2025-2026学年广东省广州市越秀区铁一中学等校高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省广州市越秀区铁一中学等校高一（下）期中数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数的共轭复数对应的点在复平面的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知集合A={-1，0，1}，B={x|x＞a}，若A∩B={0，1}，则实数a的取值范围是（ ）
A. [-1，0]B. （-1，0]C. （-1，0）D. [-1，0）
3.，为单位向量，当，的夹角为135°时，向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.在空间中，下面命题为假命题的个数是（ ）
①过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直
②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行
③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
④过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直
A. 4B. 3C. 2D. 1
5.气象台A在早上8：00观测到一台风，台风中心在气象台A正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h,距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（ ）
A. 12：00-17：00B. 13：00-18：00C. 13：00-17：00D. 14：00-18：00
6.若sin（α+β）=，则为（ ）
A. 5B. -1C. 6D.
7.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”我们可以把（1+1%）365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是（1+1%）365=37.7834；而把（1-1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是（0.99）365≈0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约经过（ ）天.（参考数据：lg101=2.0043，lg99≈1.9956）
A. 130B. 230C. 150D. 115
8.已知四边形ABCD是圆内接四边形，AB=4，AD=5，BD=3，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 对于向量，，，有
C. 向量，能作为所在平面内的一组基底
D. 设，为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件
10.[x]表示不超过实数x的最大整数，如：[-1.2]=-2，[1.5]=1.已知函数为奇函数，函数g（x）=[f（x）]，则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数g（x）的图象关于原点对称
B. 函数g（x）的值域是{-2，-1，0，1}
C. 函数y=g（x）-x有3个零点
D. 方程g（x）-2（[x]-x）=0在区间[-1，1]上有3个实数根
11.如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，E在底面圆周上，AE=BE，AF⊥DE，F是垂足，G在BD上，DG=2BG，则下列结论中正确的是（ ）
A. AF⊥BD
B. 直线DE与直线AG所成角的余弦值为
C. 直线DE与平面ABCD所成角的余弦值为
D. 若平面AFG∩平面ABE=l，则l∥FG
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数m＝ ．
13.定义：，则= .
14.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为1，侧棱长为，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S-ABCD所得的截面面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设是两个不共线的向量，已知，，.
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）若与不共线，试求λ的取值范围.
16.(本小题15分)
已知向量，函数f（x）=（ω＞0），函数f（x）图像相邻对称轴之间的距离为.
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得g（x）的图象，若关于x的方程g（x）=m在上只有一个解，求实数m的取值范围.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，D为AC边上一点.
（1）求角B的大小；
（2）若且DC=2DA，求△ABC的周长.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD.
（1）求证：AB∥平面PCE；
（2）求证：平面PAB⊥平面PBD；
（3）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值.
19.(本小题17分)
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔.德费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何最值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试根据以上知识解决下面问题：
（1）若z∈C，求|z-2|+|z+2|+|z+2i|的最小值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b,c,点P为△ABC的费马点.
①若，且a=6，求的值；
②若cs2C+2sin（A+B）sin（A-B）=1，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】CD
10.【答案】BCD
11.【答案】AD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】证明：因为
=，
所以与共线．
因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线 {λ|λ≠±1}
16.【答案】解：（1）
=，
因为f（x）相邻的对称轴之间的距离为，
所以f（x）的最小正周期为π，所以，解得ω=1，
所以，
令，则，
所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z；
（2）由（1）知，，
将f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得：，
令，，则，
所以，因为在上只有一个解，

由y=2sint的图象可得，或，
所以m的取值范围是．
17.【答案】
18.【答案】证明：在四棱锥P-ABCD中，因为BC∥AE且BC=AE，
所以四边形BCEA为平行四边形，
则AB∥EC，
又因为AB⊄平面PCE，EC⊂平面PCE，
所以AB∥平面PCE 证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，
连接BE，由BC∥DE且BC=DE，
所以四边形BCDE为平行四边形，
又因为DE⊥CD，BC=CD=1，
所以平行四边形BCDE为正方形，则BD⊥EC，
又因为AB∥EC，所以BD⊥AB，
又因为PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，
所以BD⊥平面PAB，
因为BD⊂平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAB
19.【答案】；
①-18；
②实数t的最小值为．