2026届福建省仙游金石中学高三考前热身数学试卷含解析

这是一份2026届福建省仙游金石中学高三考前热身数学试卷含解析，共29页。试卷主要包含了的展开式中的系数为，的二项展开式中，的系数是，已知集合A，则集合等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
2．点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（ ）
A．B．C．D．
4．若复数（）在复平面内的对应点在直线上，则等于( )
A．B．C．D．
5．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
8．的二项展开式中，的系数是（ ）
A．70B．-70C．28D．-28
9．已知集合A，则集合（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（ ）
A．B．C．D．
12．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.
14．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为______________．
15．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.
16．已知向量，，且，则________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角、、的对边分别为、、，且.
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值.
18．（12分）已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax.
（1）求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；
（2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围；
（3）若∃x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求实数a的最大值．
19．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为
（，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若时，，求实数；
⑶试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论．
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线：（为参数，），曲线：（为参数）.若曲线和相切.
（1）在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线的普通方程；
（2）若点，为曲线上两动点，且满足，求面积的最大值.
21．（12分）已知函数，函数.
（Ⅰ）判断函数的单调性；
（Ⅱ）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于点，将射线绕极点逆时针方向旋转交曲线于点.
（1）求曲线的参数方程；
（2）求面积的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.
【详解】
A选项，若，，，，则或与相交；故A错；
B选项，若，，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；
C选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；
D选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；
故选B
【点睛】
本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.
2、D
【解析】
由题意得，再利用基本不等式即可求解．
【详解】
将平方得，
（当且仅当时等号成立），
，
的最小值为，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．
3、C
【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】
，；，；，；
，；，此时不满足，跳出循环，
输出结果为，由题意，得．
故选:
【点睛】
本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.
4、C
【解析】
由题意得，可求得，再根据共轭复数的定义可得选项.
【详解】
由题意得，解得，所以，所以，
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.
5、D
【解析】
利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
的定义域为，，
所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，，
所以在区间上的最大值为.
要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，
则需恒成立，且，
也即，也即当、时，成立，
即，且，解得.所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.
6、A
【解析】
化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解。
【详解】
函数可化为：，
将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称，
所以，解得：，即：，
又，所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。
7、C
【解析】
由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.
点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.
8、A
【解析】
试题分析：由题意得，二项展开式的通项为，令，所以的系数是，故选A．
考点：二项式定理的应用．
9、A
【解析】
化简集合,，按交集定义，即可求解.
【详解】
集合，
，则.
故选:A.
【点睛】
本题考查集合间的运算，属于基础题.
10、A
【解析】
函数的零点就是方程的解，设，方程可化为，即或，求出的导数，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出的范围．
【详解】
由题意得有四个大于的不等实根，记，则上述方程转化为，
即，所以或．
因为，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得最小值，最小值为．因为，所以有两个符合条件的实数解，故在区间上恰有四个不相等的零点，需且．
故选：A．
【点睛】
本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．
11、C
【解析】
根据题目中的基底定义求解.
【详解】
因为，
，
，
，
，
，
所以能作为集合的基底，
故选：C
【点睛】
本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
12、B
【解析】
根据特殊值及函数的单调性判断即可；
【详解】
解：当时，，无意义，故排除A；
又，则，故排除D；
对于C，当时，，所以不单调，故排除C；
故选：B
【点睛】
本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长．
【详解】
抛物线E: 的准线为，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得，所以圆心的坐标为，半径为5，则圆心到准线的距离为1，
所以弦长．
【点睛】
本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式．
14、，
【解析】
根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得，，结合图象求得该函数的最小正周期，可得出，再将点代入函数解析式，求出的值，即可求得该函数的解析式.
【详解】
由图象可知，，，，，
从题图中可以看出，从时是函数的半个周期，则，.
又，，得，取，
所以，．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
15、
【解析】
根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.
【详解】
因为，
所以，
又
故切线方程为，
整理为，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.
16、
【解析】
根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.
【详解】
，且，则，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用余弦定理得出关于的二次方程，结合，可求出的值；
（2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求出的值.
【详解】
（1）在中，由余弦定理得，
，即，
解得或（舍），所以；
（2）由及得，，
所以，
又因为，所以，
从而，所以.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.
18、（1）m(t)＝（2）a≤2－2.（3）a≤2－2.
【解析】
（1）是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解．
（2）注意到函数h(x)的图像上任意不同两点A，B连线的斜率总大于1，等价于h(x1)－h(x2)＜x1－x2(x1＜x2)恒成立，从而构造函数F(x)＝h(x)－x在(0，＋∞)上单调递增，进而等价于F′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立来加以研究．
（3）用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到a≤，再利用导数求函数M(x)＝的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值．
【详解】
（1） f′(x)＝1－，x＞0，
令f′(x)＝0，则x＝1.
当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，f(x)的最小值为f(t)＝t－lnt；
当0＜t＜1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t＋1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)＝1.
综上，m(t)＝
（2）h(x)＝x2－(a＋1)x＋lnx，
不妨取0＜x1＜x2，则x1－x2＜0，
则由，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2，
变形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立．
令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋lnx，x＞0，
则F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，
故F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以2x＋≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．
因为2x＋≥2，当且仅当x＝时取“＝”，
所以a≤2－2.
（3）因为f(x)≥，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.
因为x∈(0,1]，则x＋1∈(1,2]，所以∃x∈(0,1]，使得a≤成立．
令M(x)＝，则M′(x)＝.
令y＝2x2＋3x－lnx－1，则由y′＝＝0 可得x＝或x＝－1(舍)．
当x∈时，y′＜0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在上单调递减；
当x∈时，y′＞0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在上单调递增．
所以y≥ln4－＞0，
所以M′(x)＞0在x∈(0,1]时恒成立，
所以M(x)在(0,1]上单调递增．
所以只需a≤M(1)，即a≤1.
所以实数a的最大值为1.
【点睛】
本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于难题.
19、（1）（2）（3）为定值
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法可得，椭圆方程为；
（2）我们要知道=的条件应用，在于直线交椭圆两交点M，N的横坐标为，这样代入椭圆方程，容易得到，从而解得；
（3） 需讨论斜率是否存在．一方面斜率不存在即=时，由（2）得；另一方面，当斜率存在即时，可设直线的斜率为，得直线MN：，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和焦半径公式，就能得到，所以为定值，与直线的倾斜角的大小无关
试题解析：（1），得：，椭圆方程为
（2）当时，，得：，
于是当=时，，于是，
得到
（3）①当=时，由（2）知
②当时，设直线的斜率为，，则直线MN：
联立椭圆方程有，
，，
=+==
得
综上，为定值，与直线的倾斜角的大小无关
考点：（1）待定系数求椭圆方程；（2）椭圆简单的几何性质；（3）直线与圆锥曲线
20、（1）；（2）
【解析】
（1）消去参数，将圆的参数方程，转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，可求得圆的普通方程，最后利用求得圆的极坐标方程.
（2）利用圆的参数方程以及辅助角公式，由此求得的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.
【详解】
（1）由题意得：，：
因为曲线和相切，所以，即：；
（2）设，
所以
所以当时，面积最大值为
【点睛】
本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，属于中档题.
21、 (1) 故函数在上单调递增，在上单调递减;(2).
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）根据题意得到的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得对任意，恒成立，构造函数，则有对任意，恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．
试题解析：
（I）由题意得，， ∴ .
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得.
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（II）由题意知.
，
当时，函数单调递增．
不妨设 ，又函数单调递减，
所以原问题等价于：当时，对任意，不等式 恒成立，
即对任意，恒成立.
记，
由题意得在上单调递减.
所以对任意，恒成立.
令，，
则在上恒成立.
故，
而在上单调递增，
所以函数在上的最大值为.
由，解得.
故实数的最小值为．
22、（1）（为参数）；（2）.
【解析】
（1）根据伸缩变换结合曲线的参数方程可得出曲线的参数方程；
（2）将曲线的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点的极坐标为，点的极坐标为，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程，得出和关于的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出面积的最大值．
【详解】
（1）由于曲线的参数方程为（为参数），
将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，
则曲线的参数方程为（为参数）；
（2）将曲线的参数方程化为普通方程得，
化为极坐标方程得，即，
设点的极坐标为，点的极坐标为，
将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得，，
的面积为，
当时，的面积取到最大值.
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查了伸缩变换，同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.