2026届河南省南阳市高三下学期二模考试数学试卷（学生版）

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1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若是函数的极值点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知是定义在上的奇函数，且，若当时，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 双曲线的右焦点为，过点的动直线交双曲线于，两点，点，若直线平分，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列是等比数列，其前项和为，且，则公比的值可以是（ ）
A. B. C. D. 1
10. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A. 离心率的取值范围为
B. 当离心率为时，的最大值为3
C. 存在点，使得
D. 当离心率不小于时，的最小值为
11. 已知（且），若，且（为自然对数的底数），则（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在二项式的展开式中，常数项为____________.
13. 已知数列的首项，且满足，则______.
14. 如图，已知在一个四分之一球形状的玩具储物盒内可放入的最大正方体棱长为，若重新放入一个正四面体，并使该正四面体可以在储物盒内以任意角度旋转，则可放正四面体的最大棱长为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，
.
（1）求；
（2）求的取值范围.
16. 已知函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若，证明不等式在上恒成立.
17. 某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作答，已知题库中有，两类题，每个类题答对可以得到20分，每个类题答对得30分.两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答，两类题正确与否相互独立.
（1）若职工甲选3个类题作答，试求甲得分的分布列和方差；
（2）若甲乙两人每人选择2个类题和1个类题作答，求甲得分高于乙的概率.
18. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，平面，，，，，为的中点，点在线段上.
（1）证明：平面平面；
（2）已知，，，四点均在球的球面上.
①证明：，，三点共线；
②若直线与平面所成角的正弦值为，求.
19. 已知抛物线：的焦点为，点，点，过焦点的直线交于，两点，的面积的最小值为4.设直线，与的另一个交点分别为，，直线，的倾斜角分别为，.当直线，的斜率存在时分别记为，.
（1）求抛物线的方程；
（2）证明：；
（3）当取得最大值时，求直线的方程.