山东省潍坊市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷含答案（word版）

这是一份山东省潍坊市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷含答案（word版），共36页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1-4 ACAC 5-8 BCBD
二、多项选择题(每小题 6 分，共 18 分)
9. ABD 10. ACD 11. BCD
三、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
12. 18
13. 12
14. 5n−1−4n−16nn≥3
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分)
15. 解: (1) x=15×1+2+3+4+5=3 , .2 分
y=15×3.3+3.6+4.4+4.8+5.2=4.26, .4 分
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=54+1+0+1+4=0.5, ..8 分
a=4.26−0.5×3=2.76, .10 分
所以 y 关于 x 的回归方程为 y=0.5x+2.76 .11 分
(2)则 x=6 时， y=0.5×6+2.76=5.76
所以该人工智能公司第 6 年的利润约为 5.76 亿元 .13 分
16.(1)证明: bn+1bn=a2n+2a2n=32a2n+1a2n=32×2a2na2n=3 ， .4 分
且 b1=a2=32a1=32 , .5 分
所以 bn 是以 32 为首项,3 为公比的等比数列,
于是 bn=32×3n−1 . .7 分
(2) S2n=a1+a2+a3+⋯+a2n=a1+a3+a5+⋯a2n−1+a2+a4+a6+⋯+a2n
=23b1+23b2+23b3+⋯+23bn+b1+b2+b3+⋯+bn =53×321−3n1−3=53n−14 . .15 分
17. 解: (1) 设事件 A 为质点第 3 次移动后位于 1,所以 3 次移动中有两次向右,一次向左,
则 PA=C32122×12=38 . ..4 分
(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,2,4,6 . .6 分
PX=0=C63123×123=2064=516,
PX=2=C62124×122+C64122×124=15+1564=1532,
PX=4=C61125×12+C6512×125=1264=316,
PX=6=C66126+C60126=264=132, .10 分
所以 X 的分布列为
.13 分
EX=0×516+2×1532+4×316+6×132=158. .15 分
18. 解: (1) 当 n=1 时, a1=S1=34 , .1 分
当 n≥2 时, an=Sn−Sn−1=n2−14−n−12−14=2n−1 , ..3 分
所以 an=34,n=1,2n−1,n≥2. ..4 分
(2)(i)由 Tn−2bn=6−2n+2 得， n≥2 时， Tn−1−2bn−1=6−2n+1 ， .5 分
所以 bn−2bn+2bn−1=−2n+1 ,所以 bn=2bn−1+2n+1 ,
所以 bn2n−bn−12n−1=2 , .7 分
又已知,当 n=1 时, T1−2b1=−2 ,所以 b1=2 ,即 b12=1 , ..8 分
所以 bn2n=1+n−1×2=2n−1 ,即 bn=2n−12n .
所以 Tn=2bn+6−2n+2=2n−12n+6−2n+2=2n−32n+1+6 .10 分
法二: 利用乘公比错位相减求 Tn .
(ii) 由 (1) 和 (i) 知 TnSn=Tnn2−14=4Tn4n2−1=2Tn2n−1−Tn2n+1 .11 分
所以 Mn=2T11−T13+T23−T25+T35−T37+⋯+Tn−12n−3−Tn−12n−1+Tn2n−1−Tn2n+1
=2T11+T2−T13+T3−T25+⋯+Tn−Tn−12n−1−Tn2n+1
=2b11+b23+b35+⋯+bn2n−1−Tn2n+1
=221+22+23+⋯+2n−Tn2n+1
=22n+1−2−Tn2n+1 .14 分
由 (i) 知 Tn=2n−32n+1+6 ,
所以 Mn=22n+1−2−2n−32n+1+62n+1=2n+4−8n−162n+1
=2n+42n+1−42n+1+122n+1=2n+4−122n+1−4 , .16 分
又 2n+4−12>0 ,所以 Mn>−4 .17 分
19. 解: (1) dA,B=0+2+0−3+0−1=6,dA,C=0+1+0−1+0−2=4 , 所以 dA,B+dA,C=6+4=10 .4 分
(2)(i)由题意可知， Tn 中元素的个数为 2n 个， .5 分
对于 X=k 的随机变量,在坐标 a1,a2,a3,⋯,an 与 b1,b2,b3,⋯,bn 中有 k 个坐标值不同, 即 ai≠bi ,剩下 n−k 个坐标值满足 ai=bi ,
此时所对应情况数为 Cnk⋅2k22n−k=Cnk⋅2n−1 种, .6 分
所以 PX=k=Cnk⋅2n−1C2n2=Cnk2n−1 ,
故 X 的分布列为:
所以 EX=1×Cn12n−1+2×Cn22n−1+⋯+n×Cnn2n−1=12n−11×Cn1+2×Cn2+⋯+n×Cnn ,
因为 kCnk=k⋅n!k!n−k!=n⋅n−1!k−1!n−1−k−1!=nCn−1k−1k∈N+,1≤k≤n , .8 分
所以 EX=1×Cn12n−1+2×Cn22n−1+⋯+n×Cnn2n−1=12n−11×Cn1+2×Cn2+⋯+n×Cnn
=n2n−1Cn−10+Cn−11+Cn−12+⋯+Cn−1n−1=n⋅2n−12n−1,
所以 EX=n⋅2n−12n−1 .10 分
(ii) 因为 DX=EX2−EX2 ,所以原不等式等价于 EX2