湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题解析版

这是一份湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题解析版，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合，则集合的子集个数为
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】解不等式，得，因为，
则集合，所以集合共有个子集.
2. 若向量，，则“”是“”的
A. 必要不充分条件B. 充要条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则，即.
若，则，解得.
故“”是“”的充分不必要条件.
3.在中，分别为内角所对的边，且，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，即，
故，又，所以 .
4.函数的定义域为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意：，解得；又且，即，
所以函数的定义域为.
5.已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由不等式的解集为可知，
且，，所以，
所以不等式可化为，
又，则，解得或.
6.已知函数是奇函数，且，，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数是奇函数，则有，
即，
所以，解得，又，则，
由题意，，
又，，所以，
因为，函数，且在上单调递增，
故函数在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以.
7.过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有
A. 173对B. 174对C. 183对D. 186对
【答案】B
【解析】从正方体的8个顶点中任取4个顶点，共有种取法，
每4个顶点可分为共面与不共面两种情况，
其中共面的情况包括6个表面和6个对角面共12种情况，
此外，每组不共面的4个点构成的四面体中，均有3组异面直线，
所以共有3C84−12=174 对不同的异面直线.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，，OP=12PF1+PF2=32c ，
在中，由余弦定理可得，
又，则有，①
又为的中点，由中线定理可得PF12+PF22=2OP2+OF12，
即m2+n2=232c2+c2=132c2，②
②①可得m−n2=−32c2+8a2，所以，故，
易知点与关于原点对称，设Px1,y1,Q−x1,−y1,Mx,y，
则，因为都在双曲线上，
所以y2=b2a2x2−a2，，所以y2−y12=b2a2x2−x12，
则.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则
A. B.
C. 不可能为等边三角形D. 线段FQ的垂直平分线经过点M
【答案】ABD
【解析】因为是抛物线的焦点，所以，解得，A正确；
设，因为点在抛物线上，故，
所以MF=x0+1≥1=OF，B正确；
当与轴的正半轴夹角为时，此时，又MF=MQ，
故为等边三角形，C错误；
由抛物线性质，可知MF=MQ，故点在的垂直平分线上，D正确.
10.某计算机程序每运行一次都会随机出现一个七位二进制数（例如1101010），其中A上的数字出现0的概率为，出现1的概率为，记，其中X为十进制数，则当程序运行一次时
A. B.
C. D. 当时，取得最大值
【答案】ACD
【解析】由题意有，，
则PX=2=C62232×134=20243，A正确；
，B错误；
，C正确；
因为PX=k=C6k23k136−k，
则PX=k+1PX=k=C6k+123k+1135−kC6k23k136−k=26−kk+1=1+11−3kk+1，
当时，，即PX=k+1>PX=k，
则有PX=0