2025-2026学年北京师范大学第二附属中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京师范大学第二附属中学高二（下）期中数学试卷，共36页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数f（x）=x2+cs2x的导数为（ ）
A. f′（x）=2x-sin2xB. f′（x）=2x-2sin2x
C. f′（x）=2x+sin2xD. f′（x）=2x+2sin2x
2.已知数列{an}满足，且，则a1=（ ）
A. 4B. 2C. 1D.
3.若随机变量，则P（X=3）=（ ）
A. B. C. D.
4.已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品.从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设X为取出的次数，则P（X=3）=（ ）
A. B. C. D.
5.函数f（x）=x4-2x3在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A. 2x+y-1=0B. 2x+y+1=0C. x-2y-3=0D. x+2y-3=0
6.已知数列{an}满足，则a2026=（ ）
A. -1B. C. 2D. 3
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=21，a5+a10-a8=9，则S6=（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 24
8.若随机变量X服从两点分布，其中，E（X），D（X）分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A. P（X=0）=E（X）B. E（3X+2）=4
C. D（3X+2）=4D.
9.已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2、a8、a5成等差数列，且S3、S9、Sm也成等差数列，则m=（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
10.已知函数，若函数g（x）=f（x）-3m有4个不同的零点则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知函数f（x）及其导函数f′（x）满足f（x）=ln（2x）-4xf′（1），则f′（1）= .
12.编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ，则E（ζ）= .
13.已知等差数列{an}中，a2=5，a6=21，若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为 .
14.若∀x∈R，4cs3x+2cs2x-1-a＞0恒成立，则实数a的取值范围为 .
15.已知数列{an}满足a1∈（，1），an+1=，其前n项和为Sn.
给出下列四个结论：
①∀n∈N*，an+1＞an；
②∀n∈N*，；
③∀n∈N*，＜1；
④∃m∈N*，当n＞m时，都有|Sn-n|＜成立.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn.且.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在数列{bn}中，bn=an+lg4Sn，求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题12分)
某学校食堂每天午餐最多可以提供3道特色菜，已知该食堂共有4个窗口，且每个窗口恰提供一道特色菜，每道特色菜在每个窗口出现的概率均为.假设各个窗口的供菜彼此独立，同学们可以在任何窗口点菜.
（1）已知食堂的特色菜中包含了“梅菜扣肉”，小明同学最喜爱这道特色菜，求小明某天午餐能吃到“梅菜扣肉”的概率；
（2）我们把一天午餐时食堂所有窗口中出现特色菜的种数称为“膳食多样性指标”.求该食堂“膳食多样性指标”的分布列及数学期望.
18.(本小题12分)
已知函数f（x）=xlnx.
（1）求函数f（x）在x=e处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≥ax-x-1恒成立，求实数a的取值范围.
19.(本小题12分)
为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）.接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求.
（1）已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求；
（2）从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中综合体育活动时间达到“通知”要求的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）试根据样本数据，直接判断三个年级体育活动时间的方差大小关系（用“＜”连接）.
20.(本小题12分)
已知函数f（x）=lnx-ax+1，g（x）=f（x）（ex-bx-1）.
（1）若存在x使得f（x）＞0成立，求a的取值范围；
（2）当a＞1时，g（x）≤0在定义域内恒成立，求b的取值范围.
21.(本小题15分)
若正整数a整除正整数m,则称a是m的正因数，如2是6的一个正因数，设正整数m有k个正因数，从小到大排列成数列：a1，a2，…，ak（a1＜a2＜…＜ak）.记φ（m）为正整数m的正因数个数，σ（m）为正整数m的所有正因数的和，如φ（6）=4，σ（6）=1+2+3+6=12.
（1）求φ（1350），φ（6n），σ（6n）；
（2）当k≥4时，若a2-a1，a3-a2，…，ak-ak-1构成等比数列，求正整数m；
（3）当k≥3时，若a1，a2，…，ak是正整数m的所有正约数的一个排列，那么a1，a1+a2，a2+a3，…，ak-1+ak是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】41
14.【答案】（-∞，-3）
15.【答案】①②③
16.【答案】解：（1）因为，
当n=1时，可得：a2=3S1=3a1=3；
当n≥2时，，，
两式相减，得：，
即an+1=4an，
所以．
（2）当n=1时，b1=1；
当n≥2时，，
​​​​​​​所以，
所以
==，
n=1时，，上式也成立．
所以，n∈N*．
17.【答案】；
分布列见解析，数学期望为．
18.【答案】y=2x-e；
（-∞，2]．
19.【答案】估计高一、高二、高三学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为300，400，500 X的分布列为：
数学期望为 高一、高二、高三三个年级体育活动时间的方差大小关系为：高一＜高二＜高三
20.【答案】（-∞，1） （-∞，1]
21.【答案】24，φ（6n）=（n+1）2， 不是，证明如下：
假设a1=2，a1+a2，a2+a3，…，ak-1+ak是另一个正整数n的所有正约数的一个排列，
A={a1，a2，…，ak}，B={a1，a1+a2，a2+a3，…，ak-1+ak}，
易知ai+ai+1≥3（i=1，2，…，k-1），而1∈B，则a1=1，
又2∉B，于是n是奇数，a1+a2为奇数，又a2∈A，则a2是偶数，
其中A中最大的两个元素为m，，显然B中每个元素都不超过，
特别地，，
设ai=m，，其中i，j≥2（因为m有k（k≥3）个正约数，a1=1），
于是B中存在两个元素ai-1+ai，aj-1+aj，它们都大于，进而都大于且都是n的约数，
因此n可以被2整除，与n为奇数矛盾，假设不成立，
所以a1=2，a1+a2，a2+a3，…，ak-1+ak不是另一个正整数的所有正约数的一个排列 高一年级
10 12.5 8 9.5 9 11
高二年级
7.5 8 8.5 10 9.5 11 12
高三年级
7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5
X
0
1
2
3
P