2026届福建省惠安一中等高三第二次联考数学试卷含解析

这是一份2026届福建省惠安一中等高三第二次联考数学试卷含解析，共20页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列满足,(),则数列的通项公式( )
A．B．C．D．
4．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为( )
A．B．C．D．
7．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（ ）
A．B．C．D．
8．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）
A．B．C．D．
10．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
12．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______.
14． “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.
15．已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是__________．
16．从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照，，，，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.
（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？
（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.
参考公式：，其中.
参考临界值：
18．（12分）已知函数，若的解集为．
（1）求的值；
（2）若正实数，，满足，求证：．
19．（12分）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点.
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标.
20．（12分）已知椭圆的右顶点为，为上顶点，点为椭圆上一动点．
（1）若，求直线与轴的交点坐标；
（2）设为椭圆的右焦点，过点与轴垂直的直线为，的中点为，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线与直线的交点在椭圆上．
21．（12分）在中，角的对边分别为.已知，.
（1）若，求；
（2）求的面积的最大值.
22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）把曲线向下平移个单位，然后各点横坐标变为原来的倍得到曲线（纵坐标不变），设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.
【详解】
由
所以
，
所以原式
所以原式
故
故选：D
【点睛】
本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.
2、C
【解析】
由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.
【详解】
由题意及图，，
又，，所以，∴（1﹣m），
又t，所以，解得m，t，
故选C．
【点睛】
本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.
3、A
【解析】
利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．
【详解】
数列满足：，，
可得
以上各式相加可得：
，
故选：．
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．
4、C
【解析】
根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.
【详解】
解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，
因为是奇函数，
所以，解得，
因为，所以的最小值为.
故选：
【点睛】
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
5、C
【解析】
，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.
【详解】
由已知，，令，得.
故选：C.
【点睛】
本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.
6、B
【解析】
根据在上投影为，以及，可得；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入即可求得.
【详解】
在上投影为，即

又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值.
7、B
【解析】
先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.
【详解】
本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以，
，，故当输入，，则计算机输出的数
是57.
故选：B.
【点睛】
本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.
8、B
【解析】
画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
作出中在圆内部的区域，如图所示，
因为直线，的倾斜角分别为，，
所以由图可得取自的概率为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.
9、D
【解析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.
【详解】
根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：
由三视图知： ，
所以，
所以，
所以该几何体的最长棱的长为
故选：D
【点睛】
本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
10、A
【解析】
试题分析：设公差为
或（舍），故选A.
考点：等差数列及其性质.
11、D
【解析】
作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值
【详解】
解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB，
设F1A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，
所以x＝2a，则EF2＝2a，
由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，
所以c2＝7a2，
则e
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.
12、B
【解析】
设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．
【详解】
由题意设四面体的棱长为，设为的中点，
以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则可得，，取的三等分点、如图，
则，，，，
所以、、、、，
由题意设，，
和都是等边三角形，为的中点，，，
，平面，为平面的一个法向量，
因为与平面所成角为定值，则，
由题意可得，
因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值，
，可得，此时，则，.
故选：B.
【点睛】
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先根据茎叶图求出平均数和中位数，然后可得结果.
【详解】
剩下的四个数为83，85，87，95，且这四个数的平均数，这四个数的中位数为，则所剩数据的平均数与中位数的差为.
【点睛】
本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.
14、
【解析】
先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.
【详解】
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种;
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;
因此共有种.
故答案为：
【点睛】
本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
15、
【解析】
∵，
∴ ，
∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，
∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，
即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，
即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，
，
作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，
，
结合图象可知，