2026届第一学期上海市宝安区高三3月份模拟考试数学试题含解析

这是一份2026届第一学期上海市宝安区高三3月份模拟考试数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，复数的虚部为，函数，当时，函数的图象大致是，已知满足，则的取值范围为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（ ）
A．B．C．D．
2．已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）．
A．0B．1C．2D．3
3．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（ ）
A．B．C．D．
4．复数的虚部为（ ）
A．B．C．2D．
5．函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为（ ）
A．B．C．D．
6．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A．B．C．D．
7．当时，函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．若复数是纯虚数，则实数的值为( )
A．或B．C．D．或
12．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则( )
A．，b为任意非零实数B．，a为任意非零实数
C．a、b均为任意实数D．不存在满足条件的实数a，b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．
14．的展开式中，的系数为_______（用数字作答）.
15．已知数列的前项和为，，则满足的正整数的值为______.
16．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，已知点，的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.
18．（12分）设点分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，直线与轴交于点，过点且斜率的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：直线．
19．（12分）设椭圆E:（a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．
20．（12分）已知函数，其中，．
（1）当时，求的值；
（2）当的最小正周期为时，求在上的值域．
21．（12分）数列满足，是与的等差中项.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.
(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
(2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
模拟程序框图运行分析即得解.
【详解】
；
；.
所以①处应填写“”
故选：B
【点睛】
本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2、C
【解析】
设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程．
【详解】
若直线与曲线切于点，则，
又∵，∴，∴，解得，，
∴过点与曲线相切的直线方程为或，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3、C
【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】
，；，；，；
，；，此时不满足，跳出循环，
输出结果为，由题意，得．
故选:
【点睛】
本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.
4、D
【解析】
根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部.
【详解】
解：=，
故虚部为-2.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数的概念.
5、D
【解析】
由题意得，函数点定义域为且，所以定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，
故选D.
6、B
【解析】
列出每一次循环，直到计数变量满足退出循环.
【详解】
第一次循环：；第二次循环：；
第三次循环：，退出循环，输出的为.
故选：B.
【点睛】
本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.
7、B
【解析】
由，解得，即或，函数有两个零点，，不正确，设，则，由，解得或，由，解得：，即是函数的一个极大值点，不成立，排除，故选B.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
8、C
【解析】
设，则的几何意义为点到点的斜率，利用数形结合即可得到结论.
【详解】
解：设，则的几何意义为点到点的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图可知当过点的直线平行于轴时，此时成立；
取所有负值都成立；
当过点时，取正值中的最小值，，此时；
故的取值范围为；
故选：C.
【点睛】
本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．
9、C
【解析】
模拟程序的运行即可求出答案．
【详解】
解：模拟程序的运行，可得：
p＝1，
S＝1，输出S的值为1，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511，
此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，
故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查程序框图，属于基础题．
10、A
【解析】
依题意可得
即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围；
【详解】
解：依题意可得如下图象，
所以
则
所以
所以
所以，即
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.
11、C
【解析】
试题分析：因为复数是纯虚数，所以且，因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.
考点：纯虚数
12、A
【解析】
求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数.
【详解】
依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有
，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.
故选：A
【点睛】
本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案．
【详解】
，，
则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为，
故答案为
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题．
14、60
【解析】
根据二项式定理展开式通项，即可求得的系数.
【详解】
因为，
所以，
则所求项的系数为.
故答案为：60
【点睛】
本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题.
15、6
【解析】
已知，利用，求出通项，然后即可求解
【详解】
∵，∴当时，，∴；当时，，∴，故数列是首项为-2，公比为2的等比数列，∴.又，∴，∴，∴.
【点睛】
本题考查通项求解问题，属于基础题
16、
【解析】
求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数的方程.
【详解】
双曲线的半焦距为，则双曲线的右准线方程为，渐近线方程为，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为.
由题意得，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）消去参数方程中的参数，求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得的直角坐标方程.
（2）求得曲线的标准参数方程，代入的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得的值.
【详解】
（1）由的参数方程（为参数），消去参数可得，
由曲线的极坐标方程为，得，
所以的直角坐方程为，即.
（2）因为在曲线上，
故可设曲线的参数方程为（为参数），
代入化简可得.
设，对应的参数分别为，，则，，
所以.
【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的几何意义进行计算，属于中档题.
18、（1）（2）见解析
【解析】
（1）设，求出后由二次函数知识得最小值，从而得，即得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程整理，设，由韦达定理得，设，利用三点共线，求得，
然后验证即可．
【详解】
解：（1）设，则，
所以，
因为．
所以当时，值最小，
所以，解得，（舍负）
所以，
所以椭圆的方程为，
（2）设直线的方程为，
联立，得．
设，则，
设，因为三点共线，又
所以，解得．
而所以直线轴，即．
【点睛】
本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，采取设而不求思想，设，设直线方程，应用韦达定理，得出，再代入题中需要计算可证明的式子参与化简变形．
19、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）因为椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
，
要使,需使,即,所以,所以又,
所以,所以,即或,
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,,,
所求的圆为,此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系．
点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理．存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备．（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性．
20、（1）（2）
【解析】
（1）根据，得到函数，然后，直接求解的值；
（2）首先，化简函数，然后，结合周期公式，得到，再结合，及正弦函数的性质解答即可．
【详解】
（1）因为，所以
（2）因为
即
因为，所以
所以
因为
所以
所以当时，．当时，（最大值）
当时，
在是增函数，在是减函数．
的值域是．
【点睛】
本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考查了运算求解能力，属于中档题．
21、（1）见解析，（2）
【解析】
（1）根据等差中项的定义得，然后构造新等比数列，写出的通项即可求
（2）根据（1）的结果，分组求和即可
【详解】
解：（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列.
即有，所以.
（2）由（1）知，数列的通项为：，
故.
【点睛】
考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.
22、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果
试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0
又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0
设t1，t2是上述方程的两实数根，
所以t1+t2=3
又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．