湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末数学试卷含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合，则
A. B. C. D.
2. 已知向量，，且，则
A. B. C. 2D. 18
3.已知函数，则在处的切线方程为
A. B. C. D.
4.有一对双胞胎学生和3位老师站成一排拍照，双胞胎不站在一起的不同排法共有
A. 种B. 种C. 种D. 种
5.已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
6.设数列的前n项和为，，且，则的最小值为
A. 7B. 8C. 14D.
7.已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A. 一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”与事件“至多击中一次”互为互斥事件但不是对立事件
B. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小
C. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是
D. 从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从二项分布
10.已知数列的前项和为，则下列说法正确的有
A. 若是等比数列，，则
B. 记等差数列的前n项和分别为，若，则
C. 若是等差数列，，则
D. 若，则
11.已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则
A. 最大时，B. 的最小值为2
C. 椭圆的离心率等于D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.的展开式中，的系数为15，则 ________.
13.函数在区间上存在单调递增区间，则实数k取值范围是_______.
14.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为__________、该顾客第__________次摸球抽中奖品的概率最大.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，为数列的前项和，求 .
16.如图，平面.
（1）求证：平面；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长.
17.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围.
18.已知函数.
（1）若，
（i）求函数的单调区间；
（ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点．
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
19.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点.
（1）求抛物线的方程.
（2）如图，分别以为直径作圆.
（i）求圆的面积之和的最小值；
（ii）当变化时，求圆的公切线的所有交点的运动轨迹的方程.