2024年湖南省衡阳市部分学校中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：1．本学科作业分试题和答题卡两部分，满分120分．
2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项的运算，根据相关运算法则逐项判断，即可解题．
【详解】解：A、与不是同类项，不能进行合并，故A项运算错误，不符合题意；
B、，故B项运算错误，不符合题意；
C、，故C项运算错误，不符合题意；
D、，故D项运算正确，符合题意；
故选：D．
3. 一列型高速车组进行了“公里正线运动考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将用科学记数法表示为：，
故选：A．
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可．轴对称图形的关键是找对称轴，中心对称图形的关键是找对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
5. 如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，过点C作，，再证明，得，得到，即可求得的度数．
【详解】解：如图，过点C作，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了方向角，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接．若的面积为，则k的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了的几何意义．用表示的面积是本题的解题关键．
【详解】解：的面积为，
所以．
故选：A．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 某彩票的中奖机会是，买10000张一定会中奖B. “水在一个标准大气压下，温度为时不结冰”是不可能事件
C. 为检验某品牌灯管的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适D. “如果是实数，那么”是随机事件
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念、概率的意义和全面调查与抽样调查的定义．熟练掌握这些概念是解题的关键．
根据随机事件的定义，概率的意义和全面调查与抽样调查的定义判断即可．
【详解】解：A、某彩票的中奖机会是，买1000张不一定会中奖，故本选项不符合题意；
B、“水在一个标准大气压下，温度为时不结冰”是不可能事件，故本选项符合题意；
C、为检验某品牌LED灯管的使用寿命，采用抽样调查方式比较合适，故本选项不符合题意；
D、“如果、是实数，那么”是必然事件，故本选项不符合题意．
故选：B．
8. 如图，与是位似图形，位似中心为点O．若，的周长为9，则的周长为（ ）
A. 18B. 27C. 32D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．利用位似图形，相似三角形的性质求解．
【详解】解：与是位似图形，点是位似中心，
，，
，
，
，
，
的周长为9，
的周长为36．
故选：D
9. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺，可得，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得，据此列出方程组即可．
【详解】解：可设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意得，，
故选：A．
10. 如图，二次函数：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论：
①；②；③当时，或；④；⑤（m为实数），其中正确的结论是（ ）
A. ②③④⑤B. ①③④⑤C. ①②④⑤D. ①②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点坐标判断①，特殊点判断②，图象法解不等式，判断③，特殊点结合对称轴，判断④，最值判断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵对称轴为，
∴与的函数值相等，即：，故②正确；
∵点关于的对称点为，
∴当时，或；故③正确；
∵图象过点，，
∴，
∴；故④错误；
∵抛物线的开口向下，
∴当时，函数值最大，
即：，
∴；故⑤正确；
综上，正确的结论是①②③⑤；
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式和平方差公式，熟练掌握提公因式和平方差公式是分解因式的关键．
首先用提公因式法，再用平方差公式即可求解．
【详解】原式：，
故答案为．
12. 如图，是的直径，弦，若，则________
【答案】64
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理和平行线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
根据平行线的性质得，再由圆周角定理推知，然后根据“直角三角形的两锐角互余”即可求出．
【详解】解：∵，
∴
∵是直径
∴
∴
故答案为：64．
13. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】解：根据图象和数据可知，当y>0即图象在x轴的上方，．
故答案为．
14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且计算即可．
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
15. 如图：已知点A的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
由菱形的性质可知点A和点C关于原点对称，结合条件可求得点C点的坐标．
【详解】解：四边形为菱形，
，，
点O为坐标原点，
点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，
点A的坐标为，
C点坐标．
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，设交与点J，过点J作于点K．首先利用相似三角形的性质证明，再想办法求出，可得结论．
【详解】解：如图，设交与点J，交与点T．过点J作于点K．
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
由作图可知平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17. 若有六张完全一样的卡片正面分别写有，，0，2，4，6，现背面向上，其上面的数字能使反比例函数的图象过第一、三象限的概率为________．
【答案】
【解析】
【详解】本题主要考查了概率公式，由反比例函数图象过第一、三象限，进而可以求出k的取值范围，然后由概率公式进行计算可以得解．
【解答】解：∵反比例函数的图象过第一、三象限，
∴，
解得：，
∴，，0，2时，反比例函数的图象过第一、三象限，
∴满足题意的概率为：．
故答案为：．
18. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，在中，，，作的角平分线，作，设，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，在中，，，作的角平分线，作，
∴，，
∵，
设，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，正弦，正切等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，正弦，正切是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是先根据零指数幂、负指数幂、特殊角三角函数值、绝对值的运算．
运用零指数幂、负指数幂、特殊角三角函数值、绝对值将原式化简，然后先进行乘法运算，最后进行加减运算即可．
【详解】解：，
．
20. 先化简，再求值：，请在，，0，1中选择一个你喜欢的数作为x的值代入，并求代数式的值．
【答案】；时，代数式的值为1（当时，代数式的值为）
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值，代入化简后的式子即可．
【详解】解：
；
，，，
x不能为，，2，
x可取0或1，
当时，原式．
（或：当时，原式．）
21. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生；
（2）将条形统计图补充完整；C组所对应的扇形圆心角为________度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是多少？
【答案】（1）40 （2）图形见解析，72
（3）560人
【解析】
【分析】本题考查数据统计和分析，解题关键是结合条形统计图和扇形统计图，根据已知组别人数和所占百分比求出调查总人数，并掌握用样本数据估计总体数据计算公式．
（1）根据A组调查人数及所占百分比求出调查总人数；
（2）总人数减去已知组别人数可得C组人数，补全统计图即可，计算调查人数中C组人数的占比，乘以即可；
（3）根据用样本数据估计总体数据计算公式即可求解．
【小问1详解】
解：本次调查总人数为（名），
故答案为：40；
【小问2详解】
解：C组人数为（名），
补全图形如图：
，
故答案为：72；
【小问3详解】
（人），
答：该校喜欢跳绳的学生人数约是为560人．
22. 暴雪过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的正好抵着高树的中点D．救援的小明等想知道高树比低树高多少（即的值），就通过测量得到了以下数据：米，，，应用以上的数据，求高树比低树高多少米（结果精确到0.1m，参考数据：，）．
【答案】高树比低树高6.6米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，以及勾股定理．设米，由正切关系求得，，由列出方程求出，利用勾股定理算出，，进而得到，即可解题．
【详解】解：设米，由题意知，，
（米），（米），
，
，
解得：，
米，米，
在，中，由勾股定理得：（米），（米），
D是的中点，
米，
（米），
即高树比低树高6.6米．
23. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在九年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共14个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积4分，负一场积2分．某班级在13场比赛中获得总积分为44分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中28个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于60分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？
【答案】（1）该班级胜负场数分别是9场和4场
（2）4个
【解析】
【分析】（1）设胜了x场，负了y场，根据题意得：，解方程组即可．
（2）设该班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了个2分球，
根据题意得：，解不等式即可．
本题考查了方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握方程组的解法，解不等式是解题的关键．
【小问1详解】
设胜了x场，负了y场，
根据题意得：，
解得，
答：该班级胜负场数分别是9场和4场．
【小问2详解】
设该班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了个2分球，
根据题意得：，解得，
答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．
24. 【问题呈现】
如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系．
【问题探究】
（1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；
（2）如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展应用】
（3）在（1）的条件下，，，将绕点A旋转，使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度．
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】本题主要了考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）利用两边对应成比例且夹角相等证明可得，再根据可得，再根据对顶角相等可得，然后运用等量代换即可证明结论；
（2）与第（1）同样的方法证明；
（3）当E恰好落在线段上时，利用（1）的结论和对顶角相等，证明然后分别根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）设交于点O，如图1；
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
（2）成立，理由如下：
设、交于点O，如图2，
，，
，
，
，
，
，
和中：
，
，
，
，
，
，
，即．
（3）如图：当点E在上时，
由（1）的结论可得，
又，
，
∴，
，，
，，
，，
，
．
25. 如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）过点D作，垂足为E，交于点F．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析，②24
【解析】
【分析】此题考查了切线的判定定理，圆周角定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，
（1）连接，由半径相等得到，由此推出，即可推出是的切线；
（2）①过点D作于点M，则，证明，推出，根据推出，证得是等腰三角形，由三线合一得到，即可证得结论；
②由，得到，求出，由此得到．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
①证明：如图，过点D作于点M，则，
，
，
，
（对顶角相等），
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
；
②解：，
，
，
，
，
．
26. 定义：形如（为用自变量表示的代数式）的函数叫做“翻折函数”．“翻折函数”本质是分段函数．例如，函数，，都是“翻折函数”．可以将“翻折函数”写成分段函数的形式：．
探索并解决下列问题：
（1）将“翻折函数”写成分段函数的形式；
（2）若“翻折函数”函数的图象与直线恰有个公共点，求的取值范围；
（3）已知函数的图象与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左边），点在函数的图象上（点与点不重合），轴，垂足为．若与相似，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点，，
【解析】
【分析】本题考查相似的综合应用，关键在于理解题意根据相似的性质列出等式．
（1）先令，得，再根据题中规定的写法写出即可．
（2）先令 ，解出，，再分情况与直线重合时，和与直线重合时，均有三个交点，再写出的取值范围在两条直线之间的情况．
（3）根据题意先算出、、的坐标，再利用设坐标点的方法，分类讨论，根据相似对应边成比例代入求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，令，
解得，
故．
【小问2详解】
令函数，解得，，
根据题意得，
当函数的图象与直线恰有个公共点时，直线在直线与直线之间．
当直线与直线重合时，有三个交点，联立方程得，整理得：，
有两个相等的实数根，，解得，故，
当直线与直线重合时，有三个交点，则，故，
综上所述，的取值范围为；
【小问3详解】
当时，，即点；
当时，，解得，，即点，点，
根据题意得，，
设点的横坐标为，当时，根据题意得，

若，则，即，
解得，，均不符合题意舍去，
若，则，即，解得，，均不符合题意舍去，
当时，由题意得，

若，则，即，解得（舍去），，
点，
若，则，即，解得（舍去），（舍去），
当时，根据题意点，

若，则，即，解得（舍去），，
点，
若，则，即，
解得（舍去），（舍去），
点，
综上所述，点，，．