2026届福建省厦门市第六中学高三下学期联合考试数学试题含解析

这是一份2026届福建省厦门市第六中学高三下学期联合考试数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了在中，，，，则边上的高为，中国古典乐器一般按“八音”分类等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为20，方差为4B．平均数为11，方差为4
C．平均数为21，方差为8D．平均数为20，方差为8
2．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．在中，，，，则边上的高为（ ）
A．B．2C．D．
5．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
7．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（pá）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，，则（ ）
A．2B．C．1D．
9．已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）
A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省
B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长
C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元
11．是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
12．设，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设复数满足,则_________.
14．函数的值域为_____.
15．已知集合，，则_____________.
16．若，则的最小值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数的定义域为.
（1）求实数的取值范围；
（2）设实数为的最小值，若实数，，满足，求的最小值.
18．（12分）在锐角三角形中，角的对边分别为．已知成等差数列，成等比数列．
（1）求的值；
（2）若的面积为求的值．
19．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值.
20．（12分）已知函数在上的最大值为3.
（1）求的值及函数的单调递增区间;
（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.
21．（12分）已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(,0),(,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=2,动点C的轨迹为曲线G.
（1）求曲线G的方程;
（2）设直线l与曲线G交于M,N两点,点D在曲线G上,是坐标原点,判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
22．（10分）已知集合，，，将的所有子集任意排列，得到一个有序集合组，其中.记集合中元素的个数为，，，规定空集中元素的个数为.
当时，求的值；
利用数学归纳法证明：不论为何值，总存在有序集合组，满足任意，，都有.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.
【详解】
样本的平均数是10，方差为2，
所以样本的平均数为,方差为.
故选:D.
【点睛】
样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.
2、A
【解析】
对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数.
【详解】
因为为纯虚数，所以，得
所以.
故选A项
【点睛】
本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.
3、D
【解析】
先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以只需将的图象向右平移个单位.
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.
4、C
【解析】
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得边上的高.
【详解】
过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.
5、C
【解析】
由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可.
【详解】
，，或（舍）.
，，.
当，时；
当，时；
当，时，，所以最小值为.
故选:C.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.
6、A
【解析】
设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.
【详解】
设点的坐标为，有，得.
双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，
所以，则，即，故，即，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.
7、B
【解析】
分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】
从“八音”中任取不同的“两音”共有种取法；
“两音”中含有打击乐器的取法共有种取法；
所求概率.
故选：.
【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.
8、D
【解析】
说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值．
【详解】
由知函数的周期为4，又是奇函数，
，又，∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．
9、D
【解析】
先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围.
【详解】
由题设有，故，故椭圆，
因为点为上的任意一点，故.
又，
因为，故，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是，点为上的任意一点，则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.
10、D
【解析】
根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】
由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.
故D项不正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.
11、D
【解析】
根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项.
【详解】
因为是定义在上的增函数，故.
又有意义，故，故，所以.
令，则，
故在上为增函数，所以即，
整理得到.
故选：D.
【点睛】
本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.
12、C
【解析】
首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.
【详解】
由题知，满足，可行域如下图所示，
可知目标函数在点处取得最小值，
故目标函数的最小值为，
故的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、.
【解析】
利用复数的运算法则首先可得出，再根据共轭复数的概念可得结果.
【详解】
∵复数满足，
∴，∴，
故而可得，故答案为.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题．
14、
【解析】
利用配方法化简式子，可得，然后根据观察法，可得结果.
【详解】
函数的定义域为
所以函数的值域为
故答案为：
【点睛】
本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。
15、
【解析】
由集合和集合求出交集即可.
【详解】
解：集合，，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了交集及其运算，属于基础题.
16、
【解析】
由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
【详解】
由题意，，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值．
【点睛】
利用基本不等式求最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③等号取得的条件。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；
(2)首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.
【详解】
（1）因为函数定义域为，即恒成立，所以恒成立
由单调性可知当时，有最大值为4，即；
（2）由（1）知，，
由柯西不等式知
所以，即的最小值为.
当且仅当，，时，等号成立
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18、（1）；（2）.
【解析】
(1)根据成等差数列与三角形内角和可知,再利用两角和的正切公式,代入化简可得,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的性质可求得,联立即可求解求的值.
(2)由(1)可知,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得,再结合的面积为利用面积公式求解即可.
【详解】
解：成等差数列,
可得
而,即,展开化简得
,因为,故
①
又成等比数列,
可得,
即,
可得
联立解得（负的舍去）,
可得锐角；
由可得,
由为锐角,
解得,
因为为锐角,故可得,
由正弦定理可得,
又的面积为
可得,
解得．
【点睛】
本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.
19、（1），（2）（3）
【解析】
（1）假设公差，公比，根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得，，然后利用公式法，可得结果.
（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果.
（3）计算出，代值计算并化简，可得结果.
【详解】
解：（1）依题意：，
即，解得：
所以，
（2），
，
，
上面两式相减，得：
则
即
所以，
（3）
，
所以
由得，，
即
【点睛】
本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题.
20、（1）,函数的单调递增区间为；（2）.
【解析】
（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出的值，再结合正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间;
（2）由（1）结合已知，可以求出角的值，通过正弦定理把问题的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出的取值范围.
【详解】
解：（1）

由已知，所以
因此
令
得
因此函数的单调递增区间为
（2）由已知，∴
由得，因此
所以
因为为锐角三角形，所以，解得
因此，那么
【点睛】
本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.
21、（1）.（2）四边形OMDN的面积是定值,其定值为.
【解析】
（1）根据三角形内切圆的性质证得，由此判断出点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线的方程.
（2）将直线的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形的面积，两种情况下四边形的面积都为，由此证得四边形的面积为定值.
【详解】
（1）因为圆E为△ABC的内切圆,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|
所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆（点不在轴上）,
所以c,a=2,b,
所以曲线G的方程为,
（2）因为，故四边形为平行四边形.
当直线l的斜率不存在时，则四边形为为菱形，
故直线MN的方程为x=﹣1或x=1,
此时可求得四边形OMDN的面积为.
当直线l的斜率存在时,设直线l方程是y=kx+m,
代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,
∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|
点O到直线MN的距离d,
由,得xD,yD，
∵点D在曲线C上,所以将D点坐标代入椭圆方程得1+2k2=2m2,
由题意四边形OMDN为平行四边形,
∴OMDN的面积为S,
由1+2k2=2m2得S,
故四边形OMDN的面积是定值,其定值为.
【点睛】
本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.
22、；证明见解析.
【解析】
当时，集合共有个子集，即可求出结果；
分类讨论，利用数学归纳法证明.
【详解】
当时，集合共有个子集，所以；
①当时，，由可知，，
此时令，，，，
满足对任意，都有，且；
②假设当时，存在有序集合组满足题意，且，
则当时，集合的子集个数为个，
因为是4的整数倍，所以令，，，，
且恒成立，
即满足对任意，都有，且，
综上，原命题得证.
【点睛】
本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.