安徽省江南十校2026届高三下学期3月数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由并集的定义 .
2. 复数 的共轭复数是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 共轭复数为 .
3.数据35, 54, 46, 36, 73, 85, 60, 89的第75百分位数为
A. 79 B. 54 C. 50 D. 41
【答案】A
【解析】 第一步,将数据从小到大排列为:35,36,46,54,60,73,85,89
第二步, ,
第三步，取第6个73与第7个85的平均数为79.
4.2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江， 以硬核技术惊艳亮相, 彰显中国汽车品牌创新实力. 如图, 此段长江的两岸近似看作平行,宽度约为 1000 米. 若汽车从 地出发,以 的静水速度向对岸航行，水流速度为5 km/h，要使航程最短，大约需要多长时间 (单位: ）
A. B. C. 6 D. 12
【答案】D
【解析】设点 是长江对岸一点， 与江岸垂直，当汽车实际沿 方向行驶时，航程最短.
设汽车的速度 ,水流的速度 ,实际速度 .
.
则航行时间为 .
5.已知双曲线 ，在双曲线 左支上任取两个不同的点 ， ,都有 ,则双曲线 的离心率 的最大值为
A. B. 3 C. D. 2
【答案】C
【解析】 任取双曲线 左支上两个不同的 都有
..
6.若 为正实数,且有 ,则下列大小关系中一定不成立的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
在同一个坐标系下考察函数 与 的交点
当 时， ；
当 时，
当 时， .
7.A4 纸是生活中最常用规格的纸. A 系列纸张命名规则:①一张 Ai 型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张 型号纸张,比如,一张 纸对裁后可以得到两张 A1 纸, 一张 A1 纸对裁后可以得到两张 A2 纸; ② 一张 A0 型号的纸张面积是 1 平方米, A10 纸是 ISO 国际标准中最小的纸张规格; ③所有 Ai 型号的纸的长宽比相等. 现从 A0 到 A10，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为(单位:米)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设 纸的宽和长分别为 , 则
;
.
8.如图,抛物线 的方程为 ,焦点是 ,圆心在 轴上的圆 与抛物线 在第四象限有且只有一个公共点 ,且它们在点 处的切线是同一条直线. 若点 的横坐标为 ,则实数 的值为
A. 18 B. 12C. 9 D. 6
【答案】A
【解析】如图,作出抛物线 和圆 在点 处的公共切线 ,同时过 作射线 轴, 则有 ，由抛物线的光学性质， ， , 且 ,又 ,代入得: , 解得: .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A. 若成对样本数据 都落在一条直线上,则变量 和变量 的样本相关系数 满足
B. 若 ,则事件 相互独立与 互斥不能同时成立
C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性,如果把 的列联表中所有的数据都扩大为原来的 10 倍, 在相同的检验标准下, 结论不受任何影响
D. 数据 的平均数和方差分别为 和 ,数据 的平均数和方差分别为 和 ,且所有数据混合后总的平均数和方差分别为 和 ,若 ,则必有
【答案】ABD
【解析】A 正确，B 正确，
对于 ,因为 ,当 扩大到原来的 10 倍,则 的值也扩大 10 倍, 则得到的结论会受到影响. C 错误.
对于 ,对于题中的分层抽样, .
又 . D 正确.
10.如图,已知正方体 的棱长为 和 相交于点 为 的中点,正方体其余各面的中心分别为 ,下面结论中正确的是
A.
B. 与 所成角的正弦值为
C. 点 到平面 的距离为
D. 多面体 的内切球半径为
【答案】ACD
【解析】对于 ,因为 是等边三角形,且 是 中点,所以 正确. 对于 ,方法一: 建系计算,过程略,
方法二: 对 ,在正方体 右侧补一个等大的正方体 ,作 的中点 ,连 ,易得 为 与 所成的角 (或补 角) ， ， ， ，由余弦定理得: . B 错.

对于 ,点 是 的中点,所以点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的一半,又 平面 ,点 到平面 的距离等于 ,故点 M 到平面 的距离为 正确.
对于 ,易知 EFGHIO 是正八面体,棱长为 ,所以它的内切球的半径 . D 正确.
11.已知函数 ,则
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点 中心对称
C. 在区间 上单调递增
D. 的零点构成的集合是
【答案】BD
【解析】A. ,不恒成立, A 错误;
B. 正确;
C.
当 时, 或 或 ,易证 是函数的极值点, 错误;
D. 由 可知, 在 递增,在 递减,在 递增,
在 递减. 而 内无零点. ,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知 ,向量 在向量 上的投影向量为 ,则 与 夹角的余弦值为________.
【答案】
【解析】设 与 的夹角为 ,向量 在向量 上的投影向量为 , .
13.已知 分别为 三个内角 的对边,且 ，则 _______.
【答案】
【解析】由正弦定理: ,
,
,
.
14.有一个摸奖游戏，在一个不透明的口袋中装有大小相同的3个红球和5个白球，红球分别标有数字1,2,3,白球分别标有数字1,2,3,4,5,若一次性从袋中摸出三个球,摸到三个球同色或摸到三个球数字之和为3的倍数就中奖，则中奖的概率为________.
【答案】
【解析】方法一:摸球总的方法数是 种,把符合条件的摸球情况分四类:
第一类: 全红有 种;
第二类: 2 红 1 白, 若红球摸 1+2 号, 白球只能是 3 号 (1 种); 若红球摸 1+3 号, 白球可以是 2 或 5 号 (2 种); 若红球摸 2+3 号, 白球可以是 1 或 4 号 (2 种), 故第二类共 种;
第三类:1 红 2 白，若红球摸 1 号，白球可以是 1+4 号、2+3 号、3+5 号(3 种)，若红球摸 2 号, 白球可以是 1+3 号、2+5 号、3+4 号 (3 种), 若红球摸 3 号, 白球可以是 1+2 号、1+5 号、2+4 号、4+5 号(4 种)，故第三类共 3+3+4=10 种；
第四类: 全白有 种;
故所求概率为 .
方法二:按照容斥原理计算
(1)三个球同色的方法数:
(2)三个球数字之和为 3 的方法数:分三种情况
第一种: 和为 6 的: 1+2+3 型有 型有 1 种。其中同色有 2 种
第二种: 和为 9 的: 型有 种;
型有 种; 其中同色有 1 种
2+2+5 型有 种; 其中同色有 1 种
第三种:和为 12 的: 3+4+5 型有 种
所以三个球数字之和为 3 的方法数共 20 种
故共有 种
故所求概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1) 数列 为等差数列,设首项为 ,公差为 对 恒成立, 必有 ,2 分
解之得 ,4 分
即数列 的通项公式为 . 5 分
(2) -7 分
,10 分
13 分
16.托马斯·贝叶斯 (Thmas Bayes) 在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式:设 ， 是一组两两互斥的事件, ,且 , ,则对任意的事件 ,有
这个公式被称为贝叶斯公式 (贝叶斯定理),其中 称为事件 的全概率. 假设一个车间有3台车床, 它们各自独立工作.
(1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是 0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量 ,求 的分布列和数学期望;
(2)假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有 10 件，其中有 2 件次品；第二箱内装有 20 件, 其中有 3 件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱, 然后从该箱中随机取一个零件. 已知取出的是次品, 求它是从第二箱中取出的概率.
【解析】(1) 设 ,由题意知: ，2 分
所以 的分布列为
.5 分
(2)设 “任取一个零件为次品”
“零件是从第 箱取出的” (i=1,2),则 且
有题意知:
，8 分
由全概率公式:
，11 分
由贝叶斯公式知:
.15 分
17.已知梯形 ,现沿对角线 翻折,如图, 分别为线段 的中点.
(1)证明: ；
(2)当折成直二面角时，求线段 的长度；
(3)当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】
(1)证明:连接 、 ，则 ， .
平面
平面
平面
.3 分
(2)方法一:由(1)可知， 为二面角 的平面角，
由题意 平面 ,作 于 ，则 平面 .
平面 . 5 分
中, .
.
. 8 分
方法二: 由(1)可知, 为二面角 的平面角,
由题意
以 所在直线为 轴建系.5 分
.
.8 分
(3) . 在平面 DOG 内过 作 于
由(1)知平面 平面 面
以 所在直线为 轴建系. 11 分
.
设平面 的法向量为
平面 的法向量 所求夹角的余弦值为 . 15 分
18.如果点 在运动过程中,总满足关系式
设点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)若点 ， ， 为轨迹， 上一点(不在坐标轴上)，设点 ， 分别为 的内心和重心,
① 证明: 所在的直线与 轴平行;
② 过 作直线 与轨迹 交于点 ，且 ，求 面积的取值范围.
【解析】(1) 由椭圆的定义,点 的轨迹是以 为焦点,长轴 的椭圆-2 分所以点 的轨迹方程为: .4 分
(2)由 (1) 知, 为椭圆 的焦点,
由题意知 PG 交 轴于点 ,设直线 PI 交 轴于 ,
为 重心
.6分
方法一、
为 的内心
分别平分
，8 分
,且 不在坐标轴上,
与 轴平行 .10分
方法二: 由对称性, 不妨设 点
在 轴右侧,由面积知
,
与 轴平行.10分
(3)设点 ，则 ，11 分
且
则
同理:
为 的内心
又 ，13 分
设 ,则
14分
设 ,则直线 ,结合 化简,直线 ,设 ，
则 ,结合 化简,
，16分
.17分
(或者,其中 .)
19.函数 .
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 在 上没有零点，求实数 的取值范围；
(3)当 时，设 ，若 ， 满足 ,证明: .
【解析】(1)当 时， . 1 分
所以有 ，2 分
所以函数 在 处的切线方程为 ,
即 .3 分
( 2 )由题意， 在 上没有零点，等价于方程 在
上无解,因为
,
即等价于方程 在 上无解, ,
即等价于方程 在 上无解,
等价于方程 在 上无解,
等价于方程 在 上无解. 5 分
设 ,原题等价于关于 的方程 在 上无解.
设 ,
6 分
当 时, ,则 ,
对 恒成立,则 在 上单调递减,
又 ,故满足题意的实数 的取值范围为: .8 分
(3)当 ， 时， ， ，
令 得 ,即 ,
又 ,则存在唯一的 使得 且
当 时, 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
又 ,
要使 且 ,必有 ,则必有 -10 分
①先证: .
,且 在 上单调递减,要证
只需证 即可,又 ,故只需证 对 恒成立即可,只需证:
而 ,
只需证 ,即只需证 对 恒成立即可,这显然成立,
故有 ; 13 分
②再证: .
必有 ,
又当 时, 在 上单调递减,则有 .
而当 时, ,
.
令 ,等价于 ,方程有唯一解,记为 ,且 , 则 在 上单调递减,在 上单调递增,
又 ),
即当 时,必有 ,与题意不符,
所以要使 ,且 ,必有 , 16 分
综合①②可得: . 17 分0
1
2
3
0.343
0.441
0.189
0.027