甘肃省天水市2025-2026学年高三第二次联考数学试卷（含答案解析）

这是一份甘肃省天水市2025-2026学年高三第二次联考数学试卷（含答案解析），共17页。试卷主要包含了已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6B．3C．D．
2．对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
4．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，，，则边上的高为（ ）
A．B．2C．D．
6．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．72B．64C．48D．32
8．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）
A．B．C．D．
9．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为( )
A．B．C．D．
11．若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．近年来，随着网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途，随机抽取了名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；
②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏；
③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.
其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．，则f（f（2））的值为____________．
14．设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则________
15．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.
16．若函数，则使得不等式成立的的取值范围为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.
图：设备改造前样本的频率分布直方图
表：设备改造后样本的频率分布表
（1）求图中实数的值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间或内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为(单位：元)，求的分布列和数学期望.
18．（12分）眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；
（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
19．（12分）已知数列，其前项和为，若对于任意，，且，都有.
（1）求证：数列是等差数列
（2）若数列满足，且等差数列的公差为，存在正整数，使得，求的最小值.
20．（12分）已知点、分别在轴、轴上运动，，．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围．
21．（12分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口.某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如下表所示：
对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：
（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.1）；
（2）某同学认为更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为.经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由.
附：，；
22．（10分）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得位于，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.
【详解】
解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，
直线的方程为，
可得，由圆与直线的位置关系知在时，到直线距离最短，即为，
则的面积的最小值为.
故选：B.
本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．
2．A
【解析】
由已知可得的单调性，再由可得对称性，可求出在单调性，即可求出结论.
【详解】
对于任意，函数满足，
因为函数关于点对称，
当时，是单调增函数，
所以在定义域上是单调增函数.
因为，所以，
.
故选:A.
本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..
3．C
【解析】
先将，化简转化为，再得到下结论.
【详解】
已知复数，
所以，
所以的虚部为-1.
故选：C
本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．A
【解析】
设直线为，用表示出，，求出，令，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出的最小值．
【详解】
解：设直线为，则，，
而满足，
那么
设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
故选：．
本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．
5．C
【解析】
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得边上的高.
【详解】
过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为.
故选：C
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.
6．C
【解析】
根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.
【详解】
不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.
故选：C
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
7．B
【解析】
由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
【详解】
由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，
所以几何体的体积为，故选B。
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。
8．D
【解析】
设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.
【详解】
设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.
故选:D.
本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.
9．A
【解析】
设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.
【详解】
由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,
设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,
所以每个等腰三角形的面积为,
所以圆的面积为,即,
所以当时,可得,
故选:A
本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.
10．B
【解析】
根据在上投影为，以及，可得；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入即可求得.
【详解】
在上投影为，即

又
本题正确选项：
本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值.
11．B
【解析】
利用向量的数量积运算即可算出．
【详解】
解：
，，
又在上
，
故选：
本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．
12．C
【解析】
根据利用主要听音乐的人数和使用主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.
【详解】
使用主要听音乐的人数为，使用主要看社区、新闻、资讯的人数为，所以①正确；
使用主要玩游戏的人数为，而调查的总人数为，，故超过的大学生使用主要玩游戏，所以②错误；
使用主要找人聊天的大学生人数为，因为，所以③正确.
故选：C.
本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
先求f（1），再根据f（1）值所在区间求f（f（1））.
【详解】
由题意，f（1）=lg3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案为：1．
本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.
14．
【解析】
由椭圆的标准方程，求出焦点的坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，利用定义可得，进而求出。
【详解】
由知，焦点，所以直线：，代入得
，即，设，
，故
由定义有，，
所以。
本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、以及直线与椭圆位置关系中弦长的求法，注意直线过焦点，位置特殊，采取合适的弦长公式，简化运算。
15．{5}
【解析】
易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．
16．
【解析】
分，两种情况代入讨论即可求解.
【详解】
，
当时，，符合；
当时，，不满足.
故答案为：
本题主要考查了分段函数的计算，考查了分类讨论的思想.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）详见解析
【解析】
（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1可计算出值；
（2）由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为.，选2件产品，支付的费用的所有取值为240，300，360，420，480，由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望．
【详解】
解：（1）据题意，得
所以
（2）据表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为.
随机变量的所有取值为240，300，360，420，480.
随机变量的分布列为
所以（元）
本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图中所有频率和为1．本题考查学生的数据处理能力，属于中档题．
18．（1）（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系（3）详见解析
【解析】
（1）由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级视力在5.0以上的的人数；
（2）由题中数据计算的值，对照临界值表可得答案；
（3）由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得
X可取0，1，2，分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望.
【详解】
解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有（人）
所以后三组频数依次为24，21，18，
所以视力在5.0以上的频率为0.18，
故全年级视力在5.0以上的的人数约为人
（2），
因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.
（3）调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，
X可取0，1，2，
，
X的分布列
X的数学期望.
本题主要考查频率分布直方图，独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识，考查学生分析数据与处理数据的能力，属于中档题.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）用数学归纳法证明即可；
（2）根据条件可得，然后将用，，表示出来，根据是一个整数，可得结果．
【详解】
解：（1）令，，则
即
∴，∴成等差数列，
下面用数学归纳法证明数列是等差数列，
假设成等差数列，其中，公差为，
令，，
∴
，
∴，
即，
∴成等差数列，
∴数列是等差数列；
（2），
，
若存在正整数，使得是整数，
则
，
设，，
∴是一个整数，
∴，从而
又当时，有，
综上，的最小值为．
本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属于难题．
20．（1）（2）
【解析】
(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出，得到，所以，代入韦达定理即可求解.
【详解】
（1）设，，则，
设，由得．
又由于，
化简得的轨迹的方程为．
（2）设直线的方程为，
与的方程联立，消去得，
，设，，
则，，
由已知，，则
，
故直线．
，
令，则
，
由于，，
．
所以，的取值范围为．
此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.
21．（1），，；（2）二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好，理由见解析.
【解析】
（1）计算平均数，即可容易求得；结合参考数据，即可求得回归直线方程；
（2）利用两个模型分别预测第11天的产量，和实际值进行比较，即可判断.
【详解】
（1），
由最小二乘法公式求得

即所求回归方程为.
（2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为
（万个）
用题中的二次函数模型求得的结果为
（万个）
与第11天的实际数据进行比较发现

所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好.
本题考查平均数的求解，回归直线方程的求解，以及考查拟合模型的选择，属综合基础题.
22．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1），①当时，，②两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.
【详解】
（1）解：，①
当时，．
当时，，②
由①-②，得，
因为符合上式，所以．
（2）证明：
因为，所以．
本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
质量指标值
频数
2
18
48
14
16
2
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
第天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量y（单位：万个）
76.0
88.0
96.0
104.0
111.0
117.0
124.0
130.0
135.0
140.0
m
n
82.5
3998.9
570.5
240
300
360
420
480
X
0
1
2
P