2026届福建省建瓯市第二中学高考冲刺数学模拟试题含解析

这是一份2026届福建省建瓯市第二中学高考冲刺数学模拟试题含解析，共10页。试卷主要包含了已知双曲线，已知复数满足，则的最大值为，下列命题是真命题的是，已知集合，则=等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．由实数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1>0”是“S9>S8”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ）
A．2阶区间B．3阶区间C．4阶区间D．5阶区间
3．M、N是曲线y=πsinx与曲线y=πcsx的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( )
A．πB．πC．πD．2π
4．已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点，其横坐标分别为，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．6
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．若平面，，，满足，，则；
B．命题：，，则：，；
C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.
9．已知集合，则=
A．B．C．D．
10．下列函数中，既是奇函数，又是上的单调函数的是( )
A．B．
C．D．
11．已知集合，则( )
A．B．C．D．
12．已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数是定义在上的奇函数，则的值为__________．
14． “北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.
15．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________．
16．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望.
18．（12分）已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。
19．（12分）已知f(x)=|x +3|-|x-2|
（1）求函数f(x)的最大值m；
（2）正数a，b，c满足a +2b +3c=m，求证：
20．（12分）诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：
（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；
（Ⅱ）若定义水站诚信度高于的为“高诚信度”，以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；
（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.
21．（12分）在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分，按照大于或等于80分的为优秀，小于80分的为合格，为了解学生的在该维度的测评结果，在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生，得到如下的列联表：
已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为.
（1）完成上面的列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？
（3）现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况，采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由.
附：
22．（10分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
解：若{an}是等比数列，则，
若，则，即成立，
若成立，则，即，
故“”是“”的充要条件，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.
2、D
【解析】
可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解
【详解】
当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：
令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D
【点睛】
本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题
3、C
【解析】
两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1=,x2=π,
|x1-x2|=π,
|y1-y2|=|πsinx1-πcsx2|
=π+π
=π,
∴|MN|==π.故选C.
4、A
【解析】
画出函数的图像，函数对称轴方程为，由图可得与关于对称，即得解.
【详解】
函数的图像如图，
对称轴方程为，
，
又，
由图可得与关于对称，
故选：A
【点睛】
本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
5、A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6、C
【解析】
根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，
由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，
即函数为偶函数，由，得，
函数在区间上单调递增，则，得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题.
7、B
【解析】
设，，利用复数几何意义计算.
【详解】
设，由已知，，所以点在单位圆上，
而，表示点
到的距离，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式来解决.
8、D
【解析】
根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.
【详解】
若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误；
命题“：，”的否定为：，，故B错误；
为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误；
命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确；
故选D
【点睛】
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
9、C
【解析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
10、C
【解析】
对选项逐个验证即得答案.
【详解】
对于，，是偶函数，故选项错误；
对于，，定义域为，在上不是单调函数，故选项错误；
对于，当时，；
当时，；
又时，.
综上，对，都有，是奇函数.
又时，是开口向上的抛物线，对称轴，在上单调递增，是奇函数，在上是单调递增函数，故选项正确；
对于，在上单调递增，在上单调递增，但，在上不是单调函数，故选项错误.
故选：.
【点睛】
本题考查函数的基本性质，属于基础题.
11、C
【解析】
解不等式得出集合A，根据交集的定义写出A∩B．
【详解】
集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．
12、A
【解析】
求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率．
【详解】
不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，
因为，所以圆心到的距离为：，
即，因为，所以解得．
故选A．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先利用辅助角公式将转化成,根据函数是定义在上的奇函数得出,从而得出函数解析式,最后求出即可.
【详解】
解: ,
又因为定义在上的奇函数,
则,
则,又因为,
所以,,
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查三角函数的化简,三角函数的奇偶性和三角函数求值,考查了基本知识的应用能力和计算能力,是基础题.
14、
【解析】
画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.
【详解】
如图所示，设椭圆的长半轴为，半焦距为，
因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,
可得，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则．故本题应填．
16、7.5
【解析】
分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.
【详解】
故答案为：7.5
【点睛】
此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）见解析，
【解析】
（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.
【详解】
（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P.
则，
，
.
所以.
答：发生调剂现象的概率为.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2.
则，
，
.
所以X的分布表为：
所以.
【点睛】
本题是一道考查概率和期望的常考题型.
18、 (1) ；(2) 存在定点，见解析
【解析】
（1）设动点，则，利用，求出曲线的方程．
（2）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组，
消去得，设，，，利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，推出结果．
【详解】
解：（1）设动点，则，
，
，即，
化简得：。
由已知，故曲线的方程为。
（2）由已知直线过点，设的方程为，
则联立方程组，消去得，
设，，则
又直线与斜率分别为，
，
则。
当时，，；
当时，，。
所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值。
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
19、（1）（2）见解析
【解析】
（1）利用绝对值三角不等式求得的最大值.
（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式证得不等式成立；方法二，利用“的代换”的方法，结合基本不等式证得不等式成立.
【详解】
（1）由绝对值不等式性质得
当且仅当即时等号成立，所以
（2）由（1）得.
法1：由柯西不等式得
当且仅当时等号成立，
即，所以 .
法2：由得，
，
当且仅当时“=”成立.
【点睛】
本小题主要考查绝对值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式，属于中档题.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）两次活动效果均好，理由详见解析.
【解析】
（Ⅰ）结合表中的数据，代入平均数公式求解即可；
（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为，则抽到“一般信度”的事件为，则随机抽取两周，则有两周为“高诚信度”事件为，利用列举法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可；
（Ⅲ）结合表中的数据判断即可.
【详解】
（Ⅰ）表中十二周“水站诚信度”的平均数
.
（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为，则抽到“一般信度”的事件为，则随机抽取两周均为“高诚信度”事件为，总的基本事件为共15种，
事件所包含的基本事件为共10种，
由古典概型概率计算公式可得，.
（Ⅲ）两次活动效果均好.
理由：活动举办后，“水站诚信度'由和看出，后继一周都有提升.
【点睛】
本题考查平均数公式和古典概型概率计算公式；考查运算求解能力；利用列举法正确列举出所有的基本事件是求古典概型概率的关键；属于中档题、常考题型.
21、（1）见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”（3）见解析.
【解析】
（1）由已知抽取的人中优秀人数为20，这样结合已知可得列联表；
（2）根据列联表计算，比较后可得；
（3）由于性别对结果有影响，因此用分层抽样法．
【详解】
解：（1）
（2）由于，
因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”.
（3）由（2）可知性别有可能对是否优秀有影响，所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定的学生，这样得到的结果对学生在该维度的总体表现情况会比较符合实际情况.
【点睛】
本题考查独立性检验，考查分层抽样的性质．考查学生的数据处理能力．属于中档题．
22、 (Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.
【详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.
(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.
，，.
故分布列为：
.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.
故的最小值为.
【点睛】
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
第一周
第二周
第三周
第四周
第一周期
第二周期
第三周期
优秀
合格
总计
男生
6
女生
18
合计
60
0.25
0.10
0.025
1.323
2.706
5.024
X
0
1
2
P
优秀
合格
总计
男生
6
22
28
女生
14
18
32
合计
20
40
60