B. 频率是
C. 品牌的销售量占总销售量的
D. 每卖出支牙膏，估计有支是品牌
【答案】C
【解析】
【分析】利用频率频数总数量计算，再逐一判断选项即可．
【详解】解：A选项，牙膏的频数是，故A选项说法正确，不符合题意；
B选项，牙膏的频数是，总销售量为，频率为，故B选项说法正确，不符合题意；
C选项，牙膏的频率为，即销售量占总销售量的，故C选项说法错误，符合题意；
D选项，牙膏的频率为，可得每卖出支牙膏，估计有支，故D选项说法正确，不符合题意．
6. 如图，沿方向平移个单位长度得到，在结论①；②；③；④中，正确的是（ ）．
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质逐一判断即可．
【详解】∵沿方向平移个单位长度得到，
∴，，故①、②正确，符合题意，
故④正确，符合题意，
∵③无法证明，
∴不符合题意．
∴符合题意的有①②④．
7. 如图，在四边形中，，平分，交于点，延长到点．若，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质结合角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
8. 图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可．
【详解】解：如图：过C作于G，
∵，
∴，
∴，
∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂，
∴该机器人拳头（点）到地面的高度为．
9. 一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据与交点坐标的纵坐标，求出点的坐标，代入中，求出的解析式，再根据，列不等式方程组，即可求解．
【详解】∵与的图象交于点，点的纵坐标为，
∴将点的纵坐标为代入，解得：，
∴，
将代入，解得：，
∴，
∵，
∴，即
解得：，
∴当时，的取值范围是．
10. 如图，在中，，，以中点为圆心、长为半径作弧．点从点出发，沿弧及线段向终点运动．记的运动路程为，，关于的函数图象如图所示，图象过点，则下列说法错误的是（ ）．
A. 点在弧上运动时，的图象为一条线段
B. 当时，点运动到点
C. 的最小值为
D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，先根据题意和图确定为等腰直角三角形、为等腰直角三角形，再根据图进行分类，①当点在上，②当点在线段上，结合等腰直角三角形的性质和弧长的性质、及函数图像的性质判断即可．
【详解】连接，
∵在中，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点为中点，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∵的运动路程为，，
又∵点从点出发，沿弧及线段向终点运动，
①当点在上，
∴，
∴为定值，的图象为一条线段，结合图像，，故A选项正确，不符合条件，
∴，
∵，
∴；
∴当时，点运动到点，故B选项正确，不符合条件，
②当点在线段上，
如图，过点作交于点
当，即有最小值，重合，
∵，，，
∴最小值，故C选项正确，不符合条件，
∵，，，
∴，
∵从图中，可看出先减小，再增大，由图可得，点与点为对称点，
点即在图中点在点时的坐标，即，
∴点表示图中点在点时的坐标，
∴，故D选项不正确，符合条件．
非选择题部分
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11. 计算：的值为___________．
【答案】
【解析】
【详解】
．
12. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边可以是___________（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【详解】解：∵三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，三角形的两边长分别为和，
∴第三边，即第三边．
∴第三边可以是，答案不唯一．
13. 一个袋中装有个红球、个黑球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出袋中球的总个数，再根据概率公式求解即可.
【详解】∵袋中装有个红球、个黑球，每个球除颜色外完全相同，
∴球的总个数为，
∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为．
14. 如图，小明用七巧板拼成小狗图案（如图），则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先辨别七巧板的排序，根据七巧板的性质设①的边长为，在图中，根据等腰直角三角形性质和三角函数可推出、，推出，在图中，过点作与点，过点作与点，根据等腰直角三角形性质，推出，再进行比较即可．
【详解】由七巧板可知，图中，①、②、④、⑥、⑦为等腰直角三角形，③为平行四边形，⑤为正方形，且①和②、④和⑥全等，图与图2中一一对应，
在图中，设①的边长为，
∴，
∵①、②为等腰直角三角形，①和②全等，
∴，
∵⑤为正方形，④为等腰直角三角形，为共边，
∴，
∵④和⑥全等，
∴，
∵④为等腰直角三角形，
∴，
根据图可得：，
由图，过点作与点，过点作与点，
∵①和②全等，
∴，
∵①为等腰直角三角形，，
∴为中点，
∴，
∴，
∴．
15. 如图所示，的三个顶点都在反比例函数的图象上，点在点的右侧，，且过原点．若的横坐标为，则的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】先过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，根据的三个顶点都在反比例函数，的横坐标为，设点，点，根据反比例函数的性质，推出点，点，点，得出的值，再证明，通过，，即可求解．
【详解】如图，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
∵的三个顶点都在反比例函数，的横坐标为，
∴设点，点，
∵过原点，
∴点，
∵轴，，，
∴点，点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴将整理为：，代入，即，
整理得，解得：，经检验，为的解，
∵，
∴．
16. 如图，四边形是以为对称轴的轴对称图形，．点在上，，将沿折叠得到，则点到的距离为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由轴对称的性质、折叠的性质可得、、、；如图：过点A作于P，过点F作于H，过点D作的延长线于N，过点F作于M，四边形是矩形；进而得到是等腰直角三角形，即；同理可得：；再利用含30度直角三角形的性质、勾股定理、线段的和差可得，进而得到，最后利用矩形的性质以及线段的和差即可解答．
【详解】解：∵四边形是以为对称轴的轴对称图形，，，
∴，，
又∵将沿折叠得到，
∴，，
如图：过点A作于P，过点F作于H，过点D作的延长线于N，过点F作于M，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴在四边形中，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，即点到的距离为．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17. 解方程组：
【答案】．
【解析】
【详解】解：
由①②：，解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴解方程组的解为．
18. 已知，求分式的值．
【答案】
【解析】
【分析】先将变形为，再代入即可求值．
【详解】∵由题可得，
∴．
19. 如图，在四边形中，，点在上，且．
（1）求证：．
（2）已知，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）直接利用证明三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再在中运用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：在和中，
，．
．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
在中，，
，解得：．
20. 甲、乙两校参加全市的中学生“人工智能”竞赛，参赛人数相等，比赛成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据成绩绘制了如下尚不完整的统计图表：
甲校成绩统计表
（1）将图2的统计图补充完整．
（2）已知乙校的平均分是分，中位数是8分，请从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好？
【答案】（1）见解析 （2）两校平均分相同，乙校的中位数大于甲校的中位数，说明乙校成绩好
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合，正确从统计图获得信息是解题的关键．
（1）利用乙校9分的人数与其所占比求出乙校参赛总人数，进而求出乙校成绩为8分的人数，补全条形统计图即可；
（2）由（1）可知，甲校参赛人数为20人，进而求出的值，求出甲校的平均数和中位数，与甲校进行比较即可．
【小问1详解】
解：乙校参赛人数为：人，
乙校成绩为8分的人数为：人，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：由（1）可知，甲校参赛人数为20人，
则，
甲校平均分为：分，
甲校中位数是排序后第10和第11个成绩的平均数，
则中位数为分，
结论：两校平均分相同，乙校的中位数大于甲校的中位数，说明乙校成绩好．
21. 若一个整式能表示成（都是整式），则称这个式子为“平方差式”，若为整数，则称“平方差数”．如等．
（1）写出一个大于30且小于40的“平方差数”．
（2）已知（是常数）是“平方差式”，求出符合条件的一个值，并说明理由．
【答案】（1）如等，答案不唯一
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义，写出一个“平方差数”即可；
（2）利用配方法对表达式进行整理，根据“平方差数”的定义得出关于的方程，求解即可．
【小问1详解】
解：根据“平方差数”的定义可得等，答案不唯一．
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，且T是“平方差式”，
，即．
22. 如图，已知正六边形．
（1）尺规作图并证明：
①在图1中，作线段的垂直平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）．
②证明：．
（2）如图2，已知点为的中点，连接交于点，求的值．
【答案】（1）①见解析；②证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①直接利用垂直平分线的尺规作图作法求解即可；②如图1，连接，利用垂直平分线的性质以及平行线的性质可得，再结合正六边形的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）根据正六边形的性质以及等边对等角可得．设正六边形的边长，易得、、，再证明，利用相似三角形的性质即可解答．
【小问1详解】
解：①如图：直线即为所求．
②如图1，连接，
是线段的垂直平分线，
．
，
．
正六边形，
．
．
同理：，
．
在和中，
，
，
．
【小问2详解】
解：如图2，延长交于点，
正六边形，
．
，
．
设正六边形的边长，
在中，，，
．
点是的中点，
．
．
23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，．
（1）当时，求该函数表达式；
（2）若点，都在直线上，求的值；
（3）当时，都有，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为直线，再根据当时，点，关于对称轴对称，求出的值，即可求解；
（2）先根据点，点都在直线上，求出的关系，得出点坐标，再将点、点代入二次函数即可求解；
（3）先根据二次函数的系数，求出二次函数的增减性，在结合题意和数形结合进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线，
∵当时，点，关于对称轴对称，
∴，
∴该函数表达式为：；
【小问2详解】
解：∵点，点都在直线上，
∴，
由①②得：，即，
∴点坐标为：
将点，坐标代入函数表达式：，
解得：；
【小问3详解】
解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴在对称轴的右侧，随的增大而增大，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
①若和在对称轴右侧，随的增大而增大，
∵，
∴，与矛盾，不成立；
②若和在对称轴左侧，随的增大而减小，
若，在对称轴左侧，那么，有，与矛盾，不成立；
若，在对称轴右侧，那么，，
点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为，
只需满足：，
解得：．
③若和在对称轴左右两侧，点关于对称轴的对称点坐标为，
如图，要使时，都有，只需满足：，
解得：．
∴综上，的取值范围是．
24. 如图1，为的直径，点在上，且弧弧，弦交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，和．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）如图2，若点，重合，求与的面积比．
（3）如图1，若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，，从而得出结论；
（2）连接，连接交于点，根据圆周角定理得到，由三角形内角和定理求出，进而得到和是等腰直角三角形，设，则，根据勾股定理求出长，利用求解即可；
（3）连接、，过点作于点，设的半径为，则、，在中，根据勾股定理列出方程求出的值，证明，则，据此求出长，根据等腰直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：是的垂直平分线，
，，
经过圆心，且，
，
，
四边形为菱形；
【小问2详解】
解：连接，连接交于点，如图2，
是的直径，
，
，
，
由（1）知，四边形为菱形，
、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
；
【小问3详解】
解：连接、，过点作于点，设的半径为，则、，
由（1）知，四边形为菱形，
、，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
、、，
，
，
，是的直径，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键．
牙膏品牌
合计
售出支数
分数
7分
8分
9分
10分
人数
11
0
8