安徽省宿州市2025-2026学年高三下学期联考数学试题（含答案解析）

这是一份安徽省宿州市2025-2026学年高三下学期联考数学试题（含答案解析），共12页。试卷主要包含了已知全集，集合，则，已知与之间的一组数据等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若（），，则（ ）
A．0或2B．0C．1或2D．1
4．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知正方体的棱长为1，平面与此正方体相交.对于实数，如果正方体的八个顶点中恰好有个点到平面的距离等于，那么下列结论中，一定正确的是
A．B．
C．D．
6．三棱锥中，侧棱底面，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知非零向量满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．C．D．3
8．已知与之间的一组数据：
若关于的线性回归方程为，则的值为（ ）
A．1.5B．2.5C．3.5D．4.5
9．函数的图象为C，以下结论中正确的是（ ）
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③由y =2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
A．①B．①②C．②③D．①②③
10．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知，，，则( )
A．B．C．D．
12．已知函数，若，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知正项等比数列中，，则__________．
14．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________.
15．设全集，，，则______.
16．设，则除以的余数是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值．
（1）求的解析式；
（2）作出在上的图象（要列表）．
18．（12分）已知函数f（x）ax﹣lnx（a∈R）.
（1）若a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）＝f（x）1，若函数g（x）在上有两个零点，求实数a的取值范围.
19．（12分）2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中，居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识"的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图：
（1）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（）；
（2）在（1）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（i）得分不低于可获赠2次随机话费，得分低于则只有1次：
（ii）每次赠送的随机话费和对应概率如下：
现有一位市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列.附：，若，则，.
20．（12分）已知公比为正数的等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数没有零点，求实数的取值范围.
22．（10分）已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解
【详解】
如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为.
故选：A
本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题
2．A
【解析】
由题意得，即可得点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.
【详解】
如图，连接OP，AM，
由题意得，
点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，
.
故选：A.
本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
3．A
【解析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于（），，所以，解得或.
故选：A
本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.
4．D
【解析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果.
【详解】
，，，
.
故选：.
本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.
5．B
【解析】
此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.
【详解】
如图（1）恰好有3个点到平面的距离为；如图（2）恰好有4个点到平面的距离为；如图（3）恰好有6个点到平面的距离为.
所以本题答案为B.
本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.
6．B
【解析】
由题，侧棱底面，，，，则根据余弦定理可得 ，的外接圆圆心
三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积为
点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径 公式是解答的关键．
7．D
【解析】
利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．
【详解】
解：非零向量，满足，可知两个向量垂直，，且与的夹角为，
说明以向量，为邻边，为对角线的平行四边形是正方形，所以则．
故选：．
本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．
8．D
【解析】
利用表格中的数据，可求解得到代入回归方程，可得，再结合表格数据，即得解.
【详解】
利用表格中数据，可得
又，
．
解得
故选：D
本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.
9．B
【解析】
根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.
【详解】
因为，
又，所以①正确.
，所以②正确.
将的图象向右平移个单位长度，得，所以③错误.
所以①②正确，③错误.
故选:B
本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.
10．C
【解析】
画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比.
【详解】
作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为.
故选：
解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.
11．B
【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和做对比，即可判断.
【详解】
由于，
，
故.
故选：B.
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.
12．B
【解析】
由函数的奇偶性可得，
【详解】
∵
其中为奇函数，也为奇函数
∴也为奇函数
∴
故选：B
函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得，再利用等比数列的性质可得，再利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
由，
所以，解得.
，所以，
所以.
故答案为：
本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题.
14．
【解析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解.
【详解】
由双曲线C：（，，
可得一条渐近线，一个顶点，
所以，解得，
则，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
15．
【解析】
先求出集合，，然后根据交集、补集的定义求解即可．
【详解】
解：，或；
∴；
∴．
故答案为：．
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
16．1
【解析】
利用二项式定理得到，将89写成1+88，然后再利用二项式定理展开即可.
【详解】
，因展开式中
后面10项均有88这个因式，所以除以的余数为1.
故答案为：1
本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题是一道基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据函数的最小正周期可求出的值，由该函数的最大值可得出的值，再由，结合的取值范围可求得的值，由此可得出函数的解析式；
（2）由计算出的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数在区间上的图象.
【详解】
（1）因为函数的最小正周期是，所以．
又因为当时，函数取得最大值，所以，
同时，得，
因为，所以，所以；
（2）因为，所以，
列表如下：
描点、连线得图象：
本题考查正弦函数解析式的求解，同时也考查了利用五点作图法作图，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
18．（1）单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）（2）（3，2e]
【解析】
（1）当a＝2时，求出，求解，即可得出结论；
（2）函数在上有两个零点等价于a＝2x在上有两解，构造函数，，利用导数，可分析求得实数a的取值范围.
【详解】
（1）当a＝2时，定义域为，
则，令，
解得x1，或x1（舍去），
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
（2）设，
函数g（x）在上有两个零点等价于在上有两解
令，，则，
令，，
显然，在区间上单调递增，又，
所以当时，有，即，
当时，有，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
时，取得极小值，也是最小值，
即，
由方程在上有两解及，
可得实数a的取值范围是.
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
19．（1）（2）详见解析
【解析】
（1）利用频率分布直方图平均数等于小矩形的面积乘以底边中点横坐标之和，再利用正态分布的对称性进行求解.
（2）写出随机变量的所有可能取值，利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式，再列表得到其分布列.
【详解】
解：（1）从这1000人问卷调查得到的平均值为
∵由于得分Z服从正态分布，
（2）设得分不低于分的概率为p，
（或由频率分布直方图知）
法一：X的取值为10，20，30，40
；
；
；
；
所以X的分布列为
法二：2次随机赠送的话费及对应概率如下
X的取值为10，20，30，40
；
；
；
；
所以X的分布列为
本题考查了正态分布、离散型随机变量的分布列，属于基础题.
20．（1）（2）
【解析】
（1）判断公比不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；
（2）求得，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和.
【详解】
解：（1）设公比为正数的等比数列的前项和为，且，，
可得时，，不成立；
当时，，即，
解得（舍去），
则；
（2），
前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得.
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21．（1）.（2）
【解析】
（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）利用导数得出的单调性以及极值，从而得出的图象，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，由图，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，
∴切线斜率，又切点
∴切线方程为，即.
（2），记，令得
；
∴的情况如下表：
当时，取极大值
又时，；时，
若没有零点，即的图像与直线无公共点，由图像知的取值范围是.
本题主要考查了导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.
22．（1）证明见解析； （2）.
【解析】
（1）利用已知条件化简出，当时，，当时，再利用进行化简，得出，即可证明出为等差数列；
（2）根据（1）中，求出数列的通项公式，再化简出，可直接求出的前100项和．
【详解】
解：（1）由题意知，即，①
当时，由①式可得；
又时，有，
代入①式得，
整理得，
∴是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，
∵是各项都为正数，∴，
∴，
又，
∴，
则，
，
即：.
∴的前100项和．
本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.
1
2
3
4
3.2
4.8
7.5
赠送话费（单位：元）
10
20
概率
X
10
20
30
40
P
2次话费总和
20
30
40
P
X
10
20
30
40
P
2
+
0
单调递增
极大值
单调递减