福建省莆田市仙游金石中学2023届高三高考考前模拟考试数学试题（含解析）

福建省莆田市仙游金石中学2023届高三高考考前模拟考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．[—1，7]

C． D．（2，4）

2．设，则复数（    ）

A． B． C． D．

3．已知双曲线的离心率是它的一条渐近线斜率的2倍，则（    ）

A． B． C． D．2

4．函数在上的值域为（    ）

A．  B．

C． D．

5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．的展开式中的常数项为（    ）

A． B． C．80 D．161

7．以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

二、多选题

9．某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两番，为了更好地了解该开发区的经济收入变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图，则下列结论中正确的是（ ）

A．产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多

B．产业结构调整后科技研发的收入增幅最大

C．产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低

D．产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入

10．已知P是圆O：上的动点，点Q(1，0)，以P为圆心，PQ为半径作圆P，设圆P与圆O相交于A，B两点．则下列选项正确的是（    ）

A．当P点坐标为(2,0)时，圆P的面积最小

B．直线AB过定点

C．点Q到直线AB的距离为定值

D．

11．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（    ）

A．数列为等差数列 B．数列为等比数列

C． D．数列的前n项和为

三、单选题

12．已知函数，若对任意的恒成立，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

四、填空题

13．某小学制订了一份调查问卷，让学生家长对该校实行“双减”的效果进行评分，评分都在内，将所有数据按，，，，，进行分组，整理得到频率分布直方图如下，则这次调查数据的第55百分位数为___________．

14．据悉，中国，美国，俄罗斯的卫星发射数量比例为，发射成功率分别为90%，80%，60%，则在某卫星由中美俄之一成功发射的条件下，该卫星由中国发射的概率为_________．

15．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.

16．已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点），若，过的中点作于点，则的最小值为_________．

五、解答题

17．已知等比数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证数列的前项和.

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边BC上，且．

(1)若，，且∠CAD为锐角，求CD的长；

(2)若，求的值．

19．如图，在三棱锥中，，，，.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的余弦值．

20．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值，标准差，以频率作为概率的估计值．

（1）为评估设备M的性能，从样本中任意抽取一个零件，记其直径为X，并根据以下规则进行评估（P表示相应事件的频率）：

①；②；③．

若同时满足上述三个不等式，则设备M的性能等级为甲；若满足其中两个不等式，则设备M的性能等级为乙；若仅满足其中一个不等式，则设备M的性能等级为丙；若全部不满足，则设备M的性能等级为丁．试判断设备M的性能等级．

（2）将直径小于或等于或直径大于的零件认为是次品．

①从设备M的生产流水线上任意抽取2个零件，计算其中次品个数Y的数学期望；

②从样本中任意抽取2个零件，计算其中次品个数Z的数学期望

21．已知椭圆经过点，且离心率为.

(1)求椭圆E的方程和焦点的坐标；

(2)设点为椭圆E上的任一点（不在坐标轴上），直线与椭圆E交于另一点为，直线与椭圆E交于另一点为，为坐标原点，证明：直线与的斜率之积为定值.

22．已知函数．

（1）若单调递增，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．

参考答案：

1．A

【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式求集合A、B，再由集合的交运算求结果.

【详解】由题设，，或，

所以或.

故选：A

2．C

【分析】设出复数，表示出，由复数的乘法进行化简，结合复数的相等得到方程，解方程即可.

【详解】由得．设复数，则，所以，

所以，所以解得所以

故选：C.

3．A

【分析】根据双曲线的几何性质列式可求出结果.

【详解】由题意得,解得，即.

故选：A.

4．C

【分析】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.

【详解】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为

故选：C

5．C

【分析】根据已知条件证明，得到或其补角为异面直线与所成的角.在中利用余弦定理计算可得结果.

【详解】如图，连接.

因为为中点，且，所以四边形为矩形，

所以，所以或其补角为异面直线与所成的角.

设圆的半径为1，则.

因为，所以.

在直角中，，得.

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：C.

6．A

【分析】利用二项式展开式的原理可算出答案.

【详解】，

所以展开式中的常数项为

故选：A

7．C

【分析】如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.

【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，

建立平面直角坐标系，则，，

由，得，

所以，，

所以．

故选：C.

8．B

【解析】延长交于点，可得，结合双曲线的定义可得的关系，从而求得离心率．

【详解】延长交于点，∵是的平分线，∴，，

又是中点，所以，且，

又，∴，

，∴．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于的关系，解题方法是延长交于点，利用等腰三角形的性质、平行线的性质得出，然后由双曲线的定义得出关系式，从而求解．

9．ABD

【解析】设产业结构调整前的经济收入为，则调整后的经济收入为，分别求出调整前和调整后的纺织服装收入、节能环保收入、食品加工收入、科技研发收入，再逐一判断四个选项的正误即可得出正确选项.

【详解】设产业结构调整前的经济收入为，则调整后的经济收入为，

由饼状图知调整前纺织服装收入为，节能环保收入为，食品加工收入为，科技研发收入为，

调整后的纺织服装收入为，节能环保收入为，食品加工收入为，科技研发收入为.

对于选项A：由以上数据易得产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多都为，故选项A正确；

对于选项B：产业结构调整后科技研发的收入为，增幅最大，故选项B正确；

对于选项C：产业结构调整后纺织服装收入为，调整前为，有所升高，

故选项C错误；

对于选项D：产业结构调整后食品加工收入是，调整前纺织服装收入是，所以产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入的倍，故选项D正确.

故选：ABD

10．ACD

【分析】A由题意圆P的面积最小只需最小，结合圆的性质判断；B应用特殊点，讨论为圆O在x轴交点分别判断直线的位置即可判断；C由两圆相交弦所在直线的求法确定直线，再由点线距离公式判断；D由垂直平分，结合弦心距、半径、弦长关系得到关于圆P半径的表达式，结合二次函数性质求范围.

【详解】A：根据圆的性质知：P点坐标为(2,0)时最小，此时圆P的面积最小，正确；

B：若圆P的半径为且，

如下图，当为圆O在x轴右侧交点，此时，显然直线垂直于x轴，在点右侧；

如下图，当为圆O在x轴左侧交点，此时，显然直线也垂直于x轴，在点左侧；

所以直线不可能过定点，错误；

C：由对称性，不妨设，则，

所以圆P方程为，又直线为两圆相交弦，

则圆P、圆O相减并整理得：直线，

所以Q到直线AB的距离为定值，正确；

D：由题意，与交于C且垂直平分，

令，则，可得，故，

所以，正确；

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：选项C利用两圆相交求相交弦所在直线方程，结合点线距离公式求距离，选项D通过弦心距、弦长、半径的几何关系得到关于圆P半径的表达式.

11．BD

【分析】与公共项从小到大排列出，可知为等比数列，求出通项公式再利用错位相减求的前n项和，即可知正确选项.

【详解】数列中的项为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，

34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，

数列中的项为2，4，8，16，32，64，128，…，

∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，

∴；

∴，记数列的前n项和为，

则，

，

两式相减：

，

∴.

故选：BD

12．B

【分析】讨论，，利用导数得出，构造函数，由导数得出，进而得出的最大值.

【详解】，，

当时，恒成立，则单调递减，，显然不恒成立；

当时，时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增，

∴，

∵恒成立，∴，∴，

令，，，

时，；时，.

在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴，即的最大值是.

故选：B．

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于，将不等式的恒成立问题转化为最值问题得出，再由导数得出.

13．75

【分析】利用百分位数的概念以及频率分布直方图求解．

【详解】因为前3组数据的频率之和为0.05＋0.15＋0.2＝0.4，

前4组数据的频率之和为0.05＋0.15＋0.2＋0.3＝0.7，

则55%分位数在内，设55%分位数为x，

则0.4＋(x－70)×0.030＝0.55，解得x＝75，

所以55%分位数为75．

故答案为：75．

14．

【分析】根据互斥事件的概率计算公式，求得发射成功的概率，再由条件概率的计算公式，即可求解由中国发射的概率.

【详解】解：设“卫星是由中美俄之一成功发射”为事件，“卫星是由中国发射的概率”为事件，“卫星是由美国发射的概率”为事件，“卫星是由俄罗斯发射的概率”为事件，

可得，

所以

，

所以该卫星由中国发射的概率为.

故答案为：.

15．

【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.

【详解】正六棱柱体积为

圆柱体积为

所求几何体体积为

故答案为：

【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.

16．1

【分析】结合图形，利用抛物线的定义和基本不等式即可求解.

【详解】

过点作于点，过点作于点，

设，，所以，

因为

，

所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立．

故答案为：.

17．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意求得，由，求得，得到，即可等比数列的通项公式，即可求解；

（2）根据题意得到，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.

【详解】（1）解：设等比数列的公比为，

因为，可得，

两式相减得到，即，所以，

又因为，当时，可得，

可得，适合上式，所以，

所以数列的通项公式.

（2）解：若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，

则，即为，整理得，

所以，

所以

因为，所以，所以.

18．(1)；

(2).

【分析】（1）由题设可得，进而求得，应用余弦定理求CD的长；

（2）由正弦定理可得、，结合即可求目标式的值.

【详解】（1）由，，则，

所以，又∠CAD为锐角，则，

又，在△中，可得.

（2）由，

在△中，则，

在△中，则，

又，故，又，

所以.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出平面，可得出，再利用已知条件结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得直线与平面所成角的余弦值.

【详解】（1）证明：，，，，

，，，

，，

，、平面， 平面，

平面，，

因为，、平面，平面.

（2）解：因为，平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的

正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

，，

设平面的一个法向量分别为，

则，取，可得，

，，

设直线与平面所成角的，则，，

直线与平面所成角的余弦值．

20．（1）设备M的性能等级为丙；（2）①；②．

【分析】（1）由题意分别计算出三种情况的结果，即可判断出性能等级；（2）①由题意可得次品共6个，次品率为0.06，然后计算出数学期望，②先列出分布列，然后计算出数学期望.

【详解】（1）因为，

，

，

所以设备M的性能等级为丙．

（2）易知样本中次品共6个，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．

①由题意可知，于是．

②Z的分布列为

故．

21．(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定的点和离心率求出a，b作答.

（2）设出点的坐标，根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆方程联立，表示出点的坐标，再借助斜率坐标公式推理作答.

【详解】（1）依题意，椭圆半焦距c，，又，解得，

所以椭圆E的方程为，焦点坐标为.

（2）设，设直线的方程为：，

由消去x并整理得，而，

则，即，

，设直线的方程为：，

由消去x并整理得，而，

，，

，

因此直线的斜率，而直线的斜率，

所以为定值.

【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

22．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由题知对任意的，恒成立，进而得对任意的，恒成立，再结合二次函数性质即可得答案；

（2）由题知，是的两个根，进而得，，，则.再根据分析法得只需证，再结合，得，进而令，并构造函数，再研究函数的最值证明即可.

【详解】解：（1）由题知对任意的．恒成立，

即对任意的，恒成立．

易知函数在上单调递减，

因此，，

所以．

（2），

由题知，是的两个根，

即，是方程的两个根，

则得，

且，，则．

要证，只需证，

即证．

，

因为，所以，

从而．

令，则，．

设函数，

则，

设，

则，

易知存在，使得，

且当时，，当时，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因此在上单调递减，

从而，

即，原命题得证．

【点睛】本题考查的知识是“了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间”，“理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大（小）值，会求闭区间上函数的最大（小）值”. 考查运算求解能力、逻辑思维能力和综合应用能力.本题注重基础，强调函数的性质、导数的运算与应用、不等式的证明，突出考查函数与导数之间的联系，通过导数的运算、函数的化简体现了对数学应用学科素养的考查，不等式的证明旨在培养理性思维学科素养．其中，求解本题第（2）问的难点有二：一是利用分析法对所证不等式的转化；二是判断函数的单调性.