河南省商丘市2025—2026学年度第二学期期中考试九年级数学试卷（含解析）

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一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列实数为无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开和最短路径问题，掌握求解的方法是关键；
根据圆柱的侧面展开图是长方形结合两点之间线段最短解答即可．
【详解】解：现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是：
，
故选：B．
3. 如图，点在直线上，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键．
由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可．
【详解】解：点在直线上，，
，
，
，
．
故选B．
4. 党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：8160亿用科学记数法表示为，
故选：A．
5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：对于方程 ，其判别式为
，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即，
解得．
故选：D．
6. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项正确，符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
7. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A. B. 4C. 7D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解．
【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28，
∴，
∵H为边的中点，
∴．
8. 马年的吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，某兴趣小组制作了背面完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个吉祥物的图片．现将卡片洗匀后背面朝上放置，随机抽取1张记下图片内容后放回，再随机抽取1张，两次抽到的吉祥物图片都是“骋骋”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的吉祥物名称中含有“骋”字的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”分别编号为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两次抽到的吉祥物名称中含有“骋”字的结果有1种，
则两次抽到的吉祥物名称中含有“骋”字的概率为．
9. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角可得，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵，
∴
∵为直径
∴
∴，
故选：A．
本题考查了圆周角定理的推论，求正切，数形结合是解题的关键．
10. 硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0
B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C. 时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同
D. 要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了溶解度曲线的解读与应用，解题的关键是结合题目给出的温度与溶解度对应数据，逐一验证选项中关于溶解度概念、变化趋势、变化量及特定溶解度对应温度范围的描述是否正确．
根据图中提供的核心数据分析各选项即可．
【详解】解：A、题目未给出时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为，此选项不符合题意；
B、由数据可知，时溶解度为，时溶解度为，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意；
C、时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意；
D、时溶解度为，时溶解度为，但无法确定之后溶解度是否仍不低于，且题目未明确“仅满足”，此选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可.
【详解】解：若在实数范围内有意义，则，
解得.
故答案为：.
12. 甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表：
则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，成绩越稳定，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴甲的方差小于乙的方差，
∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲，
故答案为：甲．
13. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是分别解出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分．
先解第一个不等式通过移项、系数化为1，求出解集；再解第二个不等式，通过去分母、移项，求出解集；最后根据“同小取小，同大取大，大小小大中间找”的原则确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，移项得即解得．
解不等式②，去分母得，移项得，即．
则不等式组的解集为与的公共部分，即
故答案为：
14. 如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可．
【详解】解：连接，交于点，则：，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
15. 如图，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且，点E为边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得线段，连接，当与的某条边平行时，则线段的长为_______．
【答案】2或
【解析】
【分析】根据题意分、、三种情况，分别利用等边三角形的判定与性质、勾股定理求解即可．
【详解】解：在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且，
，则，
①如图：当时：
∵将线段绕点E顺时针旋转得线段，
是等边三角形，且边长为4，
．
②如图：当时，
∵将线段绕点E顺时针旋转得线段，
是等边三角形，且边长为4，
∵，
，
∴，
为等边三角形，且边长为4，
如图：连接，
，
是等边三角形，则，，
，
，即，
∴
∴，即，，
，
在中，，，则；
如图所示：当E与C重合时，
∴的情况不存在；
综上所述，线段的长为2或．
本题主要考查求线段长、等边三角形的判定与性质、旋转性质、平行线性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）先计算零次幂，绝对值，算术平方根，负整数指数幂，再进一步运算即可；
（2）先把能够分解因式的分子、分母分解因式，再约分即可.
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
.
17. 为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评委的评分情况如下（单位：分）．
表1评委评分数据
表2评委评分数据分析
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表2中______，______，______；
（2）你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由．
【答案】（1）；7；8
（2）小丽的成绩较好，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数，中位数和众数，熟知平均数，中位数和众数的定义是解题的关键．
（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可；
（2）两人平均成绩相同，而小丽的中位数和众数大，据此可得结论．
【小问1详解】
解：由题意得，；
把小红的10位评委的评分按照从低到高排列为：7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，
∴小红的10位评委的评分的中位数为分，即；
∵小丽的10位评委的评分中，评分为8分的人数最多，
∴小丽的10位评委的评分的众数为8，即；
【小问2详解】
解：小丽的成绩较好，理由如下：
从平均数来看，两人的平均成绩相同，从中位数和众数来看，小丽的中位数和众数均大于小红的中位数和众数，故小丽的成绩较好．
18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）延长 交x轴于点F，求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由矩形性质得点，根据 D为的中点，得，得，得；
（2）求出和直线解析式，求出，得，求出，，即得．
【小问1详解】
解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，
∴点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵反比例函数的图象过点D，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵反比例函数的图象交于点E，
∴设，
∴，∴
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
令，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形面积公式，是解题关键．
19. 如图，在中，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下．若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据作角平分线的步骤画图即可．
（2）过点E作，利用角平分线的性质定理得出，由勾股定理得出，然后根据等面积法即可求出．
【小问1详解】
解：如图所示．
【小问2详解】
解：如图，过点E作．
∵平分，，
∴．
∵，
∴．
∵，
即，
∴，
解得．
20. 某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元．
（1）问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？
（2）该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？
【答案】（1）购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元
（2）至少购买A款材料包份
【解析】
【分析】（1）设购买一份A款材料包和一份B款材料包各是元和元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设购买A款材料包份，根据题意列出不等式求解即可．
本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式．
【小问1详解】
解：设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元，
则，解得，
答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元．
【小问2详解】
解：设购买A款材料包份，
，
解得，
∵a为整数，
∴a最小为，
答：至少购买A款材料包份．
21. 随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾仪的高度为米，点、、在水平地面的同一直线上，在测点处安置测倾仪，测得电池板顶端点C的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾仪，测得灯罩顶端点的仰角，点为灯臂与路灯立柱的连接点（点、与在一条直线上），，测得米．（参考数据：，，结果精确到）
（1）求电池板顶端点C离地面的高度；
（2）求灯臂的长度．
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）延长交于点，则四边形，为矩形，得到米，，求出，得到米，米，即可得解；
（2）由矩形的性质可得米，解直角三角形可得米，求出米，得到米，证明，由相似三角形的性质即可得解．
【小问1详解】
解：延长交于点，则四边形，为矩形，
∴米，，
∵，
∴，
∴米，米，
∴．
答：电池板顶端点离地面的高度为米．
【小问2详解】
解：∵四边形为矩形，
∴米，
在中，∵，
∴米，
∵，
∴米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴米，
答：灯臂长为米．
22. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为，时，时，建立方程解题即可．
【小问1详解】
解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
【小问3详解】
解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
23. 综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对角四边形”进行研究．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”
（1）操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“等对角四边形”的有 （填序号）．
（2）探究证明
如图2，在中，，为斜边上的中线，过点D作交于点E，判断四边形是否“等对角四边形”，并说明理由．
（3）拓展延伸
如图3，在中，，，，作角平分线，在边上取点E，使四边形是“等对角四边形”，请直接写出的长．
【答案】（1）②④ （2）是，理由见详解
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意结合给定得定义逐项判断即可；
（2）根据题意得，则，设，则，，，即可求得，，判定，且，即可证明；
（3）当，则，可得，作于点N，则，，设，则，，列方程求解即可；当，则，，取的中点M，连接，则，有为等边三角形，此时，点M与上图点E重合，即可求得．
【小问1详解】
解：图①中，两组对角分别为和，不符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则不是“等对角四边形”；
图②中，有一组对角为，另一组对角为和不相等，符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则是“等对角四边形”；
图③中，有一组对角为和，另一组对角为和，不符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则不是“等对角四边形”；
图④中，有一组对角为，另一组对角为和不相等，符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则是“等对角四边形”；
故答案为：②④；
【小问2详解】
解：∵，为斜边上的中线，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，，
则，且，
故四边形为“等对角四边形”，
【小问3详解】
解：①当，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点N，如图，
则，
∵平分，
∴，
设，则，，
∵，
∴，解得，
则；
②当，则，，
取的中点M，连接，如图，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
此时，点M与上图点E重合，即，
∴，
故或
本题借助新定义考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和性质以及二次根式的混合运算，解题的关键是熟悉分类讨论思想、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质．运动员
平均数
方差
甲
601
乙
601
评委
评委评分
小红
7
8
7
8
7
7
7
8
7
9
小丽
7
7
6
8
8
8
8
8
7
8
选手
平均数
中位数
众数
小红
7
小丽
8