甘肃省天水市2025-2026学年高二上学期阶段性检测数学试卷（Word版附解析）

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1. 集合的一个子集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：因为，，所以，故A正确；
因为，所以，不是的子集，故BC错误；
因为，所以不是的子集，故D错误.
故选：A.
2. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：由，得，故抛物线的焦点坐标为.
故选：D.
3. 椭圆的长轴长是（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
解析：因为椭圆的方程为，且，
所以长轴长.
故选：D.
4. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：由题意可得
，
解得或
所以的取值范围是，
故选：C.
5. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：由题意可知该双曲线的渐近线方程为，设直线的倾斜角为，则，则，故.
故选：A
6. 若将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，所得椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称这个椭圆为“对偶椭圆”.已知椭圆是“对偶椭圆”，则该椭圆的焦距是（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】C
解析：因为椭圆是对偶椭圆，且，所以焦点在轴上，
由“对偶椭圆”的定义可知：，
又因为，故，
解得，
所以，即，
所以该椭圆的焦距
故选：C.
7. 已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
解析：在直线中，令，得，故，令，得，故，
所以，
圆心到直线的距离，所以，
由，得，化简得，解得.
故选：C.
8. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：因为抛物线，所以且准线为，
由抛物线的定义可知，则，
因为且，所以，
则，当且仅当三点共线时，等号成立.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线与直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 存在，使得与重合
【答案】AB
解析：由，得，解得或，
当或时，与都不重合，则A正确，C、D错误.
由，则，得，则B正确.
故选：AB
10. 已知是定义在上的奇函数，且，则（ ）
A.
B.
C. 的解析式可能为
D. 的解析式可能为
【答案】ABD
解析：因为是定义在上的奇函数，所以.
因为，所以，所以A正确；
因为，所以，所以B正确；
若，则其定义域为，且，则是偶函数，不是奇函数，所以C错误；
若，则其定义域为，且，
则是奇函数，且，所以D正确.
故选：ABD.
11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若，是上关于原点对称的两点为第一象限内一点），是上异于，的一点，直线与轴交于点，为的离心率，则下列说法正确的是（ ）
A. 若能成立，则的取值范围为
B. 若，则的面积为
C. 直线与的斜率之积为
D. 若，的横坐标是的横坐标的4倍，则
【答案】BCD
解析：因为，所以四边形为矩形，
设椭圆的上顶点为，若要上存在点，使得，
则需，所以，
即，，A错误；
由对称性可知的面积等于的面积，
由焦点三角形的面积公式可知，的面积为，B正确；

设，，则，且，，
两式相减得，
可知，C正确；
由，得，因为，且，
所以，解得，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则__________.
【答案】9
解析：由得，
由题意可得与抛物线上的点到抛物线准线的距离相等，
即.
故答案为：9.
13. 若双曲线离心率为，则___________.
【答案】2
解析：由，得（舍去）.
故答案为：2.
14. 现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是_______________千克.
【答案】5
解析：记这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成的数列为的公差为，
由题意可得，所以，所以，
即，
因，所以，解得，
质量最重的盒子最少是5千克.
故答案为：5.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）求的方程；
（2）若为的左顶点，为上的动点，求面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
（1）
由题意得，解得，所以的方程为；
（2）

由（1）知，的坐标为，则，
由图知，当为的短轴的顶点时，的面积最大，
故面积的最大值为
16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长.
【答案】（1）
（2），
（1）
由题可知直线的斜率为，
线段的中点坐标为，
线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上，
又圆心在直线上，
由，得，所以圆心，
又，
所以圆的方程为.
（2）
将圆与圆的方程相减，得公共弦的方程为，
所以圆心到直线的距离，
又圆的半径，所以由圆的弦长公式得.
故公共弦的方程为；公共弦的长为.
17. 已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）证明：数列为等差数列；
（3）求的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
（1）
证明：因为，
所以，
因为，所以，
则是首项为4，公比为2的等比数列；
（2）
证明：因为，
所以，即，
因为，所以，
所以是首项为2，公差为2的等差数列.
（3）
由（1）知，
由（2）知，
所以，即，
故
.
18. 已知双曲线左、右焦点分别是，是双曲线的左顶点，过点的直线与双曲线交于（均异于点）两点，直线的斜率分别为.
（1）若直线的斜率为2，求的值；
（2）若，求直线的方程；
（3）已知点在双曲线的右支上，的重心为，内心为，且的面积为6，证明：到轴的距离相等.
【答案】（1）30 （2）
（3）证明见解析
（1）
由题意可得，
因为直线的斜率为2，且过点，所以直线的方程为，即.
由，得，
设，则，
故.
（2）
由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为，，
由，得，
则，且，
因，所以
因为，所以，解得，
则直线的方程为，即.
（3）
证明：当点在第一象限时，设，
因为的面积为6，所以，所以
因为，所以，又，所以，
因为，所以，
设内切圆的半径为，则
因为，
所以，解得，
因为是的重心，所以，所以，
因为，所以到轴的距离相等.
同理可证，当点位于第四象限时，到轴的距离相等.
综上：到轴的距离相等.
19. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程.
（2）已知经过点的直线与交于，两点，且.
（i）求直线的方程；
（ii）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
（1）
因为直线和之间的距离为1，
所以点到直线的距离与到点的距离相等，
由抛物线的定义可得动点的轨迹是以点为焦点的抛物线，
设曲线的方程为，得，得，
故曲线的方程为;
（2）
（i）设，，的方程为，
由，消去得，
所以，.
因为，
所以，即直线的方程为.

（ii）证明：由抛物线的对称性，不妨令点在轴上方，
由（i）知，，，
设的方程为，，，，
由，消去得，
所以，.
直线的斜率，方程为，
直线的斜率，方程为
由，消去得，
整理得
，
因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上.