2026年河南省洛阳市中考一模数学试题（含解析）

这是一份2026年河南省洛阳市中考一模数学试题（含解析），共7页。
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，求一个数的相反数；由数轴知点A表示数3，即可求得其相反数．
【详解】解：由数轴知点A表示数3，而3的相反数为；
故选：A．
2. 下列如图放置的几何体主视图为圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：A、主视图是圆，故本选项符合题意；
B、主视图是等腰三角形，故本选项不符合题意；
C、主视图是等腰梯形，故本选项不符合题意；
D、主视图不是圆，故本选项不符合题意．
3. 中国“人造太阳”（）为开展等离子体物理研究创造条件，在稳态运行关键技术上处于世界领先地位．在近期实验中，装置中心离子温度已经达到了1.5亿摄氏度．数据“1.5亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：1.5亿.
4. 将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰直角三角板的性质可知其在直线上的角为 ，利用平角的定义及对顶角性质建立 与 的关系，即可求解．
【详解】解： 三角板是含有 的等腰直角三角板 ，
三角板在直线上的角为 ，
∴ 与 的邻补角构成直角，
，
，
，
．
5. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断，当时，方程有两个相等的实数根，对各选项逐一计算即可.
【详解】解：对于一元二次方程 ，当时，方程有两个相等的实数根.
A. 对于方程， ，
∵ ，
∴ 方程无实数根，A不符合题意；
B. 对于方程， ，
∵ ，
∴ 方程有两个不相等的实数根，B不符合题意；
C. 对于方程，，
∵ ，
∴ 方程有两个不相等的实数根，C不符合题意；
D. 对于方程，，
∵ ，
∴ 方程有两个相等的实数根，D符合题意.
6. 如图，在中，，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的长为（ ）
A. 6B. 5.5C. 5D. 4.5
【答案】A
【解析】
【分析】证明可得，再进一步求解即可.
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，而，
∴，
∴，
∴.
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用分式基本性质化为同分母，再合并分子，利用完全平方公式因式分解后约分即可得到结果.
【详解】解：.
8. 某校围绕“两弹元勋”邓稼先、“中国航天之父”钱学森和“中国核潜艇之父”黄旭华三位科学家的事迹开展研学活动，小刚和小明分别从这三位科学家中随机选取一位科学家进行研究，则两人选取的科学家不相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两人选取的科学家不相同的情况，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将3位科学家“两弹元勋”邓稼先、“中国航天之父”钱学森和“中国核潜艇之父”黄旭华分别记为，，，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两人选取的科学家不相同的情况有种，
两人选取的科学家不相同的概率是为．
9. 如图，在中，，点是上一点，以为直径的与相切于点，连接，，若，，则的直径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据切线的性质得出，进而可得，，求出，即可得出的直径．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴的直径为．
10. 甲醛是一种常见的室内空气污染物，长期接触会对人体健康造成危害，不少家庭会在入住新房时，用便携式甲醛检测仪来检测室内甲醛浓度，当甲醛质量浓度超过时，检测仪就会报警，这种检测仪的核心部件是气敏电阻（如图①中的），的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②），常温常压下，甲醛质量浓度甲醛体积浓度．下列说法不正确的是（ ）
A. 空气中甲醛质量浓度越大，的阻值越小
B. 当时，的阻值为
C. 常温常压下，当空气中甲醛体积浓度是时，检测仪报警器为报警状态
D. 当时，检测仪报警器为报警状态
【答案】C
【解析】
【分析】结合图①、图②逐一分析即可．
【详解】解：对于A选项：由图②可知，随着甲醛质量浓度的增大，的阻值逐渐减小，故A选项正确；
对于B选项：由图②可知，当时，，故B选项正确；
对于C选项：甲醛质量浓度甲醛体积浓度，
∴检测仪报警器为不报警状态，C错误，符合题意；
当时，由图②可知对应的甲醛质量浓度，
∴检测仪报警器为报警状态，D正确．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个使为有理数的的值：_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据为一个有理数的平方可得答案.
【详解】解：∵为有理数，
∴为一个有理数的平方，
当时，解得：.
12. 某公司欲招聘一名职员，对甲、乙两名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示．如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是_____．
【答案】乙
【解析】
【分析】分别计算甲、乙两名应聘者的加权平均数，比较大小即可求解.
【详解】解：由题意得
∴被录用的是乙.
13. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点顺时针旋转后，得到正方形，正方形以此方式绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点坐标为，那么点的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，据此即可得到答案．
【详解】解：四边形是正方形，且点C坐标为，
点的坐标为，则，
点的坐标为，
依次类推，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，
由，得到点的坐标为．
14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格线的交点上，设经过三点的圆弧与相交于点，则图中阴影部分的面积_____．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】设的中点为点O，连接，可证明是经过三点的圆的直径，则可证明，利用勾股定理及其逆定理可证明，则可得到为的中点，由三角形中位线定理得到，则，再根据列式求解即可．
【详解】解：如图所示，设的中点为点O，连接，
由网格的特点可得，
∴是经过三点的圆的直径，
∴，即，
由网格的特点和勾股定理可得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
15. 在四边形中，，在四边形内部有一点，使得与均为直角三角形，则_____．
【答案】1或
【解析】
【分析】如图1所示，过点和点分别作的垂线，垂足分别为，连接，可证明四边形是矩形，得到；解直角三角形求出的长，进而求出的长，则可证明，进而推出；再分图2，图3，图4三种情况，讨论求解即可．
【详解】解：设，
如图1所示，过点和点分别作的垂线，垂足分别为，连接，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
如图2所示，当点E在上，且时，则与均为直角三角形，
，
，
，
；
如图3所示，当点 E在上，且时，则与均为直角三角形，
在中，，
，
，
；
如图4所示，当时，则与均为直角三角形，
，
，
；
综上所述，的值为1或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算或化简
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再合并即可；
（2）先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并即可.
【小问1详解】
解：.
【小问2详解】
解：
.
17. 2026年是“十五五”规划开局之年，全国两会在北京召开．某校举办了“学习两会精神，争做好少年”的知识竞赛．学校分别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（采用百分制，学生成绩均不低于60分，用表示，分为4个等级：A．；B．；C．；D．），并对竞赛成绩进行了整理、描述、分析、得到部分信息如下．
信息1 八年级被抽取的20名学生成绩如下：63，65，66，73，75，77，78，79，82，84，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99．
九年级被抽取的学生成绩在组的数据为：85，85，85，86，87，88，88．
信息2 八、九年级被抽取学生成绩统计表
信息3
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2） 年级的成绩更整齐（填“八”或“九”）；
（3）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条即可）．
【答案】（1），，
（2）八 （3）八年级更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据众数的定义可得a的值，结合扇形统计图的数据可得b的值，根据九年级B组人数占比进一步可得c的值；
（2）根据方差的含义判断即可．
（3）根据八年级的众数比九年级的大即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵八年级竞赛成绩为86分的人数最多，
∴八年级竞赛成绩的众数为86分，即；
∵九年级竞赛成绩在A组的人数占比为，
∴；
∵九年级被抽取的学生成绩在组的数据为：85，85，85，86，87，88，88，
∴第10个，第11个数据为，，
∴中位数，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵八年级同学的成绩的方差为，九年级同学的成绩的方差为，，
∴八年级的成绩更整齐．
【小问3详解】
解：八年级学生的竞赛成绩更好，理由如下：
两个年级的平均数相同，八年级的众数比九年级的众数大，
∴八年级学生的知识竞赛成绩更好．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离．
【答案】（1）反比例函数的表达式为
（2）平移的距离为
【解析】
【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）求解，设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，点B的坐标为，
∴，，
∴，，
设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，
即点落在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上，
∴平移的距离为．
19. 如图，是的外接圆，且为的直径．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在劣弧（小于半圆的弧叫做劣弧）上作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，连接，．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分别以、为圆心为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则垂直平分，由垂径定理即可得到；
（2）连接，由为的直径和，得到，再证明和是等边三角形，即可得到，则四边形是菱形．
【小问1详解】
解：在劣弧（小于半圆的弧叫做劣弧）上作一点，使，如图所示：
【小问2详解】
解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵在（1）的条件下，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
20. 甲、乙两个制作团队分别同时制作两类文创产品，制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题．
（1）甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品 件；
（2）当时，求乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式；
（3）请直接写出时间（天）为何值时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件．
【答案】（1）
（2）
（3）当或或时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件
【解析】
【分析】（1）根据函数图象可得答案.
（2）当时，设乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式为；结合函数图象过点、，进一步求解即可.
（3）当时，可得，当时，可得，再进一步求解即可．
【小问1详解】
解：甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品（件）.
【小问2详解】
解：当时，设乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式为；
由图可知，函数图象过点、，
，
解得，
；
【小问3详解】
解：∵甲每天做件，
∴，
当时，乙每天做件，
∴，
∴，
解得：，
当时，，
∴，
解得：或，
∴当或或时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件．
21. 某校数学“综合与实践”小组的同学把测量学校礼堂的高度作为一项课题活动，他们制定了两种测量方案，并制作了如下不完整的测量报告．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）请你根据方案一的测量过程及数据计算礼堂的高度（结果精确到．参考数据：）；
（2）若方案二中测得，用含有的式子表示礼堂的高度为 ；
（3）该小组根据方案二计算出礼堂的高度约为，若礼堂的实际高度为，请为该小组提供一条能使测量结果更准确的建议．
【答案】（1）礼堂的高度为；
（2）
（3）使用同一种方案测量3次以上，取平均值（言之有理即可）．
【解析】
【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，利用角的正切值，得出，由反射可得，进而得到，，设，则，再利用角的正切值求解即可；
（2）过点作于点，则四边形是矩形，得到，再在直角三角形中，利用角的正切值表示即可；
（3）结合实验误差的处理方法——多次测量取平均值分析即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
由题意可知，，
，，
在中，，
由反射可知，，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
答：礼堂的高度为；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
，
在中，，
，
在中，，
，
；
【小问3详解】
解：建议：使用同一种方案测量3次以上，取平均值．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．
（1）若抛物线经过点，求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若，且当时，的最大值是4，求的值；
（3）在（2）的条件下，已知点和点，若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1），顶点坐标为
（2）
（3）或．
【解析】
【分析】（1）先结合对称轴是直线，得出，再把代入计算，即可作答．
（2）结合得出开口向上，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越大，根据当时，的最大值是4，把代入，解得的值，即可作答．
（3）先由得，结合点和点，故，再把代入，得出，，又因为线段与抛物线只有一个公共点，得或，再解出或，即可作答．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴，
∴；
把代入，得，
∴顶点坐标为；
【小问2详解】
解：由（1）得，
∵，
∴函数图象的开口向上，
∴越远离对称轴的自变量所对应的函数值越大
∵抛物线的对称轴是直线，当时，的最大值是4，且，
∴经过，
即
解得；
【小问3详解】
解：由（2）得，，
则，
∵点和点，
∴，
把代入，得，
即
解得，
则
∵线段与抛物线只有一个公共点，
∴或
解得或．
23. 在矩形中，点，分别是，边上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点分别落在点，点处，直线与直线相交于点．
（1）如图1，当点在线段上时，与相等的角有 和 ；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接，交于点，连接．求证：；
（3），当时，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据折叠与平行线的性质可得答案；
（2）结合（）的方法易证，由证得，得出，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；
（3）如图，过作于，求解，设，结合（2）可得：，可得，，过作于，则，而，证明，进一步可得答案，如图，过作于，过作于，同理可得：，.
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折的性质得：，
∴.
【小问2详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
由翻折的性质得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：如图，过作于，
∵矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，结合（2）可得：，
∴，
解得：，
∴，，
过作于，则，而，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
如图，过作于，过作于，
同理可得：，
∴，
综上：或.
项目应聘者
综合知识
工作经验
语言表达
甲
82
80
70
乙
80
90
62
平均数
中位数
众数
方差
八年级
83
84
九年级
83
85
120
课题
测量学校礼堂的高度
方案
方案一
方案二
测量工具
标杆，平面镜，测角仪，皮尺
测角仪，皮尺
测量方案示意图
测量过程
王青在地面上处水平放置平面镜调整自己位置，站在处时，眼睛恰好在镜子中看到礼堂顶部，且点、、在同一水平线上，此时测得礼堂顶部的仰角为．测量及的长．
小方站在处，眼睛看礼堂顶部的仰角为，看礼堂底部的俯角为．测量的长．
数据记录
．
结果