2025-2026学年北京理工大学附属中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京理工大学附属中学高二（下）期中数学试卷，共36页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}的通项公式为，则下列各数是数列{an}中的项的是（ ）
A. B. C. D.
2.数列{an}满足a1=1，an+1=an-3（n∈N*），则a4=（ ）
A. 10B. 8C. -8D. -10
3.在曲线f（x）=x2+1的图象上取一点（1，2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy），则为（ ）
A. B. 2C. Δx+2D.
4.在等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（ ）
A. 21B. 42C. 48D. 96
5.等差数列{an}的前n项和为Sn，若当且仅当n=7时Sn最大，则下面结论一定正确的是（ ）
A. a6＜a7B. S6=S8C. a7+a9＜0D. a6+a8=0
6.为举办某场国际雪联单板滑雪及自由式滑雪世锦赛.现从4名男生、2名女生中选3人分别担任单板滑雪、自由式滑雪、雪上技巧项目的志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（ ）
A. 96种B. 124种C. 72种D. 84种
7.已知{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，则“对任意n∈N*，Sn+1＞Sn”是“{an}为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.以下不等式中，不成立的是（ ）
A. B. x-1≥lnx,x∈（0，+∞）
C. ex-x-1≥0，x∈RD. lnx+1-ex＞0，x∈（0，+∞）
9.函数f（x）是定义在（-4，4）上的偶函数，其图象如图所示，f（3）=0.设f′（x）是f（x）的导函数，则关于x的不等式f（x+1）•f′（x）≥0的解集是（ ）
A. [0，2]B. [-3，0]∪[3，4）
C. （-5，0]∪[2，4）D. （-4，0]∪[2，3）
10.已知成等比数列，且．若，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，​D. ，
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，常数项为 ；二项式系数和为 .（用数字作答）
12.若1，a1，a2，4成等差数列：1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值等于 .
13.过原点作曲线y=ex的切线，则切线的斜率为______．
14.已知函数f（x）=x3+ax2+（2a-3）x-1.
（1）若f（x）的单调递减区间为（-1，1），则a的取值集合为 ；
（2）若f（x）在区间（-1，1）内单调递减，则a的取值集合为 .
15.已知函数f（x）=x2-2x+2t,g（x）=ex-t.给出下列四个结论：
①当t=0时，函数y=f（x）g（x）有最小值；
②∃t∈R，使得函数y=f（x）g（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
③∃t∈R，使得函数y=f（x）+g（x）没有最小值；
④∃t∈R，使得方程f（x）+g（x）=0有两个根且两根之和小于2．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，a2=b2，2+a4=b3．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和Sn．
17.(本小题13分)
已知函数f（x）=-x3+ax2+b在x=2时取得极大值4.
（1）求实数a,b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-1，4]上的最值点和最值.
18.(本小题15分)
已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1+1）（n∈N*）在函数f（x）=2x+1的图象上.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=lg2an，证明：数列{bn}是等差数列；
（3）设，求数列{cn}的前n项和Sn.
19.(本小题14分)
设函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为5x-y-8=0.
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积是否为定值，若是求出此定值，若不是说明理由.
20.(本小题15分)
已知函数，其中a为实数.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意x∈（-∞，-1]都有f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若-2＜a＜-1，试判断f（x）的零点个数.
21.(本小题15分)
对于给定的正整数m和实数a，若数列{an}满足如下两个性质：①a1+a2+⋯+am=a；②对∀n∈N*，an+m=an，则称数列{an}具有性质Pm（a）．
（Ⅰ）若数列{an}具有性质P2（1），求数列{an}的前10项和；
（Ⅱ）对于给定的正奇数t，若数列{an}同时具有性质P4（4）和Pt（t），求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{an}具有性质Pm（a），求证：存在自然数N，对任意的正整数k，不等式≥均成立．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】-540
64

12.【答案】
13.【答案】e
14.【答案】{0}
{a|a≤0}

15.【答案】①②④
16.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
依题意，得
解得或（舍去），
所以an=2n-1，，
（Ⅱ）因为，
所以，
=，
=．
17.【答案】a=3，b=0 最大值点为-1和2，最小值点为4，最大值为4，最小值为-16
18.【答案】 证明：因为bn=lg2an，，
所以bn=n，bn+1=n+1，
b1=lg2a1=1，bn+1-bn=1，
所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列
19.【答案】 是，8
20.【答案】当a≥0时，f（x）在[-1，0）上单调递增，在（-∞，-1]上单调递减；当-1＜a＜0时，f（x）在，[-1，0）上单调递增，在上单调递减；当a=-1时，f（x）在（-∞，0）上单调递增；当a＜-1时，f（x）在（-∞，-1]，上单调递增，在上单调递减 （-∞，-1] 1
21.【答案】解：（I）依题意a1+a2=1，且an+2=an（n=1，2，⋯），
所以数列{an}的前10和为5．
（II）由于数列{an}具有性质P4（4）和P1（t），其中t为大于零的奇数，
令t=2k-1，k∈N*，
则有an+2=an+2+2k-1+2k-1=an+4k=an，
所以an+1=an+1+2k−1=an+2k=an，
综上，{an}为常数列．
又因为{an}具有性质P4（4），
所以a1+a2+a3+a4=4，
所以an=1．
（III）证明：要证，
只需证，
即只需证​​​​​​​，
令数列，由于数列{an}其有性质Pm（a），
则数列{bn} 其有性质Pm（0），
令，
设S1，S2，⋯，Sm的最小值为SN（1⩽N⩽m），
对∀k∈N*，令N+k=pm+r，p，r∈N，0＜r⩽m，
由于{bn}具有性质Pm（0），所以Sm=0，
所以Sm+r=Sm+bm+1+bm+2+⋯+bm+r=b1+b2+⋯+br=Sr⩾SN，
所以成立．