北京师范大学第二附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份北京师范大学第二附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题，文件包含专题11相交线与平行线的角度计算计算题专项训练数学沪科版新教材七年级下册解析版pdf、专题11相交线与平行线的角度计算计算题专项训练数学沪科版新教材七年级下册试题版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
1.函数 的导数为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知数列满足，且，则（ ）
A. 4B. 2C. 1D.
3.若随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知盒中有6个灯泡,其中4个正品、2个次品.从中每次取出1个灯泡,取出后不放回,直到取出2个正品为止.设X为取出的次数,则P(X=3)=( )
A. B.
C. D. ​​​​​​​
5.函数f（x）＝x4﹣2x3在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A. 2x+y﹣1＝0B. 2x+y+1＝0C. x﹣2y﹣3＝0D. x+2y﹣3＝0
6.设数列{}满足=2,=,则=( )
A. -B. -1C. D. 2
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=21，a5+a10-a8=9，则S6=（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 24
8.若随机变量X服从两点分布，其中，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A. P(X＝0)＝E(X)B. E(3X+2)＝4C. D(3X+2)＝4D.
9.已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2、a8、a5成等差数列，且S3、S9、Sm也成等差数列，则m=（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
10.已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知函数及其导函数满足，则 .
12.编号为1,2,3的三位学生随意入坐编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是,则E()= .
13.已知等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为 ．
14.若恒成立，则实数a的取值范围为 ．
15.数列满足，，其前项和为．给出下列四个结论：
①，；
②，；
③，；
④，当时，都有成立．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，，求数列的前项和．
17.(本小题12分)
某学校食堂每天午餐最多可以提供3道特色菜，已知该食堂共有4个窗口，且每个窗口恰提供一道特色菜，每道特色菜在每个窗口出现的概率均为.假设各个窗口的供菜彼此独立，同学们可以在任何窗口点菜.
（1）已知食堂的特色菜中包含了“梅菜扣肉”，小明同学最喜爱这道特色菜，求小明某天午餐能吃到“梅菜扣肉”的概率；
（2）我们把一天午餐时食堂所有窗口中出现特色菜的种数称为“膳食多样性指标”.求该食堂“膳食多样性指标”的分布列及数学期望.
18.(本小题12分)
已知函数f（x）=xlnx.
（1）求函数f（x）在x=e处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≥ax-x-1恒成立，求实数a的取值范围.
19.(本小题12分)
为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求．
(1)已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求；
(2)从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中综合体育活动时间达到“通知”要求的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)试根据样本数据，直接判断三个年级体育活动时间的方差大小关系（用“”连接）．
20.(本小题14分)
已知函数，．
(1)若存在x使得成立，求a的取值范围；
(2)当时，在定义域内恒成立，求b的取值范围．
21.(本小题15分)
若正整数整除正整数,则称是的正因数,如2是6的一个正因数,设正整数有个正因数,从小到大排列成数列:记为正整数的正因数个数，为正整数的所有正因数的和，如.
(1) 求,;
(2) 当时,若,,⋯,构成等比数列,求正整数;
(3) 当时,若,,…,是正整数的所有正约数的一个排列,那么,,,⋯,是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列?并证明你的结论.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】/
12.【答案】1
13.【答案】41
14.【答案】
15.【答案】①②③
16.【答案】解：（1）由，
当时，，所以，
当时，，即，
所以数列是从第二项开始以为公比的等比数列，
所以；
（2）当时，，此时
当时，，
则，
此时
，
当时，，上式成立，
所以.

17.【答案】；
分布列见解析，数学期望为．
18.【答案】y=2x-e；
（-∞，2]．
19.【答案】解：（1）由题可知，用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6，7，8，
已知高一学生人数为600，所以高二、高三学生人数分别为700，800，
而综合体育活动时间五天内低于10小时的人数，
高一、高二高三占比分别为，
由，
因此，估计高一、高二、高三学生综合体育活动时间没有
达到“通知”要求人数分别为300，400，500；
（2）由题可知，综合体育活动时间达到通知要求的，
高三有3人，另5人没有达到要求，所以的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为：
所以；
（3）高一年级样本数据的平均数为，
其方差为
，
高二年级样本数据的平均数为
，
其方差为
，
高三年级样本数据的平均数为
，
其方差为
，
所以.
所以高一、高二、高三三个年级体育活动时间的方差大小关系为
高一高二高三.

20.【答案】解：（1）函数的定义域为，求导得，
时：若，则，故恒成立，在上单调递增；
当时，，必然存在x使得成立，符合要求；
时：令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得极大值，即为最大值，，
要存在使得，需满足，解得；
当时，的最大值为，恒成立，不符合题意；
综上，a的取值范围为．
（2）由（1）可知时，的最大值，
在上恒成立，
在定义域内恒成立，等价于在内恒成立，
令，则，求导得，
当时，，则，故，在上单调递增，
，满足在内恒成立，符合要求；
当时，令，解得，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
在处取得最小值：，
令，求导得，
故在上单调递减，，即，
存在使得，不符合要求；
综上，b的取值范围为．

21.【答案】解：(1)因为1350=2,
所以(1350)=(1+1)(3+1)(2+1)=24.
又=,
所以()=,()=(1+2+++)(1+3+++)=；
(2)由题意得=1,=m,=,=,
k4,依题意可知=,
=,化简可得=，
因此可知是完全平方数,
由于是整数m的最小非1因子,所以=，
所以-,-,,-为-1,-,,-.
因此m=(k3).
(3)假设,+,+,,+是另一个正整数n的所有正约数的一个排列，
A={,,,}, B={,+,+,,+},
易知+3(i=1,2,,k-1),而1B,故=1.
又知2B,所以n是奇数,
所以+为奇数,又A,故是偶数.
其中A中最大的两个元素为m,,显然B中每个元素都不超过m+=,
特别地,n.
设=m,=,其中i,j2(因为m有k(k3)个正约数,=1)，
于是B中存在两个元素+,+,它们都大于,进而都大于且都是n的约数.
​​​​​​​这表明n可以被2整除,与n为奇数矛盾，因此假设不成立. 高一年级
10 12.5 8 9.5 9 11
高二年级
7.5 8 8.5 10 9.5 11 12
高三年级
7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5
0
1
2
3