2026届安徽省潜山市第二中学高考冲刺数学模拟试题含解析

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1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．若复数满足，复数的共轭复数是，则（ ）
A．1B．0C．D．
3．设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A．B．0C．1D．3
5．若的二项展开式中的系数是40，则正整数的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．复数，若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．若等差数列的前项和为，且，，则的值为（ ）．
A．21B．63C．13D．84
9．若集合，则=（ ）
A．B．C．D．
10．已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
12．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．
14．如图所示梯子结构的点数依次构成数列，则________.
15．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，，，0，2，则该组数据的标准差为_______.
16．定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________，__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在三棱柱中，四边形是菱形，，，，，点M、N分别是、的中点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥的体积.
18．（12分）已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，，求．
19．（12分）已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.
20．（12分）如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21．（12分）设函数，.
（1）求函数的极值；
（2）对任意，都有，求实数a的取值范围.
22．（10分）如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．
（Ⅰ）若θ=，求的值；
（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求边AC的长．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
构造函数，令，则，
由可得，
则是区间上的单调递减函数，
且，
当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx0成立的x的取值范围是.
本题选择D选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．
2、C
【解析】
根据复数代数形式的运算法则求出，再根据共轭复数的概念求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
则，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题．
3、C
【解析】
根据已知条件求得等差数列的通项公式，判断出最小时的值，由此求得的最小值.
【详解】
依题意，解得，所以.由解得，所以前项和中，前项的和最小，且.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查等差数列前项和最值的求法，属于基础题.
4、C
【解析】
先根据奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。
【详解】
因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数，，用替换，得 ，
化简得，即
令，所以，故选C。
【点睛】
本题主要考查函数性质奇偶性的应用。
5、B
【解析】
先化简的二项展开式中第项，然后直接求解即可
【详解】
的二项展开式中第项.令，则，∴，∴（舍）或.
【点睛】
本题考查二项展开式问题，属于基础题
6、A
【解析】
先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到，再利用复数的除法求解.
【详解】
因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数，
所以
所以
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.
7、A
【解析】
根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．
【详解】
因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．
令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以
当时，，故，解得．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
8、B
【解析】
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求，，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
【详解】
解：因为，，
所以，解可得，，，
则．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．
9、C
【解析】
求出集合，然后与集合取交集即可．
【详解】
由题意，，，则，故答案为C.
【点睛】
本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．
10、B
【解析】
由目标函数的最大值为9，我们可以画出满足条件 件为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．
【详解】
画出，满足的为常数）可行域如下图：
由于目标函数的最大值为9，
可得直线与直线的交点，
使目标函数取得最大值，
将，代入得：．
故选：．
【点睛】
如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组，代入另一条直线方程，消去，后，即可求出参数的值．
11、B
【解析】
根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．
【详解】
∵是定义在R上的奇函数，且；
∴；
∴；
∴的周期为4；
∵时，；
∴由奇函数性质可得；
∴；
∴时，；
∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.
12、D
【解析】
先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，
其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种，
所以甲第一个到、丙第三个到的概率是.
故选：D
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、6 12π﹣9
【解析】
过作，交于，先求得圆心角的弧度数，然后解解三角形求得的长.利用扇形面积减去三角形的面积，求得弧田的面积.
【详解】
∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分.
∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，
∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，
∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．
故答案为：6，12π﹣9．
【点睛】
本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题.
14、
【解析】
根据图像归纳，根据等差数列求和公式得到答案.
【详解】
根据图像：，，故，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
15、
【解析】
先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差．
【详解】
解：某地区连续5天的最低气温（单位：依次为8，，，0，2，
平均数为：，
该组数据的方差为：
，
该组数据的标准差为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
16、2 4
【解析】
根据函数为偶函数且，所以的周期为，的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为，从而可得参数的值，最后求出函数的解析式，代入求值即可.
【详解】
解：因为为偶函数且，所以的周期为.因为时，，所以可作出在区间上的图象，而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，结合函数和函数在区间上的简图，可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为，所以，故.
因为，
所以.故.
故答案为：；
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出平面即可；
（2）求出点A到平面的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积.
【详解】
（1）连接，由是平行四边形及N是的中点，
得N也是的中点，因为点M是的中点，所以，
因为，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）过A作交于点O，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
由是菱形及，得为三角形，则，
由平面，得，从而侧面为矩形，
所以.
【点睛】
本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.
18、（1）;（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用已知及平面向量数量积运算可得，利用正弦定理可得，结合，可求，从而可求的值；（2）由三角形的面积可解得，利用余弦定理可得，故可得.
试题解析：（1）∵，，，
∴，
∴，
即 ，又∵，∴，
又∵，∴．
（2）∵，∴，
又，即，∴，
故．
19、
【解析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵
【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得，，，.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
20、（1）答案见解析．（2）
【解析】
（1）根据题意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.
（2）以为原点建立直角坐标系，求出面的法向量为，的法向量为，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】
（1）由
由
因为是正四棱锥，故
于是，
由余弦定理，在中，设
再用余弦定理，在中，
∴是直角，
同理，而在平面上，
∴平面平面
（2）以为原点建立直角坐标系，如图：
则
设面的法向量为，的法向量为
则
，取
于是，二面角的余弦值为：
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题.
21、（1）当时， 无极值；当时， 极小值为；（2）.
【解析】
（1）求导，对参数进行分类讨论，即可容易求得函数的极值；
（2）构造函数，两次求导，根据函数单调性，由恒成立问题求参数范围即可.
【详解】
（1）依题，
当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值；
当时，令，得，
令，得
所以函数在上单调递增，
在上单调递减.
此时函数有极小值，
且极小值为.
综上：当时，函数无极值；
当时，函数有极小值，
极小值为.
（2）令
易得且，
令
所以，
因为，，从而，
所以，在上单调递增.
又
若，则
所以在上单调递增，从而，
所以时满足题意.
若，
所以，，
在中，令，由（1）的单调性可知，
有最小值，从而.
所以
所以，由零点存在性定理：
，使且
在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，.
故当，不成立.
综上所述：的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的极值，涉及由恒成立问题求参数范围的问题，属压轴题.
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用三角形面积公式以及并结合正弦定理，可得结果.
（Ⅱ）根据，可得，然后使用余弦定理，可得结果.
【详解】
（Ⅰ），所以
所以；
（Ⅱ），
所以，
所以，，
所以，
所以边．
【点睛】
本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.