安徽省江南十校2026届高三5月学业质量检测数学试卷含解析（word版）

这是一份安徽省江南十校2026届高三5月学业质量检测数学试卷含解析（word版），共38页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
2. 设复数 满足 ,则复数 的虚部是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
3.已知数列 是等差数列, ,则
A. B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】 .
4.已知点 ， ， 为坐标原点，则 “ 和 的夹角为锐角” 是 “ ” 的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 和 的夹角为锐角得 且
故 “ 和 的夹角为锐角” 是 “ ” 的充分不必要条件.
5.函数 的图象如图所示,则关于 的不等式 的解集为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,所以 ,所以 解集为 .
6.已知函数 ，先将 图象向左平移 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的 2 倍 (纵坐标不变),得到函数 的图象. 若 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题知, ,则
所以 .
7.已知实数 满足 ,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题知
若 ,则 ;
若 ,则 ,令 ,则
所以
综上, .
8.已知函数 ,若 ,则 的最小值是
A. B. - C. D.
【答案】C
【解析】
令 ,则有
显然
又 ,所以 ，
令 ,求导知 在 单减,在 单增,
所以 时 最小为 4,所以 的最小值为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若函数 的图象恒过定点 ,且点 在直线
上,则下列选项正确的是
A. B. 的最大值是
C. 的最大值是 D. 的最小值是 9
【答案】BCD
【解析】 所以 ,所以 选项错误;
,当且仅当 时等号成立,故 选项正确; ,当且仅当 时等号成立,故 选项正确;
,当且仅当 时等号成立,故 选项正确.
10.如图所示,正方体 的棱长为 为棱 (不包括端点) 上的动点,在 的运动过程中, 下列选项正确的是
A. 三棱锥 的体积为
B. 过 三点的平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
C. 当点 为 中点时,过 三点的平面把正方体分成两部分的体积之比为
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于 选项, ,故 选项错误;
对于 选项，过点 做 交 于点 ，连接 ，则截面为四边形 ,其中 ,故 选项正确;
对于 选项， ，所以故 选项正确;
对于 选项，如图，最小值为 .
11.设直线 与抛物线 相交于 两点,与圆 相切于点 ,且 为 的中点,下列选项正确的是
A. 当直线 斜率为 1 时,
B. 直线 斜率可能为 2
C. 若直线 斜率不为 0,则 点轨迹是一条直线
D. 当 时,符合条件的直线 有且仅有两条
【答案】AD
【解析】设
即
对于 选项，由 知 ；又 ，得
,此时直线 过抛物线焦点,故
所以 选项正确；
对于 选项,由 知 ; 又 ,得
不在抛物线开口内,它不可能是 中点,故 选项错误;
对于 选项，当 时，由 得
所以点 在直线 上; 但 是 中点,那么 必须在抛物线开口内,所以 的轨迹不可能是一条直线; 故 选项错误;
对于 选项,当 时由 选项知 ,又 ,得 ,此时 , 与条件矛盾 (舍去); 当 时,显然有 2 条直线满足题意; 故 选项正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 的展开式中常数项为 160，则它展开式的第 5 项为________.
【答案】
【解析】由题意可知 的展开项的常数项为 , 则 ，所以展开项的第 5 项为 .
13.已知函数 和 的图象上存在点关于直线 对称,则实数 的取值范围为_______.
【答案】
【解析】 关于 的对称函数为 ,则函数 和 的图象上存在点关于直线 对称时, 与 有交点,则 有解,即 有解,令 ,则 时有
时, 单调递增,
时, 单调递减,
则 ,且
所以 ,则 .
14.如图,已知三棱锥 和三棱锥 均为正三棱锥,其中 , ，则其内部能放入的最大球的半径 ________.
【答案】
【解析】 取 的中心 ,连接 即分别为两个正三棱锥的高,易知 三点共线,连接 ,延长后与 相交于点 .
,
.
该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球,
由题意可得:
又
则 ，
由等体积法可知:
所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中,内角 对边分别为 ,其中 为钝角, ,且满足
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的面积 .
【解析】(1)解:由题意可知: ，
化简可知: ,
得 ,
① 时， ，又 ，则 ， 为锐角，不符合题意；
② ，此时可得 ( 为锐角)，此时符合题意. 综上， .
(2)
可得
,
.
16.如图,矩形 中, ,将 沿矩形对角线 翻折至 ,使得点 在底面 内的投影点 在 上, 为 中点.
(1)求证: ；
(2)求二面角 的余弦值.
【解析】(1)证明: 平面
，又 ，且 ，
平面 ，
平面
，又 ，且 ，
平面 .
平面 ,
.
( 2 )法一:延长 ，在平面 内，过 作 的垂线， 垂足为 ,连接 .
由(1)可知 ，又 ，且 ， 平面 ,又 为二面角的棱, 平面 平面 ,
为所求二面角的平面角 .
平面 ,
又 为 的中点,可得 ,
,
.
.
法二: 如图,以 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,在平面 内,以过 且垂直于 的直线为 轴, 建立空间直角坐标系,
计算可得:
则空间中的一些点的坐标为:
.
由题意可知,平面 的法向量为 .
设平面 的法向量为 ,
,得 ,令 ,则 ,
.
二面角 的平面角 显然为锐角,
.
17.已知椭圆 的左、右焦点分别为 . 过焦点 作垂直于长轴的直线与椭圆交于 两点， 为等边三角形.
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若椭圆 的长轴长为 6，点 ，点 为椭圆上异于 的动点，且直线 ， 的斜率互为相反数,直线 的斜率是否为定值？若是,求出此定值; 若不是,请说明理由.
【解析】
(1)将 代入椭圆可得 ，
,
又 为正三角形,
,即 ,则可得 ,
又 .
离心率 ,
.
(2)由题意可知: ，结合(1)可得 ， ，
则椭圆 .
由题意可知,符合条件的直线 的斜率必存在,
设直线 的方程为:
联立椭圆和直线方程: ,消去 可得 ,
直线和椭圆必有交点,则 ,
,
的斜率是互为相反数, .
又 ,
,
化简可得 ,
即 .
因式分解 ,则可得 或 ,
时,直线 经过点 ,故不符合题意,
则直线 的斜率为定值 .
18.强健的体魄是高效学习的保障. 为增强体魄、放松身心，甲、乙两位同学周末相约在小区篮球场进行投篮游戏，游戏的方式有两种:
方式一:随机决定谁先投篮，若先投篮的同学出现连续 2 次未投中或投篮次数达到 5 次，该同学停止投篮，由另一位同学投篮; 若后投篮的同学也出现连续 2 次未投中或投篮次数达到 5 次, 游戏结束. 游戏中累计投中次数多的同学获胜, 若两人投中次数一致, 则为平局.
方式二:每次由其中一人投篮，规则如下:若投中则此人继续投篮，若未投中则换对方投篮. 由掷质地均匀的硬币决定第1次投篮的人选.
已知甲同学每次投篮的命中率为 ，乙同学每次投篮的命中率为 ，且每位同学每次投篮是否命中相互独立.
(1)选择方式一时，记甲在游戏中的投篮次数为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)选择方式二时，
(i)两人约定先累计投中 2 次者获胜，游戏结束. 在游戏结束时，两人合计投篮次数不超过 4 次, 求此过程中甲只进行了 2 次投篮的概率;
(ii) 若二人一直进行投篮,记第 次是甲投篮的概率为 ,前 次投篮中甲的投篮次数为 , 求 和 .
(参考知识:若随机变量 服从两点分布,且 ,则
【解析】(1)结束投篮时甲的投篮次数 的可能取值为2,3,4,5，
.
.
(2)(i)设甲投中为事件 ，乙投中为事件 ，
投篮 2 次游戏结束的情况有:
投篮 3 次游戏结束的情况有:
投篮 4 次游戏结束的情况有: .
则 .
(ii) 由题意可知 ,第 次投篮的是甲的概率为 ,第 次投篮是甲的概率为 , 是乙的概率为 ,则一定满足

即
则可构造如下关系:
可得: .
若记第 次投篮甲投的次数为 ,不难发现甲投 ,乙投 ,则 服从两点分布,
则 ,又
则 .
19.已知函数
(1)若 有两个极值点，求实数 的取值范围；
(2)已知 ，当 时， 恒成立，求整数 的最小值；
(3)证明: .
【解析】(1)由题意可知: ，令 ，
的解为 ,
时, 单调递减,
时, 单调递增,
.
有两个极值,且
经检验符合题意 .
(2) 在 时恒成立,即 恒成立
设 ,
显然 时符合题意,只需讨论 恒成立即可 .
则 ,当 时 ;
令 ,则 时的解为 ,
时, 单调递减,
时, 单调递增,
时, 在 恒成立, 在 上单调递增,
符合题意;
又 时, 时 单调递减,此时 不符合题意,
又 ,且 .
则 .
(3)证明:由 (2) 可知,当 时,当 必有 恒成立,
即 恒成立,
取 ,
可得 ,
两边同时乘以 ,可得 .
则必有
累加可得 ,①
再取
可得 .
则必有
累加可得 ,②
①+②可得 ，证毕 .2
3
4
5