广东揭阳市榕城区2026年初中学业水平考试第一次模拟考试数学科（含解析）

这是一份广东揭阳市榕城区2026年初中学业水平考试第一次模拟考试数学科（含解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间120分钟，满分120分）
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分
1. 某市某天的最高气温为5℃，最低气温为﹣6℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）
A. ﹣11℃B. ﹣6℃C. 11℃D. 6℃
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的减法法则列式计算即可．
【详解】解：5﹣（﹣6），
＝5+6，
＝11（℃），
故选：C．
本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
2. 某阅览室的椅子如图所示，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了三视图，根据从左边看到的图形是左视图进行解答即可.
【详解】解：的左视图是 ，
故选：D
3. 下列整式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项、完全平方公式．根据同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项、完全平方公式，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
4. 2024年春节假期，揭阳古城接待游客237.97万人次，数据237.97万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：237.97万．
5. 已知一组数据：3，3，4，3，5，5，6，则这组数据的中位数为（ ）
A. 3B. 4C. 3.5D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】求一组数据的中位数，需先将数据按从小到大排序，再根据数据个数确定中位数，本题数据个数为奇数，中间位置的数就是中位数．
【详解】解：将原数据从小到大排序得：，
∵这组数据共有个数，为奇数个，中位数是排序后第个数，
∴这组数据的中位数为．
6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，对边平行且相等，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意；
B、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等且平分，故，原结论一定正确，符合题意；
D、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意；
故选C．
7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据5斗酒和斗谷子列方程组即可得到答案；
【详解】解：设清酒斗，醑酒斗，
由题意可得，，
故选：A．
8. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于点E、F；②分别以E、F为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H；③以B为圆心，长为半径画弧，交于边于点M．若，则点A，M之间的距离为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作线段，菱形的判定和性质，勾股定理，连接，设交于点O，证明四边形是菱形，勾股定理求出的长，进而得到的长即可．
【详解】解：如图，连接，设交于点O，
由题意可知，是的角平分线，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵以B为圆心，长为半径画弧，交于边于点M，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴
∴，
故选：C．
9. 如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于点D，
∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴，
∴，，．
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10. 如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（ ）

A. B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得都是定值，点F在射线上运动，从而得到当时，最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得和的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案．
【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，
直线，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
和都是定值，
点F在射线上运动，
当时，最短（如图2所示），
延长，相交于点N，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，，，
，，
，
，
，
解得，
当最短时，则的长度为4．
故选：B．
本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段最短时的几何图形是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点．，，，则长为________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求弧长，熟记弧长公式“（为圆心角的度数，表示圆的半径）”是解题关键．先求出，再利用弧长公式即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴长为，
故答案为：．
13. 在化学实验课上，老师给出5种变化描述，分别是：①冰雪融化；②纸张燃烧；③酒精挥发；④玻璃破碎；⑤钢铁生锈．小明从中随机抽取2种变化均为化学变化的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】先区分化学变化与物理变化，根据概率公式，求解即可．
【详解】解：②纸张燃烧、⑤钢铁生锈属于化学变化；①冰雪融化、③酒精挥发、④玻璃破碎属于物理变化；
从5种变化中随机抽取2种的所有可能情况为：①②、①③、①④、①⑤、②③、②④、②⑤、③④、③⑤、④⑤，共10种；
其中抽取的2种均为化学变化的情况只有②⑤这1种；
故所求概率为．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，
∵点的坐标为，
∴，
由题意得，，，
∴，，
∴点对应点的坐标为，
故答案为：．
15. 新定义：若存在常数，使得点满足，，则称点为“偶点”．如若是“偶点”，则；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是根据新定义推导出“偶点”在直线上，将原问题转化为直线与给定区间上的抛物线存在交点，进而求解的取值范围．
【详解】解：根据“偶点”定义，点满足 ， ，且，
将两式相减得：，
变形得：x−yx+y+2x+y=0 ，
整理得：x+yx−y+2=0 ，
，
，即，
因此所有“偶点”都在直线上，
∴y+x=x+2+x≠0 ，解得，
抛物线y=−34x2+4x+c−1≤x≤4上至少存在一个“偶点”，
即直线与抛物线在范围内至少有一个交点，
联立方程得：，
整理得： ，其中，
是关于的二次函数，开口向上，对称轴为直线，
当时，c=34×22−3×2+2=−1 ，
当时，c=34×−12−3×−1+2=234，
当时，c=34×42−3×4+2=2 ，
当时，的最小值为，最大值为，
∵，
因此的取值范围为．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集为．
17. 为了解某地区九年级学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项球类运动的喜爱情况，从该地区随机抽取部分九年级学生进行问卷调查，收集数据（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一项运动），并将调查得到的数据用下面的表格和扇形图来表示（表、图均不完整）
根据表、图提供的信息，解决以下问题：
（1）计算出表中、的值；
（2）求扇形统计图中表示“足球”部分所对应的扇形的圆心角度数；
（3）若该地区九年级学生共有60000人，试估计该地区九年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生有多少人？
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查的是扇形统计图，利用样本估计整体等知识．
（1）根据乒乓球的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用总人数乘以篮球人数的占比即可得a，进而可得b；
（2）用乘以足球人数所占百分比可得答案；
（3）用该校的总人数乘以喜爱羽毛球球运动的学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
本次调查共抽取的总的学生数是：（名），
喜欢篮球人数：（名），
喜欢足球的人数：（名），
故答案为：，；
【小问2详解】
扇形统计图中表示“足球”的扇形圆心角的度数为；
【小问3详解】
根据题意得：（人），
答：喜爱羽毛球运动的学生有人．
18. 如图，已知，．
（1）尺规作图：在上找出点，使点到两边的距离相等；
（2）根据（1）所求点，以点为圆心，长为半径作，求证：直线与相切．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）作的角平分线，与的交点即为M点；
（2）过点作，垂足为．由（1）知为的平分线，则，进而可得，即为半径．，由此可得直线与相切．
问题主要考查了角平分线的判定和性质，以及切线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，点为所求．
【小问2详解】
证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）

【答案】9.2尺
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度．
【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺．
∴，即，
∵，
∴，即，
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．
∴春分和秋分时日影长度为．
答：春分和秋分时日影长度9.2尺．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为：；反比例函数解析式为：；
（2）点P的坐标为．
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点坐标，利用三角形面积公式，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵点在一次函数图象上，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为：；
∵点在一次函数图象上，
∴，
解得，
∴点，
∵点在反比例函数图象上，
∴
∴反比例函数解析式为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴当时，，
∴，
由题意得，
解得，
∵点P为y轴负半轴上一点，
∴，
∴点P的坐标为．
21. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值．
【答案】（1）“丰收2号”单位面积产量为高
（2）12
【解析】
【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式方程的应用，明确题意，正确列式是解答本题的关键．
（1）根据产量除以试验田面积，再比较出两块试验田单位面积产量的大小即可；
（2）用a表示出两块试验田的周长，再由丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍解答即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴“丰收2号”单位面积产量高；
【小问2详解】
由图可知，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的周长分别为，
∵丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每m造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每m造价的2倍，
∴，
解得，
经检验，是方程的解，
∴a的值为12．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.
22. 在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点，沿所在直线折叠使点与点重合，点在上．
（1）如图1，的度数不变，请你求出该角的度数；
（2）如图2，连接，发现三条线段之间存在一定的数量关系，请证明你的发现；
（3）如图3，连接，，若正方形的边长4，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，圆的定义；
（1）根据折叠的性质可得，则，进而根据，即可求解；
（2）过点作，交的延长线于点，证明得出，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解；
（3）根据折叠的性质可得，得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当在上时，的面积最大，此时，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：把沿所在直线折叠，点落在点处，
四边形是正方形，
，
沿所在直线折叠使点与点重合，
，
的度数不变且为
【小问2详解】
理由如下：如图，过点作，交的延长线于点
在正方形中，，
由（）可知，，，
∴在中，
在和中，
在中，
【小问3详解】
解：∵折叠，
∴
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当在上时，的面积最大，此时
∵
∴，
∴
∴面积的最大值为
23. 如图①，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为点D，交直线于点E，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②．过点P作，垂足为点F，当时，请求出m的值；
（3）如图③，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可得；
（2）运用待定系数法可求出直线的解析式为，过点E，F分别作轴于点H，轴于点，设点的横坐标为，则，，可证，得，在中，根据勾股定理得，可求得，再证得，解得，根据得，建立方程，
解得或，根据，即可得；
（3）设，分情况讨论：①当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，②当点恰好落在该矩形对角线上时，连接交于点K，③当点恰好落在该矩形对角线DC的延长线上时，过点作轴于点，连接交CQ于点，分别求出点Q的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：∵抛物线与轴交于点C，
∴，
设直线BC的解析式为，把，代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点E，F分别作轴于点H，轴于点，

设点的横坐标为，则，，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
∵轴，
∴，
∴，
即，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线．
∵点在抛物线的对称轴上，
∴设，抛物线的对称轴交轴于点，交边于点，
则，，．
①当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，如图所示，

则垂直平分，
即，
∴．
又∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
②当点恰好落在该矩形对角线上时，连接交于点K，如图所示，

∵点与点关于直线对称，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，关于对称轴对称，
即点是的中点，，
∴点是的中点，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
解得（舍去），，
∴；
③当点恰好落在该矩形对角线的延长线上时，过点作轴于点，连接交于点，如图所示，

∵点与点关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，，．
∵，．
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴．
∵点M是的中点，
∴．
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为．
当时，，
∴，
综上所述，点Q的坐标为或或．
本题考查了待定系数法，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称性质，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论，添加辅助线．
运动项目
羽毛球
乒乓球
篮球
足球
排球
人效
36
90
27