2025--2026学年河南省南阳市第一中学高二下册数学4月检测试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年河南省南阳市第一中学高二下册数学4月检测试题 [含答案]，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数 fx 在 x=1 处可导,若 limΔx→0f2Δx+1−f1Δx=15 ,则 f′1= ( )
A. −110 B. 110 C. −25 D. 25
2. 在右边的表格中, 如果每格填上一个数后, 每一横行成等差数列, 每一纵列成等比数列,那么 x+y 的值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知数列 an 为等差数列,且 3a1,3,3a2 成等比数列,则 a3 为( )
A. 1 B. 212 C. 15 D. 3
4. 数列 an 满足: a1=2,1−anan+1−1,Sn 是 an 的前 n 项和,则 S2021= ( )
A. 4042 B. 2021 C. 20232 D. 20212
5. (教材 P31 A 组 T3)一个各项为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比 q= ( )
A. 32 B. 32 C. 3−12 D. 1⋅52
6. (第三次月考 T6 改编) 已知 Sn,Tn 分别是等差数列 an 与 bn 的前 n 项和,且 S4T0=2n+14n−2n=1,2,⋅ ，则 a10b3+b18+a11b0+b13= ( )
A. 1120 B. 4178 C. 4382 D. 2342
7. (教材 P34 例 1 改编)某人于 2020 年 6 月 1 日去银行存款 a 元，存的是一年定期储蓄， 2021 年 6 月 1 日将到期存款的本息一起取出再加 a 元之后还存一年定期储蓄，此后每年的 6 月 1 日他都按照同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利率 r 不变，则到 2025 年 6 月 1 日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有( )
A. a1+r4 元 B. a1+r5 元 C. a1+r6 元 D. ar1+r6−1+r 元
8. 已知数列 bn 是公比为 ≠1 的正项等比数列,且 lnb101=0 ,若 fx=41+x2 ,则 fb1+fb2+⋯+fb2024=1
A. 4050 B. 2025 C. 4052 D. 2026
二、多选题:(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 y=x+lnx 在点 1,1 处的切线与曲线 y=ax2+2a+3x+1 只有一个公共点, 则 a 的值为( )
A. 0 B. 12 C. −12 D. 2
10. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1=1 ， Sn+1=Sn+2an+1 ，数列 2na0⋅an! 的前 n 项和为 Tn ， n∈N∘ ,则下列选项正确的为 ( )
A. 数列 an+1 是等比数列 B. 数列 an+1 是等差数列
C. 数列 an 的通项公式为 an=2n−1 D. Ta>1
11. 已知红色箱子内有 6 个红球、 2 个黄球, 黄色箱子内有 2 个红球、 6 个黄球, 所有球除颜色外完全相同, 现从这两个箱子中随机摸球, 具体摸球规则如下: 第一次从黄色箱子中摸出一个球再放回去，第 2 次从“与第 1 次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去,...,第 n+1 次从 “与第 n 次摸出的球颜色相同的箱子” 内摸出一个球然后再放回去,若记第 n 次摸出的球是黄球的概率为 Pn ,则下列说法中正确的是 ( )
A. P2=58 B. Pa+1=12Pa+14
C. Pn+1=14Pn+716 D. Pc=12+12c−1
三、填空题(本题共 3 小题, 12-13 每题 5 分,14 题第一空 2 分, 第二空 3 分, 共 15 分.)
12. (教材 P61 B 组 T1 改编) 根据导数的几何意义,则函数 y=4−x2 在 x=3 处的导数值为_____.
13. (教材 P45 T10 变式)已知等差数列 an 的首项为 a1 ，前 n 项和为 Sn ，若 S20232023−S20222022=1 . 且 Sκ≥Sδ ，则 a1 的取值范围为_____.
14. 已知数列 an 满足 an+1=2an,n=2k−1an+1,n=2k,k∈N∗ ,且 a2 是 a1,a3 的等差中项, S0 是数列 an 的前 n 项和,则 S10= _____, S20+1= _____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (13分)已知 an 是首项为 1 的等比数列，数列 bn 满足 b1=3,anbn−an=nan+1.
(1)求 an 的通项公式；
(2)设 cn=2bnbn+1 ，求数列 cn 的前 n 项和 Sn .
16. (15分)(1)已知函数 gx=x2+ax ，若曲线 y=gx 在 x=0 处的切线也与 hx=−lnx 的图象相切,求 a 的值.
(2)过点 Aa,0 作曲线 C:y=x−c2 的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数 a 的取值范围.
17. (15 分)牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选. 某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入 40 万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少 15 ，本年度牧草销售收入估计为 30 万元, 由于养护管理更加精细, 预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加 14 .
(1)设 n 年内总投入金额为 an 万元，牧草销售总收入为 bn 万元，求 a0 ， bn 的表达式:
(2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？( lg2≈0.30 ， lg3≈0.48 )
18.(17分)设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，已知 a1=2,Sn=an+1+n−2 .
(1)证明: an−1 是等比数列；
(2)若 bn=na0 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn ；
(3)记 cn=lg2an−12 ，若不等式 an+12−a2n+1m≥cn−6 恒成立，求实数 m 的取值范围.
19.(17分)已知数列 b2 的通项公式为 bn=2n ，数列 an 是所有正偶数从小到大排列构成的数列,数列 cn 是由 an,bn 的公共项从小到大排列构成的数列,
(1)求 c1,c2,c3 ，及 cn 的通项公式:
(2)在 cn 与 cn+1 之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，
① 求 d1,d2 的值;
②在数列 dc 中是否存在 3 项 dm,dk,dp (其中 2k=m+p,k,m,p 互异) 成等比数列? 若存在, 求出这样的 3 项; 若不存在, 请说明理由.
高二数学 2026 年春期 4 月检测数学学科答案
1-8.BAADCBDA 9.AB 10. AC 11.ABD
12. −3 . 13.−10,−8 14.171 2n−3−3n−7
4. 因为 a1=2,1−anan+1=1 ,由 1−a1a2=1 得 a2=−1 ,
进而得: a3=12,a4=2=a1 ,可得: an+3=an ,
a1+a2+⋯+a2021=673a1+a2+a3+a1+a2=673×32+1=20212.
5.C 不妨取最简单的前三项为例,有 a1=a2+a3 ,即 a1=a1q+a1q2 ,解得 q 即可,负值舍去。
6. 因为数列 bn 是等差数列,所以 b3+b18=b6+b15 ,
所以 a10b3+b18+a11b6+b15=a10+a11b6+b13 ,
又因为 S0,Tn 分别是等差数列 an 与 bn 的前 n 项和,且 SnTn=2n−14n−2n=1,2,⋯ ,
所以 a10b9+b19+a11b6+b15=a10−a11b6+b15=a1+a20b1+b20=S10T20=2×20−14×20−2=4178 ，
7. 设此人 2020 年 6 月 1 日存入银行的钱为 a1 元，2021 年 6 月 1 日存入银行的钱为 a2 元，以此类推,则 2025 年 6 月 1 日存入银行的钱为 a6 元,那么此人 2025 年 6 月 1 日从银行取出的钱有 a6−a 元,由题意,得 a1=a,a2=a1+r+a,a3=a1+r2+a1+r+a,…… a6=a1+r5+a1+r4+a1+r3+a1+r2+a1+r+a ,
所以 a6−a=a1+r+1+r2+⋯+1+r5
=a⋅1+r1−1+r51−1+r=ar1+r6−1+r .
8. 由数列 bn 是公比为 ≠1 的正项等比数列,故 bn>0 ,
因为 lnb1013=0 ,故 b1013=1,b1⋅b2023=b10122=1 ,
即有 b1⋅b2025=b2⋅b2024=⋯=b2025⋅b1=1 ,
由 fx=41+x2 ,则当 x>0 时,
有 fx+f1x=41+x2+41+1x2=41+x2+4x21+x2=4 .
设 S=fb1+fb2+…+fb2025 ,
S=fb2025+fb1024+…+fbl,
2S=2025×4,S=4050,
故 fb1+fb2+…+fb2025=4050 .
9. 因为 y=x+lnx 的导数为 y′=1+1x ,
所以曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线斜率为 k=2 ,
所以曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线方程为 y−1=2x−2 ,即 y=2x−1 .
因为切线 y=2x−1 与曲线 y=ax2+2a+3x+1 只有一个公共点,
所以联立 y=ax2+2a+3x+1y=2x−1 得: ax2+2a+1x+2=0 ①有且只有一解,
当 a=0 时，①式变为 x+2=0 ，则 x=−2 ，方程①有且只有一解，符合题意；
当 a≠0 时,则 Δ=2a+12−8a=0,4a2−4a+1=0 ,解得 a=12 .
综上, a=0 或 a=12 .
10. 因为 Sn+1=Sn+2an+1 ,所以 an+1=Sn+1−Sn=2an+1,an+1+1=2an+2 , 即 xn+1−1xn+1=2 ，且 a1+1=2 ，所以数列 an+1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 A 正确，B 错误； 所以 an÷1=2n ，即 a0=20−1 ，故 C 正确:
因为 2aa0⋅a2−1=2321−12a−1−1=122−1−12a+1−1 ,
所以 Tn−121−1−122−1+122−1−123−1+…+12n−1−12n−1−1=1−12n−1−10 ,解得 a0 , 故实数 a 的取值范围是 −∞,−4∪0,+∞. (15 分)
17.(1)由题知，每年的追加投入是以 40 为首项， 45 为公比的等比数列，
所以, a0=40×1−4501−45=200−200×45n : 同理,每年牧草收入是以 30 为首项, 54 为公比的等比数列,
所以, ba=30×1−54n1−54=120×54c−120 . (7 分)
(2)设至少经过 n 年，牧草总收入超过追加总投入，即 b0−an>0 ， 即 120×54n−120−200−200×45n=120×54n+200×45n−320>0 , 令 t=45n,00 ,
解得 0