2026年湖南省衡阳市中考二模考试数学试题（含解析）

这是一份2026年湖南省衡阳市中考二模考试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了在草稿纸、试题卷上作答无效；等内容，欢迎下载使用。
本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4．在草稿纸、试题卷上作答无效；
5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数和有理数的定义判断各选项即可，有理数是整数与分数的统称，无理数是无限不循环小数．
【详解】解：有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，无理数是无限不循环小数.
又是负整数，是分数，是整数，都属于有理数，
是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数．
2. 体育是提高人民健康水平的重要途径，是满足人民群众对美好生活的向往、促进人全面发展的重要手段．下列体育图标是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形的判断，根据定义判断即可．
【详解】解：轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形．观察图形只有符合题意．
3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，3，6D. 4，5，10
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，只需验证较短两边之和是否大于最长边，即可判断能否组成三角形．
【详解】解：A、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意；
B、 ，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意；
C、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意；
D、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则、完全平方公式逐项分析，即可求解．
【详解】解：选项A，，，故A选项计算错误，不符合题意；
选项B，，，故B选项计算错误，不符合题意；
选项C，，故C选项计算正确，符合题意；
选项D，，，故D选项计算错误，不符合题意．
5. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得到结果．
【详解】解：∵，
故．
6. 在元旦文艺汇演节目评选中，7位评委对某班节目打出的有效分数为：，，，，，，，这组数据的平均数与众数的差为（ ）．
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平均数与众数的概念，先根据定义确定众数，再计算出这组数据的平均数，最后计算两者的差即可得到结果．
【详解】这组数据中，出现的次数最多
这组数据的众数为
计算得这组数据的总和为，
平均数，
平均数与众数的差为．
7. 若关于x的不等式的解集如图所示，则m等于（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查解不等式的能力及在数轴上表示不等式解集，表示出不等式解集是前提，得到关于的方程是关键．解关于的不等式得，结合不等式解集可得关于的方程，求解即可．
【详解】解：由不等式得：，
不等式解集为，
，
解得：，
故选：C．
8. 如图，在中，，，尺规作图操作如下：（1）以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；（2）以点B为圆心、长为半径画弧，分别交边，于点F，G；（3）再以点F为圆心、长为半径画弧，与弧交于点H；（4）画射线交边于点I．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解．
【详解】解：由题可知，，
，
．
9. 如图，点A，B，C，D在上，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形得到，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：点A，B，C，D在⊙O上，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
．
10. 一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为．过反比例函数图象上的点M（与点P不重合）作y轴垂线，垂足为点N，交的图象于点Q，其中O为坐标原点．若，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. m的值为
C. 当时，反比例函数的值大于一次函数的值
D. 点M的坐标为
【答案】D
【解析】
【分析】先根据已知线段长度确定Q点坐标，求出一次函数的k，再结合P点纵坐标求P点坐标，得到反比例函数的m，接着求出M点坐标，最后结合函数的图象性质判断各选项即可．
【详解】解：，
，，
轴，，点Q在上，，
，
，解得，故选项A错误，不符合题意；
，
一次函数解析式为，
点P是两函数图象的交点，且纵坐标为，
当时，，解得，即，
则，故选项B错误，不符合题意；
反比例函数解析式为，
则两函数图象如图所示，
交点，
由图可知，当时，反比例函数的值小于一次函数的值，故选项C错误，不符合题意；
点M与Q纵坐标相同，，
，
点M在反比例函数上，
，即，故选项D正确，符合题意．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】
．
故答案为：．
12. 某足球联赛共进行了场比赛，现场观众人数累计约万人，将数据用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，为整数，即可求解．
【详解】解：．
13. 中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术．若从中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：从中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为．
14. 已知正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的内角和度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查多边形的内角和、外角和定理，掌握多边形的内角和、外角和定理是解题的关键．根据正多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再由多边形的内角和定理可求解．
【详解】解：多边形的边数为：，
则这个正多边形的内角和度数为，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，，，则的值为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】设交于点，根据矩形的性质证明，证明四边形是菱形，再得到是等边三角形，即可得到答案．
【详解】解：设交于点，
矩形，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
．
16. 定义：为某个三角形的边，若与其边上的高相等，则称该三角形为边的“伴随三角形”．为边的“伴随三角形”，．
①若，则_____°；
②若，过点作直线的高，垂足为点，则的长为_____．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】①根据“伴随三角形”的定义可得，根据等边对等角和三角形内角和定理，即可求解；
②分为两种情况：当是锐角三角形时，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据即可求解；当是钝角三角形，，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】解：①如图：
∵为边的“伴随三角形”，
∴边上的高等于的长度，
∵，
故为为边上的高，
∴，
即，
∴．
②如图，是锐角三角形，交于点，
∵为边的“伴随三角形”，
∴边上的高等于的长，
即，
在中，，
则．
如图，是钝角三角形，交于点，
∵为边的“伴随三角形”，
∴边上的高等于的长度，
即，
在中，，
则．
故的长为或．
三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】3
【解析】
【详解】解：原式
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5
【解析】
【分析】合并同类项，化简，再代入即可得到解．
【详解】解：原式．
当时，原式．
19. 某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：A（），B（），C（），D（），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 ；
（4）若全校共有3000名学生，请估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有多少人？
【答案】（1）50 （2）见解析
（3）108 （4）1980人
【解析】
【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）先求解C等级人数再补全图形即可；
（3）用乘以D等级人数所占的百分比即得答案；
（4）用样本中每周课外阅读总时间不少于4小时的学生人数占比去估算全校学生中每周课外阅读总时间不少于4小时的学生人数占比，再用总人数乘以这个百分比即可．
【小问1详解】
解：本次被抽取的学生人数为：（人）；
【小问2详解】
解：“C等级”的人数为：（人）；
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：“D等级”所对应扇形的圆心角度数为：；
【小问4详解】
解：（人），
答：估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有1980人．
20. 某商店购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价贵元，用元购买甲商品的数量恰好与用元购买乙商品的数量相同．
（1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元？
（2）该商店计划购进这两种商品共件，甲商品的售价为元/件，乙商品的售价为元/件，若全部商品销售完毕，总利润不低于元，则至少购进多少件甲商品？
【答案】（1）甲商品的单价为元，乙商品的单价为元
（2）至少购进8件甲商品
【解析】
【分析】（1）甲商品的单价乙商品的单价，甲商品的单价乙商品的单价；
（2）购进甲商品数量购进乙商品数量，销售甲商品利润销售乙商品利润．
【小问1详解】
解：设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为元．
依题意得，解得，
检验，当时，，故是原方程的解，且符合题意，
乙商品的单价：（元）．
答：甲商品的单价为150元，乙商品的单价为125元；
【小问2详解】
解：设购进m件甲商品，则购进件乙商品．
依题意得，
解得，
m的最小值为8．
答：至少购进8件甲商品．
21. 如图，在中，，E为上一点，以为直径作交于点D，交于点F，且D为的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径及的长．
【答案】（1）见解析 （2）半径为5，
【解析】
【分析】（1）连接，则，证明，求出，即，根据是的半径，即可得到结论；
（2）根据题意求出，证明，根据相似三角形对应线段成比例得到，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，则，
，
D为的中点，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
，解得，
，
的半径为5，
，
．
，
，
，即，
．
22. 如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验．同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型．已知直尺斜靠在桌边，悬绳（A，B，C在同一直线上）的上端A点与桌边接触点D的连线，垂直于直尺下边，其中．请根据以上信息，求的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，）
【答案】的长约为．
【解析】
【分析】过点B作于点F，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，利用三角形内角和定理求出，在中，解直角三角形求出，再由即可求解．
【详解】解：如图，过点B作于点F．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
又∵，
∴在中，，
∴，
∴．
答：的长约为．
23. 已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点，连接，，是此二次函数图象上的两个动点，且，连接，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，连接，．若，，且，求此时的值；
（3）如图，延长，交于点．若，，求证：点在定直线上．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】 （1）根据待定系数法求抛物线的解析式，即可求解；
（2）先求出点的坐标，求出直线的解析式，分别过点，作轴的平行线交直线于点，，则，．求出，，根据列出方程，求出或，结合题意，即可求解；
（3）求出直线和直线的解析式，根据点是，的延长线的交点列出方程，即可求解．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象与x轴交于点，，
故将，代入，得，
解得，
∴二次函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：将代入到中，得，
即点的坐标为．
设直线的表达式为，
将，代入，得，
解得，
故直线的表达式为：．
如图，分别过点，作轴的平行线交直线于点，，
则，．
∵点，在二次函数的图象上，
∴，，
∴，
．
∵，，
即，
，
∵，
∴，
∴，
即，
解得或．
当时，点与点重合，此时不存在，故舍去；
根据题意可得，，，
∴．
当时，，
故．
【小问3详解】
证明：设直线的表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的表达式为．
同理可得直线的表达式为．
∵点是，的延长线的交点，
∴，且，
解得，
∴点在定直线上．
24. 已知和均为直角三角形，，．连接，F为的中点，过点E作的平行线交射线于点G．
（1）当C，A，E三点在同一直线上时，如图1．
①求证：；
②连接，求证：；
（2）将图1中的绕点A旋转到图2所在位置时，连接，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）为等边三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）①证明，即可得到；
②利用正切函数的定义求得，证明，求得，在中，利用正切函数的定义求解即可；
（2）连接，过点B作交的延长线于点H，证明，求得，，在中，求得，据此计算即可得到为等边三角形．
【小问1详解】
证明：①∵F为的中点，
∴．
又∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
证明：②由①可知，
∴．
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵在中，，
∴；
【小问2详解】
解：为等边三角形．理由如下：
如图，连接，过点B作交的延长线于点H，
∴，．
∵，
∴，
∴，
即．
在四边形中，
，
∴．
又∵，
∴，
∴．
由（1）①同理可得：，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形．